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Universidade Federal do Maranhão - DEMAT
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III
Lista de Exerćıcios
1. Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de
R$ 2,50 para fabricar a caixa pequena, R$ 4,00 para uma caixa média e R$ 4,50 para uma caixa
grande. Os custos fixos são de R$ 8000.
(a) Expresse o custo da fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes como
uma função de três variáveis: C = f(x, y, z).
(b) Encontre f(3000, 5000, 4000) e interprete-a.
(c) Qual o domı́nio de f?
2. Determine e esboce o domı́nio de f .
a) f(x, y) =
√
x+ y b) f(x, y) =
√
xy c) f(x, y, z) = ln(16− 4x2 − 4y2 − z2)
d) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2) e) f(x, y) =
√
x2 − y2
3. Esboce o gráfico de f .
a) f(x, y) =
√
4x2 + y2 b) f(x, y) = 2− y c) f(x, y) = 1 + 2x2 + 2y2
d) f(x, y) = 9− x2 − 9y2 e) f(x, y) =
√
4− 4x2 − y2 f) f(x, y) = 10− 4x− 5y
4. Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de ńıvel.
a) f(x, y) =
√
y2 − x2 b) f(x, y) = (y − 2x)2 c) f(x, y) = x2 + 9y2
d) f(x, y) =
√
x+ y e) f(x, y) = x3 − y f) f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2
5. Descreva as superf́ıcies de ńıvel da função.
a) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2
6. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
a) lim
(x,y)→(1,2)
(5x3 − x2y2) b) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y8
c) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
d) lim
(x,y)→(1,−1)
e−xy cos(x+ y) e) lim
(x,y)→(1,0)
ln
(
1 + y2
x2 + xy
)
f) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
g) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz
x2 + y2 + z2
h) lim
(x,y)→(1,0)
xy − y
(x− 1)2 + y2
i) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
j) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2x
2x2 + y2
k) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
l) lim
(x,y,z)→(π,0,1)
ey
2
tg (xz)
7. Determine o maior conjunto no qual a função é cont́ınua.
(a) F (x, y) =
xy
1 + ex−y
(b) F (x, y) = cos
√
1 + x− y
(c) F (x, y) =
1 + x2 + y2
1− x2 − y2
(d) H(x, y) =
ex + ey
exy − 1
(e) G(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)
(f) f(x, y, z) = arcsin(x2 + y2 + z2)
(g) f(x, y, z) =
√
y − x2 ln z
(h) f(x, y) =

x2y3
2x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
(i) f(x, y) =

xy
x2 + xy + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
8. Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é da função f cujo gráfico é um cone. O outro
é para uma função g cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê?
9. Se f(x, y) =
√
4− x2 − y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0), interprete esses números como inclinações
e faça um esboço gráfico.
10. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) = ln(x+
√
x2 + y2); fx(3, 4)
(b) f(x, y) = arctg (y/x); fx(2, 3)
(c) f(x, y, z) =
y
x+ y + z
; fy(2, 1,−1)
(d) f(x, y, z) =
√
sen 2x+ sen 2y + sen 2z; fz(0, 0, π/4)
(e) f(x, y, z) = exyz
2
; fxyz
(f) g(r, θ) = erθsen θ;
∂3g
∂r2∂θ
(g) F (α, β) =
∫ β
α
√
1 + t3dt; Fβ
(h) u = xy/z;
∂2u
∂y∂z
11. Verifique se a função u = e−α
2k2t sen kx é solução da equação de condução do calor ut = α
2uxx.
12. Verifique se a função u = 1/
√
x2 + y2 + z2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional
uxx + uyy + uzz = 0.
2
13. No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido
em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função
T (x, t) = T0 + T1e
−λx sen (ωt− λx),
em que ω = 2π/365 e λ é uma constante positiva.
(a) Determine ∂T/∂x. Qual seu significado f́ısico?
(b) Determine ∂T/∂t. Qual seu significado f́ısico?
(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor Tt = kTxx para uma certa constante k.
14. Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata ciĺındrica fechada com 4cm de
diâmetro e 10 cm de altura se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura e
o das laterais tem espessura de 0,05cm.
15. Prove que toda função z = f(x, y) diferenciável no ponto (x0, y0) é cont́ınua nesse ponto. [Dica:
Verifique que lim(h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)=0.]
16. Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Calcule suas derivadas parciais de primeira ordem no ponto (0, 0).
(b) Verifique que f não é cont́ınua no ponto (0, 0).
(c) Conclua que f não é diferenciável no ponto (0, 0).
17. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y)
da função naquele ponto.
(a) f(x, y) = 1 + x ln(xy − 5), (2, 3) (b)f(x, y) = x3y4, (1, 1)
(c) f(x, y) =
x
x+ y
, (2, 1) (d) f(x, y) = e−xy cos y, (π, 0)
(e) f(x, y) = y + sen (x/y), (0, 3)
18. Se z = f(x, y), onde f é diferenciável, determine dz/dt quando t = 3, sabendo que x = g(t), y = h(t),
g(3) = 2, h(3) = 7, g′(3) = 5, h′(3) = −4, fx(2, 7) = 6 e fy(2, 7) = −8.
19. Use a Regra da Cadeia para encontrar dz/dt ou dw/dt.
(a) z = x2 + y2 + xy, x = sen t, y = et
(b) z = cos(x+ 4y), x = 5t2, y = 1/t
(c) z =
√
1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t
(d) z = arctg (y/x), x = et, y = 1− e−t
(e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
(f) z = ln
√
x2 + y2 + z2, x = sen t, y = cos t, z = tg t
20. Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sen t, ∂z/∂s e ∂z/∂t
(b) z = sen θ cosφ, θ = st2, φ = s2t, ∂z/∂s e ∂z/∂t
3
(c) z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2, ∂z/∂s e ∂z/∂t
(d) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ vew, ∂z/∂u, ∂z/∂v, ∂z/∂w
quando u = 2, v = 1 e w = 0.
(e) u =
√
r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂t
quando x = 1, y = 2 e z = 0.
(f) N =
p+ q
p+ r
, p = u+ vw, q = v + uw, r = w + uv, ∂N/∂u, ∂N/∂v, ∂N/∂w
quando u = 2, v = 3 e w = 4.
(g) w = xy + yz + xz, x = r cos θ, y = r sen θ, z = rθ, ∂w/∂r, ∂w/∂θ,
quando r = 2 e θ = π/2.
21. O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado
momento, as dimensões são l = 1m, w = h = 2m, l e w estão aumentando a uma taxa de 2m/s
enquanto h está decrescendo a uma taxa de 3m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as
seguintes quantidades estão variando.
(a) O volume
(b) A área de superf́ıcie
(c) O comprimento da diagonal
22. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(a) f(x, y) = ex sen y, (0, π), v = (−6, 8)
(b) f(x, y) =
x
x2 + y2
, (1, 2), v = (3, 5)
(c) g(r, s) = arctg (rs), (1, 2), v = (5, 10)
(d) h(r, s, t) = ln(3r + 6s+ 9t), (1, 1, 1), v = (4, 12, 6)
23. Próximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas (x, y) é z = 200+0, 02x2−0, 001y3,
onde x, y e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto
(80, 60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais
profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.
24. Determine os valores de máximos e mı́nimos locais e pontos de sela da função.
a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2 b) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y
c) f(x, y) = (x− y)(1− xy) d) f(x, y) = xe−2x2−2y2
e) f(x, y) = y3 + 3x2y − 6x2 − 6y2 + 2 f) f(x, y) = ey(y2 − x2)
g) f(x, y) = xy(1− x− y) h) f(x, y) = x3 − 12xy + y3
i) f(x, y) = xy + 1
x
+ 1
y
j) f(x, y) = ex cos y
k) f(x, y) = y cosx l) f(x, y) = (x2 + y2)ey
2−x2
m) f(x, y) = sen x cos y, −π < x < π, −π < y < π
25. (a) Mostre que a função f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2 tem um número infinito de pontos cŕıticos e
que D = 0 em cada um.
(b) Mostre que f tem um mı́nimo local (e global) em cada ponto cŕıtico.
26. Determine os valores máximo e mı́nimo globais de f no conjunto D.
4
(a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x, D é a região triangular fechada com vértices (0, 2), (2, 0) e (0.− 2).
(b) f(x, y) = x+ y − xy, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (0, 2) e (4, 0).
(c) f(x, y) = x2 + y2x2y + 4, D = {(x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1}
(d) f(x, y) = 4x+ 6y − x2 − y2, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}
(e) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0≤ y ≤ 2}
27. Mostre que a função
f(x, y) = −(x2 − 1)2 − (x2y − x− 1)2
só tem dois pontos cŕıticos, ambos de máximo local.
28. Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano x+ y + z = 1.
29. Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm3 que tenha área de superf́ıcie mı́nima.
30. Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor posśıvel.
31. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões que
minimizem a quantidade de papelão utilizado.
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