Aula Atividade 02

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Análise da Situação-Problema 
 
Questão 1 
Um pesquisador precisa calcular o volume de um sólido tridimensional utilizando 
integrais triplas e mudança de coordenadas, por não se tratar de uma região que 
possa ser representada adequadamente por meio do sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Para a resolução de seu problema, o pesquisador adotou uma mudança de 
coordenadas de modo que �, � e � deverão ser representadas por � = � + �� � = � + 	� � = 	 + �� 
Qual é o jacobiano associado a essa transformação? 
a) 
 = 2	 + 2� + 2� 
b) 
 = 	 + � + � 
c) 
 = 1 + 8	�� 
d) 
 = 2	� + � 
e) 
 = 1 − 2	�� + �� 
Resolução: 
O jacobiano de uma transformação � = ��	, �, ��; � = ��	, �, ��; � = ℎ�	, �, �� 
é dado por 
��, �, �� = � ���, �, ����	, �, ��� = �
����	 ���� �������	 ���� �������	 ���� �����
�
 
Temos que ���	 = 0; ���� = 1; ���� = 2� ���	 = 2	; ���� = 0; ���� = 1 ���	 = 1; ���� = 2�; ���� = 0 
Desta forma, 
 
��, �, �� = � ���, �, ����	, �, ��� = � 0 1 2�2	 0 11 2� 0 � = 1 + 8	�� 
Portanto, o jacobiano da transformação é dado por 
 = 1 + 8	��. 
 
 
Questão 2 
Considere o sólido S limitado superiormente pela esfera �� + �� + �� = 4 
inferiormente pelo plano ��� (� = 0), no interior do cilindro �� + �� = 1 
cuja representação gráfica é dada por 
 
Empregando a mudança para coordenadas cilíndricas, qual o volume 
aproximado do sólido S descrito anteriormente? 
a) 3,14 u.v. 
b) 4,19 u.v. 
c) 6,28 u.v. 
d) 5,87 u.v. 
e) 10,15 u.v. 
 
 
 
 
Resolução: 
Para o cálculo do volume por meio de integrais triplas utiliza-se a expressão 
� = � �! 
O limite inferior para � é definido pelo plano �� (� = 0). O limite superior é dado 
pela parte superior da esfera de equação �� + �� + �� = 4, de onde obtemos � = "4 − �� − �� 
A projeção do sólido sobre o plano �� tem representação gráfica dada por 
 
Devido às características da superfície, e de sua projeção sobre o plano ��, 
podemos calcular a integral tripla por meio de coordenadas cilíndricas. 
Os limites de integração para a variável �, em coordenadas cilíndricas, 
correspondem a 0 ≤ � ≤ "4 − $� 
pois �� + �� = $�. 
A projeção da superfície sobre o plano �� fornece os seguintes limites de 
integração 0 ≤ $ ≤ 1; 0 ≤ % ≤ 2& 
Além disso, � � = $ $ %. Logo, 
 
� �! = ' ' ' $
√)*+,
- �
.
- $
�/
- % = ' ' $ 0 ' �
√)*+,
- 1
.
- $
�/
- % = ' ' $"4 − $�
.
- $
�/
- %
= ' 2− 13 �4 − $��4/�6+7-+7.
�/
- % =
13 88 − 3√39 ' %
�/
- =
2&3 88 − 3√39
≈ 5,87 	. �. 
 
 
Questão 3 
Considere a região >, no primeiro octante, limitada pelas esferas �� + �� + �� = 1 e �� + �� + �� = 4 
cuja representação gráfica é dada no que segue: 
 
Deseja-se calcular a integral tripla da função ���, �, �� = 2� sobre a região >, 
descrita anteriormente. 
Qual o valor assumido por ∭ ���, �, ��! �? 
a) 1,05 
b) 1,57 
c) 2,09 
d) 3,14 
e) 5,89 
 
 
 
Resolução: 
Devido às características da região de integração podemos calcular a integral 
tripla por meio de coordenadas esféricas. A região >, descrita em coordenadas 
esféricas, é dada por 1 ≤ A ≤ 2 
0 ≤ B ≤ &2 0 ≤ % ≤ &2 
Além disso, 2� = 2A cos�B� � = A� sen�B� A B % 
Sendo assim, 
� 2�! � = ' ' ' �2A cos�B��A� sen�B�
�
. A
/�
- B
/�
- %
= ' ' 2 cos�B� sen�B� ' A4�. A
/�
- B
/�
- %
= ' ' sen�2B� ' A4�. A
/�
- B
/�
- % = ' ' sen�2B� 214 A)6.
�/�
- B
/�
- %
= ' ' sen�2B� G154 H
/�
- B
/�
- % = G154 H ' ' sen�2B�
/�
- B
/�
- %
= G154 H ' 2− 12 cos �2B�6-
/�/�
- % = G154 H ' %
/�
- = 15&8 ≈ 5,89 
 
 
Questão 4 
Seja o sólido C limitado superiormente por � = 4 − �� − �� 
e inferiormente pelo plano ��� (� = 0). A representação desse sólido é dada na 
figura apresentada no que segue. 
 
 
Suponha que a densidade em um ponto P do sólido C é proporcional à distância 
de P ao plano ���, ou seja, ���, �, �� = J�, J ∈ ℝ 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o momento de inércia do 
sólido C em relação ao eixo �: 
a) 4�4 & 
b) 4�4 J& 
c) 32& 
d) 32J& 
e) M)4 J& 
Resolução: 
Sabemos que o momento de inércia de S em relação ao eixo z é dado por 
NO = ���� + ���P ���, �, ��dV = J ���� + ����P � 
Em coordenadas cilíndricas, o sólido S pode ser representado por 0 ≤ $ ≤ 2 0 ≤ % ≤ 2& 0 ≤ � ≤ 4 − �� − �� = 4 − $� 
pois sabemos que �� + �� = $�. 
Portanto, o momento de inércia pode ser calculado da seguinte forma 
 
NO = J ' ' ' $�)*+,- � $
�
- �
�/
- $ % = J ' ' $4 ' � �
)*+,
-
�
- $
�/
- %
= J ' ' $4 212 ��6-)*+
,�
- $
�/
- % =
J2 ' ' $4�4 − $���
�
- $
�/
- %
= 8J ' ' $4�- $
�/
- % − 4J ' ' $S
�
- $
�/
- % +
J2 ' ' $T
�
- $
�/
- %
= 8J ' 214 $)6-�
�/
- % − 4J ' 2
16 $M6-�
�/
- % +
J2 ' 218 $V6-�
�/
- %
= 32J ' %�/- −
1283 J ' %
�/
- + 16J ' %
�/
- = 64J& −
2563 J& + 32J&
= 323 J&