Lista 5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1
Lista 5: quinta semana
1. Usando a Regra de L’Hospital, calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→2
x− 2
x2 − 4
(b) lim
x→+∞
5x2 − 3x
7x2 + 1
(c) lim
x→0
sen(5x)
x
(d) lim
x→1
x3 − 1
4x3 − x− 3
(e) lim
x→+∞
2x2 + 3x
x3 + x+ 1
2. Usando a Regra de L’Hospital quando for conveniente, calcule cada um dos limites abaixo.
(a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
(b) lim
x→0+
xe
1
x
(c) lim
x→∞
e3x
x2
(d) lim
x→0
1− cosx
x2
(e) lim
x→1
lnx
sen(πx)
(f) lim
x→0
x− sen x
x− tg x
(g) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x)
(h) lim
x→+∞
√
x2 + 2√
2x2 + 1
(i) lim
x→+∞
(lnx)2
x
(j) lim
x→0+
sen x lnx
(k) lim
x→0+
(
1
x
+ lnx
)
(l) lim
x→∞
x3e−4x
(m) lim
x→+∞
(x− lnx)
(n) lim
x→1−
e
1
x2−1
x− 1
3. Encontre um valor de c para que a função f(x) =
{
9x− 3sen(3x)
5x3
, se x 6= 0
c, se x = 0
seja contínua em x = 0.
4. Determine os pontos críticos (extremos) da função dada e os classifique em ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.
(a) f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 + 3
(b) f(x) = 3
√
x3 − 2x+ 1
(c) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1
(d) f(x) =
1
x4 + 2x3 + x2 + 1
(e) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1
(f) f(x) = x2e−5x
5. Considere a função f(x) = 1 + |x2 − 5x+ 6|. Verifique que f admite pontos de mínimo global e de máximo local, mas não admite
pontos de máximo global. Cuidado: a função f não é derivável em todos os pontos de seu domínio.
6. Determine os valores de máximos e mínimos, caso existam, da função dada no intervalo dado. Note que agora cada função está
definida em um intervalo fechado, ou seja, o Teorema de Weierstrass pode ser aplicado.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1, em [−2, 3].
(b) f(x) =
x5
5
− x
4
2
− x3 + 4x2 − 4x+ 1, em [−3, 3].
(c) f(x) = sen x− cosx, em [0, π].
(d) f(x) = 3
√
x3 − 2x2, em [−1, 2].
7. Suponha que a derivada da função f seja f ′(x) = (x − 1)2(x − 2). Em quais pontos, se houver algum, o gráfico de f apresenta um
mínimo local, um máximo local ou um ponto de inflexão?
8. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima.
9. Encontre o ponto sobre a curva y =
2
x
, x > 0, que está mais próximo da origem.
10. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento.
Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser
cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
11. Pretende-se construir um reservatório de água de formato cônico, sem tampa, com capacidade de 1000m3. Determine as dimensões
que este reservatório que minimizam a quantidade de material usado em sua fabricação.
12. Uma folha de aço de 10 metros de comprimento e 4 metros de largura é dobrada ao meio para fazer um canal em forma de V de 10
metros de comprimento. Determine a distância entre as margens do canal, para que este tenha capacidade máxima.
13. Um fóton (raio de luz) parte de um ponto A para um ponto B sobre um espelho plano, sendo refletido quando passa pelo ponto P .
Estabeleça condições para que o caminho APB seja o mais curto possível.
14. Para quais valores de a e b a função f(x) = x3 + ax2 + b tem um extremo local no ponto P = (−2, 1)?
15. Considere o conjunto de todos os retângulos que podem ser desenhados na região limitada delimitada pelo eixo das abscissas e a
parábola y = 4− x2. Para qual valor de x se obtém o retângulo de maior área e qual é esta área?
16. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a) 6x4 − 20x3 − 6x2 + 72x+ 12
(b) ln(x2 + 1)
(c)
x4
4
+ 5x
3
3 + 4x
2
(d)
4x
x2 + 4
(e)
x+ 1
x2 + 2x+ 1
− 2x
(f) (x+ 2)2(x− 1)3
(g) x2
√
3− x2
(h) 2x2 +
2
x2
(i) 3
√
x(x+ 2)−2/3
17. Estude a função dada no que diz respeito à máximos e mínimos locais e globais.
(a) f(x) =
x
1 + x2
(b) f(x) = xe−2x
(c) f(x) = ex − e−3x
(d) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3
(e) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2
(f) f(x) = −x3 + 3x2 + 4, x ∈ [−1, 3]
(g) f(x) = e
x− 1
x2
(h) f(x) = 3
√
x3 − x2
2
18. Para cada uma das funções abaixo,
(a) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
(b) encontre os valores de máximo e mínimo locais de f ;
(c) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(1) f(x) = x3 − 12 + 1
(2) f(x) = 5− 3x2 + x3
(3) f(x) = x4 − 2x2 + 3
(4) f(x) =
x2
x2 + 3
(5) f(x) = sen x+ cosx, 0 ≤ x ≤ 2π
(6) f(x) = cos2 x− 2sen x, 0 ≤ x ≤ 2π
(7) f(x) = e2x + e−x
(8) f(x) = x2 lnx
(9) f(x) =
lnx√
x
(10) f(x) =
√
xe−x
19. Suponha que f(3) = 2, f ′(3) =
1
2
, f ′(x) > 0 e f ′′(x) < 0 para todo x.
(a) Esboce um gráfico possível de f .
(b) Quantas soluções a equação f(x) = 0 tem? Por quê?
(c) É possível que f ′(2) =
1
3
? Por quê?
20. Suponha que a derivada da função f seja f ′(x) = (x+ 1)2(x− 3)5(x− 6)4. Em quais intervalos f está crescendo?
21. Foram esboçados abaixo os gráficos das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função f . Sabendo que o gráfico de f passa
pelo ponto P , apresente uma aproximação do gráfico de f .
22. Para cada uma das funções abaixo,
(a) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
(b) encontre os valores de máximo e mínimo locais de f ;
(c) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
(d) calcule os limites no infinito e, quando necessários, limites laterais (é necessário calcular os limites laterais de f em p sempre
que p não pertencer ao domínio de f mas for extremo de um dos intervalos que compõem o domínio de f );
(e) use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico de f .
(1) f(x) = x3 − 3x2 + 1
(2) f(t) = t2 +
1
t
(3) f(x) =
x
1 + x2
(4) f(x) =
1 + x2
1− x2
(5) f(x) =
√
x2 + 1− x
(6) f(x) = e−x
2
(7) f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1)
(8) f(x) = x4 − 2x3 + 2x
(9) f(x) =
x3
1 + x2
(10) f(x) = xtg x, −π2 ≤ x ≤
π
2
(11) f(x) =
lnx
x
(12) f(x) = ln(1− lnx)
(13) f(x) =
ex
1 + ex
23. Mostre que a equação x3 − 3x2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Dica: estude o gráfico da função f(x) = x3 − 3x2 + 6.
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