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8/7/2015
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Capacitores 
Prof. Dr. Anderson Caproni
Capacitores
Definição
Propriedades
Capacitância
Cálculo de capacitância
Energia armazenada em capacitores
2Física Ger. Exp. III - Prof. Dr. A. Caproni
8/7/2015
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São dispositivos para armazenar cargas elétricas.
Capacitores
É caracterizado pela sua capacitância,
que depende da geometria e do
material (dielétrico) que separa as
placas condutoras.
Constituídos, normalmente, de duas placas condutoras
separadas por um meio isolante.
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Considere dois condutores carregando a mesma carga com
sinais opostos.
Capacitores
Entre os dois haverá uma diferença de
potencial, DV, normalmente chamada
de voltagem.
O que determina quanta carga há no
capacitor a uma dada voltagem?
Ou, qual é a capacidade do aparelho de armazenar carga a
uma dada DV?
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Experiências mostram que a quantidade de carga
armazenada em um capacitor é diretamente proporcional à
DV.
Capacitores
Esse dependência varia com a forma das placas e a
separação entre elas. Pode-se escrever, então:
A capacitância C de um capacitor é a razão entre a
quantidade de carga nos condutores que formam o capacitor
e o valor da diferença de potencial entre eles.
VQ D
VCQ D
V
Q
C
D

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A capacitância é sempre positiva e a mesma para um dado
capacitor.
Capacitores
A unidade de capacitância é, portanto, C/V, ou
simplesmente, faraday (F).
Os valores de capacitância são sempre baixos, da ordem de
10-6 a 10-12 F (1 mF a 1 pF).
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Capacitores
Exercício 1: Qual a diferença de potencial que deve ser
aplicada para produzir um acúmulo de 5,5 nC de carga
elétrica num capacitor de 200,0 pF? D VCQ
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  D  V129 100,200105,5



D


12
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100,200
105,5
V
V 5,27DV
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A capacitância pode ser determinada supondo uma carga
total Q e calculando o potencial conforme visto.
Capacitores
Para um condutor esférico isolado de carga total Q e raio
R (supondo o segundo condutor como uma casa esférica
de raio infinito):
K
R
RKQ
Q
V
Q
C 
D

RC 04
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






04
1

K
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Considere duas placas paralelas de área A separadas por uma
distância d, uma com carga Q e a outra com -Q devido à
diferença de potencial DV produzida por uma bateria.
Capacitores de Placas Paralelas
Conforme é carregado, os elétrons vão da placa positiva para a
negativa devido à aceleração produzida por DV.
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Note que o campo elétrico é constante longe das bordas e muito
pouco intenso fora do capacitor.
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Mantendo DV e d fixos, se a área das placas for aumentada, a
quantidade de carga que pode ser armazenada também aumenta,
pois:
Capacitores de Placas Paralelas
 Gauss de Lei
D placaEV
QA
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







A
Q


0 cte
0

A
Q
dA
0000 

  EA
q
E
q
EA
q
AdE

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Por outro lado, se diminuirmos a distância entre as placas de tal
forma que não haja tempo dos elétrons se redistribuírem devido a
esta ação, o campo elétrico entre as placas deve permanecer o
mesmo. Assim,
Capacitores de Placas Paralelas
Diferença entre esta nova voltagem no capacitor e aquela nos
terminais da bateria cria um campo elétrico nos fios que levará
mais carga às placas do capacitor, aumentando a ddp entre as
placas.
EdV D
 sdEsdE
d
placa
sdEV 


D 
0
cte
D
D
d
V
EEdV
D Vd
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dEplaca
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Quando a ddp entre as placas volta a ser a mesma daquela
fornecida pela bateria, a ddp no fio cai a zero e o fluxo de
elétrons através deste é parado (sistema entra novamente em
equilíbrio).
Capacitores de Placas Paralelas
Portanto, quanto menor a distância entre as placas, maior a
carga armazenada no capacitor.
Resumindo:
QA Qd
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Calculando C para capacitor de placas paralelas:
Capacitores de Placas Paralelas
densidade de carga em cada placa:
para placas muito próximas entre si (condição
análoga a um capacitor formado por duas placas
paralelas infinitas), podemos considerar o campo
elétrico uniforme entre as placas e nulo fora.
A
Q

A
Q
E
00 


A
Qd
EdV
0
D

D

AQd
Q
V
Q
C
0 d
A
C 0


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Capacitores de Placas Paralelas
Exercício 2: um capacitor de placas paralelas tem uma área
de 2,0 x 10-4 m2 e uma separação entre as placas de 1,0 mm.
Qual é a sua capacitância?
d
A
C 0














3
4
12
101
102
1085,8C
  F1077,1 12C pF77,1C
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Capacitor Cilíndrico
Exercício 3: calcule a capacitância de um capacitor constituido de
um condutor cilíndrico sólido de comprimento l, raio a e carga Q
coaxial com uma casca cilíndrica de espessura desprezível, raio
b>a e carga - Q.
r
r
KrEE r ˆ2ˆ



 

D

b
a
ab
ab
sdEVV
VV
Q
V
Q
C

com,
Se l >> b, efeitos de borda podem ser desprezados. Neste caso,
pode-se mostrar através da lei de Gauss que o campo elétrico na
região entre os cilindros é análogo a de um fio infinito, ou seja:
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  














r
E
l
rlE
q
EA
q
AdE
00
00
2
2







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Capacitor Cilíndrico
Exercício 3 (continuação):
Por outro lado, o vetor deslocamento ds em coordenadas
cilíndricas está dado por:
kdzrdrdrsd ˆˆˆ  
Assim,
 dzErdEdrEsdE zr 
    





 dzrddr
r
K 002  dr
r
KsdE 







2

Portanto,






 
b
a
b
a
ab dr
r
KsdEVV

2







 
b
a
dr
r
K
1
2 
   b
a
rK ln2    abK lnln2 







a
b
K ln2 
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Capacitor Cilíndrico
Exercício 3 (continuação):
A densidade linear de carga  é igual a Q/l. Consequentemente:
Assim,













a
b
l
Q
K
a
b
KVV ab ln2ln2 



ab VV
Q
C 






a
b
l
Q
K
Q
ln2 






a
b
K
l
C
ln2
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Capacitor Esférico
Exercício 4: calcule a capacitância de um capacitor composto de
uma casca condutora esférica de raio b e carga -Q concêntrica a
um condutor sólido esférico de raio a e carga Q.

b
a
rab drEVV
 





D

ab
ab
KQ
Q
VV
Q
V
Q
C
ab
2r
Q
KEr 
 
b
a
b
b
ab
r
dr
KQdr
r
Q
KVV
22













ab
KQ
r
KQ
b
a
111
 abK
ab
C


   
ab
ab
KQ
ab
ba
KQ



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Suponha que num dado instante no processo de carga de um
capacitor este possua uma carga q.
Energia em Capacitores
O trabalho necessário para transferir uma quantidade de
carga dq da placa carregada com carga –q para a outra com
carga q é:
dq
C
q
VdqdW D
 
Q
dq
C
q
W
0
Neste mesmo instante, a diferença de potencial através do
capacitor é DV = q/C.
O trabalho total necessário para carregar um capacitor com
carga inicial zero até carga final Q é calculado através de:

Q
qdq
C
0
1






Q
q
C
0
2
2
1







2
0
2
1 22Q
C C
Q
W
2
2

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O trabalho W realizado para carregar o capacitor com carga
Q aparece na forma de energia potencial elétrica U
armazenada neste, tal que:
Energia em Capacitores
ou ainda,
C
Q
UW
2
2

 2
2
1
VCU D
onde foi usada a relação Q = CDV.
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Energia em Capacitores
Exercício 5: Qual o valor da energia potencial elétrica
armazenada num capacitor de 200,0 pF sujeito à uma diferença de
potencial de 27, 5 V?
  D 2
2
1
VCU
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     212 5,27100,200
2
1
J 1056,7 8U
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Energia em Capacitores
Exercício 6: Determine a energia potencial elétrica por unidade
de volume armazenada em um capacitor de placas paralelas em
função do campo elétrico produzido na região entre as placas.
 2
2
1
VCU D
EdV D
d
A
C 0
Energia potencial elétrica:
Diferença de potencial no capacitor:
Capacitância num capacitor de placas paralelas:
Assim,
  D 2
2
1
VCU   




 2
0
2
1
Ed
d
A
   20
2
1
EAdU 
A energia potencial elétrica por unidade de volume uE, ou
simplesmente, densidade de energia elétrica, está dado por:

Vol
U
uE
 

Vol
EAd 20
2
1
  

Ad
EAd 20
2
1

2
0
2
1
EuE 
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Exercícios extras para fixação de conteúdo
E1: Um capacitor de placas paralelas tem uma área de 2,0×10-4 m2 e uma separação entre as
placas de 3,0 mm. Qual é a sua capacitância?
.
23Física Ger. Exp. II - Prof. Dr. A. Caproni
E2: Considere dois capacitores, um cilíndrico de comprimento L, e outro esférico. Ambos os
capacitores possuem raio interno igual a 5,8 mm e raio externo igual a 9,3 mm. Qual deve ser o
valor de L para que as capacitâncias destes capacitores sejam iguais?
E3: Considere um capacitor esférico de raio interno Ri e raio externo Re.
a) Calcule a razão entre o raios externo e interno deste capacitor se o seu raio externo é de
0,25 cm, e ele armazena uma quantidade de carga elétrica de 8,0 nC quando submetido a
uma ddp de 110,0 V?
b) Qual a quantidade de energia armazenada pelo capacitor nas condições do item a)?
c) Mostre que se a razão Ri / Re for muito maior que um, o valor de sua capacitância tende à
40Ri.
E4: Calcule a intensidade do campo elétrico produzido no interior de um capacitor de placas
paralelas circulares de raio 0,50 mm, separadas por uma distância de 0,08 mm, e que armazena
uma quantidade de energia 0,0026 J. O que acontece com a intensidade do campo elétrico se
diminuirmos a separação das placas por um fator 2?
E5: Realize o experimento virtual sobre capacitor de placas paralelas encontrado no link
http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/capacitor-lab, verificando as relações entre
capacitância, área e distância das placas, carga elétrica e energia armazenada.