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Oitava Lista de Exercícios - Engenharia Civil Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I - IFSP 1o sem. - 2014 Prof. José Renato . Intervalos de crescimento e de decrescimento. Concavidade e pontos de inflexão. Máximos e Mínimos. Exercício 1: Estudar os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo. a) f(x) = x2 − 16 b) f(x) = x2 − 25 c) g(x) = x2 − 8x d) h(x) = 2x2−20x e) g(x) = x2−4x+10 f) f(x) = x2−2x+12 g) f(x) = x3 3 + x2 2 − 6x+ 5 h) h(x) = x 3 3 + 3x2 2 + 2x+ 7 i) g(x) = x3 + 5x2 2 − 2x+ 8 j) g(x) = x3 + 3x2 k) f(x) = x3 3 + 2x2 + 3x+ 2 l) f(x) = x+ 1 x m) y = e−x 2 Respostas: a) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 0]; crescente (estrit.) em [0, ∞[ c) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 4]; crescente (estrit.) em [4, ∞[ e) Decrescente (estrit.) em ]−∞, 2]; crescente (estrit.) em [2, ∞[ h) Crescente (estrit.) em ]−∞, −2] e [−1, +∞]; decrescente (estrit.) em [−2, −1] j) Crescente (estrit.) em ]−∞, −2] e [0, +∞]; decrescente (estrit.) em [−2, 0] l) Crescente (estrit.) em ]−∞, −3] e [−1, +∞]; decrescente (estrit.) em [−3, −1] Exercício 2: Seja f(x) = x2 − x 1 + 3x2 . Estude f com relação a crescimento e decrescimento. (Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, −1] e [1/3, +∞]; decrescente (estrit.) em [−1, 1/3]) Exercício 3: Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f(x) = x2 x2 − 1 . (Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, −1[ e ]− 1, 0]; decrescente (estrit.) em [0, 1[ e ]1, +∞[) Exercício 4: Enuncie o Teorema do Valor Médio (TVM). 1 Exercício 5: Estudar a demonstração do seguinte teorema: "Seja f contínua no intervalo I. Se f ′(x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I". Ver o livro do Guidorizzi, vol. 1, p. 231. Exercício 6: Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. a) f(x) = x2 + x− 20 b) y = x2 + 5x− 6 c) f(x) = −x2 + 7x− 6 d) f(x) = x3 − 3x2 − 9x e) y = 2x3 − x2 − 4x+ 1 f) y = x ex g) f(x) = x e−2x Exercício 7: Seja f(x) = e −x2 2 . Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão. (Resp.: Concavidade para cima em ]−∞, −1[ e em ]1, +∞]; concavidade para baixo em ]−1, 1[; pontos de inflexão: -1 e 1.) Exercício 8: Seja f(x) = x e 1 x . Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão. (Resp.: Concavidade para cima em ]0, ∞[; concavidade para baixo em ] − ∞, 0[; pontos de inflexão: não há.) Exercício 9: Seja f(x) = x ln(x). Estude f com relação à concavidade e pontos de inflexão. (Resp.: Concavidade para cima em ]0, ∞[; pontos de inflexão: não há. Lembre-se que a função analisada envolve uma função logarítmica.) Exercício 10: Derive g(x) = x2 + 4x + 10. Estude a função g com relação a máximos e mínimos. Exercício 11: Derive f(x) = 3x2 + 12x+ 25. Estude a função f com relação a máximos e mínimos. (Resp.: −2 é ponto de mínimo) Exercício 12: Derive f(x) = −4x2 + 32x− 14. Estude a função f com relação a máximos e mínimos. (Resp.: 4 é ponto de máximo) Exercício 13: Estudar as funções abaixo com relação a máximos e mínimos. a) g(x) = x2 + 5x+ 3 b) f(x) = 3x2 + 6x+ 8 c) h(x) = x3 3 − 3x 2 2 − 4x d) h(x) = x3 + 9x2 + 20 2 Respostas: a) −2, 5 é ponto de mínimo d) 0 é ponto de mínimo; e −6 é ponto de máximo Exercício 14: Consideremos a função f(x) = x3 3 − 2x2 + 3x + 10. Estude o intervalo de crescimento e decrescimento desta função. (Resp.: Crescente (estrit.) em ]−∞, 1] e [3, +∞]; decrescente (estrit.) em [1, 3]) Exercício 15: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f(x) = x3 3 − 5 2 x2+4x+3. (Resp.: 1 é ponto de máximo e 4 é ponto de mínimo) Aplicações Exercício 1: (Maximizando o lucro) Suponha que R(x) = 9x e C(x) = x3 − 6x2 + 15x, onde x representa milhares de unidades. Quais os níveis de produção que maximiza o lucro? (Resp.: 0, 586 e 3, 414 mil unidades) Exercício 2: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2 p é dado. (Resp.: p/2) Dica: Use a área do retângulo dado por x. y, onde x e y são os lados do retângulo; e use o perímetro de um retângulo, dado por P = 2x+ 2 y. Exercício 3: Um arame de comprimento L > 0 deve ser cortado em dois pedaços. Uma parte será dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra na forma de um círculo. Como deve ser cortado o fio de forma que a soma das áreas do quadrado e do círculo total englobada seja um mínimo? (Resp.: x = 4L pi + 4 ) Dica: Corte o arame num pedaço de tamanho x para fazer o quadrado e L−x para o círculo. Logo, x é o perímetro do quadrado e L− x é o perímetro do círculo. O lado do quadrado é x 4 e o raio do círculo é r = L− x 2pi . Assim, a área é A(x) = x2 16 + (L− x)2 4pi . Exercício 4: Uma empresa produz um produto com um custo mensal dado por f(x) = x3 3 − 2x2+10x+20. Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal? (Resp.: 7 unidades por mês) Exercício 5: Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado por C(x) = 5 + 2x+ 0, 01x2. A função de demanda mensal é p = −0, 05x+ 400. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? (Resp.: 3316, 7 unidades por mês) 3 Exercício 6: A função custo mensal de fabricação de um produto é C(x) = x3 3 −2x2+10x+1 e a função de demanda mensal do mesmo produto é p = 10−x. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? (Resp.: $ 8, 00) Exercício 7: Deseja-se construir uma área de lazer, com formato retangular, de 1600m2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo? (Queremos minimizar o perímetro P; e observe a dica do Exercício 9.) (Resp.: 40m) Exercício 8: A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 30x − x2 e seu custo é C(x) = 20 + 4x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro. (Resp.: 13) Exercício 9: Em Microeconomia, a função utilidade de um consumidor é aquela que dá o grau de satisfação de um consumidor em função das quantidades consumidas de um ou mais produtos. A função utilidade de um consumidor é U(x) = 10x . e−0,1x em que x é o número de garrafas de cerveja consumidas por mês. Quantas garrafas ele deve consumir por mês para maximizar sua utilidade (satisfação)? (Resp.: 10 garrafas) Exercício 10: Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima. (Resp.: 1/2 ) Exercício 11: Achar o ponto P0 situado sobre a hipérbole de equação x y = 1 e que está mais próximo da origem. (Resp.: P0 = (1, 1) e P0 = (−1,−1)) Exercício 12: O custo de produção de x unidades de uma certa mercadoria é a + bx e o preço de venda é c − dx por unidade, sendo a, b, c, d constantes positivas. Quantas unidades devem ser produzidas e vendidas para que seja máximo o lucro da operação? (Resp.: c− b 2d ) Exercício 13: Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 kg cada um. Cada porco aumenta de peso na proporção de 2,5 kg por dia. Gastam-se $ 2,00 por dia para manter o porco. Se o preço de venda está a $ 3,00 por kg e cai $ 0,03 por dia, quantos dias deve o fazendeiro aguardar para que seu lucro seja máximo? (Resp.: Aproximadamente 7 dias) Exercício 14: Uma lata cilíndrica aberta no topo deve conter 500 cm3 de líquido. O custo do material utilizado na base é de $2, 00 /cm2 e o material utilizado nos lados é de $3, 00 /cm2. Determine o raio que minimiza o custo de fabricação da lata? (Resp.: r = 3 √ 750 pi e h = 20 3 √ 36pi ) Dica: Temos área lateral igual a 2pirh e área da base pir2. O custo de fabricação é c = 6pirh + 2pir2. A restrição do volume é V = pir2h = 500, e assim eliminamos uma variável do custo fazendo, por exemplo, pirh = 500r . O custo fica em função de r, isto é, c(r) = 3000 r +2pir2. 4 Exercício 15: Um objeto com pesoW é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma cordapresa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo θ com o plano, então a grandeza da força é F = µW µsen(θ) + cos(θ) , onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e 0 ≤ θ ≤ pi 2 . Mostre que tg(θ) = µ é ponto crítico. Exercício 16: Pede-se construir um cilindro reto de área total S dada e cujo volume seja máximo. Dica: Temos área da base igual a pir2 e área lateral igual a 2pirh. Consequentemente temos a área total e assim podemos escrever h = S − 2pir2 2pir , com h > 0. O volume V do cilindro é V = pir2 S − 2pir2 2pir . Consequentemente, r = √ S 6pi e h = 2 √ S 6pi tornam V máximo. 5
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