Física I 2015 IFUSP - Lista 8

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Oitava lista de exerc´ıcios
F´ısica I (4302111) — IFUSP 2015
(cap´ıtulo 11)
Ao resolver os problemas e questo˜es abaixo, preocupe-se em registrar seu racioc´ınio, assim como as
hipo´teses assumidas e as principais passagens matema´ticas. Se o problema for nume´rico, obtenha pri-
meiro uma resposta alge´brica e fac¸a as contas apenas no final.
Questo˜es:
1. Se voceˆ veˆ um corpo girando, ha´ necessariamente um torque sobre ele? Explique.
2. Estrelas originam-se como grandes corpos de ga´s girando lentamente. Por causa da gravidade, esses
aglomerados de ga´s diminuem de tamanho lentamente. O que acontece com a velocidade angular
de uma estrela quando ela encolhe? Explique.
3. Uma menina tem um ca˜o grande e do´cil que deseja pesar em uma pequena balanc¸a de banheiro.
Ela acha que pode determinar o peso de seu ca˜o da seguinte maneira: primeiro, ela coloca as patas
dianteiras na balanc¸a (deixando as de tra´s no cha˜o) e registra a leitura; depois ela coloca apenas
as patas traseiras. Ela acha que a soma dessas medidas resultara´ no peso do ca˜o. Ela esta´ correta?
Explique.
4. Por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar?
5. Se o aquecimento global continuar durante os pro´ximos 100 anos, e´ prova´vel que parte significativa
do gelo polar derreta e a a´gua seja distribu´ıda mais perto do equador. (a) Como isso mudaria o
momento de ine´rcia da Terra? (b) A durac¸a˜o do dia (uma revoluc¸a˜o) aumentaria ou diminuiria?
6. Uma barra gira no plano vertical em torno de um eixo horizontal que passa
pelo ponto A. Um volante, preso na outra extremidade da barra, pode girar
livremente em torno de um pivoˆ localizado no seu centro, como mostra a figura.
Uma faixa vertical e´ pintada no volante; a` medida que a barra gira no sentido
hora´rio, essa faixa vertical permanece vertical. (a) O momento angular de
translac¸a˜o do volante, em relac¸a˜o ao ponto A, e´ zero ou diferente de zero? Se
for diferente de zero, qual sua direc¸a˜o e sentido? (b) O momento angular de
rotac¸a˜o do volante, em relac¸a˜o ao ponto A, e´ zero ou diferente de zero? Se for
diferente de zero, qual sua direc¸a˜o e sentido? (c) Considere agora um sistema
parecido, mas com o volante soldado a` barra, de forma que na˜o pode girar em
torno do pivoˆ que o prende a ela. Como isso afetaria suas respostas anteriores?
Problemas:
1. Uma viga uniforme, repousada sobre dois pinos, tem comprimento
L = 6, 0 m e massa M = 90 kg. Ha´ dois pinos de apoio, um
na extrema esquerda da barra, outro localizado a uma distaˆncia
d = 4, 0 m da extremidade esquerda. Uma mulher de massa m = 60
kg comec¸a a caminhar sobre ela, a partir da extremidade esquerda
(veja a figura ao lado).
1
(a) Esboce um diagrama de forc¸as para a viga, posicionando a mulher a uma distaˆncia x gene´rica
a` direita do primeiro pino, que e´ a origem. (b) Que condic¸a˜o define ate´ onde ela pode caminhar,
sem que a viga tombe? (c) Encontre a posic¸a˜o xm ma´xima da mulher, para que a viga na˜o tombe.
.
2. Suponha que voceˆ na˜o consiga levantar mais que 650 N
sem ajuda. (a) Quanto voceˆ pode levantar, usando um
carrinho de ma˜o que pesa 80 N cujo centro de gravidade
esta´ a 0, 50 m do centro da roda? Suponha que o centro
de massa da carga transportada tambe´m esteja a 0, 50
m do centro da roda. (b) De onde vem a forc¸a que o
capacita a levantar mais de 650 N usando o carrinho de
ma˜o?
.
3. Uma pedra de massa igual a 2, 0 kg possui uma velocidade horizon-
tal com mo´dulo igual a` 12 m/s quando esta´ no ponto P da figura
ao lado. (a) Nesse instante, qual e´ o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido do
momento angular da pedra, em relac¸a˜o ao ponto O? (b) Caso a
u´nica forc¸a que atue sobre a pedra seja seu peso, qual e´ a taxa
de variac¸a˜o (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) do momento angular nesse
mesmo instante?
4. Sob determinadas circunstaˆncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto
extremamente denso, constitu´ıdo principalmente por neˆutrons e chamado estrela de neˆutrons. A
densidade de uma estrela de neˆutrons e´ aproximadamente 1014 vezes maior que a da mate´ria comum.
Podemos pensar em um modelo para essa estrela, no qual ela e´ sempre representada por uma esfera
macic¸a e homogeˆnea. O raio inicial da estrela era de 7, 0× 105 km (compara´vel com o raio do sol);
seu raio final e´ igual a 16 km. Supondo que a estrela original completava um giro em 30 dias, e que
sua massa permanec¸a aproximadamente constante, ache a rapidez angular da estrela de neˆutrons.
5. Uma bolinha presa a um fio de massa desprez´ıvel gira em torno
de um eixo vertical com rapidez constante, mantendo-se a uma
distaˆncia d = 0, 5 m do eixo; o aˆngulo θ e´ igual a 30o. O fio passa
praticamente sem atrito atrave´s do orif´ıcio O existente em uma
placa, e e´ puxado lentamente para cima ate´ que o aˆngulo θ passe a
ser 60o. (a) Que comprimento do fio foi puxado? (b) de que fator
variou a rapidez angular?
.
6. Quatro discos iguais de massa m ocupam os ve´rtices de uma
armac¸a˜o quadrada formada por quatro barras r´ıgidas de compri-
mento ` e masssa desprez´ıvel. O conjunto esta´ sobre uma mesa
de ar horizontal, podendo deslocar-se sobre ela livremente, pratica-
mente sem atrito. Exerce-se um impulso instantaˆneo ~P sobre uma
das massas, na direc¸a˜o de uma das diagonais do quadrado (veja a
figura ao lado). Descreva completamente o movimento subsequente
do sistema.
7. Um disco com uma massa de 80, 0 g e um raio de 4, 00 cm desliza ao longo de uma mesa de ar com
uma rapidez de 1, 50 m/s como mostrado na figura. Ele faz uma colisa˜o obl´ıqua com um segundo
disco tendo raio 6, 00 cm e massa 120 g (inicialmente em repouso) de forma que suas bordas apenas
se toquem. Como suas bordas esta˜o revestidas com uma cola de ac¸a˜o instantaˆnea, os discos ficam
grudados e giram apo´s a colisa˜o (ver figura a seguir).
2
1,50 m/s
(a) (b)
(a) Qual e´ a magnitude do momento angular do sistema em relac¸a˜o ao centro de massa?
(b) Qual e´ a rapidez angular ao redor do centro de massa?
.
8. Um taco de hoquei encontra-se ca´ıdo, em repouso, sobre a pista
de gelo. Um disco de hoquei bate no taco, perpendicularmente
ao cabo, com rapidez v0, conforme a figura, a uma distaˆncia R do
centro de massa do taco. Como o processo de colisa˜o e´ praticamente
instantaˆneo, e´ razoa´vel assumir que o impulso trocado entre o taco
e o disco tenha a mesma direc¸a˜o da velocidade inicial do disco
(perpendicular ao cabo do taco, digamos, na direc¸a˜o x). Sejam m1
e m2 as massas do disco e do taco, respectivamente, I2 o momento
de ine´rcia do taco com relac¸a˜o ao seu pro´prio centro de massa, v e
V as rapidezes finais do disco e do c.m. do taco, respectivamente,
e ω a rapidez angular do taco em torno do seu pro´prio c.m., apo´s
a colisa˜o. Desprezando o atrito com o gelo e supondo que a colisa˜o
seja aproximadamente ela´stica:
(a) Determine a velocidade do centro de massa (vcm) do sistema taco + disco, e a altura ycm deste
centro de massa com relac¸a˜o ao cm do taco. (b) Escreva as equac¸o˜es de conservac¸a˜o de momento
linear, angular e energia cine´tica em termos dos paraˆmetros de massa, momento de ine´rcia, rapidezes
linear e angular, e da varia´vel R.
Sabe-se que, para determinado valor de R, a velocidade final do disco v se anula. Supondo que
m1 = 170g, m2 = 3m1, e I2 = 0, 1 kg m
2 (em relac¸a˜o ao CM do taco), determine: (c) A expressa˜o
para a rapidez angular ω e a rapidez linear V do taco, neste caso, em func¸a˜o de v0 e m1 e I. (d)
O valor de R.
9. Um io-ioˆ e´ feito usando-se dois discos uniformes, cada um com massa m e raio R, ligados por
um eixo leve de raio b. Um fio leve e fino e´ enrolado diversas vezes em torno do eixo e a seguir
e´ mantido fixo enquanto o io-ioˆ e´ liberado do repouso, caindo verticalmente a` medida que o fio
desenrola. Calcule a acelerac¸a˜o linear e a acelerac¸a˜o angular do io-ioˆ, assimcomo a tensa˜o no fio.
10. Problema desafio: Um truque curioso consiste em pressionar uma bolinha de gude sobre uma
superf´ıcie plana, de tal forma que ela e´ lanc¸ada para a frente com uma rapidez inicial v0, mas
com uma rapidez angular inicial “ao contra´rio”, em torno de um eixo horizontal perpendicular a`
v0. O coeficiente de atrito cine´tico entre o aro e o piso e´ conhecido, constante e igual a` µc. O
raio da bolinha e´ R. (a) Se a bolinha desliza ate´ que termina completamente parada, qual era a
sua rapidez angular ω0, em termos de v0 e R? (b) Se a bolinha desliza para a frente ate´ parar
momentaneamente, e enta˜o volta rolando em sua direc¸a˜o, com uma rapidez final constante de 3
7
v0,
qual era a sua rapidez angular ω0, em termos de v0 e R? Dado: momento de ine´rcia de uma
esfera homogeˆnea em torno de um diaˆmetro e´ 2/5 MR2. Lembre-se que, quando um corpo rola sem
deslizar, ha´ uma relac¸a˜o entre a sua rapidez de translac¸a˜o e a sua rapidez de rotac¸a˜o em torno de
um eixo perpendicular a` velocidade, v = ωR.
Respostas:
3
1. (c) x = M/m(d− L/2) + d = 5, 5 m.
2. (a) 1740 N.
3. (a) 115 kg m2/s; perpendicular ao papel, ⊗; (b) 128 N m; perpendicular ao papel, �.
4. ωf = 4640 rad/s.
5. (a) 0, 60 m; (b) de um fator 2, 1.
6. O CM desloca-se com velocidade constante ~Vcm = ~J/4m; O sistema gira em torno do CM com
velocidade angular ω = | ~J |
√
2/(4m`).
7. (a) L = 72 000 g cm2/s e (b) ω = 9, 47 rad/s.
8. (a) ~vcm =
v0
4
iˆ e ycm =
R
4
; (b) momento linear (direc¸a˜o x): m1 v0 = m1 v +m2 V ; conservac¸a˜o da
energia cine´tica: m1 v
2
0 = m1 v
2 +m2 V
2 + I2 ω
2; conservac¸a˜o do momento angular (em relac¸a˜o ao CM do
taco): m1 v0R = I2 ω +m1 v R; (c) supondo v = 0: V = v0/3; ω =
√
2m1
3 I
v0 e R =
√
2I
3m1
= 0, 63
m.
9. a =
2 g
2 + (R/b)2
; α =
2 g
2b+R2/b
; T =
2mg
2(b/R)2 + 1
.
Desafio: (a) ω0 =
2
5
v0
R
; (b) ω0 = 4
v0
R
.
4