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1 Profa. Fabrícia de Farias MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Fabrícia de Farias Matemática Financeira – Juros Compostos Cálculo do Capital ou Principal Valor atual: como em juros simples, corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento, não precisa, necessariamente ser na data zero (P), mas pode ser, simplesmente, antecipado. S = P (1 + i)n ou P = __S__ (1 + i) n 2 Profa. Fabrícia de Farias Matemática Financeira – Juros Compostos Cálculo do Capital ou Principal Exemplo: O valor acumulado ao final de dois anos e quatro meses é $ 5.000,00, a taxa de juros é 42% a.a. capitalizados mensalmente, calcular o principal. S = $ 5.000,00 i = (42%/ano)(1ano/12meses) = 3,5% a.m. n = 28 meses P = ? Solução: S = P (1 + i)n 5.000,00 = P (1 + 0,035)28 - > 5.000,00 = P (1,035)28 P = 5.000,00 (1,035)−28 fator de valor atual = (1,035)−28 P = 5.000,00 (0,3817) P = $ 1.908,27 Profa. Fabrícia de Farias Juros Compostos – Exercícios 13. Calcular o capital de um determinado investimento sabendo-se que o rendimento foi $ 4.970,00; a rentabilidade 2,5% a.m capitalizado semestralmente; o prazo 30 meses, e o regime de capitalização composto. P = $ 4.913,98 14. Leonardo aplicou o mesmo capital em duas aplicações diferentes, sendo que uma delas foi por 5 meses a uma taxa de 18% a.a capitalizados mensalmente e a outra por 1 ano e 9 meses a uma taxa de 2% a.m. capitalizados trimestralmente. Se Leonardo recebeu pelas duas aplicações $ 35.407,50, quanto que ele aplicou no total? i1 = 18% / 12 = 1,5% a.m. n1 = 5 meses i2= 2% (3) = 6% a.t. prazo = 1 ano e 9 meses n2 = 7 trim. P1 + P2 = ? Solução: S1 + S2 = $ 35.407,50 S = P (1 +i) n 35.407,50 = P1 (1 + i1) n1 + P2 (1 + i2) n2 Como P1 =P2 então: P1 (1 + 0,015) 5 + P1 (1 + 0,06) 7 = 35.407,50 P1 = 35.407,50 / 2,5809 = $ 13.719,05 = P2 Pt = 2P1 = 2P2 = (2) $ 13.719,05 = $ 27.438,10 3 Profa. Fabrícia de Farias Matemática Financeira – Juros Compostos Cálculo da Taxa de Juros Exemplo: Para um capital de $ 10.800,00 o valor acumulado em 3 anos foi de $ 14.000,00. Pergunta-se: qual foi a taxa de juros compostos? P = $ 10.800,00 S = $ 14.000,00 n = 3 anos taxa = ? Solução: S = P (1 + i)n 14.000,00 = 10.800,00 (1 + i)3 14.000,00 / 10.800,00 = (1 + i)3 - > 1,2963 = (1 + i)3 1,2963(1) (1/3) = (1 + i)(3) (1/3) - > 1,2963(1/3) = 1 + i 1,0904 = 1 + i - > i = 1,0904 − 1 i = 0,0904 a.a = 9,04% a.a Profa. Fabrícia de Farias Juros Compostos – Exercícios 15. Qual foi a rentabilidade anual de uma aplicação se o prazo foi 30 meses; o montante $ 31.645,00; e o rendimento $ 4.270,00? S = $ 31.645,00 J = $ 4.270,00 prazo = 30 meses i = ? (a.a) => ao ano capitalizado anualmente Solução: S = P + J 31.645,00 = P + 4.270,00 P = $ 27.375,00 Solução 1: S = P (1 + i)n Trabalhando com períodos de capitalização anual => n = 30/12 = 2,5 anos 31.645,00 = 27.375,00 (1 + i)2,5 31.645,00 / 27.375,00 = (1 + i)2,5 1,1560 = (1 + i)2,5 1,1560(1) (1/2,5) = (1 + i)(2,5) (1/2,5) 1,1560(1/2,5) = 1 + i 1,0597 = 1 + i 1,0597 − 1 = i i = 0,0597 a.a = 5,97% a.a (capitalizado anualmente) 4 Profa. Fabrícia de Farias Juros Compostos – Exercícios S = $ 31.645,00 J = $ 4.270,00 prazo = 30 meses i = ? (a.a) => ao ano capitalizado anualmente Solução 2: S = P (1 + i)n Trabalhando com períodos de capitalização mensal => n = 30 meses 31.645,00 = 27.375,00 (1 + i)30 31.645,00 / 27.375,00 = (1 + i)30 1,1560 = (1 + i)30 1,1560(1) (1/30) = (1 + i)(30) (1/30) 1,1560(1/30) = 1 + i 1,004844 = 1 + i 1,004844 − 1 = i im = 0,004844 a.m = 0,4844% a.m (capitalizado mensalmente) Para mudar a capitalização de mensal para a capitalização anual tem que usar taxas equivalentes P(1 + im) 12= P (1 + ia) 1 (1 + 0,004844)12 = 1 + ia (1,004844)12 − 1 = ia ia = 0,0597 a.a = 5,97% a.a (capitalizado anualmente) Profa. Fabrícia de Farias Juros Compostos – Exercícios 16. Qual é a taxa de juros ao trimestre composto mensalmente de um investimento no qual o capital é 30% inferior ao montante e o prazo 6 semestres? Solução 1: Trabalhando com períodos de capitalização mensal -> n=36 meses S = 0,7 S (1 + i)36 - > 1 / 0,7 = (1 + i)36 - > 1,4286 = (1 + i)36 - > 1,4286(1/36) = 1 + i - > i = 0,009957 a.m = 0,9957% a.m capit. mensalmente Para o cálculo da taxa nominal correspondente a taxa efetiva - > usar taxas proporcionais, por que não estamos mudando o período de capitalização taxa = (0,9957%/mês) (3 meses/1trim) = 2,9871% a.t. capit. mensalmente Solução 2: Trabalhando com períodos de capitalização semestral => n= 6 sem i = 0,061252 a.s = 6,1252% a.s Mudar a capitalização semestral para a capitalização mensal: P(1 + isem) 1= P (1 + im) 6 - > (1 + 0,061252) = (1 + im) 6 im = 0,009957 a.m = 0,9957% a.m capitalizado mensalmente Para o cálculo da taxa nominal correspondente a taxa efetiva - > usar taxas proporcionais: taxa = (0,9957% / mês) (3 meses/1trim) = 2,9871% a.t. capit. mensalmente 5 Profa. Fabrícia de Farias Matemática Financeira – Juros Compostos Cálculo de Tempo Para calcular o tempo, isto é, o número de períodos "n" tem que usar logaritmos (decimal ou neperiano). Lembrando: Logaritmo natural (ou neperiano) – Sendo dado x > 0, o lnx é o valor de y que resolve a equação ey=x. Propriedade aplicada em Matemática Financeira: ln(rs)=s.lnr (o logaritmo transforma uma potência no produto do expoente pelo logaritmo da base) Profa. Fabrícia de Farias Matemática Financeira – Juros Compostos Exemplo: Um investidor aplicou um capital de $ 30.240,00 em uma instituição financeira que paga 12% a.a. capitalizados semestralmente. Após certo tempo ele recebeu um montante de $ 47.000,00. Por quanto tempo ficou aplicado o capital? P = $ 30.240,00 S = $ 47.000,00 i = 12% / 2 = 6% a.s. n = ? Solução: S = P (1 + i)n 47.000,00 = 30.240,00 (1 + 0,06)n 47.000,00 / 30.240,00 = (1,06)n - > 1,5542 = (1,06)n Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados da equação: ln 1,5542 = ln (1,06)n - > ln 1,5542 = (n) ln 1,06 n = ln 1,5542 / ln 1,06 - > n = 0,4410 / 0,0583 n = 7,56 sem 6 Profa. Fabrícia de Farias Juros Compostos – Exercícios 17. Fátima aplicou $ 27.600,00, após certo tempo ela recebeu um montante de juros no valor de $ 5.654,80 a uma taxa de 6% a.m. sendo a capitalização composta. Por quantos anos ficou o dinheiro aplicado? n = 0,266 anos 18. Se uma aplicação o rendimento de um capital de $ 15.490,00 a uma taxa de 92,40% a.a. capitalizados mensalmente foi $ 8.400,00, de quanto tempo foi a aplicação? n = 5,84 meses 19. Um investidor aplicou $ 15.000,00 em um banco que paga 20% a.s de taxa de juros. Após certo tempo ele recebeu $ 58.600,00. Por quanto meses ficou o dinheiro aplicado? Prazo = 44,82 meses Profa. Fabrícia de Farias Dúvidas?
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