2014-2-EP-15-IEM-Gabarito

Prévia do material em texto

Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/15 — 25/10/2014
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 2
ATIVIDADE 2
O comando SimplificarExpress~oesTrigonome´tricas[...] e´ usado para simplificar ex-
presso˜es com func¸o˜es trigonome´tricas.
1
f(x) = (cos(x))∧2 + (sen(x))∧2
→ cos2(x) + 2sen(x)
2
SimplificarExpresso˜esTrigonome´tricas[f(x)]
→ 1
Existe tambe´m um comando para “expandir” func¸o˜es trigonome´tricas:
3
ExpandirExpresso˜esTrigonome´tricas[cos(a + b)]
→ cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)
(a) Usando o GeoGebra 4.x, encontre uma expressa˜o para cos(7 a) em termos de cos(a).
Dica: use os comandos
ExpandirExpress~oesTrigonome´tricas[...] e Substituir[...].
(b) Use o GeoGebra 4.x para calcular
ExpandirExpress~oesTrigonome´tricas[sec(arctan(x))].
Tente demonstrar o resultado dado pelo GeoGebra 4.x!
ATIVIDADE 3
O GeoGebra 4.x possui um mecanismo que permite gerar muito facilmente uma sequeˆncia
(finita) de elementos definidos por alguma lei de formac¸a˜o. Este tipo de recurso e´ muito
u´til quando queremos gerar exemplos ou procurar contra-exemplos para certas afirmac¸o˜es
matema´ticas. Vamos acompanhar um exemplo.
O comando Seque^ncia[..] permite gerar uma sequeˆncia finita de elementos. Sua sintaxe
e´ a seguinte: Seque^ncia[f(n), n, a, z), onde f(n) e´ uma expressa˜o que depende de n
que, por sua vez, e´ uma varia´vel que assume valores inteiros entre a e z. Vamos usar este
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 3
comando para listar os 12 primeiros nu´meros ı´mpares positivos.
1
Sequeˆncia[2 n − 1, n, 1, 12]
→ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23}
Se combinarmos o comando Seque^ncia[...] com o comando E´Primo[...], podemos iden-
tificar facilmente quais nu´meros entre 1 e 50 sa˜o primos:
Sequeˆncia[{n, E´Primo[n]}, n, 1, 50]
(na˜o vamos colocar o resultado deste comando, pois ele ocuparia muito espac¸o).
(a) Verdadeiro ou falso? 2n − 1 e´ um nu´mero primo para todo natural n > 1. Justifique
sua resposta!
Soluc¸a˜o. Usando o comando Seque^ncia[{n, E´Primo[2^n - 1]}, n, 1, 50] vemos
que a sentenc¸a e´ falsa! De fato, se n = 4, enta˜o 2n − 1 = 24 − 1 = 15 = 3 · 5 na˜o e´ um
nu´mero primo.
(b) Verdadeiro ou falso? n2 + n + 41 e´ um nu´mero primo para todo n ∈ N. Justifique sua
resposta!
Soluc¸a˜o. Usando o comando Seque^ncia[{n, E´Primo[n^2 + n + 41]}, n, 1, 50]
vemos que a sentenc¸a e´ falsa! De fato, se n = 40, enta˜o n2 +n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 =
40 · (40 + 1) + 41 = 40 · 41 + 41 = 40 · 41 na˜o e´ um nu´mero primo.
(c) Verdadeiro ou falso? n3 − 5n + 1 na˜o e´ divis´ıvel por 5 para todo natural n positivo.
Justifique sua resposta!
Soluc¸a˜o. Usando o comando Sequeˆncia[{n, (nˆ3 - 5*n + 1)/5}, n, 1, 10] vemos que a
sentenc¸a e´ falsa! De fato, se n = 4, enta˜o n3 + 5 · n+ 1 = 43 − 5 · 4 + 1 = 45 que e´ um
nu´mero divis´ıvel por 5.
(d) Verdadeiro ou falso? n3−n+2 e´ um nu´mero par para todo natural n positivo. Justifique
sua resposta!
Soluc¸a˜o. A sentenc¸a e´ verdadeira! De fato: se n e´ par, enta˜o n = 2 · k para algum
natural k. Neste caso,
n3 − n+ 2 = (2 · k)3 − 2 · k + 2 = 2 · (4 · k3 − k + 1)
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 4
e´ um nu´mero par (pois e´ divis´ıvel por 2). Por outro lado, se n e´ ı´mpar, enta˜o n = 2·k+1
para algum natural k. Neste caso,
n3 − n+ 2 = (2 · k + 1)3 − (2 · k + 1) + 2 = 2 · (4 · k3 + 6 · k2 + 2 · k + 1)
tambe´m e´ um nu´mero par. Conclu´ımos enta˜o que n3 − n + 2 e´ um nu´mero par para
qualquer escolha do natural n.
ATIVIDADE 4
Outro grande recurso do GeoGebra 4.x e´ o de resolver simbolicamente equac¸o˜es e sistemas
de equac¸o˜es, sejam elas lineares ou na˜o-lineares. Vamos acompanhar o exemplo a seguir.
E´ o comando
Resolver[...]
que permite calcular as soluc¸o˜es de equac¸o˜es e sistemas de equac¸o˜es. Por exemplo, o co-
mando abaixo encontra as soluc¸o˜es da equac¸a˜o quadra´tica x2 − 5 x+ 6 = 0.
1
Resolver[x∧2 − 5 x + 6 = 0, x]
→ {x = 3, x = 2}
O GeoGebra 4.x tambe´m consegue resolver equac¸o˜es cujos coeficientes sa˜o paraˆmetros.
2
Resolver[x∧2 + b x + c = 0, x]
→
{
x =
−b+√b2 − 4 c
2
, x =
−b−√b2 − 4 c
2
}
O comando Resolver[...] calcula apenas ra´ızes reais. Para obter as ra´ızes complexas, e´
preciso usar o comando ResolverNosComplexos[...].
3
Resolver[x∧4 = 1, x]
→ {x = 1, x = −1}
4
ResolverNosComplexos[x∧4 = 1, x]
→ {x = i, x = −i, x = 1, x = −1}
Voceˆ pode combinar o comando ValorNume´rico[...] com o comando Resolver[...] para
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 5
obter aproximac¸o˜es das soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o:
ValorNume´rico[ResolverNosComplexos[x∧5 = 1, x], 20]
Soluc¸o˜es de sistemas de equac¸o˜es tambe´m sa˜o calculadas com o comando Resolver[...].
5
Resolver[{x + y + z = 1, x - y + z = 3, 2 x - y + 3 z = 1}, {x, y, z}]
→ {x = 6, x = −1, x = −4}
Use o GeoGebra 4.x para encontrar as treˆs soluc¸o˜es da equac¸a˜o cu´bica
42 x3 − 71 x2 + 10 x+ 3 = 0.
ATIVIDADE 5
Neste exerc´ıcio aprenderemos como trabalhar com matrizes no GeoGebra 4.x. Vamos definir
as matrizes
A =
 1 2 31 0 1
1 2 1
 , B =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e C =
 12
3
 .
1
A := {{1, 2, 3}, {1, 0, 1}, {1, 2, 1}}
→ A :=
 1 2 31 0 1
1 2 1

2
B := {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}
→ B :=
 1 0 00 1 0
0 0 1

3
C := {{1}, {2}, {3}}
→ C :=
 12
3

Para somar, subtrair e multiplicar matrizes, basta usar os operadores “+”, “-” e “*” (ou
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 6
um espac¸o em branco):
4
A + B
→
 2 2 31 1 1
1 2 2

5
A − B
→
 0 2 31 −1 1
1 2 0

6
A B
→
 1 2 31 0 1
1 2 1

Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 7
7
A C
→
 144
8

Para calcular poteˆncias de matrizes, basta usar o operador “^”. Por exemplo, o comando
abaixo calcula a poteˆncia A10 = A · A · A · A · A · A · A · A · A · A da matriz A.
8
A∧10
→
 268640 353152 408704116064 152576 176576
176576 232128 268640

Tambe´m e´ poss´ıvel, no GeoGebra 4.x, multiplicar uma matriz por um escalar (nu´mero):
9
2 A
→
 2 4 62 0 2
2 4 2

Para calcular a transposta de uma matriz, basta usar o comando MatrizTransposta[...].
Os comandos Determinante[...] e MatrizInversa[...] calculam, respectivamente, o de-
terminante e a inversa de uma matriz.
10
MatrizTransposta[A]
→
 1 1 12 0 2
3 1 1

11
Determinante[A]
→ 4
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 8
12
MatrizInversa[A]
→

−1
2
1
1
2
0 −1
2
1
2
1
2
0 −1
2

(a) Considere a matriz
A =
[
0 −1
1 0
]
.
Calcule A5, A500 e A587. E´ poss´ıvel estabelecer uma fo´rmula geral?
Soluc¸a˜o. Definindo-se A := {{0, -1}, {1, 0}} no GeoGebra 4.x, os comandos A^5,
A^500 e A^587 permitem concluir que
A5 =
[
0 −1
1 0
]
, A500 =
[
0 1
1 0
]
e A587 =
[
0 1
−1 0
]
.
A regra geral e´ a seguinte:
An =

A, se n− 1 e´ divis´ıvel por 4,
−I, se n− 2 e´ divis´ıvel por 4,
−A, se n− 3 e´ divis´ıvel por 4,
I, se n e´ divis´ıvel por 4.
(b) Considere a matriz
A =

1 2 a 1
0 1 0 a
1 0 1 0
0 1 0 1
 .
Para quais valores de a, se e´ que existem, a matriz A possui uma inversa?
Soluc¸a˜o. Definindo-se
A := {{1, 2, a, 1}, {0, 1, 0, a}, {1, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 1}}
no GeoGebra4.x, o comando
Determinante[A]
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 9
nos da´ o valor do determinante da matriz A: a2− 2 a+ 1. Como uma matriz quadrada
na˜o e´ invers´ıvel se, e somente se, seu determinante e´ igual a zero, basta calcularmos os
valores de a para os quais a2 − 2 a+ 1 = 0. O comando
Resolver[a^2 - 2 a + 1 = 0, a]
nos da´ que a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o a2− 2 a+ 1 = 0 e´ a = 1. Assim, a matriz A na˜o
e´ invers´ıvel se, e somente se, a = 1. Assim, a matriz A e´ invers´ıvel se, e somente a 6= 1.
Escreva a soluc¸a˜o do Item (b) em uma mensagem no fo´rum da plataforma de nome “AE-04
do EP-15: Matrizes e Determinantes”. Na˜o se se esquec¸a de justificar sua resposta! Prazo
de entrega dessa atividade: 05/11/2014.
ATIVIDADE 6
Neste exerc´ıcio veremos como usar o GeoGebra 4.x para calcular derivadas e integrais (es-
tudadas no curso de Ca´lculo). Para derivar uma func¸a˜o de uma varia´vel, basta usar o
comando Derivada[...], como ilustram os exemplos a seguir.
1
Derivada[x∧2, x]
→ 2 x
2
Derivada[sen(t), t]
→ cos(t)
Derivadas de ordem superior podem ser calculadas usando-se uma variac¸a˜o da sintaxe do
comando Derivada[...]. Por exemplo, para calcular a derivada de ordem 4 da func¸a˜o
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/15 10
f(x) = x e(x
2), basta digitar Derivada[x exp(x∧2), x, 4].
3
Derivada[x exp(x∧2), x, 4]
→ 16 x5 e(x2) + 80 x3 e(x2) + 60 x e(x2)
Para calcular integrais, basta usar o comando Integral[...].
4
Integral[2 x, x]
→ x2 + c1
5
Integral[sen(t), t]
→ cos(t) + c2
Aqui, c1 e c2 representam constantes de integrac¸a˜o.
(a) Considere a matriz a func¸a˜o f(x) = sen(x). Calcule as derivadas de ordem 5, 500 e 587
de f . E´ poss´ıvel estabelecer uma fo´rmula geral?
(b) Sem usar o GeoGebra 4.x, qual deve ser a resposta do programa ao comando
Simplificar[Derivada[Integral[exp(-t∧2), t, 0, x], x]]?
Escreva a soluc¸a˜o do Item (a) em uma mensagem no fo´rum da plataforma de nome “AE-05
do EP-15: Derivadas e Integrais”. Prazo de entrega dessa atividade: 05/11/2014.
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ