tensao e deformação att 10.06

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Análise de Tensões e Deformações 
7 
 
1. ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
A Resistência dos Materiais, assim como a Teoria da Elasticidade, a Análise 
Experimental de Tensões e o Método de Elementos Finitos têm como objetivos 
determinar as tensões que atuam nas faces dos paralelepípedos elementares que 
representam estes pontos críticos e permitir estabelecer suas tensões e deformações 
equivalentes com base em critérios de resistência referentes a cada possível modo de 
falha. 
 
Os carregamentos que atuam ou atuarão sobre um sistema mecânico ou sobre 
seus componentes individuais podem ser previstos ou determinados através dos seguintes 
modos: 
 
Na determinação de carregamentos é importante considerar os seguintes aspectos: 
 
• Se o carregamento é estático ou tem natureza vibratória; 
• Se existem impactos na estrutura; 
• A história do carregamento no que se refere à sua repetição, sequência de valores 
e número de ciclos; 
• A temperatura, sua influência na resposta do material e sua variação ao longo das 
dimensões e ao longo do tempo para diferentes pontos da estrutura; 
• A possibilidade de existirem tensões residuais, causadas por fabricação, 
soldagem, tratamentos térmicos, montagens, sobrecargas, etc; 
• A natureza determinística ou aleatória do carregamento; 
• A incerteza associada ao processo de determinação do carregamento. 
 
Um corpo deformável, quando submetido a carregamentos (forças externas e 
internas) responde com um campo de deslocamentos. Este campo pode ser dividido em 
duas partes, uma correspondente ao movimento de corpo rígido (que também pode ser 
subdividida numa rotação e numa translação) e outra que corresponde às mudanças 
relativas entre as posições dos pontos que definem o corpo. Na análise de deformações 
procura-se estudar esta segunda parte, enquanto que a primeira é focada pela Dinâmica 
dos Corpos Rígidos. 
 
1.2 OBJETIVO 
Estudar e determinar as tensões e as deformações sofridas por corpo como os que 
constituem as estruturas. 
 
 
 
 
 
Análise de Tensões e Deformações 
8 
 
1.3 CONCEITOS DE DEFORMAÇÃO E TENSÃO 
 
1.3.1. DEFORMAÇÃO 
 
A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, isto é, provoca uma 
deformação, assim com o aumento da intensidade da força, há um aumento da 
deformação. 
 
Existem dois tipos de deformação: Deformação Elástica (deformação transitória, 
ou seja, o corpo retomará suas dimensões iniciais quando a força for removida) e 
Deformação Plástica (deformação permanente, ou seja, o corpo não retornará para suas 
dimensões iniciais depois de cessado o esforço aplicado). 
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de escoamento. 
 
1.3.2 DEFORMAÇÃO UNITÁRIA OU DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA (AXIAL) 
 
Deformação específica (ε) é a relação entre o alongamento total (∆l ou δ) e o 
comprimento inicial (l0). 
𝜺𝒂 = 
𝜹
𝒍𝒐
 
 
ε - é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em porcentagem 
multiplicando por 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 TENSÃO 
É definida como sendo a resistência interna de um corpo qualquer, à aplicação 
de uma força externa por unidade de área, ou seja, é a força por unidade de área. 
𝝈 = 
𝑭
𝑨
; (MPa) 
 
 
 
l 
Δl 
1.1 
1.2 
Figura 1 / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
Análise de Tensões e Deformações 
9 
 
1.4.1 DIAGRAMA DE TENSÃO x DEFORMAÇÃO 
Aumentando a tensão, a deformação também vai aumentando e os resultados da 
experiência podem ser mostrados por um gráfico (σ x ε), marcando em abscissas (eixo 
“X”) as deformações e em ordenadas (eixo “Y”) as tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto P – Tensão Limite de Proporcionalidade (σp): Abaixo deste ponto, a tensão é 
proporcional à deformação específica (ε), portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a 
tensão é proporcional à deformação, vale somente até este ponto. 
Ponto E – Tensão Limite de Escoamento (σe): Caracteriza o ponto de escoamento, ou 
seja, a perda da propriedade elástica do material. Nos aços de médio e baixo teor de 
1‘carbono, ocorre um visível alongamento do corpo-de-prova praticamente sem aumento 
da tensão. 
Ponto R – Tensão Limite de Resistência (σr): É a maior tensão que o corpo-de-prova 
pode suportar antes de se romper. 
Obs.: conceitualmente pode-se admitir que σp = σe 
 
1.5 RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
 
1.5.1. MÓDULO DE ELASTICIDADE 
A Lei de Hooke, (Robert Hooke 1678), estabelece que até a tensão limite de 
proporcionalidade (σp), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão x Deformação, a tensão 
em um material é proporcional à deformação nele produzida. Devido a esta condição de 
proporcionalidade pode se escrever que: 
Ruptura 
σ 
σt 
σe 
σp 
ε 
E
 ε 
P 
1 2 
1- Zona elástica 
2- Zona plástica 
 
Análise de Tensões e Deformações 
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𝝈 = 𝑬. 𝜺 
 Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior o valor 
de “E” menor a deformação elástica e mais rígido é o material. 
Para deformação total, temos: 
𝛅 = 
𝑭. 𝑳
𝑬. 𝑨
 
 
1.5.2 COEFICIENTE DE POISON 
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre 
além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). 
Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em relação à 
outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama Tensão- 
Deformação). 
 
1.6 TEORIA DAS TENSÕES 
Como ilustração do conceito de tensão, considera-se um corpo sólido, em 
equilíbrio, sujeito a um certo número de ações (forças externas), conforme a Figura 2. 
 
Figura 2 - Sólido em equilíbrio / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
Isolando-se uma parte deste sólido, conforme a Figura 2, o equilíbrio é garantido 
pelo princípio da ação e reação (Lei de Newton), por se tratar de uma parte de um sólido 
em equilíbrio. 
 
1.3 
1.4 
 
Análise de Tensões e Deformações 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Ação e reação no sólido / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
 
 
De maneira geral, pode-se dizer que uma área elementar dS é responsável por 
uma parcela dF daquelas forças transmitidas (ação e reação). Na figura 3 é mostrada a 
parcela dF segundo suas componentes nos eixos x, y, z, com "origem" no centro da área 
do elemento dS. O sistema Oxyz é cartesiano. 
Figura 4 - Decomposição de força / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
1.7. ESTADO DUPLO OU PLANO DE TENSÕES 
 
Segundo o Beer (2011), Considera-se, agora, um estado de tensão mais geral 
num elemento onde não só atua tensão normal em uma direção, mas em duas direções. 
Tal situação é conhecida como tensões biaxiais. Distinguindo-se, assim, da tensão em 
uma direção, ou uniaxial. 
As tensões biaxiais aparecem em análise de vigas, eixos, chapas etc. No 
momento, o interesse é determinar as tensões normais e tangenciais num dado plano de 
um estado de tensão. 
Seja, então, uma chapa retangular com espessura unitária com tensões normais 
e tangenciais atuando sob esta chapa com uma convenção de sinais definida seguindo a 
figura 5: 
 
 
Análise de Tensões e Deformações 
12 
 
 
Figura 5 - Tensões no estado Plano / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
 
 
 
Tensão Normal: 
 
 > 0 → TRAÇÃO 
 < 0 → COMPRESSÃO 
 
Tensão Tangencial: 
 
Escolhe-se uma face, se for de tração e concordar com o eixo x ou y para ser 
positivo. Caso  seja de compressão e concordar com o eixo x ou y,  para ser positivo, 
terá de discordar do sentido positivo de x ou de y. 
De um modo geral,o objetivo do estudo é obter as tensões normais e/ou tangenciais em 
um plano genérico que corta a chapa numa direção qualquer. 
Graficamente temos: 
 
 
 
Figura 6 - Tensões no estado Plano / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
 
Análise de Tensões e Deformações 
13 
 
 
 
Figura 7 - Tensões no estado Plano / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
Após analisar os gráficos, concluimos que: 
 
 
𝝈𝒙′ = 
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
 + 
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 
 
𝝉𝒙′𝒚 = − 
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝝉𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 
 
 
 
Figura 8 – Tensão / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
A expressão para a tensão normal σy′ é obtida substituindo-se θ na Equação de 
𝜎𝑥′, pelo ângulo θ + 90º, que p ângulo que o eixo y’ forma com o eixo x, como cos(2θ + 
180º ) = -cos 2θ e sen (2θ + 180º ) = - sen 2θ, assim: 
 
𝝈𝒚′ = 
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
 − 
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 − 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 
 
1.8 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA 
 
É importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal 
chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão 
de cisalhamento chegar ao máximo. Para determinar a tensão normal máxima e mínima, 
temos que diferenciar a equação 𝜎𝑥′ = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
 + 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝜃 , em relação 
1.5 
1.6 
1.7 
 
Análise de Tensões e Deformações 
14 
 
a θ e igualar o resultado a zero; 
𝑑𝜎
𝑥′
𝑑𝜃
= − 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝜃 , assim 
concluímos que: 
 
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝟏 = 
𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝟐
 
 
𝜃1= é o ângulo que determina qual o plano onde atuam as tensões máximas 
2𝜃1= pode ser dois valores e estes estão afastados por 180º. Em um determinado valor de 
𝜃′1 atua a máxima tensão normal e em outro valor 𝜃′′1 estando 90º atua a mínima tensão 
normal 
Para saber qual o plano em que atua uma determinada tensão, por exemplo o 𝜎𝑥′ 
basta substituir na formula 𝜎𝑥′ = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
 + 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝜃, o valor de θ por 
𝜃1. Para 𝜃1que determina as máximas tensões normais, as tensões tangenciais são nulas. 
Segundo o Beer (2011), as equações obtidas na seção anterior são as equações 
paramétricas de uma circunferência. Isso significa que, se escolhermos um sistema de 
eixos cartesianos ortogonais e representarmos um ponto M de abscissa σx’ e ordenada 
τx’y’ para um dado valor do parâmetro θ, todos os pontos assim obtidos pertencerão a 
uma circunferência. Para estabelecer essa propriedade eliminamos θ das equações; e 
finalmente somando membro a membro as duas equações obtidas dessa forma. Temos: 
 
𝝈𝒎é𝒅 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
 𝒆 𝑹 = √(
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
)
𝟐
+ 𝝉𝟐𝒙𝒚 
 
Os planos em que atuam as máximas tensões são chamados de planos principais 
de tensão e as tensões máximas são chamadas tensões principais. Assim, analisando 
graficamente podemos deduzir que: 
 
√(
𝟏
𝟒
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚²) = √𝒓² 
Deduzimos que: 
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽′𝟏 = −𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽
′
𝟏 =
𝝉𝒙𝒚
√(
𝟏
𝟒 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 ) 
= −
𝝉𝒙𝒚
𝒓
 
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽′𝟏 = −𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽
′
𝟏 =
𝟏
𝟐 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
√(
𝟏
𝟒 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 ) 
= −
𝟏
𝟐
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝒓
 
1.8 
1.9 
1.10 
1.11 
1.12 
 
Análise de Tensões e Deformações 
15 
 
Substituindo na equação geral de transformação de tensão no plano, temos: 
 
𝝈𝟏,𝟐 = 
𝝈𝒙+𝝈𝒚
𝟐
± √(
𝝈𝒙−𝝈𝒚
𝟐
)² + (𝝉𝒙𝒚)² 
 
Onde 𝜎1 >σ2 , sendo σ1 a tensão máxima e σ1 a tensão mínima, e ambas são as tensões 
principais no estado de tensão biaxial. Caso seja o estado triaxial 𝜎1 >𝜎2>𝜎3 
Desse modo concluímos que: 
 
 
Figura 9 - Análise gráfica de tg 1 / Fonte: Hibbeler (2013) 
 
EXEMPLO 1: 
Para o estado de tensão dado, determine as tensões normal e de cisalhamento depois que 
o elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido horário e (b) 10° no sentido 
anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 MPa 
50 MPa 
1.13 
 
Análise de Tensões e Deformações 
16 
 
RESOLUÇÃO: 
1º passo: analisar e calcular as tensões 
σx = 0 / σy = -80 Mpa / 𝜏𝑥𝑦 = -50 Mpa 
𝜎𝑚é𝑑 = 
𝜎𝑥 ± 𝜎𝑦
2
 = ± 40𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑥′ = 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 + 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
𝜏𝑥′𝑦 = − 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 
𝜎𝑦′ = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 − 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
 
2º passo: Calcular para o ângulo de 25° no sentido horário 
𝜃 = −25° 2𝜃 = −50° 
𝜎𝑥′ = −40 + 40𝑐𝑜𝑠(−50°) − 50𝑠𝑒𝑛(−50°) → 𝜎𝑥′ = 24𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑥′𝑦′ = − 40 − 40 𝑠𝑒𝑛(−50°) − 50 𝑐𝑜𝑠(−50°) → 𝜏𝑥′𝑦′ = −1,5 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑦′ = − 40 − 40𝑐𝑜𝑠(−50°) + 50 𝑠𝑖𝑛(−50°) → 𝜎𝑦′ = −104 𝑀𝑃𝑎 
 
3° passo: Calcular para o ângulo 10° no sentido anti-horário. 
𝜃 = 10° 2𝜃 = 20° 
𝜎𝑥′ = −40 + 40𝑐𝑜𝑠(20°) − 50𝑠𝑒𝑛(20°) → 𝜎𝑥′ = −19,5𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑥′𝑦′ = − 40 − 40 𝑠𝑒𝑛(20°) − 50 𝑐𝑜𝑠(20°) → 𝜏𝑥′𝑦′ = 60,7 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑦′ = − 40 − 40𝑐𝑜𝑠(20°) + 50 𝑠𝑖𝑛(20°) → 𝜎𝑦′ = 60,5 𝑀𝑃𝑎 
 
EXEMPLO 2: 
Resolva o exemplo 1 usando o círculo de Mohr. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
1º passo: analisar e calcular as tensões 
σx = 0 / σy = -80 Mpa / 𝜏𝑥𝑦 = -50 Mpa 
𝜎𝑚é𝑑 = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 = − 40𝑀𝑃𝑎 
 
Análise de Tensões e Deformações 
17 
 
2º passo: Pontos para o círculo de Mohr. 
2.1- Coordenadas 
X: (0,50) 
Y: (-80,-50) 
C: (-40,0) 
 
2.2. Tangente e raio 
𝑡𝑔 2𝜃1 = 
𝐹𝑋
𝐶𝐹
 = 
50
40
 = 1,25 
2𝜃1 = 51,34° 
R = √𝐶𝐹2 + 𝐹𝑋2 = √(−40)2 + 502 = 64,03 𝑀𝑃𝑎 
 
3º passo: Calcular para o ângulo de 25° no sentido horário e montar o círculo de Morh 
 
𝜃 = −25° 2𝜃 = −50° 
Φ = 51,34° - 50° = 1,34° (horário) 
σx' = σ + Rcosφ = 24 Mpa 
𝜏𝑥′𝑦′= -Rsenφ = -1,5 Mpa 
σy’ = σ - Rcosφ = -104 Mpa 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º passo: Calcular para o ângulo de 10° no sentido anti-horário e montar o círculo de 
Morh. 
𝜃 = 10° 2𝜃 = 20° 
Φ = 51,34° + 20° = 71,34° (anti-horário) 
B A 
Y
 
X 
C F 
φ 
2θ1
θ
Digite a equação aqui. 
2θ
Digite a equação aqui. 
 
Análise de Tensões e Deformações 
18 
 
σx' = σ + Rcosφ = -19,5 Mpa 
𝜏𝑥′𝑦′= -Rsenφ = -60,7 Mpa 
σy’ = σ - Rcosφ = -60,5 Mpa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO NO PLANO DE 
DEFORMAÇÃO 
Com base do Beer (2011); o estado geral de deformação em um ponto em um 
corpo é representado por uma combinação de três componentes de deformação normal 
Ɛ𝑥, Ɛ𝑦, Ɛ𝑧, e três de deformação por cisalhamento 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑦𝑧. Essas seis componentes 
tendem a deformar cada face de um elemento do material, e como ocorre com a tensão, 
as componentes da deformação normal e da deformação por cisalhamento no ponto 
variarão de acordo com a orientação do elemento. Assim, como na tensão, a deformação 
é estudada no plano onde não consideramos os efeitos das componentes Ɛ𝑧, 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑥𝑧. 
1. Deformações normais são produzidas por mudanças no comprimento do elemento 
nas direções x e y 
2. Deformações por cisalhamento resultam da rotação relativa de dois lados 
adjacentes do elemento. 
3. Estado plano de deformação ≠ estado plano de tensão 
4. Mesmo as deformações plana tendo duas componentes de deformação normais 
Ɛ𝑥, Ɛ𝑦 e uma de cisalhamento 𝛾𝑥𝑦 e estando no mesmo plano que as tensão plana, as 
tensões não causaram deformação plana por conta do efeitode Poisson (υ) impedindo a 
ocorrência simultânea de tensão plana e deformação plana. 
 
Como o coeficiente de Poisson só afeta as deformações normais, logo as condições 𝛾𝑥𝑧= 
𝛾𝑥𝑧 = 0 é valida 
 
Y
 
X
 
Y’ 
X’ 
φ 
2θ1 
2θ 
σ (mpa) 
 𝜏 (mpa) 
 
Análise de Tensões e Deformações 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝝉𝒙𝒚
𝟐
 
 
 
 
𝝉𝒙𝒚
𝟐
 
 
Figura 10- estado plano de deformação / Fonte: Beer (2011) 
 
1. 9.1. DEFORMAÇÕES NORMAL E POR CISALHAMENTO 
 
Para desenvolver as equações de transformação da deformação e determinar Ɛ𝑥′, 
temos de determinar o alongamento de um segmento 𝑑𝑥′ que está no eixo 𝑥′ sujeito a uma 
deformação Ɛ𝑥, Ɛ𝑦, 𝛾𝑥𝑦. 
𝒅𝒙= 𝒅𝒙′ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
𝒅𝒚= 𝒅𝒙′ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
Quando ocorre a deformação normal positiva Ɛ𝑥, a reta 𝑑𝑥 sofre um alongamento 
Ɛ𝑥𝑑𝑥 que provoca na reta 𝑑𝑥′ um alongamento Ɛ𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃. Analogamente acontece o 
mesmo procedimento com a deformação Ɛ𝑦, onde a reta 𝑑𝑦 sofre um alongamento 
Ɛ𝑦𝑑𝑦 provocando um alongamento Ɛ𝑦𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 na reta 𝑑𝑥′ 
A deformação por cisalhamento 𝛾𝑥𝑦 que é provocado pela mudança no ângulo 
entre 𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑦 , que provoca um deslocamento 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 para a direita da extremidade da reta 
dy, isso acarreta o alongamento 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 na reta dx’dy’ 
 
 
 
 
 
y 
x x 
y 
dx 
dy 
𝜀𝑥𝑑𝑥
dx 
𝜀𝑦𝑑𝑦
dx 
y 
x 
 
Figura 11 - estado plano de deformação / Fonte: Beer (2011) 
 
1.14 
1.15 
 
Análise de Tensões e Deformações 
20 
 
 
Pode concluir que: 
Ɛ𝒙′= Ɛ𝒙𝒄𝒐𝒔²𝜽 + Ɛ𝒚𝒔𝒆𝒏²𝜽 + 𝜸𝒙𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
Após fazer a análise trigonometrica, a equação é dada por: 
 
𝜺𝒙′ = 
𝜺𝒙 + 𝜺𝒚
𝟐
 + 
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 + 
𝜸𝒙𝒚
𝟐
 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 
 
Como nas equações gerais de transformação de tensão, analogamente o processo para 
achar o Ɛ𝑦′ é o mesmo, onde substitui 𝜃 = 𝜃 + 90; que é o ângulo formado pelo eixo 𝑦′ 
e x. 
 
𝜺𝒚′ = 
𝜺𝒙 + 𝜺𝒚
𝟐
 − 
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 − 
𝜸𝒙𝒚
𝟐
 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 
 
A equação de transformação da deformação para determinar γx′y′ pode ser desenvolvida 
considerando-se a quantidade de rotação que cada um dos segmentos de reta 𝑑𝑥′ 𝑒 𝑑𝑦′ 
sofre quando submetido às componentes da deformação Ɛ𝑥, Ɛ𝑦, 𝛾𝑥𝑦. 
 
𝜸𝒙′𝒚′
𝟐
 = − (
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
) 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 
𝜸𝒙𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 
 
1. 9.2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS 
 
Como ocorreu com a tensão, a orientação de um elemento em um ponto pode ser 
determinada de modo tal que a deformação do elemento seja representada por 
deformações normais, sem nenhuma por cisalhamento. Quando isso ocorre, as 
deformações normais são denominadas deformações principais, isso supondo que o 
material é homogêneo e isotrópico. 
Para isso, relacionado a equação de 𝜀𝑥′, em relação ao ângulo θ e igualar o resultado a 
zero 
 
𝜺𝒙′
𝒅𝜽
 = 
𝜺𝒙 + 𝜺𝒚
𝟐
 + 
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 + 
𝜸𝒙𝒚
𝟐 
 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟎 
 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
 
Análise de Tensões e Deformações 
21 
 
Com isso, concluímos que: 
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝟏 = 
𝜸𝒙𝒚
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
 
 
Onde, 
𝜃1= é o ângulo que determina qual o plano onde atuam as tensões máximas 
2𝜃1= pode ser dois valores e estes estão afastados por 180º. Em um determinado valor de 
𝜃′1 atua a máxima tensão normal e em outro valor 𝜃′′1 estando 90º atua a mínima tensão 
normal. Para saber qual o plano em que atua uma determinada tensão, por exemplo o 𝜎𝑥′ 
basta substituir na formula, 
Ɛ𝐱+Ɛ𝐲
𝟐
 + 
Ɛ𝐱−Ɛ𝐲
𝟐
cos 2𝜃 + 
𝛄𝐱𝐲
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 o valor de θ por 𝜃1. Para 
𝜃1que determina as máximas tensões normais, as tensões tangenciais são nulas. 
 
Como o procedimento é igual ao da tensão, a equação das deformações principais é 
 
Ɛ𝟏,𝟐 = 
𝜺𝒙 + 𝜺𝒚
𝟐
± √(
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
)
𝟐
+ (
𝝉𝒙𝒚
𝟐
)
𝟐
 
 
1.9.3 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO 
 
O mesmo procedimento pode ser seguido para a determinação da deformação 
cisalhante máxima. Fazendo-se um estudo análogo ao das tensões principais, a tensão 
tangencial em qualquer plano q é dada por: 
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝟐 = 
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚)
𝟐𝝉𝒙𝒚
 
Assim, 𝜃2 indica qual plano a deformação tangencial é máxima. Concluímos 
desse modo que os planos para deformação de cisalhamento máxima podem ser determinados 
orientando um elemento a 45° em relação a posição de um elemento que define os planos da 
deformação principal. 
 
𝛄𝐦á𝐱
𝟐
 = ±√(
𝛆𝐱 − 𝛆𝐲
𝟐
)
𝟐
+ (
𝛄𝐱𝐲
𝟐
)
𝟐
 𝐞 𝛆𝐦é𝐝 = 
𝛆𝐱 + 𝛆𝐲
𝟐
 
 
Assim como ocorre nas tensões, na deformação utilizamos a análise gráfica do 
círculo de morh para visualizar as componentes de deformação de acordo com a 
orientação do plano em que atuam. 
 
1.21 
1.22 
1.23 
1.24 
 
Análise de Tensões e Deformações 
22 
 
 
Figura 12: analise gráfica do círculo de morh para a deformação / Fonte: Beer (2011) 
 
1.9.4 TEORIA DO CRITÉRIO DE FALHA DE MORH 
 
Em alguns materiais frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão são 
diferentes. Nesses casos usamos a teoria de falha de morh, para aplicar esse critério é 
necessário realizar o ensaio de tração (𝜎𝑟), o ensaio de compressão (𝜎𝑟), e o ensaio de 
torção para determinar a tensão de cisalhamento (𝜏𝑟). Estabelecidos os limites de ruptura 
das tensões normais, é construído um circulo de morh para cada tensão. 
 
𝜎1=𝜎2=0 e 𝜎3= −𝜎𝑟 (tensão limite de ruptura a compressão) 
𝜎1=𝜎2=0 e 𝜎3= 𝜎𝑟 (tensão limite de ruptura a tração) 
𝜏 = 𝜏𝑟 (estado de tensão de cisalhamento puro) 
 
Após estabelecer as tensões limites e criar os círculos de morh para cada tensão, 
esses três círculos são contidos em um envelope de falha, o qual é a tangente a todos os 
círculos. 
𝑹 = √(
𝜺𝒙 − 𝜺𝒚
𝟐
)
𝟐
+ (
𝜸𝒙𝒚
𝟐
)
𝟐
 1.25 
 
Análise de Tensões e Deformações 
23 
 
EXEMPLO 3: 
Uma força axial centrada P e uma força horizontal Q são ambas 
aplicadas ao ponto C da barra de seção retangular mostrada na 
figura. Uma roseta de deformação de 45° na superfície da barra no 
ponto A indica as seguintes deformações: 
𝜀1 = −75𝜇; 𝜀2 = 300𝜇; 𝜀3 = 250𝜇 
Sabendo que E = 200 GPa e v = 0,30, determine as intensidades de 
P e Q x. 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
1º passo: analisar as deformações 
𝜀𝑥 = 𝜀1 = −75𝑥10(−6) 
𝜀𝑦 = 𝜀3 = 250𝑥10(−6) 
γxy = 2 ∗ ε2 − ε1 − ε3 = 425x10(−6) 
 
2° passo: analisar as tensões 
σx =
𝐸
1 − 𝑢2
(𝜀𝑥 + 𝑢𝜀𝑦) → 𝜎𝑥 =
200𝑥109
1 − 0,32
(−75 + 0,3 ∗ 250)𝑥10(−6) → 𝜎𝑥 = 0 
σy =
𝐸
1 − 𝑢2
(𝜀𝑦 + 𝑢𝜀𝑥) → 𝜎𝑦 =
200𝑥109
1 − 0,32
(250 + 0,3 ∗ (−75))𝑥10(−6) → 𝜎𝑦 
= 50 𝑀𝑝𝑎 
𝜎𝑦 = 
𝑃
𝐴
 → 𝑃 = 𝐴𝜎𝑦 → 𝑃 = (50 ∗ 150) ∗ 50 → 𝑃 = 375 𝑘𝑁 
 
3° passo: calcular os esforços atuantes 
 
𝐺 = 
𝐸
2(1 + 𝑈)
 → 
200𝑋109
2(1 + 03)
 → 𝐺 = 76,92 𝐺𝑃𝑎 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 → (76,92𝑥109)(495𝑥10(−6)) → 𝜏𝑥𝑦 = 32,69 𝑀𝑃𝑎 
 
Análise de Tensões e Deformações 
24 
 
I =
𝑏ℎ3
12
→ 𝐼 =
50 ∗ 1503
12
→ I = 14062500mm4 
 
Q = Ay → 75 ∗ 50 ∗ (75/2) = 140625mm3 
 
t = 50mm 
 
𝜏𝑥𝑦 = 
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 → 𝑉 = 
𝐼𝑡𝜏𝑥𝑦
𝑄
 → 𝑉 = 
(14062500) ∗ (50) ∗ (32,69)
140625
 → 
 𝑉 = 163,45 𝑘𝑁 
 
𝑸 = 𝑽 = 𝟏𝟔𝟑, 𝟒𝟓 𝒌𝑵