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Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 1 de 34 
 
Análise de Fourier 
 
Introdução 
 
Permite determinar regime permanente a uma entrada periódica não-senoidal. 
 
Série de Fourier 
Transforma funções periódicas não-senoidais em somatório de funções periódicas 
senoidais. 
 
Função periódica
não-senoidal1 Série de Fourier
Série de funções
Periódicas
senoidais
 
 
Função periódica: se repete a intervalos regulares (períodos: T): 
 
( ) ( )nTtftf ±=
 
( )0, >∈ nIn
 
 
Exemplo: Função seno, pi2=T : 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] K=⋅±=⋅±=⋅±= pipipi 23sen22sen21sensen xxxx
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 2 de 34 
 
Função periódica ( )tf + Condições de Dirichlet1 = Série de Fourier 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
1
000 sencos
n
nn tnbtnaatf ωω
 Série Trigonométrica de Fourier 
 
sendo: 
 
nn baa e ,0 – coeficientes de Fourier 
T
piω 20 = – freqüência fundamental da função periódica ( )tf 
L,4 ,3 ,2 000 ωωω – harmônicos de ( )tf 
 
 
1
 Condições de Dirichlet (suficientes mas não necessárias): 
• ( )tf deve ser unívoca; 
• ( )tf deve ter um número finito de descontinuidades dentro de cada período; 
• ( )tf deve ter um número finito de máximos e mínimos dentro de cada período; 
• A integral ( )∫
+Tt
t
dttf
 deve existir. 
Toda função periódica produzida por uma fonte real satisfaz as condições de Dirichlet. 
Ainda não são conhecidas as condições necessárias para que uma função ( )tf tenha representação em série 
de Fourier. 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 3 de 34 
 
Coeficientes da série trigonométrica: 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
1
000 sencos
n
nn tnbtnaatf ωω
 
 
( ) ( )∫∫ ==
+ TTt
t
dttf
T
dttf
T
a
00
11 0
0
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ TTt
t
k dttktfTdttktfTa 0 00 cos
2
cos
2 0
0
ωω
 
L,2,1=k
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ TTt
t
k dttktfTdttktfTb 0 00 sen
2
sen
2 0
0
ωω
 
L,2,1=k
 
 
Simplificação (redefinição de 0a ): 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
1
00
0 sencos
2 n
nn tnbtna
a
tf ωω
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ TTt
t
k dttktfTdttktfTa 0 00 cos
2
cos
2 0
0
ωω
 
L,2,1,0=k
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ TTt
t
k dttktfTdttktfTb 0 00 sen
2
sen
2 0
0
ωω
 
L,2,1=k
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 4 de 34 
 
Exemplo: Determinar a série trigonométrica de Fourier da tensão periódica da Figura. 
2TT–T
Vm
( )tv
t
( ) t
T
V
tv m 





=
( ) t
T
V
tf
T
TTtt
m 





=
=
=+⇒=
pi
ω
2
0
0
00
 
 
Solução: 
 
( ) ( ) =





−=





==





=
=
= ∫∫∫ 022
1
1
0cos1
2
2
0
2
20200 00
T
T
Vt
T
V
tdt
T
V
tdt
T
V
T
dtttf
T
a m
T
m
T
m
T
m
T 48476
ω
2
mV
 
 
 
( ) ( ) ( ) =





== ∫∫
T
m
T
k dttktT
V
T
dttktf
T
a
0 00 0
cos
2
cos
2
ωω ( )∫
T
m dttkt
T
V
0 02
cos
2
ω
 
 
 
( ) ( ) ( ) =





== ∫∫
T
m
T
k dttktT
V
T
dttktf
T
b
0 00 0
sen
2
sen
2
ωω ( )∫
T
m dttkt
T
V
0 02
sen
2
ω
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 5 de 34 
 
Solução (continuação): 
( )∫ dttkt 0cos ω (por partes/tabela) ( ) ( ) ( ) ( )tkktkk
tdttkt 02
0
0
0
0 cos
1
sencos ω
ω
ω
ω
ω +=∫ 
( )∫ dttkt 0sen ω (por partes/tabela) ( ) ( ) ( ) ( )tkk
t
tk
k
dttkt 0
0
02
0
0 cossen
1
sen ω
ω
ω
ω
ω −=∫ 
kak ∀= 0 
k
k
V
T
Tk
V
Tk
Vb mmmk ∀
−
=
−
=
−
=
pipiω 2
22
0 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
v
(
t
)
 
v(t) 
v0(t) 
v1(t) 
v2(t) 
v3(t) 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 6 de 34 
 
Processo de solução empregando série de Fourier 
Rede
para
0=ω
Rede
para
0ωω =
Rede
para
0ωω n=
M
Rede Rede
( )ti
( )ti
( )ti0
( )ti1
( )tin
( ) ( )∑
∞
=
=
0n
n titi
+
+
+
+
+
+
+
+
Fonte original Fontes equivalentes Superposição
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 7 de 34 
 
Exemplo: Determinar a corrente de regime permanente ( )ti considerando que a tensão 
da Figura a seguir é aplicada a uma associação série de uma resistência de 1 Ω e uma 
indutância de 3/pi H. Considerar apenas os termos até 3=n . 
 
63–3
3
( )tv
t
( ) ttt
T
V
tv m ==





=
3
3
Do exemplo anterior:
( ) K−





−





−





−= ttttv
3
6
sen
3
3
3
4
sen
2
3
3
2
sen
3
2
3 pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
 
Solução: Pelo teorema da superposição, considerando os termos até 3=n , tem-se: 
 
 
( )
3210
3
6
sen
3
3
3
4
sen
2
3
3
2
sen
3
2
3
vvvv
ttttv
+++≈
=





−





−





−≈
pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 8 de 34 
 
 
Solução (continuação): 
 
Para 2
3
0 =v
 2
3
1
2
3
0
0 === R
vi
 
Para 3
2
1
pi
ω =
 
Ω=+=+=+= 4,6324,2213
3
2111
ojjLjRZ
pi
pi
ω
 
 






−−=





−
−
=
oo 4,63
3
2
sen426,04,63
3
2
sen
24,2
3
1 tti
pipipi
 
Para 3
4
2
pi
ω =
 
Ω=+=+=+= 0,7613,4413
3
4122
ojjLjRZ
pi
pi
ω
 
 






−−=





−
−
=
oo 0,76
3
4
sen115,00,76
3
4
sen
14,4
2
3
2 tti
pipipi
 
Para 3
6
3
pi
ω =
 
Ω=+=+=+= 5,8008,6613
3
6133
ojjLjRZ
pi
pi
ω
 
 






−−=





−
−
=
oo 5,80
3
6
sen0524,05,80
3
6
sen
08,6
3
3
3 tti
pipipi
 
 
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 9 de 34 
 
Solução (continuação): A resposta em regime permanente é: 
 
( )






−−





−−





−−=
=+++=
ooo 5,80
3
6
sen0524,00,76
3
4
sen115,04,63
3
2
sen426,0
2
3
3210
ttt
iiiiti
pipipi
 
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
v
(
t
)
 
 
 
 
i
(
t
)
 
Observar que os gráficos das funções de ( )tv e ( )ti não apresentam a mesma forma 
de onda. 
i(t) 
v(t) 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 10 de 34 
 
Exemplo: Determinar a expressão da corrente em regime permanente quando a 
tensão da figura é aplicada à associação série de uma resistência de 2Ω e uma 
indutância de ½ H. 
 
4 2 
1 
( )tv
t 
 
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 11 de 34 
 
Série de co-senos 
Termos em co-seno e em seno sãocombinados (cada harmônico de ( )tf 
representado por um coeficiente único): 
( ) ( )∑
∞
=
++=
1
00 cos
n
nn tnAatf θω
 
kkkkkkk bajbaA θθ 22 +=−=
 
L,2,1=k
 






−=




−
=
−−
k
k
k
k
k a
b
a
b 11 tantanθ
 (ângulo de kk jba − ) 
 
Exemplo: Determinar a série de Fourier de co-senos da tensão periódica do exemplo 
anterior. 
 
Solução: Da solução do exemplo anterior, tem-se: 
20
mVa =
 
L,3,2,10 =∀= kak L,3,2,1=∀
−
= k
k
Vb mk pi 
kkkk jbaA −=θ
 
L,2,1=k
 
0900 +==




 −
−=
pipipi
θ
k
V
k
Vj
k
VjA mmmkk
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
++=++=++=
1
0
1
0
1
00 90cos
1
2
90cos
2
cos
n n
mm
n
mm
nn tn
n
VV
tn
n
VV
tnAatv oo ω
pi
ω
pi
θω
 
( ) ( ) ( ) ( ) Kooo +++++++= 903cos
3
902cos
2
90cos
2 000
t
V
t
V
t
VV
tv mmmm ω
pi
ω
pi
ω
pi T
pi
ω
2
0 =
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 12 de 34 
 
Série exponencial 
Aplicação da identidade de Euler na forma trigonométrica. 
( ) ∑∑∑
∞
=
−
−
∞
=
∞
−∞=
++==
11
0
000
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n eCeCCeCtf ωωω
 00 aC = 
Coeficientes nC são números complexos: 




−=
22
kk
k
bjaC
 
L,2,1=k
 






+=
− 22
kk
k
bjaC
 
L,2,1=k
 
 
Exemplo: Determinar a série de Fourier da tensão periódica do exemplo anterior. 
Solução: Da solução do exemplo anterior, tem-se: 
20
mVa =
 
L
L
,3,2,1
,3,2,10
=∀−=
=∀=
k
k
Vb
ka
m
k
k
pi
 T
pi
ω
2
0 =
 
200
mVaC ==
 
o90
222 pik
VbjaC mkkk =





−=
 
o90
222
−=





+=
− pik
VbjaC mkkk
 
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=
+−+ ++=
1
9090 001
22 n
tnjtnjmm ee
n
VV
tv
oo ωω
pi 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 13 de 34 
 
Formas de apresentação da série de Fourier. 
 Série de Fourier 
 Forma trigonométrica 1 Forma trigonométrica 2 Forma 
exponencial 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
1
000 sencos
n
nn tnbtnaatf ωω
 
( ) ( )∑
∞
=
++=
1
00 cos
n
nn tnAatf θω
 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
k
 
=
 
0
 
 
( )∫
+
=
Tt
t
dttf
T
a
0
0
1
0
 
( )∫
+
=
Tt
t
dttf
T
a
0
0
1
0
 
 00 aC = 
k
 
=
 
1
,
2
,
…
 
 
( ) ( )∫
+
=
Tt
t
k dttktfTa
0
0
0cos
2
ω
 
 
( ) ( )∫
+
=
Tt
t
k dttktfTb
0
0
0sen
2
ω
 
 
kkkkkkk bajbaA θθ 22 +=−=
 
 






−=




 −
=
−−
k
k
k
k
k
a
b
a
b 11 tantanθ
 
 






−=
22
kk
k
bjaC
 
 






+=
− 22
kk
k
bjaC
 
 T
piω 20 = a freqüência fundamental da função periódica ( )tf 
 T período da função periódica ( )tf ( ) ( ) inteiro , nnTtftf ∀±= . 
 Limites de integração devem abranger 1 período completo, mas podem iniciar e 
terminar onde for mais conveniente 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 14 de 34 
 
Influência da simetria nos coeficientes de Fourier 
 
Simetria de funções PARES 
TT/2–T/2
Fm
( )tf
t
–Fm
( ) ( )tftf −= Simetria em relação ao eixo y
 
( ) ( )∑
∞
=
+=
1
00 cos
n
n tnaatf ω
 
( ) ( )∫∫ ==
+ 2
0
21 0
0
TTt
t
k dttfTdttfTa 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ 2
0 00
cos
4
cos
2 0
0
TTt
t
k dttktfTdttktfTa ωω L,2,1=k 
 
0=kb L,2,1=k 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 00 aC = 
222
kkk
k
abjaC =





−=
 ⇒ ℜ∈kC L,2,1=k 
k
kkk
k C
abjaC ==





+=
− 222 ⇒ ℜ∈−kC L,2,1=k 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 15 de 34 
 
Simetria de funções ÍMPARES 
TT/2–T/2
Fm
( )tf
t
–Fm
( ) ( )tftf −−=
 
( ) ( )∑
∞
=
=
1
0sen
n
n tnbtf ω
 
0=ka L,2,1,0=k 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==
+ 2
0 00
sen
4
sen
2 0
0
TTt
t
k dttktfTdttktfTb ωω L,2,1=k 
 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
000 == aC 
222
0
22
kkkk
k
bjbjbjaC −=





−=





−=
 ⇒ ℑ∈kC L,2,1=k 
k
kkkk
k C
bjbjbjaC −==





+=





+=
− 222
0
22 ⇒ ℑ∈−kC L,2,1=k 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 16 de 34 
 
Simetria (continuação) 
 
O deslocamento da função no eixo do tempo pode tornar uma função par ou ímpar. 
 
T T/2 –T/2 
Fm 
( )tf
t 
–Fm 
T T/2 –T/2 
Fm 
( )tf
t 
–Fm 
T T/2 –T/2 
Fm 
( )tf
t 
–Fm 
Versão PAR 
Versão ÍMPAR 
Função original 
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 17 de 34 
 
Simetria de meia onda ( ) ( )2Ttftf −−= 
Depois de deslocada de meio período e invertida torna-se igual à função original. 
TT/2–T/2
Fm
( )tf
t
–Fm
TT/2–T/2
Fm ( )2Ttf −
t
–Fm
TT/2–T/2
Fm ( ) ( )tfTtf =−− 2
t
–Fm
Deslocamento ½ período
Inversão
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 18 de 34 
 
Simetria de meia onda (continuação) ( ) ( )2Ttftf −−= 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
1
000 sencos
n
nn tnbtnaatf ωω
 
0=ka L,6,4,2,0=k (k par) 
 
( ) ( )∫= 20 0cos
4 T
k dttktfTa ω L,7,5,3,1=k (k ímpar) 
0=kb L,8,6,4,2=k (k par) 
( ) ( )∫= 20 0sen
4 T
k dttktfTb ω L,7,5,3,1=k (k ímpar) 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
000 == aC 
0
22
=





−=
kk
k
bjaC
 
L,8,6,4,2=k
 (k par) 






−=
22
kk
k
bjaC
 
L,7,5,3,1=k
 (k ímpar) 
0
22
=





+=
−
kk
k
bjaC
 
L,8,6,4,2=k
 (k par) 






+=
− 22
kk
k
bjaC
 
L,7,5,3,1=k
 (k ímpar) 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 19 de 34 
 
 
Simetria Forma da série Expressões dos coeficientes 
 
( ) ( )∑
∞
=
+=
1
00 cos
n
n tnaatf ω
 
 
( )∫= 200
2 T dttf
T
a
 
 
k∀
 
( ) ( )∫= 20 0cos
4 T
k dttktfTa ω 
 
0=kb 
Função 
PAR 
 
( ) ( )tftf −=
 
 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
 00 aC = 
 
k∀
 2
k
kk
aCC ==
−
 ⇒⇒⇒⇒ Real 
 
( ) ( )∑
∞
=
=
1
0sen
n
n tnbtf ω
 
 
L,1,0=∀k
 
 
0=ka k∀ 
( ) ( )∫= 20 0sen
4 T
k dttktfTb ω Função 
ÍMPAR 
 
( ) ( )tftf −−=
 
 
( ) ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
 
00 =C 
 
k∀
 2
k
k
bjC −=
 ⇒⇒⇒⇒ Imaginário 
 
k
k
k C
bjC −==
− 2 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+=
1
00 sencos
n
nn tnbtnatf ωω
 
 
00 =a 
 
L,4,2=k (par): 
 
0=ka 
 
0=kb 
 
L,3,1=k (ímpar): 
 
( ) ( )∫= 20 0cos
4 T
k dttktfTa ω 
 
( ) ( )∫= 20 0sen
4 T
k dttktfTb ω 
Simetria de 
MEIA ONDA 
 
( ) ( )2Ttftf −−= 
 
( ) ∑
∞−∞=
=
n
tjn
neCtf 0ω
 
 
00 =C 
 
L,4,2=k (par) 
 
0=kC 
 
0=
−kC 
 
L,3,1=k (ímpar): 





−=
22
kk
k
bjaC
 
 






+=
− 22
kk
k
bjaC
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 20 de 34 
 
Exemplo: Determinar a expansão em série de Fourier da tensão periódica da figura a 
seguir. 
42–2
6
( )tv
t
–6
6
 
Solução: Análise do gráfico: nem PAR nem ÍMPAR; simetria de meia onda 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+=
1
00 sencos
n
nn tnbtnatv ωω
 24
22
0
pipipi
ω ===
T 
Para L,6,4,2=k (k par): 0=ka 0=kb 
Para L,7,5,3,1=k (k ímpar): 
( ) ( ) ( ) ( )2
ímpar 122
0
2
0
2
0 0
241cos23
2
cos3
2
cos3
4
4
cos
4
pi
pi
pi
pipi
ω
k
k
k
dttktdttktdttktv
T
a
k
T
k
−
=








−





=





=





==
∀−=
∫∫∫
48476
 
( ) ( ) ( )
pi
pi
pi
pipi
ω
k
k
k
dttktdttktdttktv
T
b
k
T
k
12
cos
43
2
sen3
2
sen3
4
4
sen
4
ímpar 1
2
0
2
0
2
0 0
=




 −
=





=





==
∀−=
∫∫∫
48476
 
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 21 de 34 
 
Solução (continuação): 
( ) ( )
( ) ( ) K
444444 8444444 76444444 8444444 76444444 8444444 76
+











+











−
+











+











−
+











+










−
=












+











−
=
==
=
∞
=
∑
5
2
3
2
1
2
ímpar 
1
2
2
5
sen
5
12
2
5
cos
5
24
2
3
sen
3
12
2
3
cos
3
24
2
sen
12
2
cos
24
2
sen
12
2
cos
24
nnn
n
n
tttttt
t
n
n
t
n
n
tv
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
0 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
t
v
1
(
t
)
,
 
v
3
(
t
)
,
 
v
5
(
t
)
,
 
v
(
t
)
 
 
v(t) 
v1(t) 
v3(t) 
v5(t) 
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Potência média de funções periódicas 
+
–
)(tv
)(ti
SISTEMA
 
( ) ( )∑∞
=
++=
1
0CC cos
n
v
nn tnvvtv θω
 
( ) ( )∑∞
=
++=
1
0CC cos
n
i
nn tniiti θω
 
Considerando o período T, potência média fornecida é dada por: 
 
( ) ( ) ( )∫∫ +=+== Ttt dttitvT
Tt
t
dttp
T
pP 0
0
0
0
média
11
 
Observações: 
• Cálculo envolve a multiplicação de duas séries infinitas. 
• Integração em um período elimina termos nos quais a tensão e a corrente 
possuem freqüências diferentes. 
 
[ ] ( ) ( ) 





+++= ∑∫
∞
=
++
1
00CCCC
0
0
0
0
coscos
1
n
Tt
t
i
n
v
nnn
Tt
t dttntnivtivT
P θωθω
 
 
( )∑∞
=
−+=
1
CCCC cos2n
i
n
v
n
nnivivP θθ
 
 
Potência média total fornecida = soma das potências médias dos diferentes harmônicos. 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 23 de 34 
 
Exemplo: Considerando apenas os termos até 3=n , determinar a potência média total 
fornecida para a associação série (R = 1 Ω e L = 3/pi H), sabendo que: 
( ) 





−





−





−≈ ttttv
3
6
sen
3
3
3
4
sen
2
3
3
2
sen
3
2
3 pi
pi
pi
pi
pi
pi 
( ) 





−−





−−





−−≈
ooo 5,80
3
6
sen0524,00,76
3
4
sen115,04,63
3
2
sen426,0
2
3
tttti pipipi
 
Solução: Corrente e tensão em série de co-senos: ( )o180sensen ±=− aa ( )o90cossen −= aa 
( ) 





++





++





++≈ ooo 90
3
6
cos
3
390
3
4
cos
2
390
3
2
cos
3
2
3
ttttv
pi
pi
pi
pi
pi
pi 
( ) 





++





++





++≈ ooo 5,9
3
6
sen0524,00,14
3
4
cos115,06,26
3
2
cos426,0
2
3
tttti pipipi
 
( ) ( ) ( ) ( )
 w35,25,80cos00834,00,76cos0274,04,63cos203,0
4
9
cos
2
3
1
CCCC =+++=−+= ∑
=
ooo
n
i
n
v
n
nnivivP θθ
 
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
t
v
(
t
)
;
 
i
(
t
)
;
 
p
(
t
)
;
 
P
 
p(t) 
v(t) 
i(t) 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 24 de 34 
 
Valor RMS de uma função periódica 
 
Valor RMS de uma função periódica: 
[ ]∫==
T
RMS dttfTFF 0
2
eficaz )(
1
 
Para ( )tf representada por sua expansão em série de Fourier: 
( )
( )








+=












++= ∑∫ ∑
∞
=
=
∞
= 1
22
00
2
1
00 2
1
cos
1
n
n
T
tf
n
nnRMS A
TTa
T
dttnAa
T
F
4444 84444 76
θω
 
∑∑
∞
=
∞
=






+=+=
1
2
2
0
1
2
2
0 22 n
n
n
n
RMS
A
a
A
aF
 
 
O valor RMS de uma função periódica é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados 
dos valores RMS dos harmônicos com o quadrado do termo constante. 
 
Exemplo: Determinar o valor RMS da tensão periódica, dada por: 
( ) 





−





−





−= ttttv
3
6
sen
3
3
3
4
sen
2
3
3
2
sen
3
2
3 pi
pi
pi
pi
pi
pi 
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 25 de 34 
 
 
Solução: De acordo com a expressão anterior, tem-se: 
=+++≈
=+++≈
=







+







+







+





=
0507,0114,0456,025,2
225,0338,0675,050,1
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
2222
222
2
pipipi
RMSV
 
V 69,1=RMSV 
 
 
 
No exemplo anterior, o valor RMS exato da função triangular original é dado por: 
 
[ ] 3
3
27
3
1
33
1
3
1)(1
3
0
33
0
2
0
2
==





=== ∫∫
tdttdttf
T
V
T
RMS
 
V 73,1≈RMSV 
 
Assim, o erro percentual do valor RMS é dado por: 
 
%31,2%100
73,1
73,169,1
% −=
−
=ε
 
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Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 26 de 34 
 
Espectros de amplitude e de fase 
 
Espectro de amplitude (função periódica): gráfico das amplitudes dos termos da SF. 
Espectro de fase (função periódica): gráfico dos ângulos de fase dos termos da SF. 
 
Os espectros (amplitude e fase) são denominados espectros de linhas — valores de 
amplitude ( )nn CA ou e ângulo de fase especificados apenas para valores discretos de 
ω ( L,3,2, 000 ωωω ). 
 
Trigonométrica: considerados apenas valores positivos dos harmônicos: L,3,2, 000 ωωω 
Exponencial: considerados valores positivos e negativos dos harmônicos: 
L,3,2, 000 ωωω ±±± . 
 
Exemplo: Para a corrente do gráfico a seguir, determinar a expansão em série de 
Fourier, na forma exponencial, juntamentecom os espectros de amplitude e de fase. 
41–2
6
( )ti
t
62–1
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 27 de 34 
 
Solução: ( )ti é par, com período s 5=T 
pi
pipi
ω 4,0
5
22
0 === T 
( ) ( ) [ ] [ ]∫∫∫ =−=====
1
0
1
0
5,2
0
2
00 5
1201
5
12
5
126
5
2
5
22
tdtdttidtti
T
a
T
 
Para L,2,1=k , tem-se: 
 
( ) ( ) ( )
( ) 





=










−





=
















=
=





=





==
=
∫∫∫
5
2
sen
120sen
2
5
5
2
sen
2
5
5
24
5
2
sen
5
2
1
5
24
5
2
cos6
5
4
5
2
cos
5
4
cos
4
01
0
1
0
5,2
0
2
0 0
pi
pipi
pi
pi
pi
pi
pipi
ω
k
kk
k
k
t
k
k
dttkdttktidttkti
T
a
T
k
48476
 
 
0=kb 
 
( ) } ( ) ( ) ( )
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
==


















+=
=+=++=
1
1
00
1
0
000
5
2
cos
5
2
sen
12
5
12
cossencos
n
n
n
n
n
A
n
ntn
n
tnAatnbtnaati
n
pipi
pi
ωωω
48476
 
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 28 de 34 
 
Solução (continuação): 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4484476444 8444 76444 8444 76444 8444 76444 8444 76
4484476444 8444 76444 8444 7644 844 7644 844 76
109876
54321
5
20
cos0
5
18
cos4036,0
5
16
cos2806,0
5
14
cos3207,0
5
12
cos6055,0
5
10
cos0
5
8
cos9082,0
5
6
cos7484,0
5
4
cos123,1
5
2
cos633,34,2
=====
=====






+





−+





−+





+





+=
+





+





−+





−+





+





+=
nnnnn
nnnnn
ttttt
tttttti
pipipipipi
pipipipipi
 
A Figura a seguir mostra o gráfico da aproximação por série de Fourier, indicando em 
azul os quatro primeiros termos e em verde o somatório dos termos até 10=n . 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-2
0
2
4
6
8
t
i
0
(
t
)
;
 
i
1
(
t
)
;
 
i
2
(
t
)
;
 
i
3
(
t
)
;
 
i
(
t
)
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 29 de 34 
 
Solução (continuação): Coeficientes da série exponencial: 
 
4,2
5
12
00 === aC
 






=






===
− 5
2
sen
6
2
5
2
sen
12
2
pi
pi
pi
pi k
k
k
kaCC kkk
 
Para [ ]10;10−∈k , tem-se os seguintes espectros de amplitude e de fase. 
Espectro de Amplitude
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
n
|
C
n
|
Espectro de Fase
0
50
100
150
200
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
n
F
a
s
e
 
C
n
 
[
g
r
a
u
s
]
 
Para múltiplos de 5 o coeficiente tem amplitude nula (ângulo de fase indeterminado). 
( )
∑
∑∑∑∑
∞
=






=
−
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
−
∞
=












+











+=
=











+











+=++=
1
5
2
cos2
5
2
5
2
1
5
2
1
5
2
11
0
5
2
sen
64,2
5
2
sen
6
5
2
sen
64,200
n
nt
ntjntj
n
ntj
n
ntj
n
tjn
n
n
tjn
n
een
n
en
n
en
n
eCeCCti
44 344 21
pi
pipi
pipi
ωω
pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 30 de 34 
 
Fatores de distorção 
 
Quantificam diferença em relação a uma senóide pura. 
 
Para uma tensão ou corrente alternada (valores médios nulos): 
( ) ( )∑∞
=
+=
1
0cos
n
v
nn tnVtv θω
 
( ) ( )∑∞
=
+=
1
0cos
n
i
nn tnIti θω
 
 
Distorção harmônica total, DHT%: 
 
 
%100
2
22%100
2
2%
1
2
3
2
2
1
2
2
×
+





+





=×






=
∑
∞
=
V
VV
V
V
DHT n
n
v
K
 
 
 
%100
2
22%100
2
2%
1
2
3
2
2
1
2
2
×
+





+





=×






=
∑
∞
=
I
II
I
I
DHT n
n
i
K
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 31 de 34 
 
Alternativamente, as expressões anteriores podem ser escritas em função dos valores 
eficazes da tensão e da corrente, respectivamente, RMSV e RMSI , da seguinte forma2: 
 
%1001
2
%100
2
2% 2
1
2
1
2
12
×−






=×






−
=
V
V
V
VV
DHT RMS
RMS
v
 
 
 
%1001
2
%100
2
2% 2
1
2
1
2
12
×−






=×






−
=
I
I
I
II
DHT RMS
RMS
i
 
 
Sinais senoidais puros possuem apenas a fundamental ( 1V e 1I ), portanto a distorção 
harmônica é nula: 0% =vDHT 
0% =iDHT . 
 
2
 Lembrar que quando os valores médios da tensão e da corrente são nulos, tem-se: 
K+





+





+





=





= ∑
∞
=
2
3
2
2
2
1
1
2
2222
VVVVV
n
n
RMS . K+





+





+





=





= ∑
∞
=
2
3
2
2
2
1
1
2
2222
IIII
I
n
n
RMS 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 32 de 34 
 
Fator de crista é a relação entre os valores máximos (ou de pico) de tensão ( picoV ) e 
corrente ( picoI ) e os valores eficazes correspondentes: 
RMS
v V
V
FC pico=
 
RMS
i I
I
FC pico=
 
Para uma tensão ou corrente senoidal pura: 41,12
2
maxmax
max
≈=== F
RMS
F
F
FFC
 
 
Fator de forma é a relação entre os valores eficazes de uma tensão ou corrente e os 
valores médios calculados em ½ período3 correspondentes: 
2 em médio T
V
VFF RMSv =
 
2 em médio T
I
IFF RMSi =
 
Para uma tensão ou corrente senoidal pura4: 11,122max
max
2
T
2
2
 em médio
≈===
pi
pi
F
F
RMS
F
FFF
 
 
3
 Calculado em ½ período, pois o valor médio em um período é nulo (lembrar que os sinais tratados nesta Seção são 
considerados alternados). 
4
 Neste caso, o valor médio em meio período é dado por 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
pipi
pipi
pi
pi
pi max2
2
2max
0
2
2
max
0
2
max
2
20coscos
2
2cos2
sen
1 22 FFt
T
FdttF TTT
T
T
TT
T
T
=−+−=







−
=∫ 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 33 de 34 
 
Exemplo: Determinar a série de Fourier da tensão periódica da Figura a seguir 
juntamente com seus fatores de distorção. 
 
T 
Vm 
( )tv
t 
– Vm 
T/10 4T/10 T/2 
6T/10 9T/10 
 
Solução: 
 
00 =a kak ∀= 0 função ímpar 
 
par 0kbk ∀= ( ) 










−





=
2
3
sen
2
sen3,0sen2 pipipi
pi
kkk
k
Vb mk
 
 
( ) ( )∑
∞
=
























−





=
ímpar 
1
2
sen
2
3
sen
2
sen3,0sen2
n
n
m t
T
nnnn
n
V
tv
pipipi
pi
pi 
 
( )
444 8444 76444 8444 76444 8444 76444 8444 76444 8444 76444 8444 76 1197531
22
sen0936,018sen1144,014sen0562,010sen2546,06sen1312,02sen0301,1
======






+





+





−





−





−





≈
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m tT
Vt
T
Vt
T
Vt
T
Vt
T
Vt
T
Vtv pipipipipipi
 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Fourier – Sérgio Haffner Verão: 12/9/2007 Página 34 de 34 
 
Solução (continuação): 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t [s]
 
mVV =pico 
 
mmRMS VVV 774,06,0 ≈= 
 
mVV T 6,02 em médio = 
( ) %2,36%1001
2
0301,1
6,0%1001
2
% 2
2
2
1
2
≈×−






=×−






=
m
mRMS
v
V
V
V
V
DHT
 
 
 
29,1
6,0
pico
≈==
m
m
RMS
v V
V
V
V
FC
 
 
29,1
6,0
6,0
2 em médio
≈==
m
mRMS
v V
V
V
V
FF
T
 
v(t) 
v1(t) 
v3(t) 
v5(t) 
v7(t)