Fundamentos de Mat. Financeira e Estat. Aplicada

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FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1 
Prezado aluno, 
 
Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém 
todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do 
conteúdo. 
Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da 
apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você 
encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a 
respeito de cada item. 
Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. 
A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um 
momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados 
devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. 
A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você 
deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma 
mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na 
disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções 
audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. 
Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais 
complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, 
artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento. 
Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e 
organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu 
aprendizado! 
Bons estudos! 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2 
Introdução 
O começo de uma solução bem-sucedida de um problema que envolva 
estatísticas está diretamente associado à correta prática da coleta de dados em 
campo. 
Um modelo corretamente desenvolvido, alimentado por dados ou parâmetros não 
representativos da realidade em questão, acaba sendo inútil para o 
desenvolvimento de uma solução. 
Esta aula apresenta os princípios e métodos que orientam a correta coleta e o 
tratamento de dados para modelagem e solução de problemas de natureza 
probabilística e também apresenta os métodos de amostragem que podem ser 
úteis na modelagem para solução desses problemas. 
 
Objetivo: 
1. Definir os princípios e métodos para coleta e tratamento de dados. 
2. Identificar os métodos de amostragem úteis na modelagem e solução de 
problemas. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3 
Conteúdo 
Coleta de Dados 
A coleta de dados começa com a escolha adequada das variáveis de entrada do 
sistema a ser analisado. Os dados são divididos em: 
 
Dados de entrada 
São os valores coletados em campo. 
 
Dados de saída 
São os valores processados de acordo com o modelo probabilístico selecionado 
para tratar um determinado problema. 
 
A coleta dos dados da amostra de uma população pode ser feita da seguinte 
maneira: 
 
Primeiro, marcamos uma linha imaginária na entrada do estabelecimento. 
 
Quando um cliente ultrapassá-la, é o momento de anotar o tempo atual do 
cronômetro, zerá-lo e dispará-lo novamente para a próxima coleta. Dessa 
maneira, é possível registrar os dados colhidos em uma tabela para que os 
mesmos sejam tratados. 
 
 
Atenção 
 Na construção de uma amostra, deve-se ter atenção aos 
seguintes cuidados práticos: 
• O tamanho da amostra deve estar entre 100 e 200 
observações; 
• Amostras com menos de 100 observações podem 
comprometer a identificação do melhor modelo 
probabilístico; 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4 
 
• Amostras com mais de 200 observações não trazem 
ganhos significativos ao estudo; 
• Coletar e anotar as observações na mesma ordem em 
que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise 
de correlação; 
• Avaliar se existe alguma suspeita de que os dados 
mudam em função do horário ou do dia da coleta. A 
coleta deve ser refeita em outros horários e dias; 
• Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita 
deve ser comprovada ou descartada estatisticamente. 
 
 
Tratamento dos Dados 
Utilizando as ferramentas da estatística descritiva, podemos explorar um 
conjunto de dados, de modo a compreendermos melhor um determinado 
fenômeno. Essa é a fase em que extraímos as medidas da variável aleatória em 
estudo: 
 
De posição (média, mediana, moda etc.). 
 
De dispersão (variância, amplitude etc.). 
 
A tabela a seguir resume as principais medidas de posição e dispersão obtidas 
a partir dos dados coletados no exemplo do banco: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5 
 
 
Ao observarmos a tabela, podemos notar um valor atípico. Com a média 
aritmética de 15,02 e a mediana 6, o valor 730 destoa do conjunto. 
Será que esse valor foi digitado de forma errada, foi originado de um erro 
operacional na coleta ou é um dado que realmente ocorreu? 
É conveniente considerar o valor discrepante ou seria aconselhável eliminar o 
dado do conjunto? O procedimento para filtrar anomalias de dados na coleta é 
chamado de identificar outliers ou, simplesmente, os pontos fora da curva. 
Iremos estudá-los a seguir. 
 
Pontos fora da curva 
As razões mais comuns para o surgimento de pontos fora da curva são algum 
erro na coleta de dados ou um evento raro e totalmente inesperado. Vejamos: 
 
Erro na coleta de dados 
Quando o levantamento de dados é feito por meio manual, este tipo de ponto 
fora da curva é o mais comum. 
Exemplo: Imagine que, durante a coleta de dados no banco, houve uma troca de 
pesquisadores. Quando o primeiro passou o cronômetro para o segundo, o 
cronômetro e a planilha não foram corretamente atualizados, o que resultou em 
um valor de 730 segundos entre um cliente e outro. Falhas em equipamentos de 
coleta de dados, problemas na conversão de arquivos, máquinas que suspendem 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6 
o serviço temporariamente por defeito, entre outros, são causadores clássicos de 
outliers. Quando descobrimos um outlier desse tipo, o mais correto é retirá-lo da 
amostra. 
 
Eventos raros 
Este é o tipo de outlier mais difícil de lidar. Nada impede que situações totalmente 
atípicas ocorram na nossa coleta de dados. 
A tabela a seguir compara o impacto de retirarmos ou não o outlier identificado, 
o valor 730, de nosso exemplo. Apesar de se tratar apenas de um valor em uma 
amostra de 100 valores no total, as distorções na média e na variância são 
significativas. 
 
 
 
 
Inferência 
Para o tratamento dos dados, além do cálculo dos outliers, é conveniente dispor 
os dados em classes e obter a distribuição de frequências em um histograma. 
Dessa maneira, é possível identificar visualmente o padrão que indica a 
distribuição dos dados. Com isso, conseguimos julgar quais valores devem ser 
eliminados pelo cálculo de outliers. 
Para agrupar os dados em classes é necessário calcular: 
 
O tamanho da classe; 
A quantidade de classes; 
Os limites de início e fim de cada classe; 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7 
A frequência (quantos valores se enquadram em cada uma delas). 
 
A definição do número de classes pode ser feita, por exemplo, pelo cálculo da 
raiz quadrada do número de elementos, no caso, 100 (10 classes), ou pela 
chamada regra de Sturges, que adota um número de classes igual a: 
 
 
 
Em que n é o número de observações na amostra: 
 
 
 
Para que cada classe seja definida é necessário calcular o seu tamanho (h). Isso 
é feito dividindo-se a amplitude da amostra pelo número de classes escolhido. 
Para o exemploque acabamos de ver, podemos escolher o número de classes 
igual a 10. 
Descartando o único valor realmente discrepante, 730, a amplitude da amostra 
é 28 (30-2). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8 
 
Atenção 
 Vejamos a distribuição das classes de frequências do exemplo do 
banco: 
 
 
 
Vejamos o histograma a seguir: 
 
 
 
Observando a distribuição de frequências no histograma, é possível inferir que 
esta se assemelha a uma distribuição exponencial. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9 
Análise exploratória dos dados de uma amostra 
Suponha que a média e a variância de uma população X que desejamos estudar 
não são conhecidas. Retiramos uma amostra de n elementos e estimamos esse 
parâmetro. 
Vejamos as fórmulas que devemos utilizar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção 
 Uma fórmula operacional mais simples para o cálculo do 
estimador da variância é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10 
Referências 
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 
São Paulo: Paz e Terra, 2007. 
LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005. 
PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In: Docência 
no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243. 
RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de 
estudantes de Licenciatura, 2008. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
Considere a tabela a seguir que contém dados de uma amostra com suas 
respectivas frequências absolutas. 
 
O estimador da variância da população é: 
a) 112,47 
b) 129,11 
c) 130,14 
d) 138,12 
e) 143,57 
 
Questão 2 
Utilizando a lei de Struges, calcule o número de classes para uma amostra 
contendo 300 dados. 
a) 12 
b) 11 
c) 8 
d) 10 
e) 9 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12 
Questão 3 
Considere a tabela a seguir contendo dados de uma amostra e obtenha os limites 
inferior e superior para identificação de outliers moderados. 
 
a) 245,45 e 496,12 
b) 268,26 e 462,83 
c) 277,52 e 465,72 
d) 254,75 e 480,75 
e) 285,38 e 479,36 
 
Questão 4 
Considere a tabela a seguir que sumariza estatísticas obtidas em várias provas 
realizadas por uma turma. Em qual prova essa turma teve o melhor desempenho? 
 
a) Inglês 
b) Lógica 
c) Economia 
d) Estatística 
e) Matemática 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13 
Questão 5 
Considere a tabela a seguir contendo dados de uma amostra e obtenha os limites 
inferior e superior para identificação de outliers extremos. 
 
a) 145,4 e 596,1 
b) 170,0 e 565,5 
c) 187,5 e 565,7 
d) 154,7 e 580,7 
e) 185,3 e 579,3 
 
Questão 6 
Foi observado que as alturas de 3.000 estudantes são normalmente distribuídas 
com média 172,72cm e desvio-padrão 7,62cm. Se forem obtidas 80 amostras 
com reposição de 25 estudantes cada uma, qual será a média esperada da 
distribuição amostral das médias? 
a) 168,57 cm 
b) 170,13 cm 
c) 167,34 cm 
d) 172,72 cm 
e) 169,38 cm 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14 
Questão 7 
Foi observado que as alturas de 3.000 estudantes são normalmente distribuídas 
com média 172,72cm e desvio-padrão 7,62cm. Se forem obtidas 80 amostras 
com reposição de 25 estudantes cada uma, qual será o desvio-padrão esperado 
da distribuição amostral das médias? 
a) 7,62 cm 
b) 1,524 cm 
c) 3,45 cm 
d) 2,456 cm 
e) 5,76 cm 
 
Questão 8 
Uma prévia eleitoral mostrou que certo candidato recebeu 46% dos votos. Em 
uma seção eleitoral determine qual o desvio-padrão obtido para uma amostra 
constituída de 1.000 pessoas selecionadas ao acaso entre a população votante. 
a) 0,0147 
b) 0,0232 
c) 0,0158 
d) 0,0213 
e) 0,0138 
 
Questão 9 
As lâmpadas do fabricante A têm duração média de 1.400 horas, com um desvio-
padrão de 200 horas, enquanto as do fabricante B têm duração média de 1.200 
horas, com um desvio-padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas amostras 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15 
aleatórias de 125 lâmpadas, qual o desvio-padrão da distribuição amostral das 
diferenças das médias? 
a) 19 
b) 21 
c) 22 
d) 25 
e) 20 
 
Questão 10 
As medidas de duas distâncias são 27,3m e 15,6m, com os desvios-padrão de 
0,16m e 0,08m, respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão da soma 
das distâncias. 
a) 40,8m e 0,23m 
b) 42,9m e 0,18m 
c) 41,5m e 0,21m 
d) 42,8m e 0,19m 
e) 41,9m e 0,18m 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16 
Aula 7 
Exercícios de fixação 
Questão 1 - B 
Justificativa: 
 
 
Questão 2 - E 
Justificativa: K=1+3,22 log10300=1+3,22 x 2,477121=8,97 ≈ 9 classes. 
 
Questão 3 - D 
Justificativa: Para obtermos os limites precisamos calcular Q1-1,5A e Q3+1,5A. 
Ordenando os dados, do menor para o maior, identificamos Q1=339,5 e Q3=396. 
A = Q3-Q1=56,5. Logo: Q1-1,5A=254,75 e Q3+1,5A=480,75 
 
Questão 4 - A 
Justificativa: O melhor desempenho foi na disciplina Inglês, pois além de obter a 
melhor média, também obteve a menor dispersão. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17 
Questão 5 - B 
Justificativa: Para obtermos os limites precisamos calcular Q1-3A e Q3+3A. 
Ordenando os dados, do menor para o maior, identificamos Q1=339,5 e Q3=396. 
A=Q3-Q1=56,5. Logo: Q1-3A=170 e Q3+3A=565,5. 
 
Questão 6 - D 
Justificativa: Como a população é muito grande em relação a amostra, podemos 
considerar o caso de população infinita com amostragem com reposição, então: 
 
 
Questão 7 - B 
Justificativa: Como a população é muito grande em relação a amostra, podemos 
considerar o caso de população infinita com amostragem com reposição, então: 
 
 
Questão 8 - C 
Justificativa: N=1.000, p=0,54 e q=0,46 
 
 
Questão 9 - E 
Justificativa: NA=NB=125, σ_A=100 e σ_B=200. 
 
 
Questão 10 - B 
Justificativa: 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19 
Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo 
Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia de 
Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de Automóveis 
pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e de várias 
Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de Graduação 
e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com pesquisa, 
desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa. 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/3689092970048757.