III - Esforço axial

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Estácio de Sá - Res Mat II – Rubens Mitri 1 
 
 
 
III – Esforço axial 
Forças externas, esforços e deformações 
Forças axiais são aquelas aplicadas na direção do eixo da barra, gerando apenas esforços 
normais, como representa a Figura III.1. A barra se alonga ou encurta, conforme as 
forças sejam de tração ou compressão, e as faces das seções transversais permanecem 
paralelas, planas e normais ao eixo, como representa a Figura III.1b. A única 
componente de deformação presente é x . Esforços de tração são considerados positivos 
e de compressão são negativos. 
 
 a - Forças aplicadas b – esforço e deformação normal 
Figura III.1 Barra submetida a forças axiais 
Carregamento 
Forças axiais podem ser concentradas ou distribuídas ao longo do comprimento, como 
representa a Figura III.2. 
x
Fa
Fb
a
b
  
 a – Forças concentradas b – Forças distribuídas 
Figura III.2 – Elemento de treliça representado pelo seu eixo 
Diagrama de esforços normais 
São diagramas que ilustram a distribuição dos esforços normais. Quando as forças axiais 
são concentradas, o esforço normal é constante. Se houver forças axiais distribuídas ao 
longo da barra, o esforço normal varia na direção de x, conforme representa a Figura 
III.3. Note que os esforços estão sinalizados como positivos por serem de tração. 
FF
F F
+
DN
a b
 
a) Forças concentradas nas extremidades b) Forças nas extremidades e carregamento uniforme
Figura III.3 - Diagramas de esforços 
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Exemplos: Determinar a reação de apoio e a distribuição dos esforços normais (traçar os 
diagramas de esforços normais) 
 
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Equações de equilíbrio 
A Figura III.4a representa uma barra submetida a axiais forças Fa e Fb concentradas nas 
extremidades e a um carregamento axial distribuído n(x). A figura ressalta um segmento 
de comprimento dx, que representa a seção transversal mostrada em perspectiva na 
Figura III.4b. 
 
 
 b a- barra sob carregamento axial 
 
 
b – forças axiais em uma seção 
Figura III.4 – Equilíbrio em uma seção transversal 
 
A soma das forças que atuam na seção da Figura III.5b deve ser nula, de forma que 
podemos escrever: 
 
 
 0xF 0)(  NdxndNN (x) 
  dxdNn(x)  (III.1) 
 
 
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Distribuição de deformações 
Como as faces das seções transversais permanecem paralelas (Figura III.1b), x é 
constante em toda a seção, podendo ser calculada como1: 
 
 
 dx
dx
x

 (III.2)
 
Distribuição de tensões 
Se o material for homogêneo, a distribuição de deformação resulta em tensões 
constantes, como representa a Figura III.5. Tensões podem ser obtidas a partir da Lei de 
de Hooke como: 
 
 xx E σ
 (III.3)
 
 
esforço normal tensão normal deformação normal 
Seção transversal em perspectiva 
 
 esforço normal tensão normal deformação normal 
Seção transversal em vista lateral 
Figura III.5 Barra sob esforço, tensões e deformações axiais 
Cálculo de tensões e deformações axiais 
O esforço normal gera a componente de tensão x , que se distribui uniformemente ao 
longo da seção transversal, como mostra a Figura III.5, de forma que: 
 
 A
N
x  (III.4) 
 
As deformações normais podem ser obtidas a partir da alteração da geometria da seção 
transversal, conforme a equação (III.2), ou a partir das tensões e da lei de Hooke 
(equação (III.3) ). Assim escrevemos: 
                                                            
1 Note que deformações positivas são de alongamento assim como os esforços normais positivos são de tração. 
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 EA
N
E
x
x   (III.5) 
Alongamento da barra e deslocamentos 
Devido às deformações a barra sofre uma variação de comprimento  , que pode ser 
calculado integrando-se as variações elementares dx indicados na Figura III.1b, e que 
podem ser calculado a partir da equação (III.2). Assim, escrevemos a variação de 
comprimento como2: 
     00 dxdx x (III.6) 
Se desejarmos calcular o alongamento apenas de um trecho da barra, também podemos 
usar a equação (III.6), sendo que a integral deve ser feita apenas ao longo desse trecho, e 
não de todo o comprimento. 
 
Imagine, por exemplo, que três barras estejam interconectadas e submetidas a forças 
axiais aplicadas na junção entre elas, conforme ilustra a Figura III.6. As extemidades 
das barras serão denominadas nós, de forma que nos nós 2 a 4 estão aplicadas as forças 
F2 a F4
 
 e o nó 1 encontra-se apoiado, estando sujeito à reação R. A figura representa o 
conjunto de barras em sua configuração inicial (Figura III.6a) e após a aplicação das 
forças (Figura III.6b). Notamos que as barras sofreram alongamentos  , e que os nós 2, 
3 e 4 se deslocam para a direita, sofrendo respectivamente os deslocamentos 2u , 3u e 
4u . A figura também indica o deslocamento de um ponto P, situado a uma distância x 
da extremidade esquerda da barra 2. 
 
Figura III.6 –Deslocamentos devido a forças aplicadas 
                                                            
2 Note que se x for positivo teremos alongamento da barra e, se x for negativo, terememos encurtamento. 
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Notamos que o deslocamento do ponto 2 é igual ao alongamento da barra 1 e assim por 
diante, ou seja: 
 12 u ; 213   u ; 3214   u 
O deslocamento do ponto P situado na barra 2, por exemplo, é igual ao deslocamento 
do nó 2 mais o alongamento da barra entre o nó 2 e o ponto P, podendo ser calculado 
como: 
 
   x x 0102 )( dxdxuxu xx  
 (III.7)
 
Exemplos: Traçar o diagrama de esforços normais, e determinar a distribuição das 
tensões ( )(xx ), das deformações axiais ( )(xx ) e dos deslocamentos (u(x)) para as 
barras abaixo. Determinar também o deslocamento da extremidade b. Considere que o 
eixo x tem origem na extremidade esquerda dos elementos e o material é linear elástico 
com módulo de elasticidade 27 /10 mKNE  . 
x,u
y
a b
12 m
cmh 30
cmb 10
F=600 KN
a)
 
 
 
 
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Lista de exercícios 
Livro:Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
 Exemplos : 4.1 a 4.4 - pg 90 e 91 
Problemas: 4.1 a 4.30 – pg 91 a 95