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Circuitos Elétricos B 
Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 1 de 18 
 
Circuitos polifásicos – Conceitos básicos 
0 90 180 270 360 450 540 630 720
-100
-50
0
50
100
o90−= φVV BN
0φVV AN =
+
+
N
0φVV AN =
o90−= φVV BN
ω
Sistema bifásico
 
0 120 240 360 480 600 720
-100
-50
0
50
100
o120−= φVV BN
0φVV AN =
+
+
N
0φVV AN =
ω
o120φVV CN =
+
o120φVV CN =
o120−= φVV BN
Sistema trifásico
 
Circuitos Elétricos B 
Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 2 de 18 
 
Seqüência de fase – seqüência em que as fases atingem o valor máximo 
 
 
Fase – Elementos/dispositivos dos ramos que constituem o circuito polifásico 
 
Neutro – Referência de tensão – Condutor de retorno das fases (nem sempre presente) 
 
0φVV AN =
ω
o120φVV BN =
o120−= φVV CN
0φVV AN =
ω
o120φVV CN =
o120−= φVV BN
ABC – BCA – CAB ACB – CBA –BAC
 
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Sistemas Simétricos/Assimétricos 
ANV
ωCNV
BNV
α
α
α
o
o
120
3
360
==α
φVVVV CNBNAN ===
Simétrico
 
ANV
ωCNV
BNV
α
α
α
βα ≠BNAN VV ≠
ANV
ωCNV
BNV
α
β
Assimétrico
 
 
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Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 4 de 18 
 
Tensão de fase/linha 
 
Tensão de fase entre fase e neutro (referência de tensão) 
 
Tensão de linha entre os condutores das linhas (fases) 
 
12V
NV 2
NV 1Sistema
Polifásico
nφ
COM
Neutro
nNV
1φ
.
.
.
+
NV 2
NV 1
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
Tensões de Fase
Tensões de
 Linha
2φ
nφ
N
 
 
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Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 5 de 18 
 
Para sistemas trifásicos simétricos 
Tensões de Fase (φ):
ANV
ωCNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
Tensões de Linha (L): CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
φVVL 3=
 
Exercício: Verificar a(s) relação(ões) entre a(s) tensão(ões) de linha e a tensão de fase para um sistema 
hexafásico. 
 
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Ligações estrela/malha 
 
1φ
2φ
nφ
Sistema
Polifásico
nφ
com ou
sem
Neutro
.
.
.
N
1Z
2Z
nZ
O
1I
2I
nI
1φ
2φ
nφ
3φ
Sistema
Polifásico
nφ
com ou
sem
Neutro
N
12Z
.
.
.
23Z
( )nnZ 1−
1nZ
1I
2I
3I
nI
Malha/∆∆∆∆Estrela/Y
 
 
Carga equilibrada – fases idênticas 
nY ZZZZ ==== K21
 
12312 nZZZZ ====∆ K
 
 
 
 
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Equivalência estrela/malha 
 
Ligação em malha – corrente da linha 1φ : 
 
( ) ( )nNNNnNNNNn VVV
Z
VVVV
ZZ
V
Z
VI −−=−+−=+=
∆∆∆∆
∆ 21121
112
1 211
 
Fazendo 
n
o360
=θ : 01 φVV N = θφ −=VV N2 θφVV nN = 
( ) ( ) [ ]θθθθθ φφφφφ cos121120211 −=−−−=−−−⋅=
∆∆∆
∆
Z
V
Z
V
VVV
Z
I
 
Ligação em estrela – corrente da linha 1φ : 
 
YYY
N
Y
Z
V
Z
V
Z
VI φ
φ
===
0
1
1
 
Cargas equivalentes se YII 11 =∆ : [ ] [ ]
YY ZZZ
V
Z
V 1
cos12cos1
2
=−⇒=−
∆∆
θθ φφ
 
[ ]θcos12 −=∆ YZZ
 
Para sistema trifásico ( )3=n : [ ] ( )[ ]2112120cos123360cos12 −∆ −=−=










−= YYY ZZZZ o
 
 
YZZ 3=∆
 
 
 
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Aφ
Bφ
Cφ
Sistema
Trifásico
3φ
COM
Neutro
N
AZ
BZ
CZ
AI
BI
CI
NI
Sistema
Aφ
mais
Neutro
Sistema
Bφ
mais
Neutro
Sistema
Cφ
mais
Neutro
Aφ
AZ
AI
1
NI
Bφ
BZ
BI
2
NI
Cφ
CZ
CI
3
NI
1N
2N
3N
321
NNNCBAN IIIIIII ++=−−−=
Circuitos equivalentes monofásicos
Ligação ESTRELA/Y
 
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Aφ
Bφ
Cφ
Sistema
Trifásico
3φ
com ou
sem
Neutro
N
ABZ
BCZ
CAZ
AI
BI
CI
NI
Sistema
Aφ
mais
Bφ
Sistema
Bφ
mais
Cφ
Sistema
Cφ
mais
Aφ
1
Aφ
ABZ
1
AI
1
BI
2
Bφ
BCZ
2
BI
2
CI
3
Cφ
CAZ
3
CI
3
AI
1
Bφ
2
Cφ
3
Aφ
32
21
31
CCC
BBB
AAA
III
III
III
+=
+=
+=
Circuitos equivalentes monofásicos
Ligação MALHA/∆∆∆∆
 
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Corrente de fase ( φI ) / Corrente de linha ( LI ) 
 
O
1φ
2φ
nφ
Sistema
Polifásico
nφ
com ou
sem
Neutro
.
.
.
N
1Z
2Z
nZ
1φI
2φI
nI φ
1LI
2LI
LnI
NI
φ
φ
φ
φ
II
II
II
II
L
nLn
L
L
=
=
=
=
M
22
11
ESTRELA
 
1φ
2φ
nφ
3φ
Sistema
Polifásico
nφ
com ou
sem
Neutro
N
12Z
.
.
.
23Z
( )nnZ 1−
1nZ
12φI
1LI
2LI
3LI
LnI
23φI
( )nnI 1−φ 1n
I φ
( )nnnLn
L
L
nL
III
III
III
III
11
23343
12232
1121
−
−=
−=
−=
−=
φφ
φφ
φφ
φφ
M
MALHA
 
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Técnicas de resolução de circuitos 
 
Considerar modo de ligação dos componentes (Y/∆∆∆∆) 
 
Estrela com neutro – dividir em n circuitos monofásicos 
 
Estrela sem neutro – relações (V/I) dependem de ONV 
1φ
2φ
nφ
.
.
.
N
1Z
2Z
nZ
O
1I
2I
nI
NV 1
+
NV 2
+
nNV
+
n
ONnN
n
ONN
ONN
Z
VVI
Z
VVI
Z
VVI
−
=
−
=
−
=
M
2
2
2
1
1
1
 
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Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 12 de 18 
 
Determinação de ONV – equivalente de Norton 
NV 1
+
1Z
1I
NV 2
+
2Z
2I
nNV
+
nZ
nI
O
N
+
–
ONV
. . .
SCI NORTONZ
O
N
+
–
ONV
 
 
 
NORTONSCON ZIV =
 
 
 
n
nNNN
SC
Z
V
Z
V
Z
VI +++= K
2
2
1
1
 
 
nNORTON ZZZZ ////// 21 L=
 
 
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Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 13 de 18 
 
Malha – obtida diretamente 
 
1φ
2φ
nφ
3φ
12Z
.
.
.
23Z
( )nnZ 1−
1nZ
1I
2I
3I
nI
NV 1
+
NV 2
+
NV 3
+
nNV
+
12I
23I
( )nnI 1−
1nI
N
( ) ( )
( )nn
nn
n
n
nnnn
n
n
n
Z
V
Z
VIII
Z
V
Z
VIII
Z
V
Z
VIII
Z
V
Z
VIII
1
1
1
1
11
23
23
34
34
23343
12
12
23
23
12232
1
1
12
12
1121
−
−
−
−=−=
−=−=
−=−=
−=−=
M
 
 
 
 
 
 
 
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Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 14 de 18 
 
 
Relação tensão/corrente em sistemas trifásicos 
 
Estrela com neutro 
 
Fases submetidas à tensão de fase 
LII =φ
 
1φ
2φ
3φ
Sistema
Trifásico
3φ
COM
Neutro
N
1Z
2Z
3Z
1φI
2φI
3φI
1LI
2LI
3LI
NI
321
321
3
3
33
2
2
22
1
1
11
LLL
N
L
L
L
III
IIII
Z
VII
Z
VII
Z
VII
−−−=
=−−−=
==
==
==
φφφ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
 
 
 
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Triângulo 
 
Fases submetidas à tensão de linha 
 Z
VII L== φφ
 
1φ
2φ
3φ
Sistema
Trifásico
3φ
com ou
sem
Neutro
12Z
23Z
31Z
12φI
1LI
2LI3LI 23φI
31φI
23313
12232
31121
φφ
φφ
φφ
III
III
III
L
L
L
−=
−=
−=
31
31
31
23
23
23
12
12
12
Z
VI
Z
VI
Z
VI
=
=
=
φ
φ
φ
 
 
 
Exercício: Utilizando o diagrama fasorial das correntes de fase e de linha da carga trifásica, 
demonstrar geometricamente a expressão φφ III L 330cos2 == o . 
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Estrela sem neutro 
 
Fases submetidas à diferença de potencial entre o fasor tensão de fase e ONV 
 
LII =φ
 
 
1φ
2φ
3φ
Sistema
Trifásico
3φ
com ou
sem
Neutro
1Z
2Z
3Z
1φI
2φI
3φI
1LI
2LI
3LI
3
3
3
3
33
2
2
2
2
22
1
1
1
1
11
Z
VV
Z
VII
Z
VV
Z
VII
Z
VV
Z
VII
ONO
L
ONO
L
ONO
L
−
===
−
===
−
===
φ
φ
φ
φ
φ
φ
O
321
321
3
3
2
2
1
1
111
1////
ZZZ
ZZZZ
Z
V
Z
V
Z
VI
ZIV
NORTON
SC
NORTONSCON
++
==
++=
=
φφφ
 
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Potência polifásica 
SISTEMA
nφ
(com ou
sem
neutro)
*
111 IVS ⋅=
)(1 ti)(1 tv
)(2 ti)(2 tv
)(tin)(tvn
.
.
.
*
222 IVS ⋅=
*
nnn IVS ⋅=
.
.
.
 
 
Potência polifásica complexa: φφφ nnnnn jQP
n
IVIVIVS +=⋅++⋅+⋅= 44444 344444 21 K
 termos
*
2
*
21
*
1
 
( ) ( )
( ) 4444444 34444444 21
K
 termos1
1
*
12
*
21
*
1
−
⋅++⋅+⋅=
−−
n
IVIVIVS nnnnnnφ
 
 
 
Circuitos Elétricos B 
Circuitos Polifásicos – Sérgio Haffner Página 18 de 18 
 
φφφ nnn jQPS += 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
444444444 3444444444 21
K
 termos1
111222111 coscoscosRe
−
−−−
+++==
n
nnnnnnnn IVIVIVSP γγγφφ
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4444444444 34444444444 21
K
 termos1
111222111 sensensenIm
−
−−−
+++==
n
nnnnnnnn IVIVIVSQ γγγφφ
 
kkknkkknknkkn IVIVIV γβα ⋅=−⋅=⋅ * 
knα
knV
kI
kγ
kβ
Re
Im
 
kγ ângulo entre fasor tensão knV e fasor corrente kI 
 
 
CONCLUSÃO (Teorema de Blondell): “A potência ativa (reativa) de um circuito a n fios pode ser 
determinada através da soma algébrica das leituras de (n-1) wattímetros (varímetros) desde 
que os sensores de corrente sejam colocados em (n-1) fios diferentes e todos os sensores de 
potencial sejam referidos ao fio restante”. 
 
Potência aparente polifásica: 
22
φφφφ nnnn jQPSS +==
 
Fator de potência médio: 22médio
φφ
φ
φ
φ
nn
n
n
n
jQP
P
S
P
FP
+
==