C2Lista08 - Vera Lucia UFSCar

Prévia do material em texto

089206 - Ca´lculo 2
Oitava lista de exerc´ıcios
Profa Vera Lu´cia Carbone 12 de fevereiro de 2016
1. Calcule
dz
dt
nos itens abaixo.
(a) z = senxy, x = 3t, y = t2.
(b) z = x2 + 3y2, x = sen t, y = cos t.
(c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen 3t, y = cos 3t.
(d) z = f(x, y), x = t2, y = 3t.
(e) z = f(x, y), x = sen 3t, y = cos 2t.
2. (a) Sejam f(t) e g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis tais que g(t, f(t)) = 0, para todo t. Suponha que f(0) = 1,
∂g
∂x
(0, 1) = 2
e
∂g
∂y
(0, 1) = 4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).
(b) Seja F (x, y, z) = f
(
x
y
,
y
z
,
z
x
)
. Mostre que x
∂F
∂x
+ y
∂F
∂y
+ z
∂F
∂z
= 0.
3. Admita que, para todo (x, y),
x
∂f
∂x
(x, y)− y ∂f
∂y
(x, y) = 0.
Mostre que g(t) = f
(
t,
2
t
)
, t > 0, e´ constante.
4. Seja z = t2f(x, y), onde x = t2 e y = t3. Expresse
dz
dt
em termos das derivadas parciais de f .
5. Seja z = f(u− v, v − u).
(a) Verifique que
∂z
∂u
+
∂z
∂v
= 0.
(b) Prove que a func¸a˜o u = f(x+ at, y + bt), a e b constantes, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o as derivadas parciais
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
.
6. Suponha que f(x, y) seja de classe C1, f(1, 2) = −2, ∂f
∂x
(1, 2) = 3 e
∂f
∂y
(1, 2) = 4. Admita que a imagem da curva
γ(t) = (t2, 3t− 1, z(t)), t ∈ R, esteja contida no gra´fico de f .
(a) Calcule z(t).
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a γ no ponto γ(1).
7. Sejam f(x, y) diferencia´vel em (x0, y0), γ(t) uma curva diferencia´vel em t0, cuja imagem esta´ contida no gra´fico de f ,
com γ(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)). Mostre que a reta tangente a γ no ponto γ(t0) esta´ contida no plano tangente ao gra´fico
de f no ponto γ(t0).
1