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1 MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS a) Modelo (distribuição) de Bernoulli – Experimento ou ensaio de Bernoulli Vamos considerar experimentos aleatórios que apresentam apenas dois resultados possíveis: Sucesso (S) ou Fracasso (F). Exemplos: 1) a inspeção de um artigo de uma linha de produção, na qual o artigo pode ser considerado defeituoso ou perfeito; 2) um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; 3) um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4) no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5. Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso(S) ou fracasso (F). Para experimentos desse tipo, o espaço amostral é Ω = {S, F}. Chamaremos de sucesso o evento de interesse. No exemplo 1, se o interesse é em artigo defeituoso, diremos que temos um sucesso quando ocorrer artigo defeituoso e fracasso quando ocorrer artigo perfeito. Esses experimentos (se forem independentes e com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) recebem o nome de Ensaios de Bernoulli(Experimento de Bernoulli) e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli. Variável aleatória de Bernoulli: Seja a v. a. X definida como o número de sucessos num ensaio de Bernoulli. X assume apenas dois valores: 1, se ocorrer “sucesso” X = 0, se ocorrer “fracasso” Isto é, X(S) = 1 se o resultado do ensaio é sucesso e X(F) = 0 se o resultado é fracasso. Seja P(S) = p a probabilidade de sucesso e P(F) = 1 – p a probabilidade de fracasso. “X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. A função (distribuição) de probabilidade de X pode ser representada por: X 0 1 f (x) = P (X = x) 1 - p p Isto é, a função de probabilidade da distribuição de Bernoulli é dada por: f( x ) = P( X = x ) = px ( 1 – p )1 – x , x = 0 , 1. f( 0 ) = P(X=0) = p0 (1 – p)1 – 0 = 0 . (1 – p)1 = 1 – p probabilidade de ocorrer fracasso f( 1 ) = P(X=1) = p1 (1 – p)1 – 1 = p1 . (1 – p)0 = p probabilidade de ocorrer sucesso Valor esperado (média) e variância da variável aleatória de Bernoulli ~X Bernoulli p ppppppxpxxfXE x xx x 111 1 0 0101 1 0 11101)( , 2 pppppppppXVar pxpppxXVar xxfxfxXEXEXVar x xx x xx xx 111)1(0)( 1)1()( )()()( 2211120102 21 0 11 0 12 21 0 1 0 222 Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial. b) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) BINOMIAL Uma seqüência de ensaios (provas) de Bernoulli da origem ao modelo binomial quando: 1. Cada ensaio (prova) tem dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, designados por sucesso (S) ou fracasso (F). 2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante de ensaio para ensaio, logo, a probabilidade de fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante. 3. Os ensaios (provas) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso ou do fracasso de um deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de fracasso nos ensaios (provas) subseqüentes. Isto é, o resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. Exemplo: Suponha um experimento aleatório avaliar 3 artigos, sorteados de uma linha de produção, quanto ao seu estado (se defeituoso ou perfeito). O espaço amostral será: DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ,,,,,,, , sendo D = artigo perfeito e D = artigo defeituoso. Seja X a variável aleatória que representa o número de artigos defeituosos entre os 3 artigos avaliados. Então, .321 XXXX 0 , se ocorrer fracasso (o 1o artigo é perfeito) 1X )(~1 pBernoulliX 1 , se ocorrer sucesso (o 1o artigo é defeituoso) 0 , se ocorrer fracasso (o 2o artigo é perfeito) 2X )(~2 pBernoulliX 1 , se ocorrer sucesso (o 2o artigo é defeituoso) 0 , se ocorrer fracasso (o 3o artigo é perfeito) 3X )(~3 pBernoulliX 1 , se ocorrer sucesso (o 3o artigo é defeituoso) 3 wi 1X 2X 3X .321 XXXX DDD 0 0 0 0 DDD 0 0 1 1 DDD 0 1 0 1 DDD 1 0 0 1 DDD 0 1 1 2 DDD 1 0 1 2 DDD 1 1 0 2 DDD 1 1 1 3 O conjunto dos possíveis valores de X será: Rx = {0, 1, 2, 3}. Probabilidade de sucesso = P(Xi =1) = p, 0 < p < 1 Os eventos D = artigo perfeito e D = artigo defeituoso são independentes, isto é, o resultado obtido para um dos artigos (ser perfeito ou ser defeituoso) não afeta o resultado dos outros artigos (não serem ou serem defeituosos), logo, 3 2 2 3 3 131112 2 2 13)1)(1()1()1()1)(1(1 1 1 11110 ppppDDDPDDDPXP pppppppppppXP DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP pppppppppppXP DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP ppppDDDPDDDPXP A função (distribuição) de probabilidade da variável aleatória X = número de artigos defeituosos entre os 3 avaliados é dada por: x 0 1 2 3 xXPxf 31 p 213 pp pp 13 2 3p O comportamento de X fica determinado pela função: contrário caso ,0 3,2,1,0,1 3 xpp xxXPxf xnx onde !3! !33 xxx = número de possibilidades de x artigos serem classificados como defeituosos entre os 3 avaliados. Definição: Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: 4 contrário caso , 0 ..., ,3 ,2 ,1 ,0 , 1 nxpp x n xXPxf xnx onde !! ! xnx n x n = número de possibilidades de ocorrerem x sucessos nos n ensaios de Bernoulli realizados. Usaremos a notação pnBX ,~ , para indicar que a variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n e .p Média (valor esperado) e variância da variável aleatória Binomial Se pnBX ,~ , então: nppp x n xxxfXE n x xnx n x 00 1)( n x xnx n x n x pnpnppp x n xxxfxfxXEXEXVar 0 22 2 00 222 )1(1)()()()( Ou, ~iX Bernoulli p , i 1, 2, 3, ..., .n pppppppxxXPxXE i ii i x xx i x iii 111 1 0 0101 1 0 11101)( , para todo i 1, 2, 3, ..., .n pppppppppXVar ppxppxXVar xXPxxXPxXEXEXVar i x xx i x xx ii x iii x iiii i ii i ii ii 111)1(0)( 1)1()( )()()( 2211120102 2 1 0 1 1 0 12 2 1 0 1 0 222 para todo i 1, 2, 3, ..., .n Se pnBX ,~ então: nXXXXX ...321nXXXX ..., ,,, 321 são variáveis aleatórias de Bernoulli. 5 A média de X será: npppppXE XEXEXEXEXXXXEXE nn ...)( ...... 321321 npXE )( E a variância de X será: )1()1(...)1()1()1()( ...... 321321 pnpppppppppXVar XVarXVarXVarXVarXXXXVarXVar nn )1()(2 pnpXVar Exemplo 1: Feito em sala Exemplo 2: Suponha que o nascimento de menino e de menina seja igualmente provável e que o nascimento de qualquer criança não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento. Determine a probabilidade de: a) Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos b) Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos c) No máximo 1 menino em 10 nascimentos d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos Solução: O evento de interesse é nascimento de menino. Então, define-se: Sucesso (S): nascimento de menino Fracasso (F): nascimento de menina P(S) = p = 1/2 e P(F) = 1- p = 1/2 A variável aleatória X = número de meninos em 10 nascimentos (número de sucessos) Rx = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Do enunciado do problema tem-se que a variável aleatória X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n = 10 e p = 1/2 pois, 1. Cada nascimento é um ensaio (prova) de Bernoulli com dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, nascimento de menino (Sucesso = S) ou nascimento de menina (Fracasso = F). 2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante e igual a 1/2 de ensaio (nascimento) para ensaio (nascimento), logo, a probabilidade de fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante e igual a 1/2. 3. Os ensaios (nascimentos) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso (nascimento de menino) ou do fracasso (nascimento de menina) de um deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de fracasso nos ensaios (nascimentos) subseqüentes. Isto é, o resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. Como X ~ B( 10, 1/2 ), sua função de probabilidade será: contrário caso ,0 10,...,3,2,1,0,1 10 xpp xxXPxf xnx a) 2051,0 2 1 !6!0.1.2.3.4 !6.7.8.9.10 !410!4 !10 2 1 2 1 4 10 )4( 104104 XP 6 b) 9453,00547,01 2 1 2 1101)4( )3()2()1()0(1)4(1)4( 2 1 2 110)4( )10()9()8()7()6()5()4()4( 3 0 10 1010 4 x xx xx x x XP XPXPXPXPXPXP x XP XPXPXPXPXPXPXPXP c) 0107,0 2 1 2 110)1()0()1( 101 0 xx x x XPXPXP d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos equivale a menos de 2 meninos em 10 nascimentos. Isto é: X = sucesso = nascimento de menino X’ = fracasso = nascimento de menina P( X’ > 8) = P( X < 2) = P( X ≤ 1 ) = 0,0107 Exemplo 2: 30% das pacientes picadas com uma agulha infectada com hepatite B desenvolvem a doença. Suponha que selecionamos cinco indivíduos da população de pacientes que foram picados com uma agulha infectada com hepatite B. a) Qual a de que pelo menos três indivíduos, entre os cinco, desenvolvam a hepatite B? Resp.: P(X ≥ 3) = 0,1630 b) Qual a probabilidade de que no máximo um paciente desenvolva a doença? Resp.: P(X ≤ 1) = 0,5282. c) Qual o número esperado de pessoas que desenvolveriam a doença? E a variância? Resp.: E(X) = 1,5 e Var(X) = 1,05 Exemplo 3: Considere uma prova com 10 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso (“chuta”). Para o aluno ser aprovado, tem que acertar pelo menos 6 questões. Se 100 alunos irão fazer a prova, espera-se quantos aprovados? Resp.: 1,97 ≈ 2 alunos. c) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) HIPERGEOMÉTRICA Enquanto a distribuição binomial se aplica aos casos de amostragem com reposição, a distribuição hipergeométrica se aplica aos casos de amostragem sem reposição de n itens de uma população de N itens, em os itens possuem ou não uma característica de interesse. Como a amostragem é sem reposição, as tentativas não são independentes. Um modelo teórico para essa situação é descrito a seguir: Uma urna contém N bolas, das quais K bolas são brancas e N – K são vermelhas. Se retirarmos uma amostra aleatória de n bolas, sem reposição, podemos determinar a probabilidade de termos x bolas brancas na amostra. Nesse caso, a população de N bolas é dividida em dois grupos pela característica de interesse, bola ser branca (sucesso); o grupo de K bolas brancas e o grupo de N – K bolas vermelhas (fracasso). Existem x k maneiras de escolhermos x bolas brancas entre as K bolas brancas existentes na população de bolas e para cada uma dessas maneiras, podemos selecionar n – x bolas vermelhas de xn kN maneiras. Como o número total de amostras aleatórias de tamanho n, selecionadas de uma população de N bolas é n N , a probabilidade de obtermos x bolas brancas (sucessos) e n – x bolas vermelhas (fracassos) na amostra de n bolas é dada por: 7 n N xn KN x K xXP )( , onde X é a variável aleatória que indica o número de bolas brancas (número de sucessos) no experimento. Em resumo, a distribuição de probabilidade hipergeométrica descreve os experimentos que têm as seguintes propriedades: 1) Uma população com N itens é dividida em dois grupos: K itens são classificados como sucesso e N – K como fracasso. 2) Uma amostra aleatória de tamanho n é selecionada entre os N itens, sem reposição. Em consequência, resulta que: a) as tentativas (retiradas dos itens) são dependentes; b) a probabilidade de sucesso (de retirar um item classificado como sucesso) varia de tentativa para tentativa, isto é, a probabilidade de sucesso não permanece constante. Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica, se sua distribuição de probabilidade, f(x), é dada por: contrário caso ,0 e ,,,1,0 para ,)()( KNxnKxnx n N xn KN x K xXPxf Notação: X ~ Hip (N, K, n) X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N, K, n. Exemplo: Numa pesquisa sobre a poluição do ar, um inspetor decide examinar, sem reposição, o cano de descarga de 6 dos 24 caminhões de uma companhia. Se 4 dos 24 caminhões emitem quantidades excessivas de gases poluentes, qual é a probabilidade de que nenhum deles seja incluído na amostra do inspetor? Resp.: 0,2880 (feito em sala). Valor esperado (média, esperança): N nK n N xn KN x K xxxfXE )()( Variância: .1 1 )()()( 2 222 N K N nK N nN N nK n N xn KN x K xxxfxfxXVar Exemplo: O valor esperado e a variância da variável aleatória X: número de caminhões que emitem quantidades excessivas de gases poluentes são iguais a: 8 1 24 46)( N nKXE caminhão. 23 15 24 41 24 46 124 6241 1 )( N K N nK N nNXVar caminhão2. Aproximação da distribuição hipergeométrica pela distribuição binomial Em muitas aplicações práticas, o tamanho n da amostra é pequeno em comparação ao tamanho N da população. Quando isso acontece, a distribuição binomial dá uma boa aproximação para a distribuição hipergeométrica. De fato, pode ser mostrado formalmente que a distribuição hipergeométrica se aproxima de uma distribuição binomial com N Kp ,quando N e N Kp permanece constante. É só tomar o limite da fdp da hipergeométrica com N . Uma regra prática é usar a distribuição binomial como aproximação para a distribuição hipergeométrica se .10,0 N n Exemplo: Supõe-se que um carregamento com 100 gravadores contém 25 defeituosos. A probabilidade de se encontrar 2 gravadores defeituosos em uma amostra de 10 gravadores sorteados sem reposição será: X : número de gravadores defeituosos, na amostra X ~ hip(100, 25, 10) 292,0 10 100 210 25100 2 25 )2()2( fXP Se usarmos a distribuição binomial com parâmetros 10n e 25,0 100 25 p , teremos: .282,075,025,0 2 10 )2()2( 82 fxP d) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) DE POISSON A distribuição de Poisson descreve fenômenos de contagem de eventos em um espaço contínuo, como o tempo, uma superfície, um volume, etc. Exemplos: a) Número de bactérias em certo volume de sangue; b) Número de partículas radioativas emitidas durante certo intervalo de tempo; c) Número de chamadas telefônicas que chegam numa central em certo intervalo de tempo; d) Número de acidentes em um dado trecho de uma rodovia; e) Número de defeitos em uma chapa de metal. Diremos que os eventos discretos que ocorrem num intervalo contínuo (de tempo, volume, área, etc) formam um processo de Poisson com parâmetro se satisfaz as seguintes propriedades: a) A variável aleatória representa o número de ocorrências de um evento em um intervalo de medida contínuo; b) As ocorrências dos eventos são aleatórias e independentes umas das outras; c) A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo de medida (tempo, volume, área) é constante e proporcional ao tamanho do intervalo; d) O número médio de ocorrências do evento por unidade de tempo, volume, área, , é constante ao longo do tempo, volume, área. 9 Definição: Uma variável aleatória discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro se sua distribuição de probabilidade for do tipo: ,2,1,0 , ! )()( x x texXPxf xt onde: x número de ocorrências do evento de interesse em t unidades de medida média de ocorrências do evento em uma unidade de medida t número de unidade de medida Fazendo: t , temos: ,2,1,0 , ! )()( x x exXPxf x Notação: X ~ P() indica que a variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro . Média e Variância Se X é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, então: 00 ! )()( x x x x exxxfXE : média ou valor esperado 0 22 2 00 2 ! )()()( x x xx x exxxfxfxXVar : variância Exemplos: 1) Suponha que uma central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 minutos. Em um intervalo de 2 minutos, qual é a probabilidade que a central receba 2 ou menos chamadas? Solução: :X número de chamadas que a central recebe em t minutos. )(~ tPX . 3 chamadas em 4 minutos, então em t = 2 minutos, .5,14/23 Logo, )5,1(~ PX com função de probabilidade dada por: ,2,1,0 , ! 5,1)()( 5,1 x x exXPxf x .8088,0 ! 5,1)()2()1()0()2( 2 0 5,12 0 x x x x exfXPXPXPXP 2) Sabe-se que certo líquido contém, em média, 4 bactérias por cm3. a) Qual a probabilidade de não haver bactérias em 1 cm3 do líquido b) Qual a probabilidade de que em 1/2 cm3 do líquido haja pelo menos uma bactéria Solução: a) X: número de bactérias em certo volume do líquido 4 em 1t e 414 t . )4(~ PX . ,2,1,0 , ! 4)()( 4 x x exXPxf x 10 .0183,0 !0 4)0()0( 04 efXP b) 1/2 cm3 do líquido = 2 .8647,0 !0 21)0(1)1(1 ! 2)()2|1( 02 0 2 0 eXPXP x exfXP x x x A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição Binomial Se em uma distribuição binomial, o número de provas de Bernoulli, n, é grande, a probabilidade de sucesso, p, é pequena e o produto np = permanece constante, podemos usar a distribuição de Poisson como aproximação para a binomial. Demonstração: Seja n pnpXEppnBX )( , 10 ),(~ nxpp x n xXPxf xnx ..., ,3 ,2 ,1 ,0 , 1)()( (1) 1 )!(! )!)(1()2)(1( 1 )!(! !)( xnxxnx pp xnx xnxnnnnpp xnx nxf Substituindo p por n em (1), temos: (2) -1 1-1 ! )1()2)(1( -1 1-1 ! )1()2)(1()( x nx x x n x x n nxn xnnnn n nnx xnnnnxf Tomando o limite de (2) com n e permanecendo constante, temos: 1-1 ! 1 (3) -1 1-1 ! )1()2)(1( -1 1-1 ! )1()2)(1( lim limlimlimlim lim n n x x n n n x n x n x nx x n nx n nxn xnnnn n nxn xnnnn 11 Fazendo nt 1 tn e substituindo em (3), temos e xtxtx xt t xt t x ! 11 ! 11 ! limlim Exemplos: 1) Feito em sala 2) A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que, em 2000 indivíduos injetados exatamente 3 tenham reação negativa. Solução: X: número de indivíduos com reação negativa, entre os 2000 injetados X ~ B(2000; 0,001) 2000321001,01001,02000)( 2000 ..., , , , , x x xXP xx 1805,0999,0001,0 !1997!0.1.2.3 !1997.1998.1999.2000 999,0001,0 !1997!3 !2000999,0001,0 3 2000 )3( 2001,0.2000)( 19973 1997319973 XP npXE Como n é grande, p é pequeno e np permanece constante podemos usar a Poisson como aproximação da binomial. X P( = np = 2) 1804,0 !3 2)3( 32 eXP
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