Capitulo 4 Equação da energia para regime permanente

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
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CAPÍTULO 4 – BRUNETTI – EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA 
REGIME PERMANENTE 
 
 
O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA PARA 
FLUÍDOS PERFEITOS (IDEAIS) - EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
 
1. TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO 
 
a) Energia potencial de posição (Ep) 
É a energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em relação a um 
plano horizontal de referência (PHR). 
zgmE p ..= 
b) Energia cinética (Ec) 
É a energia do sistema determinada pelo movimento do fluido. 
2
.
2vmEc = 
c) Energia de pressão (Epr) 
É a energia correspondente ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no 
escoamento do fluido. 
∫= dvpE pr . 
 
d) Energia mecânica total do fluido (E) 
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos mecânicos, a 
energia total de um sistema de fluido será: 
 
prcp EEEE ++= 
 
∫++= dvp
vm
zgmE .
2
.
..
2
 
 
 
 
2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
A Equação de Bernoulli é válida para um sistema de fluido ideal em movimento, 
com as seguintes considerações: 
a) regime permanente; 
b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo; 
c) sem perdas por atrito no escoamento ou fluido ideal; 
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d) propriedades uniformes nas seções; 
e) fluido incompressível; 
f) sem trocas de calor. 
 
Considerando a Figura abaixo: 
 
 
Na seção 1: 11
2
11
111 .2
.
.. dvpvdmzgdmdE ++= 
Na seção 2: 22
2
22
222 .2
.
.. dvpvdmzgdmdE ++= 
 
Pelas considerações feitas acima: 
21 dEdE = 
Então: 
 
22
2
22
2211
2
11
11 .2
.
...
2
.
.. dvpvdmzgdmdvpvdmzgdm ++=++ 
 
Como: 
dv
dm
=ρ e 
ρ
dmdv = 
Tem-se: 
 
2
2
2
2
22
22
1
1
1
2
11
11 .2
.
...
2
.
..
ρρ
dm
p
vdm
zgdmdmpvdmzgdm ++=++ 
 
Como na Equação de Bernoulli considera-se o fluido incompressível: 
21 ρρ = 
 
e considera-se também regime permanente: 
21 dmdm = 
 
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Então: 
ρρ
2
2
2
2
1
2
1
1 2
.
2
.
pv
zgpvzg ++=++ 
 
Dividindo a equação por g e lembrando que: 
 
g.ργ = 
Tem-se: 
 
γγ
2
2
2
2
1
2
1
1
.2.2
p
g
v
z
p
g
v
z ++=++ 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
A Equação de Bernoulli, permite relacionar cotas, velocidades e pressões entre duas 
seções do escoamento do fluido. 
Nota-se, também que a Equação de Bernoulli expressa que a soma das energias na 
seção (1) é igual à soma das energias na seção (2), sendo mantida constante a energia total 
do sistema no percurso de (1) para (2). 
 
“No escoamento permanente de um fluído perfeito a energia total permanece 
constante” 
 
Podemos denominar as energias da seguinte forma: 
- Z carga potencial ou carga geométrica; 
- V2/2g carga cinética ou carga de velocidade; 
- P/γ carga piezométrica ou carga de pressão. 
Observe que a palavra “carga” substitui a expressão “energia por unidade de peso”. 
 
Logo: 
γ
p
g
v
zH ++=
.2
2
 
Onde: 
H energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção = constante de 
Bernoulli 
Logo: 
H1 = H2 
 
Outra observação é que as energias z, V2/2g e p/γ, são expressas em unidades de 
comprimento (m, cm, mm.....), mas não deixam de ser energia por unidade de peso. 
 
A Equação de Bernoulli poderá ser enunciada: 
 
“Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos e o regime 
permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se mantêm 
constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.” 
 
 
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Exercícios 
 
1. Sabendo que: P1 = 1,5 kgf/cm2, V1 = 0,6 m/s, D1 = 250 mm, D2 = 200 mm, Fluído 
perfeito e diferença de altura entre 1 e 2 é de 10 m 
Determine: 
a) A vazão na tubulação 
b) A pressão no ponto 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo indicado. Sendo o tanque de 
grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determinar a vazão da água descarregada 
se a área da seção do tubo é 10 cm2. Considerar g = 10 m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no 
trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 20cm² e a da seção (2) 
é 10cm². 
Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível 
mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo. 
 
 
OBS: 
O segundo termo desta equação pode ser determinado pelo manômetro diferencial instalado, 
mas antes disso é interessante notar que, pela equação da continuidade, sendo A2< A1, tem-
se v2 > v1, e como a energia cinética aumenta de (1) para (2), a energia de pressão deverá 
diminuir para que a soma seja constante. Essa observação explica o porquê de o manômetro 
estar desnivelado da esquerda para a direita, já que p1 > p2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. AS APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
São aquelas que por meio de fórmulas simples, fornecem a vazão em volume (Q) ou 
a velocidade. Essas aplicações são 03: 
 
3.1) 1º - TEOREMA DE TORRICELLI 
 
Relembrando o princípio da conservação de energia mecânica. 
 
2
.
..
2
.
.
2
.
.
2
2
21
2
2
1
vm
zgm
vmZG
EE
vmE
ZGE
=
=
=
=
=
 
zgv ..2= 
 
EQUAÇÃO DE TORRICELLI 
 
v = velocidade (m/s) 
g = aceleração da gravitacional (10m/s2) 
Z = distância (m) 
 
3.2) 2º - TUBO DE PITOT 
 
 Serve para medir velocidade em um ponto qualquer de uma corrente líquida. O tubo 
de Pitot consiste em um tubo de vidro recurvado de pequeno diâmetro e aberto nas duas 
extremidades. 
 
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 Mergulhando o tubo com a boca A contra a corrente, a água subirá no tubo até a 
altura H (contada a partir do P.H.R). Após isso, a velocidade em B será nula temo: 
Z1 = 0 
Z2 = H 
P2 = P0 = 0 
V2 = 0 
P1 = P0 + ( )hH −γ 
γ
1P
= H – h 
Aplicando Bernoulli 
 
g
VPZ
.2
2
11
1 ++ γ
 = 
g
VPZ
.2
2
22
2 ++ γ
 
 
g
VP
.2
2
11 +
γ
= 2Z 
H – h
g
V
.2
2
1+ = H 
g
V
.2
2
1
 = H – H + h 
2
1V = 2.g.h 
 
hgV ..21 = 
 
 EQUAÇÃO DE PITOT 
 
 
3.3) 3º - TUBO DE VENTURI 
 
 O venturímetro consiste nada mais do que um estrangulamento na tubulação e serve 
para medir diretamente a vazão em tubulações. 
 
Aplicando Bernoulli 
 
g
VPZ
.2
2
11
1 ++ γ
 = 
g
VPZ
.2
2
22
2 ++ γ
 
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g
VVPP
.2
2
1
2
221 −
=
−
γ
 
=
−
γ
21 PP ( )2122
.2
1 VV
g
− (1) 
Sabemos que Q = V1.A1 = V2.A2 logo substituindo em (1): 
=
−
γ
21 PP














−





21
2
2.2
1
A
Q
A
Q
g
 
=
−
γ
21 PP














−





2
1
2
2
2 11
.2 AAg
Q
 
=
−
γ
21 PP





 −
2
2
2
1
2
2
2
1
2
..2 AA
AA
g
Q
 
( ) =−
γ
21
.2 PPg 




 −
2
2
2
1
2
2
2
12
.AA
AAQ
 
( )..2 212 PPgQ −= γ 




−
2
2
2
1
2
2
2
1 .
AA
AA
 
( )..2 21 PPgQ −= γ 




−
2
2
2
1
2
2
2
1 .
AA
AA
 
 
( )..2 21 PPgQ −= γ 2
2
2
1
21 .
AA
AA
−
 
 
EQUAÇÃO DE VENTURI 
 
 
Exercícios: 
 
1. O centro de um orifício circular está 8,5 m abaixo da superfície livre (constante) de um 
reservatório. Determinar o diâmetro deste orifício para que a vazão seja de 23,34 l/s 
(desprezada as perdas de energia). Supondo escoamento permanente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P.H.R 
(1) 
(2) 
8,5 m 
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2. Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro de um conduto com 25 cm 
de diâmetro a diferença de carga é h = 0,1 m. Devido ao grande diâmetro. Supõe-se que a 
velocidade média da água neste tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. 
Calcular a vazão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A gasolina flui de um tanque aberto (constante) através de um buraco de 8,33x10-2 ft de 
diâmetro na sua extremidade. Instala-se um tubo de Pitot na saída desta extremidade para 
medir a velocidade de saída do fluido. A gasolina sobe no tubo de Pitot até uma altura de 25 
ft. Nestas condições determinar a vazão do escoamento em ft3/s. Considerar g = 32,2 ft/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h = 0,1 m 
D = 25 cm 
P.H.R 
(1) 
(2) 
d 
25 ft 
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO PERFEITO 
INCOMPRESSÍVEL COM A PRESENÇA DE UMA MÁQUINA NO 
ESCOAMENTO 
 
 
4. DEFINIÇÃO DE MÁQUINA NA INSTALAÇÃO 
 
A máquina em uma instalação hidráulica é definida como qualquer dispositivo que 
quando introduzido no escoamento forneça ou retire energia do escoamento, na forma de 
trabalho. 
Para o estudo desse curso a máquina ou será uma bomba ou será uma turbina. 
 
 
4.1. Bomba 
 
H1 < H2 
 
21 HHH B =+ 
 
HB: Energia fornecida ao fluido pela bomba por unidade de peso (“carga ou altura 
manométrica da bomba”) 
 
4.2. Turbina 
 
 
H1 > H2 
 
21 HHH T =− 
 
HT: Energia retirada ao fluido pela turbina por unidade de peso (“carga ou altura 
manométrica da turbina”) 
 
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4.3. Genericamente 
 
 
 
21 HHH M =+ 
 
 
 HM > 0 → M é Bomba (HM = HB) 
 
 HM < 0 → M é Turbina (HM = - HT) 
 
Fluido Perfeito 
a) Máquina H1 = H2 
b) Máquina H1 + Hm = H2 
 
A equação de Bernoulli com presença de máquina: 
 
γγ
2
2
2
2
1
2
1
1
.2.2
p
g
v
zH
p
g
v
z M ++=+++ 
 
ou 
 
( ) ( ) ( )
γ
12
2
1
2
2
12
.2
pp
g
vv
zzH M
−
+
−
+−= 
 
 
5. POTÊNCIA DA MÁQUINA E NOÇÃO DE RENDIMENTO 
 
5.1. Potência (N) 
 
MHQN ..γ= 
 
N = potência (Watts) 
 
 
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1 C.V = 75 kgf.m/s 
1 c.v = 736,5 W = 0,7365 kW 
1 H.P = 1,014 C.V 
 
5.2. Rendimento (η ) 
 
turbinaoubombadapotencia
fluidodoretiradaoufornecida
jogoempostopotencia
utilpotencia
==η
 
 
 
6. RENDIMENTO E POTÊNCIA DA BOMBA 
 
B
B N
N
=η
 
B
B
NN
η
=
 
B
B
B
HQN
η
γ ..
=
 
 
N = potência fornecida ao fluido (W). 
NB = potência da bomba (W). 
Bη = rendimento da bomba (%) 
 
7. RENDIMENTO E POTÊNCIA DA TURBINA 
 
N
NT
T =η 
TT NN η.= 
 
TMT HQN ηγ ...= 
 
N = potência retirada do fluido (W). 
NT = potência da bomba (W). 
Tη = rendimento da bomba (%) 
 
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Exercícios: 
 
 
1. Determine a potência de uma bomba com rendimento de 75% pela qual escoa água com 
uma vazão de 12 litros/s. 
Dados: HB = 20m; 
1 C.V = 736,5 W; 
32 1000 m
kg
OH =ρ 
g = 10m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água com uma vazão 
de 10 litros/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e calcule 
sua potência sabendo-se que o rendimento é de 75%. 
Dados: 
32 000.10 m
N
OH =γ 
g = 10m/s2 
Atubo= 10cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL E PRESENÇA 
DE UMA MÁQUINA NO ESCOAMENTO. 
 
As considerações feitas para a Equação de Bernoulli são mantidas, com exceção para 
as trocas de calor, pois no escoamento de fluido real, parte da energia se transforma em 
calor, devido ao atrito das partículas fluidas entre si e com as paredes do conduto. 
Desta forma, a Equação de Bernoulli será modificada para: 
 
 
1. SEM MÁQUINA 
 
 
 
 
 
H1 = H2 + HP1,2 
 
 
 
HP1,2 = Perda de energia de 1 para 2 por unidade de peso. 
HP1,2 = Perda de carga (m, cm, mm) 
 
 
Observação Importante: Sentido do escoamento 
 
H1 > H2: escoamento de (1) para (2) 
H2 > H1: escoamento de (2) para (1) 
 
 
 
 
 
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2. COM MÁQUINA 
 
 
 
H1 + HM = H2 + HP1,2 
 
 
2,1
2
2
2
2
1
2
1
1
.2.2 pM
Hp
g
v
zHp
g
v
z +++=+++
γγ 
 
 
 A experiência mostra que no escoamento dos fluidos reais, uma parte de sua energia 
se dissipa em forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida. 
Essa parte de energia é consumida pelo fluido real ao vencer diversas resistências, 
que não foram levadas em considerações ao tratarmos de fluido ideal. 
 Uma resistência é causada pela viscosidade do fluido real, outra é provocada pelo 
contato do fluido com a parede interna do conduto. Várias resistências são causadas na 
tubulação por peças de adaptação ou conexões. Assim a carga no fluido real não é mais 
aquele valor visto na equação de Bernoulli para fluido ideal, pois, uma parte da carga ficou 
perdida no fluido real. É a chamada perda de carga. 
 
A potência dissipada ou perdida pelos atritos é facilmente calculada: 
 
2,1.. pdiss HQN γ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
 
1. Na instalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem uma 
potência de 5 kW e seu rendimento é 80%. A água é descarregada à atmosfera com uma 
velocidadede 5m/s pelo tubo cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga do 
fluido entre (1) e (2) e a potência dissipada ao longo da tubulação. 
Dado: 
32 000.10 m
N
OH =γ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou turbina e determinar sua 
potência, sabendo que seu rendimento é de 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um 
manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é 10 litros/s, a área da seção dos 
tubos é 10cm2 e a perda de carga entre as seções (1) e (4) é 2m. Não é dado o sentido do 
escoamento. 
Dados: 32 000.10 m
N
OH =γ g = 10m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 4 – BRUNETTI – LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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