Material auxiliar - Transf. Geométricas e Coord. Homogêneas

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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - motivação
Desenhos/gráficos complexos podem ser feitos
pela composição de primitivas simples. Através
de transformações geométricas básicas
(translação, escalamento e rotação) é possível
posicionar as primitivas para compor o
desenho/gráfico.
As transformações podem ser utilizadas para
dar “movimento” ao desenho/gráfico.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 284
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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - 2D
� Translação 2D: transladar ponto dx unidades
na direção x e dy unidades na direção y.
Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’)
o ponto transladado temos:
� Em notação vetorial
( )



=


=


′
′
=′
+=+=′
y
x
P
d
d
T
y
x
P
PTPddTP
y
x
yx
,,
,
y
x
dyy
dxx
+=′
+=′
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 285
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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - 2D
� Exemplo Translação 2D
� Transladar de (3; -4) os pontos :
(4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 286
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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - 2D
� Escalamento 2D: Escalar ponto sx unidades na
direção x e sy unidades na direção y.
Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’)
o ponto escalado temos:
� Em notação vetorial
� Observe as relações entre distâncias entre
pontos:



=


=


′
′
=′
⋅=⋅=′
y
x
P
s
s
S
y
x
P
PSPssSP
y
x
yx
,
0
0
,
),(
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) yxxx
yxxyxx
xxx
sssyyxxsysysxsxs
yysxxsysysxsxs
xxsxsxs
==−+−=⋅−⋅+⋅−⋅
−+−=⋅−⋅+⋅−⋅
−⋅=⋅−⋅
,
)(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
22
1
2
1
12
2222
2222
12
ysy
xsx
y
x
⋅=′
⋅=′
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Transformações Geométricas
	 Transformações Geométricas - 2D
 Exemplo Escalamento 2D
 Escalar de 2 uniformemente os pontos:
(-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
 Escalar de 1/2 uniformemente os pontos:
(-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
 Escalar de 1/2 uniformemente os pontos:
(4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - 2D
� Exemplo Escalamento 2D
� Escalar de 1/2 em x e 1/4 em y os pontos:
(4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
� Observe que o escalamento é em torno da
origem. No dois últimos casos a casa fica
menor e mais próxima da origem.
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Transformações Geométricas
 Transformações Geométricas - 2D
� Rotação 2D: Rodar em torno da origem de um
ângulo θ na direção anti-horária.
� Em notação vetorial



=

 −
=


′
′
=′
⋅=⋅=′
y
x
P
sen
sen
S
y
x
P
PRPRP
,
cos
cos
,
)(
θθ
θθ
θ
θθ
θθ
cos
cos
⋅+⋅=′
⋅−⋅=′
ysenxy
senyxx
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 290
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Transformações Geométricas
� Transformações Geométricas - 2D
� Rotação 2D:
θ
α
(x, y)
(x', y')
r
r
( ) ( )
( )
( )
yxsenx
senrrsenysensen
r
y
ysenxx
senrsenrxsensen
r
x
sensensen
sensen
r
y
sen
r
x
r
y
sen
r
x
yxr
⋅+⋅=′
⇒⋅⋅+⋅⋅=′⇒⋅+⋅=
′
⋅−⋅=′
⇒⋅⋅−⋅⋅=′⇒⋅−⋅=
′
⋅+⋅=+
⋅−⋅=+
′
=+
′
=+
==
+=
θθ
αθαθθααθ
θθ
αθαθαθαθ
θααθαθ
αθαθαθ
αθαθ
αα
cos
coscoscoscos
cos
coscoscoscos
coscos
coscoscos
,cos
,cos
22
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 291
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Transformações Geométricas
� Coordenadas Homogêneas 2D - representação
matricial
� Ponto em coordenadas cartesianas (x,y) é
representado em coordenadas homogênea por
(W x,W y, W)
� A representação em coordenadas homogêneas
permite a representação das transformação
geométricas básicas na forma matricial:
y
x
x
yx
dyy
dxx
y
x
d
d
y
x
PTPddTP
y
+=′
+=′
















=








′
′
⋅=⋅=′
1100
10
01
1
),(
( )
ysy
xsx
y
x
s
s
y
x
PSPssSP
y
x
y
x
yx
⋅=′
⋅=′
















=








′
′
⋅=⋅=′
1100
00
00
1
,
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
cos
cos
1100
0cos
0cos
1
)(
⋅+⋅=′
⋅−⋅=′















 −
=








′
′
=′
⋅=⋅=′
ysenxy
senyxx
y
x
sen
sen
y
x
P
PRPRP
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____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
� Composição de transformações
� Translações sucessivas
� Escalamentos sucessivos
( ) ( )PTTPTTP
y
x
dd
dd
y
x
d
d
d
d
y
x
PTTP
yy
xx
y
x
y
x
⋅=⋅=′
















+
+
=
























=








′
′
⋅⋅=′
1212
11
12
1
1
2
2
12
1100
10
01
1100
10
01
100
10
01
1
( ) ( )PSSPSSP
y
x
ss
ss
y
x
s
s
s
s
y
x
PSSP
yy
xx
y
x
y
x
1212
12
12
1
1
2
2
12
1100
00
00
1100
00
00
100
00
00
1
⋅=⋅=′
















⋅
⋅
=
























=








′
′
⋅⋅=′
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 293
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Transformações Geométricas
� Composição de transformações
� Rotações sucessivas
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )PRRPRRP
x
x
sen
sen
x
x
sensensensen
sensensensen
y
x
sen
sen
sen
sen
y
x
PRRP
⋅=⋅=′
















++
+−+
=
















⋅+⋅−⋅+⋅
⋅−⋅−⋅−⋅
=















 −







 −
=








′
′
⋅⋅=′
2121
1
1
1212
1212
1
1
2121212
12121212
11
11
22
22
21
1100
0cos
0cos
1100
0coscoscoscos
0coscoscoscos
1100
0cos
0cos
100
0cos
0cos
1
θθθθ
θθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθ
θθ
θθ
θθ
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 294
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
� Composição de transformações
� Rotação em torno de um ponto P1 arbitrário
� Transformação composta
T(x1,y1) R(θ) T(-x1,-y1)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 295
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Transformações Geométricas
� Composição de transformações
ff Rotação e escalamento em torno de um ponto
P1 arbitrário
ff Transformação composta
T(x1,y1) R(θ) S(sx,sy ) T(-x1,-y1)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 296
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Transformações Geométricas
fi Composição de transformações
fl Regras de comutação
T1 . T2 = T2 . T1 (translação translação)
S1 . S2 = S2 . S1 (escalamento ecalamento)
R1. R2 = R2. R1 (rotação escalamento)
ffi Para escalamento uniforme
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx = sy)
fl Não comutam
ffi T1.R1≠R1.T1 (translação rotação )
ffi T1.S1≠S1.T1 (translação escalamento)
ffi Para escalamento não uniforme
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx ≠ sy)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 297
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Transformações Geométricas
� Transformações 3D
 Translação
 Escalamento
( )
z
y
x
z
y
x
zyx
dzz
dyy
dxx
z
y
x
d
d
d
z
y
x
PTPdddTP
+=′
+=′
+=′
















=








′
′
′
⋅=⋅=′
11000
100
010
001
1
,,
( )
zsz
ysy
xsx
z
y
x
s
s
s
z
y
x
PSPsssSP
y
y
x
z
y
x
zyx
⋅=′
⋅=′
⋅=′
















=








′
′
′
⋅=⋅=′
11000
000
000
000
1
,,
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 298
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
! Transformações 3D
" Rotação em torno eixo z
" Rotação em torno do eixo x
( )
zz
ysenxy
senyxx
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
PRPRP zz
=′
⋅+⋅=′
⋅−⋅=′















 −








′
′
′
=′
⋅=⋅=′
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
cos
cos
11000
0100
00cos
00cos
1
( )
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
cos
cos
11000
0cos0
0cos0
0001
1
⋅+⋅=′
⋅−⋅=′
=′
















−








′
′
′
=′
⋅=′
zsenyz
senzyy
xx
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
PRP x
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 299
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____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
# Transformações 3D
$ Rotação em torno eixo y
( )
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
cos
cos
11000
0cos0
0010
00cos
1
⋅+⋅−=′
=′
⋅+⋅=′
















−







′
′
′
=′
⋅=⋅=′
zsenxz
yy
senzxx
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
PRPRP yy
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 300
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____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
% Composição 3D
& Composição arbitrária de rotações,
escalamentos e translações
rij - agrega as rotações e escalamentos
tk - agregas as translações
























′
′
′
=′
⋅=′
110001
333231
232221
131211
z
y
x
trrr
trrr
trrr
z
y
x
P
PMP
z
y
x
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 301
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Transformações Geométricas
' Transformação 3D
( Exemplo: transformar os segmentos P1P2 e P1P3
da posição inicial para a posição final (P1 na
origem e P1P2 alinhado com eixo z, P1P3
quadrante positivo do plano (y,z))
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 302
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Transformações Geométricas
) Transformações
* A combinação arbitrária de translações, rotações
e escalamentos resulta em uma matriz de
transformação da forma (caso 3D)
*
onde a matriz 3x3 superior esquerda é a
combinação dos escalamentos e rotações
*
e o vetor (tx, ty, tz)
T é a combinação das
translações.








1000
333231
232221
131211
z
y
x
trrr
trrr
trrr
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 303
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
+ Exercício 1
Demonstre que se os vetores (colunas da matrix
3x3 superior esquerda)
forem unitário e linearmente independentes, a
transformação
preserva distâncias e ângulos.








1000
333231
232221
131211
z
y
x
trrr
trrr
trrr
























33
23
13
32
22
12
31
21
11
,
r
r
r
e
r
r
r
r
r
r
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 304
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
, Exercício 1 (cont.)
Considere
Assim, a condição de preservação de distânciaspode ser dada por:
E a condição de preservação de ângulos pode
ser dada por:








=








=








=
1
,
1
,
1
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
z
y
x
P
z
y
x
P
z
y
x
P








=
1000
333231
232221
131211
tzrrr
tyrrr
txrrr
T
( ) ( )1212 PTPTPP ⋅−⋅=−
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )1312
1312
1312
1312
PTPTPTPT
PTPTPTPT
PPPP
PPPP
⋅−⋅⋅⋅−⋅
⋅−⋅⋅⋅−⋅
=
−⋅−
−⋅−
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 305
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Transformações Geométricas
- Exercício 2
Demonstre que a composição de uma ou mais
transformações de de rotação preserva distância
e ângulo.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 306
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____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
. Exercício 3
Demonstre que a composição translações e
rotações preserva distância e ângulo.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 307
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____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
/ Exercício 4
Demonstre que no caso geral a transformação
não preserva distância e ângulo, porém preserva
paralelismo.
Supondo 4 pontos, P1, P2, P3 e P4, a condicão
de paralelismo pode ser dada por:








=
1000
333231
232221
131211
tzrrr
tyrrr
txrrr
T
( ) ( ) 03412 ≠−=− αα PPPP
P2
P1
P4
P3
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 308
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Transformações Geométricas
0 Projeção
1 A transformação de um objeto 3D para o
espaço imagem 2D é denominada projeção.
1 A projeção de um objeto 3D é definida por
linha projetoras que emanam do centro de
projeção, passam por cada ponto do objeto. A
interseção deste projetores com o plano de
projeção definem o que é denominado de
projeção do objeto.
1 Projeção Planar: a projeção no plano é
denominada de projeção planar. No caso
genérico, o plano pode ser substituído por uma
superfície qualquer.
1 Projeção perspectiva: o centro de projeção
localiza-se a uma distância finita do plano de
projeção
1 Projeção paralela: a distância entre o centro de
projeção e o plano de projeção é infinita
(centro de projeção no infinito).
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 309
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Transformações Geométricas
2 Projeção Planar Perpectiva
A
B
A'
B'
Plano de Projeção
Centro de Projeção
Projetor
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 310
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Transformações Geométricas
3 Projeção Planar Paralela
A
B
A'
B'
Plano de Projeção
Centro de Projeção
no infinito
Projetor
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 311
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Transformações Geométricas
4 Projeção Perpectiva - classificação
5 As projeções perspectiva podem ser
classificadas pelo número de eixos (X, Y e Z)
que o plano de projeção interseciona:
6 Perspectiva de 1 ponto
6 Perspectiva de 2 pontos
6 Perspectiva de 3 pontos
5 A projeção perpectiva de qualquer conjunto de
retas paralelas para aos eixos e não paralelas ao
plano de projeção convergem para um ponto
ponto de perspectiva (vanishing point).
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 312
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Transformações Geométricas
7 Projeção Perpectiva - classificação
8 Perspectiva de um ponto (no eixo Z)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 313
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Transformações Geométricas
9 Projeção Perpectiva - classificação
: Perspectiva de 2 pontos (eixos X e Z)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 314
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Transformações Geométricas
; Projeção Paralela - classificação
< As projeções paralelas podem ser classificadas
dependendo da relação entre a direção de
projeção e a norma do plano de projeção.
= Projeção ortográfica: vetor direção de projeção
e a normal do plano de direção são paralelos. A
direção de projeção é perpendicular ao plano de
projeção.
= Projeção oblíqua : o vetor direção de projeção a
a norma do plano não são paralelos. A direção
de projeção não é perpendicular ao plano de
projeção.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 315
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Transformações Geométricas
> Projeção Perspetiva
(Matriz de transformação)
? Considerações:
@ Plano de projeção normal ao eixo Z na posição
 z = d
@ Centro de projeção no origem
Pp = (xp , yp , zp)
d
X
Y
Z
P
 
= (x , y , z)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 316
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Transformações Geométricas
A Projeção Planar Perspetiva
 (Matriz de transformação)
Olhando na direção X (Y é análogo)
Podemos deduzir por semelhança de triângulos
que, as relações entre ponto projetado e original
são:
X
Z
P = (x , y , z)
Pp = (xp , yp , zp)
d
xp
x
z
d
z
y
z
ydy
z
y
d
y
d
z
x
z
xdx
z
x
d
x
p
p
p
p
=⋅=⇒=
=⋅=⇒=
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 317
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Transformações Geométricas
B Projeção Planar Perspetiva
 (Matriz de transformação)
A Matriz de transformação é portanto:
Pois:
Homogeneizando (dividindo por w) e pegando
o ponto em coordenadas cartesianas










=
0100
0100
0010
0001
d
M per










=








′
′
′
⇒








⋅










=⋅=








′
′
′
d
z
z
y
x
w
z
y
x
z
y
x
d
PM
w
z
y
x
per
10100
0100
0010
0001












=







′
′
′
=








d
d
z
y
d
z
x
w
z
w
y
w
x
z
y
x
p
p
p
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 318
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Transformações Geométricas
C Projeção Ortográfica
(Matriz de transformação)
D Considerações:
E Plano de projeção normal ao eixo Z na posição
 z = 0
E Direção projeção paralela a Z
Z
X
Y
P = (x , y , z)
Pp = (xp , yp , zp)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 319
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Transformações Geométricas
F Projeção Ortogonal
 (Matriz de transformação)
As coordenadas dos pontos projetadas são
dadas por:
A matriz de projeção é portanto:
Pois:
O ponto projetado em coordenadas cartesianas é
dado por:
0,, === ppp zyyxx








=
1000
0000
0010
0001
ortM








=








′
′
′
⇒








⋅








=⋅=








′
′
′
1
0
11000
0000
0010
0001
y
x
w
z
y
x
z
y
x
PM
w
z
y
x
per








=








′
′
′
=








0
y
x
z
y
x
z
y
x
p
p
p
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 320
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Transformações Geométricas
G Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
H Síntese se imagens por computador pode ser
entendido como o processo que transforma uma
representação 3D de uma cena em uma imagem
2D.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 321
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Transformações Geométricas
I Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
J Uma cena em geral é composta de
K Um ou mais objetos que serão visualizados (por
exemplo: mesas, cadeiras, etc…)
K Uma ou mais fontes de luz. É necessário
especificar pelo menos uma fonte de luz para
que se possa visualizar a cena, que de outra
forma estaria escura, produzindo uma imagem
totalmente preta.
K Uma câmera (virtual) para capturar a imagem. A
definição da câmera estabelece entre outros o
tamanho da imagem (formato do filme), o tipo
de projeção (o tipo de lente). Assim como na
vida real, o posicionamento relativo da câmera e
os objetos da cena definem que porção da cena
aparecerá na imagem.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 322
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Transformações Geométricas
L Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
M Os objetos a serem visualizado são definidos
por sua forma (geometria) e aparência
(atributos ópticos - opacidade, cor, textura,
etc.).
M
 Assim, no que se refere a geometria, para a
composição da cena é necessário:
1 Especificar a geometria (forma) dos objetos
(por exemplo: mesa, cadeira)
2. Posicionar os objetos na cena (por exemplo,
mesa no centro, quatro cópias da cadeira em
volta).
M A área da computação gráfica voltada para os
problemas associado à especificação da
geometria é denominada Modelagem
Geométrica ou Modelagem de Sólidos (para
objetos que ocupam um volume).
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 323
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Transformações Geométricas
N Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
O Uma maneira simples e bastante usual na
Computação Gráfica para a modelagem
geométrica é a denominada representação
poligonal. Nesta representação uma superfície é
representada por um conjunto de polígonos, em
geral, planares (triângulos, quadrados, …).
O Por exemplo, um cubo pode ser representado
por seis polígonos, sendo que cada polígono é
representado por um conjunto de vértices. O
polígono é formado traçando as linha que unem
os vértices na seqüência, sendo que o último é
conectado ao primeiro.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 324
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Transformações Geométricas
P Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
Q Exemplo - cubo
Q Vértices
R V1 (-0,5; -0,5; -0,5)
R V2 ( 0,5; -0,5; -0,5)
R V3 ( 0,5; 0,5; -0,5)
R V4 (-0,5; 0,5; -0,5)
R V5 (-0,5; -0,5; 0,5)
R V6 ( 0,5; -0,5; 0,5)
R V7 ( 0,5; 0,5; 0,5)
R V8 (-0,5; 0,5; 0,5)
Q Polígonos
R P1 (V1, V2, V3, V4)
R P2 (V5, V8, V7, V6)
R P3 (V4, V3, V7, V8)
R P4 (V2, V6, V7, V3)
R P5 (V1, V4, V8, V5)
R P6 (V1, V5, V6, V2)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 325
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Transformações Geométricas
S Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
T Exemplo - cubo
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 326
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Transformações Geométricas
U Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
V É possível a criação de objetos mais complexos
a partir de primitivas (elementos geométricos
básicos pré-definidos) ou objetos mais simples
através da aplicação de transformaçãoe
geométricas.
V Exemplo: Uma mesa poderia ser criada
utilizando-se 5 cubos como objetos de
construção. Um cubo seria o tampo e os outros
quatro as pernas.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 327
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Transformações Geométricas
W Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
X As transformações geométricas utilizadas na
construção de objetos e o posicionamento
destes na cena são denominadas, no contexto do
processo de síntese de imagens, de
transformações de modelagem (geométrica).
X Após a transformação de modelagem, todos os
objetos da cena estão em um sistema de
coordenadas denominado sistema de
coordenadas de mundo (3D world coordinate
system).
X O sistema de coordenadas original do objeto é
denominado de sistema de coordenadas de
modelagem.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 328
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Transformações Geométricas
Y Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
Z Após o posicionamento relativo dos objetos na
cena é necessário determinar o posicionamento
destes em relação àcâmera virtual. As
transformação necessárias para tal são
denominadas de transformação de
visualização.
Z Observe que a câmera (plano imagem e tipo
projeção) define um volume de visualização
(somente objetos dentro deste volume
aparecerão na imagem final).
Z Para a especificação da câmera são, em geral,
especificados ainda um plano frontal e um
traseiro que limitam o volume de visualização.
Z Após a transformação de visualização, temos os
objetos no denominado sistema de
coordenadas de visualização (view coordinate
system / camera coordinate system / eye
coordinate system)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 329
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Transformações Geométricas
[ Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
\ Volume de visualização - projeção perspectiva
Posição da
Câmera
Plano frontal
Plano traseiro
Volume de
Visualização
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 330
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Transformações Geométricas
] Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
^ Volume de visualização - projeção ortográfica
Direção da
Câmera
Plano frontal
Plano traseiro
Volume de
Visualização
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 331
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Transformações Geométricas
_ Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
` Para facilitar os cálculos das porções visíveis de
objetos parcialmente dentro do volume de
visualização pode-se transformar o sistema de
coordenadas de visualização para sistema
normalizado de projeção através de
transformação de normalização que
normaliza o volume de visualização
transformando-o em um cubo de aresta 1.
` Após a transformação de normalização as
coordenadas dos objetos estão no denominado
sistema de coordenadas de visualização
normalizadas ou apenas sistema de
coordenadas normalizadas.
` Finalmente os objetos são projetados para o
sistema de coordenadas da imagem
normalizada.
` Antes da rasterização final pode se fazer faz-se
necessária uma transformação 2D para as
coordenadas do dispositivo ou janela.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 332
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Transformações Geométricas
a Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
b Visão Geral:
Transformação
de Modelagem
(Modeling)
Transformação
de
Visualização
(Viewing)
Transformação
de
Normalização
(Normalizing)
Projeção e
mapeamento
para o
dispositivo
(Projection)
Coordenadas
de Modelagem
(Modeling
Coordinates)
Coordenadas
de Mundo
(World
Coordinates)
Coordenadas
de Visualização
(View
Coordinates)
Coordenadas
Normalizadas
(Normalized
Coordinates)
Coordenadas
de Dispositivo
(Device
Coordinates)