Transformacoes_Geometricas

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Profª. Raquel Frizera Vassallo
Transformações Geométricas
● Desenhos ou gráficos complexos podem ser feitos pela 
composição de primitivas simples. Através de transformações 
geométricas básicas (translação, escalamento e rotação) é 
possível posicionar as primitivas para compor o desenho ou 
gráfico. 
● As transformações podem ser utilizadas para dar “movimento” 
ao desenho ou gráfico.
● Movimento de corpo rígido preserva distâncias e ângulos dos 
objetos.
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Transformações 2D
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Translação
● Transladar um ponto P(x,y) dx unidades na direção x e dy 
unidades na direção y. Sendo P(x,y) o ponto original e P’(x’,y’) o 
ponto transladado temos:
Vetores
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Translação
Exemplo:
● Transladar de (3;-4) os pontos:
(4; 5), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Solução:
(7; 1), (10; 1); (10; 5), (11,5; 5,5), (7; 4)
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Escalamento ou Mudança de Escala
● Escalar o ponto P(x,y) sx unidades na direção x e sy unidades na 
direção y. Considerando P(x,y) como o ponto original e P’(x’;y’) o 
ponto escalado:
Observe que a mudança de escala ocorre em torno 
da origem.
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Escalamento ou Mudança de Escala
Exemplos:
● Escalar de 2 uniformemente os pontos: (-0.5; -0.5); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0.5; 0.5)
Solução: (-1.0; -1.0); (1.0; -1.0); (1.0; 1.0); (-1.0; 1.0)
● Escalar de ½ uniformemente os pontos: (-0.5; -0.5); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0.5; 0.5)
Solução: (-0.25; -0.25); (0.25; -0.25); (0.25; 0.25); (-0.25; 0.25)
● Escalar de ½ em x e ¼ em y os pontos: (4; 5), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Solução: (2; 1.25), (3.5; 1.25); (3.5; 2), (2.75; 2,375), (2; 2)
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Rotação
P P'
● Girar em torno da origem de um ângulo θ na direção anti-horária. 
Sendo P(x,y) o ponto original e P’(x’,y’) o ponto rotacionado:
Giro anti-horário é positivo
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Rotação
IMPORTANTE: Observe que a rotação é em torno da origem.
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Cisalhamento
● Em inglês esta transformação é chamada de Shearing. Representa 
alterar a coordenada x em função de y ou alterar y em função de x. 
Considere P(x,y) o ponto original e P’(x’,y’) o ponto alterado.
x' = x + a . y
y' = y
x' = x 
y' = y + b . x
Em x: Em y:
P' = Cx(a) . P P' = Cy(b) . P
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Cisalhamento
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Problema
● Com exceção da translação, as demais transformações 
podem ser representadas como operações matriciais.
● Se TODAS pudessem ser representadas por matrizes seria 
possível representar transformações consecutivas como uma 
única transformação resultante da multiplicação sucessiva 
das matrizes.
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Exemplo
Por causa da translação não podemos unir todas as transformações em uma só, 
através da multiplicação consecutiva de matrizes.
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Solução: Coordenadas Homogêneas
● Em coordenadas homogêneas (Espaço 2D): 
– Existe uma infinidade de pontos no espaço das coordenadas homogêneas que 
correspondem a um único ponto (x,y) → (wx,wy,w) representa um mesmo ponto 
para diferentes w.
– Dividindo-se por w, tem-se (x,y,1) → as coordenadas cartesianas (x,y).
– Não existe (0,0,0).
Plano Projetivo → w=1 
– Quando w = 0 → ponto no infinito ou vetor (indicação 
de direção)
– Forma de interpretação que facilita o entendimento:
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Coordenadas homogêneas
A representação em coordenadas 
homogêneas permite a representação de 
todas as transformações geométricas 
básicas na forma matricial, inclusive a 
translação.
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Translação
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Rotação
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Escalamento ou Mudança de Escala
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Transformações Inversas
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Composição de Transformações
● Usando a representação matricial podemos gerar uma matriz 
correspondente a uma sequência de transformações calculando o 
produto das transformações individuais.
● O produto de matrizes de transformação chama-se concatenação ou 
composição de matrizes.
● Ao final, as coordenadas do ponto transformado P’ são calculadas 
através da multiplicação de uma única matriz.
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Exemplo 1
● Translações sucessivas:
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Exemplo 2
● Escalamento sucessivos
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Exemplo 3
● Rotações sucessivas
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Exemplo 4
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Exemplo 5
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● A multiplicação de matrizes é associativa. Dadas quaisquer três matrizes M1, M2, 
M3, o seu produto pode ser obtido multiplicando em primeiro lugar M3 por M2, ou 
multiplicando primeiro M2 e M1: 
M3 . M2 . M1 = (M3 . M2) . M1 = M3 . (M2 . M1)
● Mas os produtos de transformações em geral não são comutativos:
M2 . M1 = M1 . M2
● Por exemplo, quando se pretender aplicar uma rotação e uma translação a um 
objecto, é necessário ter cuidado com a ordem em que se aplicam as 
transformações.
● Em alguns casos a multiplicação de duas matrizes de transformação é comutativa 
(duas rotações ou duas mudanças de escala ou duas translações sucessivas)
Propriedades
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Transformações 3D
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Translação
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Escalamento
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Rotação
● Em torno do eixo Z
+
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Rotação
● Em torno do eixo X
+
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Rotação
● Em torno do eixo Y
+
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Composição de Transformações
● A combinação de translações, rotações e escalamentos resulta em 
uma matriz de transformações da forma:
Onde a matriz 3x3 superior esquerda é a combinação dos escalamentos e 
rotações e o vetor (t
x
, t
y
, t
z
)T é a combinação das translações.
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