Aula Atividade 02 gabarito

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FORMULÁRIO DA AULA ATIVIDADE 
 
AULA ATIVIDADE 
Curso: Engenharias 
Professor(a): Daiany Cristiny Ramos 
Semestre: 3º Flex / 4º Semestre 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Unidade de Ensino: 2 
Competência(s): Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na área 
de exatas, os cálculos referentes às integrais múltiplas. 
Conteúdos: Mudança de variáveis; Integrais triplas em coordenadas 
cilíndricas; Integrais triplas em coordenadas esféricas; Aplicações de integrais 
triplas em outras coordenadas. 
Teleaula: 2 Data: 
 
Título: Integrais múltiplas em outras coordenadas 
 
Prezado (a) aluno (a), 
 
Segue a Aula Atividade proposta aos alunos: 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o auto estudo das competências 
e conteúdos relacionados à Unidade de Ensino 2: “Integrais múltiplas em outras 
coordenadas”. 
 
Ela terá a duração total de 1 hora e está organizada em duas etapas de 30 
minutos cada: “Análise da Situação-Problema”, em que o aluno resolverá 
problemas envolvendo conceitos abordados na SGA dessa unidade de ensino, 
e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”, em que 
retornamos às discussões relativas à questão proposta no fórum da disciplina. 
 
Oriente os alunos a seguirem todas as orientações indicadas e a contarem 
sempre com a mediação do tutor e a interatividade com a professora no Chat 
Atividade e Fórum de Discussão. 
 
Bom trabalho! 
 
___________________**__________________ 
 
 
Análise da Situação-Problema 
 
Questão 1 
Um pesquisador precisa calcular o volume de um sólido tridimensional utilizando 
integrais triplas e mudança de coordenadas, por não se tratar de uma região que 
possa ser representada adequadamente por meio do sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Para a resolução de seu problema, o pesquisador adotou uma mudança de 
coordenadas de modo que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 deverão ser representadas por 
𝑥 = 𝑣 + 𝑤2 
𝑦 = 𝑤 + 𝑢2 
𝑧 = 𝑢 + 𝑣2 
Qual é o jacobiano associado a essa transformação? 
a) 𝐽 = 2𝑢 + 2𝑣 + 2𝑤 
b) 𝐽 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
c) 𝐽 = 1 + 8𝑢𝑣𝑤 
d) 𝐽 = 2𝑢𝑣 + 𝑤 
e) 𝐽 = 1 − 2𝑢𝑣𝑤 + 𝑣2 
Resolução: 
O jacobiano de uma transformação 
𝑥 = 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑦 = 𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑧 = ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤) 
é dado por 
𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = |
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| =
|
|
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
|
|
 
Temos que 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 0; 
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 1; 
𝜕𝑥
𝜕𝑤
= 2𝑤 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 2𝑢; 
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 0; 
𝜕𝑦
𝜕𝑤
= 1 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 1; 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 2𝑣; 
𝜕𝑧
𝜕𝑤
= 0 
Desta forma, 
 
𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = |
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| = |
0 1 2𝑤
2𝑢 0 1
1 2𝑣 0
| = 1 + 8𝑢𝑣𝑤 
Portanto, o jacobiano da transformação é dado por 𝐽 = 1 + 8𝑢𝑣𝑤. 
 
 
Questão 2 
Considere o sólido S limitado superiormente pela esfera 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), no interior do cilindro 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
cuja representação gráfica é dada por 
 
Empregando a mudança para coordenadas cilíndricas, qual o volume 
aproximado do sólido S descrito anteriormente? 
a) 3,14 u.v. 
b) 4,19 u.v. 
c) 6,28 u.v. 
d) 5,87 u.v. 
e) 10,15 u.v. 
 
 
 
 
Resolução: 
Para o cálculo do volume por meio de integrais triplas utiliza-se a expressão 
𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝐸
 
O limite inferior para 𝑧 é definido pelo plano 𝑥𝑦 (𝑧 = 0). O limite superior é dado 
pela parte superior da esfera de equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, de onde obtemos 
𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 
A projeção do sólido sobre o plano 𝑥𝑦 tem representação gráfica dada por 
 
Devido às características da superfície, e de sua projeção sobre o plano 𝑥𝑦, 
podemos calcular a integral tripla por meio de coordenadas cilíndricas. 
Os limites de integração para a variável 𝑧, em coordenadas cilíndricas, 
correspondem a 
0 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑟2 
pois 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. 
A projeção da superfície sobre o plano 𝑥𝑦 fornece os seguintes limites de 
integração 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Além disso, 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. Logo, 
 
∭ 𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ 𝑟
√4−𝑟2
0
𝑑𝑧
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟 [ ∫ 𝑑𝑧
√4−𝑟2
0
]
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟√4 − 𝑟2
1
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= ∫ [−
1
3
(4 − 𝑟2)3/2]
𝑟=0
𝑟=1
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
1
3
(8 − 3√3) ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
2𝜋
3
(8 − 3√3)
≈ 5,87 𝑢. 𝑣. 
 
 
Questão 3 
Considere a região 𝐸, no primeiro octante, limitada pelas esferas 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
cuja representação gráfica é dada no que segue: 
 
Deseja-se calcular a integral tripla da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧 sobre a região 𝐸, 
descrita anteriormente. 
Qual o valor assumido por ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐸
𝑑𝑉? 
a) 1,05 
b) 1,57 
c) 2,09 
d) 3,14 
e) 5,89 
 
 
 
Resolução: 
Devido às características da região de integração podemos calcular a integral 
tripla por meio de coordenadas esféricas. A região 𝐸, descrita em coordenadas 
esféricas, é dada por 
1 ≤ 𝜌 ≤ 2 
0 ≤ 𝜙 ≤
𝜋
2
 
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Além disso, 
2𝑧 = 2𝜌 cos(𝜙) 
𝑑𝑉 = 𝜌2 sen(𝜙) 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 
Sendo assim, 
∭ 2𝑧
𝐸
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (2𝜌 cos(𝜙))𝜌2 sen(𝜙)
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ 2 cos(𝜙) sen(𝜙) ∫ 𝜌3
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ sen(2𝜙) ∫ 𝜌3
2
1
𝑑𝜌
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(2𝜙) [
1
4
𝜌4]
1
2𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ ∫ sen(2𝜙) (
15
4
)
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = (
15
4
) ∫ ∫ sen(2𝜙)
𝜋
2
0
𝑑𝜙
𝜋
2
0
𝑑𝜃
= (
15
4
) ∫ [−
1
2
cos (2𝜙)]
0
𝜋
2
𝜋
2
0
𝑑𝜃 = (
15
4
) ∫ 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
15𝜋
8
≈ 5,89 
 
 
Questão 4 
Seja o sólido C limitado superiormente por 
𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 
e inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0). A representação desse sólido é dada na 
figura apresentada no que segue. 
 
 
Suponha que a densidade em um ponto P do sólido C é proporcional à distância 
de P ao plano 𝑥𝑂𝑦, ou seja, 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧, 𝑘 ∈ ℝ 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o momento de inércia do 
sólido C em relação ao eixo 𝑧: 
a) 
32
3
𝜋 
b) 
32
3
𝑘𝜋 
c) 32𝜋 
d) 32𝑘𝜋 
e) 
64
3
𝑘𝜋 
Resolução: 
Sabemos que o momento de inércia de S em relação ao eixo z é dado por 
𝐼𝑧 = ∭(𝑥
2 + 𝑦2)
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dV = 𝑘 ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑧
𝐶
𝑑𝑉 
Em coordenadas cilíndricas, o sólido S pode ser representado por 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 4 − 𝑟2 
pois sabemos que 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. 
Portanto, o momento de inércia pode ser calculado da seguinte forma 
 
𝐼𝑧 = 𝑘 ∫ ∫ ∫ 𝑟
2
4−𝑟2
0
𝑧 𝑟
2
0
𝑑𝑧
2𝜋
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 ∫ 𝑧 𝑑𝑧
4−𝑟2
0
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 [
1
2
𝑧2]
0
4−𝑟2
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ ∫ 𝑟3(4 − 𝑟2)2
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= 8𝑘 ∫ ∫ 𝑟3
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ ∫ 𝑟5
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃 +
𝑘
2
∫ ∫ 𝑟7
2
0
𝑑𝑟
2𝜋
0
𝑑𝜃
= 8𝑘 ∫ [
1
4
𝑟4]
0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ [
1
6
𝑟6]
0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃 +
𝑘
2
∫ [
1
8
𝑟8]0
2
2𝜋
0
𝑑𝜃
= 32𝑘 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
−
128
3
𝑘 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
+ 16𝑘 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
= 64𝑘𝜋 −
256
3
𝑘𝜋 + 32𝑘𝜋
=
32
3
𝑘𝜋 
 
 
 
 
 
 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
Vamos retomar a discussão iniciada no tópico correspondente à unidade 2, no 
fórum da disciplina. No tópico indicado foi proposto o seguinte problema para 
estudo: 
 
(Adaptado de Stewart, 2013, p.930) Uma empresa precisa determinar o volume 
de uma peça de determinado motor, que possui estrutura semelhante à um 
“sorvete de casquinha”. 
A peça em questão é aproximada pelo sólido S limitado superiormente pelo cone 
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 
e inferiormente pela esfera 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑧 
A representação gráfica do sólido S pode ser observada nas figuras a seguir: 
 
Como podemos determinar o volume do sólido S? 
 
Fonte: STEWART, J. Cálculo – volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
 
A esfera em questão passa pela origem e tem centro no ponto 𝐶 (0, 0,
1
2
). 
Utilizando coordenadas esféricas, podemos representar a esfera como 
𝑝2 = 𝜌 cos(𝜙) → 𝜌 = cos (𝜙) 
A equação do cone pode ser reescrita como 
 
𝜌 cos(𝜙) = √(𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃))2 + (𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃))2
= √𝜌2 sen2(𝜙) (cos2(𝜃) + sen2(𝜃)) = √𝜌2 sen2(𝜙) = 𝜌 sen(𝜙) 
Isso resulta em cos(𝜙) = sen(𝜙), ou seja, 𝜙 =
𝜋
4
, pois 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋. 
 
Portanto, o sólido S pode ser descrito em coordenadas esféricas por 
𝐸 = {(𝜌, 𝜙, 𝜃); 0 ≤ 𝜌 ≤ cos(𝜙) , 0 ≤ 𝜙 ≤
𝜋
4
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋} 
Desta forma, o volume do sólido pode ser calculado por 
𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sen(𝜙) 𝑑𝜌
cos(𝜙)
0
𝑑𝜙
𝜋
4
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
= ∫ ∫ sen(𝜙) ∫ 𝜌2𝑑𝜌
cos(𝜙)
0
𝑑𝜙
𝜋
4
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
= ∫ ∫ sen(𝜙) [
1
3
𝜌3]
0
cos(𝜙)
𝑑𝜙
𝜋
4
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
=
1
3
∫ ∫ sen(𝜙) (cos(𝜙))3𝑑𝜙
𝜋
4
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
=
1
3
∫ [−
(cos(𝜙))4
4
]
0
𝜋
4
𝑑𝜃
2𝜋
0
=
1
16
∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
𝜋
8
 
 
 
 
 
Preparando-se Para a Próxima Tele aula 
 
 
Oriente os alunos a se prepararem para o nosso próximo encontro organizando 
o auto estudo da seguinte forma: 
1. Planejando o tempo de estudo prevendo a realização de atividades 
diárias. 
2. Estudando previamente as web aulas e a Unidade de Ensino antes da tele 
aula. 
3. Elaborando esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e 
participação na tele aula seja proveitosa. 
4. Utilizando o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas 
e/ou dificuldades. 
 
Lembre os alunos de que eles podem contar sempre com o seu tutor à 
distância e com a professora da disciplina para acompanhar sua 
aprendizagem. 
 
 
 Bom trabalho! 
Prof. Ma. Daiany Cristiny Ramos