PF 2014-1+ Resolução

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[UFES-CCE-DMAT-Prova FINAL-Ca´lculo1-Equipe-manha˜, 04/05/14]
Leia a prova com atenc¸a˜o e justifique todas as respostas.
1. (2,0) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x) = 3x4 − 8x3 indicando: interceptos com os eixos
coordenados, comportamentos no infinito, intervalos de crescimento e decrescimento, valores
ma´ximos e mn´imos locais, intervalos de concavidades e pontos de inflexa˜o.
Sol.: f(x) = 0 ⇒ 3x4 − 8x3 = 0 ⇒ x3(3x− 8) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 8
3
. Ale´m disso f(0) = 0.
Logo, o gra´fico de f intersecta os eixos coordenados nos pontos (0, 0), (8
3
, 0).
Comportamento no infinito: lim
x→∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = +∞.
Como f ′(x) = 12x3 − 24x2 = 12x2(x − 2), enta˜o, f ′(x) > 0 se x > 2 e f ′(x) < 0 se x < 2 e
x 6= 0. Portanto, f e´ crescente em (2,∞) e e´ decrescente em (−∞, 2). f na˜o tem ma´ximos
locais e tem um mn´imo local em x = 2, que e´ −16.
Como f ′′(x) = 36x2− 48x = 12x(3x− 4), enta˜o, f ′′(x) > 0 se x > 4
3
ou se x < 0 e f ′′(x) < 0 se
0 < x < 4
3
. Portanto, f e´ coˆncava para cima em (4
3
,∞) e em (−∞, 0) e e´ coˆncava para baixo
em (0, 4
3
). f tem pontos de inflexa˜o em x = 0 e x = 4
3
.
2. (1,0) Determine o ponto do gra´fico de f(x) =
√
x mais pro´ximo de (3, 0).
Sol.: A distaˆncia de um ponto do gra´fico de f ao ponto (3, 0) e´ dada pela func¸a˜o d(x) =√
(x− 3)2 + (√x)2. Como d′(x) = 2x− 5
2
√
x2 − 5x + 9, enta˜o d
′(x) > 0 se x > 5
2
e d′(x) < 0 se
x < 5
2
. Com isso o valor mı´nimo de d ocorre em x = 5
2
e o ponto do gra´fico de f mais pro´ximo
de (3, 0) e´
(
5
2
,
√
5
2
)
.
3. (2,0) Um cocho tem 6 m de comprimento, e suas extremidades teˆm a forma de triaˆngulos
iso´celes com 1 m de base e 0, 5 m de altura. Se o cocho preenchido com a´gua a uma taxa
de 1, 2 m3/min, qua˜o ra´pido o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando ela estiver a 0, 3 m de
profundidade?
Sol.:
1
O volume de a´gua no cocho em func¸a˜o de h (ver figura) e´ V (h) = 6h2. Pela regra da cadeia
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
. Logo, 1, 2 = 12h
dh
dt
. Resolvendo esta equac¸a˜o para h = 0, 3 temos que
dh
dt
=
1
3
m/min.
4. (1,0) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = lnx, y = 0 e x = e.
Sol.: A a´rea e´ dada por
∫ e
1
lnx dx = x(lnx− 1) |e1 = 1.
5. (3,0) Calcule
(a) lim
x→1+
(
x
x− 1 −
1
lnx
)
Sol.: Usaremos L’Hospital.
lim
x→1+
(
x
x− 1 −
1
lnx
)
= lim
x→1+
x lnx− x + 1
(x− 1) lnx
L′H
= lim
x→1+
lnx
lnx + x−1
x
= lim
x→1+
x lnx
x lnx + x− 1
L′H
=
1
2
.
(b)
d
dx
(
ln(sen(3x)
ex
)
Sol.:
d
dx
(
ln(sen(3x)
ex
)
=
3 cos (3 x)− ln (sen (3 x)) sen (3 x)
ex sen (3 x)
(c)
∫
xsen(x) cos(x)dx
Sol.:
∫
xsen(x) cos(x)dx = −1
4
cos (2 x) x +
1
8
sen (2 x) + c
2