Álgebra Linear Aplicada IV O Espaço Vetorial (1)

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1 
ALAp 4 - O ESPAÇO VETORIAL (n,+,*) 
 
 No ALAp1 denotamos por (n, +,*) ao conjunto n, dotado das operações usuais de soma, +, e de 
multiplicação por números reais, *. Algumas de suas propriedades básicas já foram trabalhadas nos capítulos 
precedentes. Todos os leitores provavelmente estarão habituados a representar, com operações em (3,+,*), 
os vetores que aparecem na física, tais como, posição, velocidade, força e campo elétrico. Neste sentido é 
natural dizer que o (n,+,*) é um Espaço Vetorial. A bem da verdade, o conceito de Espaço Vetorial é dos 
mais férteis em matemática e pode ser abordado com grande generalidade. No entanto, do ponto de vista da 
Álgebra Linear, sem dúvida o Espaço Vetorial (n,+,*) usual se destaca dos demais, não só por sua 
importância, mas também pelo fato que se alguém entende bem os conceitos básicos da sua estrutura 
algébrica, facilmente apreenderá a sua generalização para os demais espaços vetoriais de que trata a Álgebra 
Linear. Uma melhor compreensão da estrutura algébrica de (n,+,*) é essencial para podermos trabalhar 
adequadamente com as transformações lineares no n. Este capítulo e o próximo tratarão de explorar esta 
estrutura algébrica do n, dotado das operações de soma e multiplicação por números reais. O usual nos livros 
didáticos de Álgebra Linear é introduzir os conceitos que trataremos nestes dois capítulos num contexto bem 
mais abstrato, e tratar o n como um exemplo particular de Espaço Vetorial. Preferimos o caminho inverso e no 
capítulo 10 trataremos de generalizar as idéias que desenvolveremos nestes dois capítulos. 
 
4.1 - SUBESPAÇO VETORIAL (SEV) 
 
Um subespaço vetorial do n é um subconjunto não vazio do n no qual se soma vetores sem sair 
dele, bem como se multiplica vetores por números reais, igualmente, sem sair dele. Começamos com um 
exemplo: 
 
Exemplo 4.1 - Seja V = {(2x1,x1)
T
 : x1   }  
2
. 
 
i - Veja que se x e y estiverem em W então x + y também estará em W, já que: 
 
 
 x = 






4
2 
 x+y W 
 
 
 y =








2
1
 
 
 
W Ilustração geométrica: W é fechado com relação a soma 
 
 
 
2 
2 
ii - Se  for um número real e x estiver em W então x também estará em W, já que: 
 













2
1
x
x2
x
x 1
1
1 
 
i e ii caracterizam a reta W como um subespaço vetorial do 2. 
 
Formalmente, temos: 
 
Definição 4.1 Subespaço Vetorial (SEV) 
1
 
 
Dizemos que W é um subespaço vetorial de n (SEV de n), caso: 
 
i - W esteja contido em n e 0  W 
 
ii - A soma de vetores de W e a multiplicação de vetores de W por n
os
 permaneçam em W. 
 
 Ou seja, W  n é um SEV de n, caso: 
 
SEV.1 - x + y  W , para todo x , y  W 
 
SEV.2 - *x  W , para todo    e x  W 
 
Em palavras, um SEV do n é um subconjunto não vazio e algebricamente fechado com relação às 
operações de soma de vetores e de multiplicação de vetores por números. 
Exemplo 4.2 - SEVs triviais do n 
V = n e W = {0} são subespaços vetoriais do 
n
, para todo número natural n, já que: 
 No caso V = n, a soma de dois vetores no Rn não tem como sair dele. Igualmente, a multiplicação de 
um vetor por um número real. 
 No caso W ={0}, dados vetores x e y em W, então x = y =0. Segue que x + y = 0 permanece em W e 
que a multiplicação de x por qualquer número real continua 0, e portanto ainda em W. 
 
V = n e W = {0} são usualmente denominados subespaços triviais do 
n 
 
 
1 A denominação subespaço vetorial torna-se mais significativa num contexto mais geral como o do capítulo X. Lá veremos que os 
subespaços vetoriais do n são, igualmente, espaços vetoriais que herdam a estrutura algébrica do n, num sentido bastante natural. 
Talvez este seja o único conceito no qual se adia uma interpretação importante por não se fazer uma abordagem mais geral logo de 
início. 
 
 
3 
3 
Exemplo 4.3 - SEVs de 1 =  
 
 No caso n=1, os vetores são os números reais e só existem os SEVs triviais. Para vê-lo, suponha que W 
é um SEV de , e que v  0 está em W. Se x é um número real qualquer, então x = v, onde  =
v
x . Mas, 
por SEV.2, isto significa que x também está em W. Ou seja, todo número real x está em W. Vale dizer, se W 
{0}, então W =  
 
 
 
 
Observação 4.1 Uma definição equivalente para o conceito de SEV do n 
 
Veja que se W é um SEV do n, x, y e z estão em W e tomamos uma combinação linear qualquer x + 
y + z, SEV.2 nos garante que x, y e z também estão em W e SEV.1 nos permite concluir que x + y 
+ z também está em W. Em resumo, 
 
Se W é SEV do n então toda combinação linear de vetores de W permanece em W. 
 
Vice versa, se W é um subconjunto do n para o qual vale que toda combinação linear de vetores de W 
permanece em W, então SEV.1 e SEV.2 obviamente também se verificam para W. Ou seja, neste caso W é 
SEV do n 
 
Em resumo, podemos juntar SEV.1 e SEV.2 numa única condição dizendo que 
 
 W é SEV do n, caso todas as combinações lineares de vetores de W permaneçam em W. 
 
Exemplo 4.4 - Subespaços vetoriais de 2 
 
As retas que contêm a origem (0,0)
T 
 são SEVs do 
2
. O argumento para vê-lo é o mesmo do exemplo 
4.1. Se W = {  v |   0 }, representa a reta do 2 , formada pelos múltiplos de v 0, e x , y são pontos de 
W, então: 
 
 SEV.1 - Existem números reais  e , tais que x = v e y =v  x + y = (+)v 
 SEV.2 – Se  é um número real, então x =  (v)= () v 
 
Reciprocamente, os únicos SEVs não triviais do 2 são as retas que contêm a origem. Para verificá-lo, 
seja W  {0} um SEV do 2 e seja x 0 um vetor não nulo de W. Neste caso, pela exigência em SEV.2, só há 
duas possibilidades: 
 
 
 
 
 
 0 v x = (x/v) v 
 
 
4 
4 
 W é a reta que contem os múltiplos de x. 
 
 
 
 
 
 Existe algum vetor y em W, que não está na 
 reta formada pelos múltiplos de x. Neste caso, 
 vimos no exemplo 1.2.vii que, se v for um ponto 
 qualquer do 2, então v é combinação linear de x 
 e de y. Isto significa que todos os pontos do 2 
 têm que estar em W. Ou seja, W = 2 
 
 
 Vamos fazer a seguir uma argumentação mais algébrica, para ver a mesma coisa. Ou seja, supondo que um 
SEV W  {0} do 2 não é uma reta, vamos verificar com argumentos algébricos que W = 2. Neste caso, 
existem vetores A
(1)
 e A
(2)
 , que não são múltiplos um do outro. Então matriz A = (A
(1)
 A
(2)
) não pode ter 
posto 1. Se este fosse o caso, Ax = 0 teria uma solução não trivial  = (1 2), implicando: 
 
 1A
(1)
 + 2A
(2)
 = 0, com (1 2)  0  














0se,AA
0se,AA
2
)1(
2
1)2(
1
)2(
1
2)1(
 
 
 Ou seja, se a matriz A tivesse posto 1, A
(1)
 e A
(2)
 estariam numa mesma reta que a origem (0 0 )
T
, 
contradizendo nossa hipótese. Portanto, A tem posto 2, neste caso. Mas então o posto de A coincide com seu 
número de linhas. Pela observação 3.10.iv, isto significa que, se b é um vetor qualquer de 2 então Ax = b tem 
uma solução. Mas isto significa dizer que b é combinação linear das colunas deA. Ou seja, b se escreve como 
combinação linear de dois vetores de W. Pela observação 4.1, b está em W. Como b é qualquer vetor de 2, 
isto significa que 2  W e, portanto, 2 = W. 
 
Exemplo 4.5 Subespaços vetoriais de 3 
 
4.5.i - W = { x  3: x1 + 2x2 - x3 = 0} é SEV do 
3
 
 
Se x e y estão em W = { x  3: x1 + 2x2 - x3 = 0}  
3
, e  é um números real qualquer: 
 
 SEV.1 Para checar que x + y = 













33
22
11
yx
yx
yx
 está em W, veja que: 
(x + y)1 + 2(x + y)2 - (x + y)3 = (x1 + y1) + 2(x2 + y2) - (x3+ y3) = 
 
 W 
 
 
 x 
 
 0 
 {x|   }
 
 v x 
 
 y 
 
 
 {y|   } 
 
 
5 
5 
 = (x1 + 2x2 - x3) + (x1’ + 2x2’ - x3’) = 0 + 0 = 0 
 
Isto significa que x + y está em W, desde que x e y estejam. 
 
 SEV.2 Como x está em W, temos que x1 + 2x2 - x3 = 0. Portanto: 
 
 0 = *0 = (x1 + 2x2 - x3) = x1 + 2 x2 - x3. 
 
Mas esta é exatamente a condição que nos garante x em W 
 
4.5.ii – Todas as retas que contêm a origem (0 0 0)T são SEVs de 3 . O argumento neste caso é 
inteiramente análogo ao do exemplo 4.4 (vide exercício 4.1.iv) 
 
4.5.iii – Todos os planos que contêm a origem são SEVs de 3. Um argumento inteiramente análogo ao do 
exemplo 4.5.i nos garante isto (vide exercício 4.1.v). 
 
4.5.iv – Reciprocamente, os únicos SEVs não triviais do 3 são as retas e os planos que contêm a origem ( 0 
0 0 )
T
. Também aquí poderíamos fazer uma demonstração mais geométrica deste fato, adaptando o que 
fizemos no exemplo 4.41 para o 2. Ao invés disto, vamos adaptar a segunda argumentação, mais algébrica, e 
que se generaliza com mais facilidade. A questão agora é supor que: 
 
W é um SEV do 3 que nem é {0}, nem é um dos que já apareceram em ii e iii. 
 
Neste caso, temos vetores A
(1)
, A
(2)
 e A
(3)
 em W, mas que não estão num mesmo plano que a origem. 
Nosso ponto inicial corresponde a mostrar que a matriz A = (A
(1)
 A
(2)
 A
(3)
) tem Posto 3. Pedimos ao leitor, 
no exercício 4.5.iii, para verificar que, se Posto(A) < 3, então as colunas de A estão num mesmo plano que (0 
0 0 )
T
, contradizendo nossa afirmação em negrito, no começo deste parágrafo. Isto nos garante Posto(A) = 3. 
Igualmente ao que aconteceu no exemplo anterior, isto significa que, para todo b no 3, podemos resolver Ax = 
b. Portanto, todo b no 3 igualmente estará em W, por se escrever como combinação linear das colunas de A, 
supostamente em W. 
 
 
Exemplo 4.6 Subconjuntos do 2 que não são subespaços vetoriais 
 
 O exemplo 4.4 nos descreve de uma maneira muito simples todos os subconjuntos de 2 que são SEVs. 
Ainda assim, nos parece instrutivo observar o que impede alguns subconjuntos do 2 de serem SEVs, a partir 
de outros pontos de vista (sem usar a lista de SEVs do 2 já disponível). 
 
4.6.i - V = 2 e W é uma reta que não contem a origem, então W não é SEV do 2. 
 
 
 v+u 
 Observe que u e v estão em W, 
 u mas que u+v não está em W. 
 v 
 
 W 
 
 
 
6 
6 
4.6.ii - V = 2 e W = { ( x , x2 ) : x   } 
 
 Veja que se (x,x
2
) está em W, então 2(x,x
2
) = (2x,2x
2
) não estará. 
 
 2v 
 W 
 
 v 
 
 
 
 
4.6.iii - W = { x = (x1 x2)
T
 | x1  0 } 
Observe que x = 






1
2 está em W, 
mas (–1)*x = 








1
2 não está. 
 
Observação 4.2 Se W é SEV do n então o vetor nulo tem que estar em W. 
 
Mesmo que não tivéssemos exigido inicialmente que 0  W, mas apenas que W não seja vazio, ao 
tomarmos x  W, SEV.2 nos garantiria 0 = 0*x em W. 
 
Exercícios da seção 4.1 
 
Exercício 4.1 - Verifique, em cada caso, que W é SEV do n correspondente: 
i - W = {x  
4
 | x1 - 2x2 - x4 = 0}  
4
. 
ii – W = {Ax | x  2 }  3, onde A = 










 01
12
21
 
iii – W = { x  3 | Ax = 0 }, onde A = 





 
112
121 
 
iv – W é uma reta que contem a origem (0 0 0)T em 3 . 
 
v – W é um plano que contem a origem (0 0 0)T de 3. 
 
Exercício 4.2 - Verifique, em cada caso, que W não é um SEV do n correspondente: 
 
i - W = { x | Ax = ( 1 0 )
T
 } , onde A é a matriz do exercício 4.1.iii 
 
 
 W 
 x 
 
 -x 
 
 
7 
7 
ii - W = { x  4 | x1 x3 – x2x4 = 0}  
4
 
 
Exercício 4.3 - Certo ou errado? Justifique. 
 
i - W = {(x1,x2)
T
 : 2x1 - x2 = 0} é SEV do 
2 
ii - W = {(x1,x2)
T
 : 2x1 - x2 = 1} é SEV do 
2
 
iii - W = {(x1,x2,x3)
T
 : 2x1 - x2 +2 x3 = 0 e x1 = x 3} é SEV do 
3 
iv - W = {(x1,x2)
T
 : x1
2
 + x2
2
  1 } é SEV do 2 
v - W = {(x1,x2)
T
 : x1
2
 + x2
2
 = 0 } é SEV do 2 
vi - W = {(x1,x2)
T
 : x1
2
 + x2
2
 = -1 } é SEV do 2 
vii - W = {(x1,x2)
T
 : x1
2
 - x2
2
 = 0 } é SEV do 2 
viii - W = {(x1,x2 )
T
 : x1
2
 + (x2 – 1)
2
 - 1 = 0 } é SEV do 2 
ix - Se W1 e W2 são SEVs do 
n
 então W1W2 também é um SEV de V 
x- W = { (x1, x2): x1  0 } é um SEV do 
2
 
 
Exercício 4.4 Considere o sistema linear 





221
121
bx3x
bx3x2 . Ache quais condições devem satisfazer b1 e b2 
para que o conjunto de todas as soluções do sistema seja um SEV de 2 
 
Exercício 4.5+ (novo) - Seja W  {0} um SEV do 3 
 
i – Mostre que se W contem um x  0 então toda a reta que contem x também está em W 
 
ii – Mostre que se W contem um x  0 e y que não é múltiplo de x, então contem o plano definido por x, y e 0 = 
(0 0 0)
T
. 
 
iii – Verifique que, se A é uma matriz 3x3 e Posto(A) < 3, então uma das colunas de A está no plano definido 
por 0 = ( 0 0 0 )
T
 e as demais colunas de A. (Sugestão: Veja que a existência de uma solução não-trivial para 
Ax = 0 garante que pelo menos uma das colunas de A é combinação linear das demais. ) 
 
 
4.2 CONSTRUINDO SUBESPAÇOS VETORIAIS DO n 
 
 As matrizes são muito úteis para representar SEVs do n. No exercício 4.1.ii foi solicitada a verificação 
que W = {Ax | x  2 } é SEV do 3, para uma dada matriz A. No exercício 4.1.iii, o conjunto das soluções 
de uma dada equação linear e homogênea Ax = 0 apareceu como SEV do 2. Nas duas subseções desta 
seção 4.2 vamos discutir estas duas formas de descrevermos os SEVs do n em termos de matrizes. Até o 
final deste capítulo veremos que todos os SEVs do n podem ser representados nestas duas formas, e que elas 
simplificam extraordinariamenmte a manipulação com os SEVs do n 
 
4.2.1 Subespaço gerado por um conjunto de vetores 
 No exemplo 4.4, vimos que 2 pode ser descrito como o conjunto de todas as combinações lineares de 
dois vetores não colineares. No exercício 4.1.ii você verificou que o conjunto definido por W = {Ax | x  2 }, 
 
 
8 
8 
onde A = 










 01
12
21
, é um subespaço vetorial do3. Vale dizer, que o conjunto de todas as combinações 
lineares das colunas A
(1)
 e A
(2)
 definem um subespaço vetorial do 3. Isto corresponde a uma maneira usual de 
descrever um subespaço vetorial do n: 
 
Definição 4.2 Dados vetores v1, v2, ...., vn , considere o conjunto W, formado por todas as 
combinações lineares possíveis destes n vetores: 
 
 W = { c1v1 + c2v2 + ... + cnvn : ci  , para i = 1,2,..., n} 
 
 W é denominado subconjunto gerado por { v1 , v2 , ... ,vn } e denotado por 
 
 
 
 
 Diz-se ainda que { v1 , v2 , ... ,vn } é um conjunto de geradores de W 
 
Se v1 = A
(1)
 , v2 = A
(2)
 , ... , vn = A
(n)
, ou seja, os geradores de W se escrevem como as colunas de uma 
matriz A, então W = Ger(A
(1)
 , A
(2)
 , ... , A
(n)
) é denominado de espaço das colunas de A ( col(A) ). 
 
Exemplo 4. 7: Considere A = 










11
20
11
 . Neste caso: 
 
 Col(A) = { x1 
1
0
1










 + x2 
1
2
1










 : x1 e x2   } = { Ax : x = 






2
1
x
x } 
 
 
 Col(A
T
) = { A
T
y : y = 










3
2
1
y
y
y
 } = { y1 1
1






 + y2 0
2






 + y3 1
1






: y1 , y2 e y3   } = 
2
 
 
 Observe que Col(A) é um plano do 3, contem a origem (0,0,0)T , e é formado por todas as 
combinações lineares das colunas de A. 
 
Col(A
T
) = 2 é gerado pelas combinações lineares das linhas de A, transpostas. 
 
 Col (A) é um SEV do 3, e Col(AT) um SEV do 2 
 Da definição de Ax como uma combinação linear das colunas de A com pesos x1,  , xn segue uma 
observação muito importante: 
W = Ger( v1 , v2 , ... , vn ) 
 
 
9 
9 
 
Observação 4.3 O espaço das colunas de A também pode ser descrito como: 
 Col(A) = [A
(1)
 , A
(2)
 , ... , A
(n)
] = {Ax | xn} = Im(A) 
 
Ou seja, o espaço das colunas de A coincide com o espaço das imagens da função linear que a cada x 
do n associa Ax no m. Em particular, é muito comum encontrar-se, na literatura, a denominação Im(A) 
(espaço imagem de A), no lugar de Col(A). De fato, frequentemente é muito útil pensar em Col(A) como o 
conjunto imagem da aplicação x  Ax . Por exemplo, para ver que Col(A) é um SEV do m, considere u e v 
em Col(A), bem como números reais  e . Mas então podemos escrever u = Ax e v = Ay, para x e y no n. 
Usando a linearidade do produto matriz-vetor, isto significa que 
u + v = Ax + Ay = A(x +y) está em {Ax | xn} = Col(A) 
 
 Ou seja, toda combinação linear de elementos no espaço das colunas de A, permanece nele. Pela 
observação 4.1 isto significa que 
 
 
 
 
 Em particular, isto significa que o subconjunto gerado por n vetores do m é, de fato um SEV do m. 
 
 Dada uma matriz A = Amxn , frequentemente estaremos interessados no espaço gerado pelas linhas de 
A, que denotamos por Lin(A). Por exemplo, para a matriz do exemplo 4.7, o espaço das linhas de A reside no 
2, identificado como espaço de vetores linha (matrizes 1x2 ) e é formado pelas combinações lineares das 
linhas de A, ou seja: 
 y1 A1 + y2A2 +y3A3 = y1 (1 1) + y2 ( 0 2) + y3 (1 -1) = y
T
A, onde y = 










3
2
1
y
y
y
 
 Observe que enquanto vetores do n, o espaço das linhas de A é essencialmente o mesmo que o espaço 
das colunas de A
T
. Ou seja, os geradores de Col(A
T) são os mesmos que os de Lin(A), “em pé”: 
 
 
 Lin(A) = [ A1 , A2, A3 ] = [ (1 1) , ( 0 2) , (1 -1) ] = { y
T
A | y  3 } 
 
 Col(A
T
) = [ A1
T
, A2
T
 , A3
T
] = 

























1
1
2
0
1
1 = { A
T
y | y  3 } 
 
 Muitas vezes, é cômodo trabalhar com Lin(A) como formado por matrizes 1xn. No entanto, já que 
estamos identificando, como default, o m com as matrizes mx1, e para evitar ambiguidades na hora de 
multiplicar matrizes por vetores frequentemente estaremos manipulando com Col(A
T
) no lugar de Lin(A). 
 O espaço das colunas de A é um SEV do m 
 
 
10 
10 
Esperamos que você se habitue a enxergar em Col(A
T
), essencialmente, o espaço das linhas de A, escrito 
“em pé”. 
 
4.2.2 Subespaço Nulo de uma matriz (Núcleo de A) 
 
No exercício 4.1.iii foi pedido que você verificasse que W = { x  3 | Ax = 0 } é um SEV do 3, para 
uma dada matriz 2x3. Observe ainda que o SEV obtido no exemplo 4.5.i pode ser descrito como o conjunto das 
soluções de Ax = 0, para A = ( 1 2 -1). Veja que os SEVs que apareciam nos exercícios 4.3.ii e 4.3.iv, podem 
facilmente ser vistos como conjunto das soluções dos sistemas de equações lineares e homogêneas Ax = 0. 
Usualmente ele é denominado núcleo de A, ou ainda Espaço Nulo de A. O denotamos por N(A). Se A é uma 
matriz mxn 
 
 N(A) = { x  n | Ax = 0} 
 
Na observação 3.6 vimos que combinações lineares de soluções de Ax = 0 também são soluções de Ax 
= 0. Pela observação 4.1, isto equivale a dizer que 
 
 N(A) é um SEV do n 
 
Observação 4.4 Todo SEV na forma N(A) pode também ser escrito na forma Col(S) 
 
Do ALAp3 sabemos que todos as soluções de Ax = 0 podem ser descritas como combinações lineares 
das soluções canônicas. Ou seja, se S
(1)
, S
(2)
,  , S(l) são todas as soluções canônicas de Ax = 0, então 
 
 N(A)= {x | Ax = 0} = [S
(1)
 , S
(2)
 ,  , S(l) ] = Col(S) 
 
Exemplo 4.8 Seja A = 










11000
20120
03121
 . 
 
Observe que A já está na forma escada, suas variáveis livres são x3 e x5, e suas soluções canônicas são 
S
(1) 
 = 

















0
0
1
2/1
0
 e S
(2) 
 = 


















1
1
0
1
5
 . Isto significa que podemos descrever N(A) como o espaço das colunas da 
matriz S = (S
(1)
 S
(2)
 ). Simbolicamente temos a relação 
 
N(A) = Col(S). 
 
Desta forma, sempre podemos descrever o núcleo de uma matriz como espaço das colunas de outra 
matriz. Na seção 4.4 veremos que todo SEV do n pode ser descrito por um conjunto finito de geradores, ou 
seja como Col(A), para alguma matriz A. No exercício 4.61, veremos que vice-versa, sempre podemos 
 
 
11 
11 
descrever o espaço das colunas de uma dada matriz como núcleo de alguma outra matriz. No capítulo 5, tal 
fato reaparecerá de forma bem mais transparente, no contexto de uma interpretação geométrica baseada na idéia 
de ortogonalidade entre SEVs. Em resumo, ao final deste capítulo e do próximo conseguiremos estabelecer que 
todos os SEVs do n podem ser descritos como Col(A) e como N(B) para matrizes A e B adequadas. 
 
Exercícios da subseção 4.2 
 
Exercício 4.6 - Seja 







11
12
A
. Verifique que Col(A) = 2 e que N(A) = {0} 
 
Exercício 4.7 - Seja 







11
11
A
 . Verifique que Col(A) e N(A) são retas em 2 
Exercício 4.8 - Seja A = 






 111
101
. Verifique que Col(A) = 2 e que N(A) é uma reta em 3 
 
Exercício 4.9 - Sejam v = 
1
1






, w = 
0
1





e A = 
1 0
1 1






 
 
i - Verifique que 2 = Col(A) e que N(A) = {0} 
 
ii - Verifique que 2 = Col(AT ) e que N(AT) = {0} 
 
Exercício 4.10 - Sejam v = 1
1






 e w = 
2
2






 e seja A = 1 2
1 2






 
 
i - Verifique que Col(A) = Ger( v ) = Ger(w) e que N(A) = Col(





2
1
 ) 
 
ii - Verifique que Col(A
T
 ) = Col(






2
1
] e que N(A
T
) = Col( 




1
1
 ) 
 
Exercício 4.11 - Sejam u = 1
0
1








, v = 
1
1
1








 , w = 
0
1
3








 e A = 
1 1 0
0 1 1
1 1 3










 
i - Verifique que 3 = Col(A) e que N(A) = {0} 
 
ii - Verifique que 3 = Col(AT) e que N(AT) = {0} 
 
Exercício 4.12 - Seja A = 













010
101
110
011
 
I - Verifique que Posto(A) = 3 e conclua que N(A) = {0} 
 
 
12 
12 
Ii – Verifique que Col(A)  4 
 
Exercício 4.13 - Certo ou errado? Justifique: 
i - Se A é uma matriz 2x3 então Col(A)  Col(AT) 
ii - Se A = 






00
10
 então Col(A) = Col(A
T
) 
iii - Se A = 






12
21
 então Col(A) = Col(A
T
) 
iv
 
 - Se A é uma matriz 2x2 e Col(A) = 2 então A é invertível. 
 
v - Se A’ é obtida de A substituindo a primeira linha pelo dobro dela, então Col(A’) = Col(A) 
 
vi - Se A’ é obtida de A substituindo a primeira linha de A pela sua soma com a segunda, então Col(A’) = 
Col(A) 
vii - Se Col(A) = 2 , então Col(AT) = Col(A). (Sugestão: Veja a observação 3.14) 
 
viii - Sejam A=Amxn e b no 
n
. Ax = b tem solução sss b estiver em Col(A) 
 
ix – Se A’ é obtida de A substituindo uma de suas linhas por um múltiplo dela, então Lin(A) = Lin(A’) 
 
Exercício 4.14 - Considere a matriz A = 






2132
4321
. Ache uma matriz S tal que o núcleo de A coincida 
com o espaço das colunas de S. 
 
Exercício 4.15 - Certo ou Errado? Justifique: 
i - Se A é uma matriz 2x3 então N (A)  N (AT) 
ii - Se A é uma matriz 2x2 então N (A) = N (A
T
) 
iii - Se A é uma matriz 2x2 e N (A) = {0} então N (A
T
) = {0} (Sugestão: Vide exerc. 4.13.vii) 
 
4.3 Formando SEVs a partir de outros 
 
Há duas maneiras importantes de formar SEVs, a partir de outros SEVs. As descrevemos nas duas 
subseções a seguir. 
 
4.3.1 Soma de Subespaços 
 
Exemplo 4.9 Sejam W1 =Col( (2,- 1, 1)
T
 ) e W2 = Col( ( 1, 2,-1 )
T 
) 
 
 Observe que o subconjunto do 3 formado pela união de W1 e W2 é um par de retas que se 
intersectam na origem. Portanto, não faz parte da nossa lista de SEVs do 3, explicitada na observação 4.5. 
Observe que, se quisermos um SEV do 3 que contenha os dois subsepaços, êle forçosamente deverá conter 
todas as somas de vetores em W1 com vetores em W2. 
 
 
13 
13 
Definamos, como a soma de W1 e W2
 
, o conjunto formado pelas somas de vetores em W1 com 
vetores em W2, ou seja: 
 
 W1 + W2 = { w1 +w2 , w1  W1 e w2  W2} 
 
W1 + W2 resulta ser neste caso o plano que contem W1 e W2 . Em particular, é também um SEV do 
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 4.5 Sejam W1 e W2 dois SEVs do 
n
. É fácil (vide exerc. 4.18+) ver que: 
 
 W1 + W2 = { w1 +w2 | w1  W1 e w2  W2} é um SEV de 
n 
 
 Diz-se que W1 + W2 é o subespaço soma de W1 e W2 
 
Analogamente, se W1 , W2, ... , Wn são SEVs de V, então 
 
 
 
(subespaço soma de W1 W2 , ... , Wn) 
 
 
Exemplo 4.10 - Sejam U = Col(A), V = Col(B) e W = Col(C), onde 
 
 A = 












12
34
43
21
 , B = 












 1
0
1
0
 e C=













21
11
00
01
 
 
Se x  U + V + W, então x é da forma 
 
x = A + B + C = 












12
34
43
21
 








2
1
 + 












 1
0
1
0
  + 













21
11
00
01








2
1
 = 
 
 W = W1 + W2 + ... + Wn = { w1 + w2 + ... + wn : wi  Wi} é um SEV de V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
14 
 = 


























1
3
4
2
4
2
3
1
21 












 1
0
1
0
  + 



























2
1
0
0
1
1
0
1
21 = 



































2
1
2
1
21114
11032
00143
01021
 
 
 Mas isto significa que x está no espaço das colunas de uma matriz formada com as colunas de A, B e C, 
nesta ordem. 
 
Observação 4.6 - O que aconteceu no exemplo acima funciona em geral. Ou seja, se 
 
U = Col(A) e V = Col(B), então U + V = Col(A B), 
 
onde (A B) representa uma matriz cujas colunas são as colunas de A seguida das colunas de B. O argumento 
para vê-lo é essencialmente o mesmo do exemplo anterior (vide exercício 4.16.ii) 
 
Definição 4.3: Sejam W1 e W2 subespaços do 
m
. 
 
Dizemos que V  m é soma direta de W1 e W2 se: 
 
a. V = W1 + W2 
b. W1  W2 = { 0} 
 
 Denota-se a soma direta por V = W1  W2 
 
 Analogamente, diz-se que V é soma direta de W1 , W2, ..., Wn, caso V= W1+ W2 +  + Wn e se a 
interseção de cada Wi com a soma dos demais SEVs for {0}. 
 
Veja que no exemplo 4.9, a soma de W1 e W2 era uma soma direta, uma vez que W1 W2 ={0}, 
naquele caso. Já a soma de U, V e W do exemplo 4.10 não pode ser uma soma direta. A razão é que Col(A) + 
Col(C) = 4 (vide exercício 4.18.iii). Neste caso, 
 
Col(B)  (Col(A) + Col(C) ) = Col(B)  4 = Col(B)  {0} 
 
Observação 4.7 A propriedade importante que distingue uma soma direta U = V  W, introduzida pela 
condição W1  W2 = { 0} é que para cada vetor z  U existe um único x  V e um único y  W tais que 
z = x + y . Para vê-lo, suponha z  V  W e que v se escreve de duas maneiras como: 
 
 z = x + y = x’ + y’ , com x , x’  V e y, y’ em W 
 
 Mas então x – x’ = y – y’ estará em V  W (por quê?). Como estamos assumindo que V  W = {0}, 
segue que x – x’ = y – y’ = 0  x = x’ e y = y’. 
 
 
 
 
15 
15 
 Exercícios da subseção 4.3.1 
 
Exercício 4.16 - Sejam W1 = [(1,0,1)
T
, (0,1,1)
T
} , W2 = [(1,1,2)
T
] e W3 = [(0,1,-1)
T
] e W4 = W2 + W3. Verifique 
que: 
i - W1 é um plano no 
3
 
ii - W2 
 
 uma reta contida em W1 e W1 + W2 = W1 
iii -W3 é uma reta que não está contida em W1 , W1 + W3 = 
3 
 e W1 + W4 = 
3 
 
Exercício 4.17 - Sejam W1 = [ (1,1)
T
] e W2 = [(1,-1)]
T
. Verifique que 2 = W1 + W2. 
 
Exercício 4.18 + – 
i - Mostre que o conjuntoW= U + V, formado pela soma de dois SEVs do n, também é um SEV do n 
ii - Verifique que, se U = Col(A) e V = Col(B), então U + V = Col(A B), 
 
iii - Considere A e C como no exemplo 4.10 e verifique que Col(A) + Col(C) = 4 
 
Exercício 4.19 - Sejam v1 , v2 , v3 ,v4 e v5 vetores do 
n
. Considere também os SEVs W1 = [v1 , v2 , v3] e 
W2 = [v4 , v5] . Mostre que W1 + W2 = [v1, v2 , v3, v4, v5] 
Exercício 4.20 + (18+ - mudou) - Suponha que V = W1  W2  W3. Mostre que para cada v  V existe um 
único w1 W1 e um único w2  W2 e um único w3  W3 tais que v = w1 + w2 + w3 
 
Exercício 4.21 
i - Verifique que no exercício 4.17, obtivemos:2 = W1  W2 
 
ii - Verifique que no exercício 4.16, obtivemos 3 = W1  W3 , 
iii - Verifique que no exercício 4.16, obtivemos 3 = W1 + W4 , mas que esta não é uma soma direta entre 
subespaços. 
 
Exercício 4.22 - Certo ou Errado. Justifique: 
i - W = { (x,y) | y = |x| é um SEV do 2 
ii - A união de dois SEVs do 2 também é SEV do 2 
iii - Se W = Col(S) e W’ = Col(S’), então W+W’ é o subespaço das colunas da matriz (S S’), formada pelas 
colunas de S e de S’. 
iv – Se V = W + W´, W =[A(1) , A(2), A(3)], W’=[A(4), A(5)] e a matriz A = (A(1) A(2) A(3) A(4) A(5)) tem posto 5, 
então V = WW’ . 
v – W + W’ é o “menor” dos SEVs que contêm W e W’, no sentido que, se W, W’ e W’’ são SEVs do n tais 
que W  W’’ e W’  W’’ então W+W’ também está contido em W’’. 
 
4.3.2 Interseção de SEVs também é SEV 
 
Exemplo 4.11: Veja que W1 = N( (3 -1 1) ) e W2 = N( (1 -1 4) ) são dois planos no 
3
 contendo a 
origem . Como os pontos de W1 são definidos por satisfazerem à equação (3 -1 1) x = 0, e os de W2 por 
satisfazerem (1 -1 4) x = 0. Neste caso os pontos de W1  W2 devem satisfazer simultaneamente às duas 
equações . Ou seja: 
 
 
 
16 
16 
 
 
 
 
Em geral, se W1 e W2 forem SEVs de 
n
, então W1 W2 também é. 
 
 
 
Demonstração: Observe que, se w1 e w2 estão em W1W2 , 1 e 2 são números reais, então: 
 
i - Se W1 é um SEV de V, como w1 e w2 estão em W1  1w1 + 2 w2 também estará em W1 
ii - Se W2 é um SEV de V, como w1 e w2 estão em W2  1w1 + 2 w2 também estará em W2 
 
 i e ii são suficientes para garantir que W1  W2 também é SEV de V 
 
 
Exercícios da subseção 4.3.2 
 
Exercício 4.23 - Sejam W1 = {(x1,x2,x3)
T
| 2x1 - x2 - x3 = 0} e W2 = {(x1,x2,x3)
T
| x1 + x2 + x3 = 0} 
 
i - Desenhe um esboço dos planos W1 e W2 no 
3
 bem como de sua interseção W1W2 
ii - Verifique que W1  W2 é um SEV de 
3
 e ache um gerador de W1W2 
 
Exercício 4.24 - Certo ou Errado? Justifique: 
 
i - Se V e W são SEVs do 3 então VW   
ii - Se V e W são SEVs não triviais do 2 e diferentes entre si, então V  W = {0} 
iii - Se V e W são SEVs não triviais do 3 e diferentes entre si, então V  W = {0} 
iv - Se V e W são SEVs do n, diferentes entre si, então V  W  V + W 
 
W1 W2= N ( 








411
113 ) é uma reta que também contem a origem. 
 
 
17 
17 
Exercício 4.25 - Sejam A = 










m
1
A
A

e B = 










m
1
B
B

 matrizes, particionadas em linhas e com o mesmo 
número de colunas. Verifique que 
 N(A)  N(B) = N(






B
A
) = N ( 




















m
1
m
1
B
B
A
A


) 
 
Exercício 4.26 - Sejam A = 






1210
0101 e B = 






1110
1311
. 
 
 Mostre que N(A)  N(B) tem um gerador não nulo e ache-o 
 
 
4.3 MATRIZES LINHA-EQUIVALENTES E ESPAÇO DAS LINHAS 
 
 Na subseção 4.3.1 vamos relacionar o método da eliminação de Gauss com a idéia de subespaço das 
linhas de uma matriz. Na seção 4.3.2 (opcional), usamos a informação obtida em 4.3.1 para demonstrar a 
unicidade da forma escada de uma matriz (teorema-chave 3.2). 
 
4.3.1 Simplificando a representação do Espaço das Linhas 
 
 Uma observação muito útil nas computações em Álgebra Linear consiste no fato que os espaços das 
linhas de duas matrizes linha-equivalentes entre si são os mesmos. Isto é, dada uma matriz A, com m linhas e 
n colunas, considere o seu espaço das linhas: 
 
 V = Ger( A1 , A2 , ... , Am ) = Lin(A) 
 
 
Dem: Considere A
A
A
Am













1
2

. Basta mostrar que se realizarmos uma operação elementar nas linhas de A, 
seu espaço das linhas não se altera. Há tres tipos de operações elementares a considerar: 
 
 
 Se à é uma matriz linha equivalente a A então V = Lin(Ã) 
 
 
 
18 
18 
O1 - Substituir a linha Aj por Aj -  Ai, com i j. Chamemos de 
~
~
~
~
A
A
A
Am













1
2

 à nova matriz. 
 Queremos mostrar que V = [ A1 , A2 , ... , Am ] e ~V = [Ã1 , Ã2 , ... , Ãm ] são iguais. 
 
 Para verificarmos que V  ~
V
, começamos observando que 
 
Aj = (Aj - A1) + A1 = Ãj + Ã1  ~V . 
 
 Veja que as demais linhas de A são iguais às de à e portanto igualmente estarão em ~
V
. Isto significa que 
todo um conjunto de geradores de V pertence a ~
V
. Deixamos como exercício para o leitor verificar que se V 
for um SEV gerado por n vetores do m e cada um destes geradores estiver num segundo SEV ~
V
, então V  
~
V (vide exercício 4.27+). Do mesmo jeito, se mostra que ~V  V, uma vez que A é obtida de à substituindo-
se a linha Ãj por Ãj + Ã1. 
 
O2 - A segunda operação elementar realizada nas linhas de uma matriz consiste em trocar linhas. Obviamente 
isto não altera o espaço das linhas. 
 
O3 - É fácil ver que, substituir uma das linhas de uma matriz por um múltiplo não nulo dela mesma, 
igualmente não altera seu espaço das linhas (vide exercício 4.13.ix) 
 
Exemplo 4.12 - Seja V = [A1 , A2 , A3] = [ (1,0,2) , (2,1,0) , ( 1,1,-2)] 
 
 Veja que A = 
A
A
A
1
2
3








 = 
1 0 2
2 1 0
1 1 2








 é linha-equivalente a U = 
1 0 2
0 1 4
0 0 0









 . 
 
 Portanto, V = [(1,0,2), (0,1,-4)]. Em particular, isto nos permite dizer que V é um plano no 3, coisa que 
não é visível diretamente se escrevemos V = [A1 , A2 , A3]. 
 
Exercícios da subseção 4.3.1 
 
Exercício 4.27 - Mostre que se V = [v1, v2, , vm]  
n
 e cada vi estiver num segundo SEV ~V , então V  ~V 
 
Exercício 4.28 - Em cada caso, encontre uma matriz na forma escada, linha-equivalente a A, e conclua daí 
se o espaço das linhas de A é uma reta, um plano ou todo o 3. 
i - A = 
1 1 0
1 0 1
0 1 3










; ii - A = 
1 2 1
1 0 1
3 3 3










; iii - A = 
1 2 3
2 4 6
3 6 9

 











 
 
 
19 
19 
Exercício 4.29 – Suponha que A é nxn e Posto(A) = n. 
i - Veja que Ax = b tem sempre solução e conclua que Col(A) = n 
ii - Mostre que A é linha equivalente matriz identidade nxn e conclua que Lin(A) = n 
 
4.3.2 - Demonstração da unicidade da forma escada.(opcional) 
 
No ALAP 3, elegemos a unicidade da forma escada de uma matriz A como o teorema-chave daquele 
capítulo. No entanto, não o demonstramos naquele momento, por acharmos que podemos fazê-lo de uma 
maneira bem mais interessante usando a informação que o espaço das linhas de duas matrizes linha-
equivalentes são os mesmos. Tal fato nos permite dar uma demonstração com um “sabor mais geométrico” da 
unicidade da forma escada de uma matriz mxn, conforme havíamos anunciado no ALAp 3. Ou seja, supondo 
que 
 U = 














m
2
1
U
U
U

 e U’= 

















m
2
1
U
U
U

 
 
são matrizes na forma escada, linha-equivalentes entre si, queremos mostrar que os pivôs de U e de U’ estão 
nas mesmas colunas. 
 
É óbvio que a afirmação acima vale no caso em que n=1, ou seja, no qual U e U’ têm uma única coluna. 
A demonstração da unicidade da forma-escada de uma matriz se fará por indução finita no número de colunas 
n. Ou seja, vamos mostrar que se o resultado for verdadeiro para matrizes com k-1 colunas então ele também é 
válido para matrizes com k colunas. Isto para todo k. Ou seja, como êle é valido para n=1, também vale para 
n=2. Mas então o argumento de indução finita garante o resultado para matrizes com n=3 colunas. Ao valer 
para n=3, a demonstração por indução finita garante o resultado para n=4, e assim por diante... Na verdade, 
vamos formular nossa hipótese de indução finita na forma: 
 
Hipótese de indução finita: Suponhamos que U e U’ são matrizes na forma escada com k-1 colunas e tais 
que V = Lin (U) = Lin( U’)  k-1 Então U e U’ têm a mesma forma escada. 
 
 Sejam U e U’ matrizes na forma escada, com k colunas, e tais que V = Lin (U) = Lin( U’). Queremos 
mostrar que U e U’ têm a mesma forma escada, supondo ainda a hipótese de indução finita. Basta-nos 
considerar duas possibilidades quanto a V: 
 
i - V  0xk-1 = {x k | x1 = 0} 
 
Neste caso, U e U’ têm a primeira coluna identicamente nula. Portanto, se retirarmos de U e de U’ sua 
primeira coluna, obtemos duas matrizes ~
U
 e ~
U
 que continuam na forma-escada, gerando o mesmo espaço 
das linhas Lin( ~
U
) = Lin( ~
U
), e com k-1 colunas. Podemos então aplicar a hipótese de indução finita a ~
U
 e 
~
U
 para concluir que têm a mesma forma escada. Colocando de volta a coluna de zeros, chegamos a U e U’ 
com a mesma forma escada. 
 
 
 
 
20 
20 
ii - V 

 0xn-1 
 
Neste caso, U11  0 e U’11  0. Portanto os primeiros pivôs de U e de U’ estão ambos na primeira 
coluna. Considere matrizes 
Uˆ
 e 
Uˆ 
, obtidas de U e de U’, retirando-lhes a primeira linha. Ou seja, obtemos 
matrizes na forma escada 
Uˆ
 = 










m
2
U
U

 e 
Uˆ 
= 












m
2
U
U

 
 
 Observe que: 
 
 
Uˆ
 e 
Uˆ 
 têm a primeira coluna toda nula, (correspondem a entradas abaixo do 1
0
 pivô em U e U’). 
 V  Lin( Uˆ ) = Lin( Uˆ  ). Veja que se x  Lin( Uˆ ), podemos dizer que: 
x = 2U2 +  + mUm = (0, *, *, ,*) 
 x  Lin(U)  Lin( U’ )  x = ’1U’1 + ’2U’2 +  + ’mU’m = (’1, * , * , , *) 
Ou seja, como a primeira coordenada de x em Lin(U) tem que ser nula, ’1 = 0. Neste caso 
 
 x =’2U’2 +  + ’mU’m está em Lin(U’) 
 
 Com isto mostramos que Lin(U)  Lin(U’). Pela mesma razão se tem também Lin(U’)  Lin(U) 
 
Mas isto nos coloca exatamente na mesma situação à qual chegamos com as matrizes do item i acima. 
Pelo mesmo argumento de antes podemos concluir que 
Uˆ
 e 
Uˆ 
 têm a mesma forma escada. Como U e U’ 
têm o primeiro pivô coincidindo na mesma coluna (a primeira), isto nos garante que U e U’ têm a mesma 
forma escada. 
Com isto, a hipótese de indução finita se confirma para n = k também. Para n = 1, ela é trivial. Isto 
demonstra que, se U e U’ são matrizes na forma escada, tais que Lin(U) = Lin(U’) então U e U’ têm a 
mesma forma escada. 
 
Se duas matrizes U e U’, na forma escada, são linha-equivalentes a A, na subseção anterior vimos 
que Lin(A) = Lin(U) = Lin(U’). Portanto, U e U’ têm a mesma forma- escada. 
 
 
4.4 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Exemplo 4.13 Seja A = 










 1100
0110
1211
. 
 
 
 
21 
21 
Como A tem posto 3, a equação Ax = 0 tem uma variável livre. Isto significa que Ax = 0 tem uma 
solução não trivial x = ( c1, c2 , c3, c4 )
T
. Ou seja: 
 
 c1A
(1)
 + c2A
(2)
 + c3A
(3)
 + c4A
(4)
 = 0, com algum ci  0. (4.1) 
 
 Uma solução particular de Ax = 0 pode ser obtida fazendo c4 = 1, c3 = -1, c2 = 1 e c1 = 0. Em especial, 
 
 A
(2)
 - A
(3)
 + A
(4)
 = 0  A(3) = A(2) + A(4) (4.1’) 
 
4.1 e 4.1’ explicitam uma idéia de dependência linear entre as colunas de A. Observe que, neste caso, 
é possível explicitar a coluna A
(3)
 como combinação linear das demais colunas de A, mas não é possível fazer 
o mesmo com a coluna A
(1)
. Geometricamente falando, as colunas A
(2)
, A
(3)
 e A
(4)
 estão num mesmo plano de 
3 que contem a origem , mas a coluna A(1) está fora deste plano. (vide exercício 4.31). 
 
Definição 4.4: Seja  = {v1 , v2 , ... , vn}  
m
 
 
Dizemos que  é um subconjunto Linearmente Dependente (LD), se existirem constantes c1 , c2 , ... , cn 
não todas nulas e tais que 
 
 c1v1 + c2v2 + .... + cnvn = 0 (4.2) 
 
Observe que , se c2  0, a relação 4.2 corresponde a dizer que 
 
 v2 = 
)vcvcvc(
c
1
nn3311
2
 
 
 
 Observe que uma maneira equivalente de definir que  é um conjunto LD, seria: 
 
 
 
Definição 4.5: Dizemos que  é um conjunto LI se não for LD. 
 
Ou seja, {v1 , v2 , ... , vn } é linearmente independente se e somente se a equação 
 
 c1.v1 + c2.v2 + ... +cn.vn = 0 
 
tiver como única solução c1 = c2 = ... = cn = 0 
 
 
Observação 4.8 As colunas de A = Amxn são LI se e somente se o posto de A for n. 
 
 Observe que se as colunas de A são LI então c1A
(1)
 + c2A
(2)
 +  + cnA
(n)
 = 0 só acontece com todos os 
coeficientes ci = 0. Ou seja, Ax = 0 só tem a solução trivial. Mas então A não pode ter variáveis livres e o 
posto de A é seu número de colunas n. 
 
 Vice versa, se o posto de A for n, então Ax = 0 só tem a solução trivial x = 0. Mas isto significa que as 
colunas de A são LI. 
 
 
 {0} é LD se um de seus vetores for combinação linear dos demais. 
 
 
22 
22 
Exemplo 4.14 - Exemplos de conjuntos LI e LD 
 
4.14.i No 3 , {v1 , v2 } é LD sss v1 e v 2 estão numa mesma reta que contem a origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso, ou bem v1 =  v2, ou então v2 = 0 = 0v1. 
 
4.14.ii No 3 , {A(1) , A(2), A(3) } é LD sss A
(1)
 , A
(2)
, A
(3)
 estiverem num mesmo plano que contem a 
origem. 
 A
(3)
 
 
 
 A
(1) 
 
 
 A
(2)
 
 
 
 
 Se {A
(1)
 , A
(2)
, A
(3)
 }  {0} é LD, então 1  Posto(A) ¨2. Há duaspossibilidades: 
 
 Posto(A) = 1 - Neste caso todos eles estão numa única reta contendo a origem. 
 Posto(A) = 2 - Neste caso a origem e dois deles definem um plano, e o terceiro vetor estará forçosamente 
neste plano. 
 
4.14.iii - Como Ix = 0  x = 0, as colunas da matriz I = Inxn são vetores LI em 
n
 
 
4.14.iv - As linhas de U = 











23000
11010
12121
 são LI e as colunas de U são LD 
 Para ver que as linhas de U são LI, tomemos 1, 2 e 3 tais que: 
 
 0 = 1U1 + 2U2 + 3U3 = (1, 21 + 2, 2, 21 + 2 + 33, 1 -2 + 23) . 
 
Veja que a primeira coordenada de 1U1 + 2U2 + 3U3 vale exatamente 1. Isto implica 1=0 e 2U2 + 
3U3 = 0. Mas neste caso, a segunda coordenada de 2U2 + 3U3 vale 2. Isto implica 2 = 0, e portanto 
 
 
23 
23 
igualmente 3 = 0. Ou seja, garantimos 1 = 2 = 3 = 0 e, portanto, pela definição 4.5, que as linhas de U 
são LI. 
 Como a terceira coluna de U é igual a primeira, as colunas de U são LD 
 
4.14.v - Se U está na forma escada e tem posto p então U1 ,U2 , . . .,Up são vetores LI 
 
 A demonstração que as linhas não-nulas de uma matriz escada são LI se faz com o mesmo argumento 
usado no item anterior, no caso particular onde U tinha três linhas não nulas. (Verifique isto). 
 
4.14.vi - Se A é matriz mxn, o conjunto das soluções canônicas de Ax = 0 é LI 
 
 Basta observar que se S é a matriz das soluções canônicas de A., então  coincide com as coordenadas 
das variáveis livres de S (vide exemplo 3.15 e exercício 3.23+.ix). Portanto, 
 
 S = 0   = (S)L = 0 
 
Pela definição 4.5, isto nos garante que as colunas de S são LI. 
 
4.14.vii- Considere a matriz do exemplo 3.9, A =










0
0
1
34563
26542
32321
. Ao aplicar a eliminação de Gauss a 
A, obtivemos uma matriz U na forma escada linha equivalente a A: 
 
U = 













5
2
1
1010000
42100
32321
 
Observe que as colunas dos pivôs correspondem a j1 = 1, j2 = 3, j3 = 4. Vamos verificar que as colunas pivotais 
de A são LI. 
 
Seja AD =  











453
652
231
AAA 321
jjj a matriz das colunas pivotais. Queremos mostrar que as colunas de 
AD são LI. Observe que AD é linha equivalente a UD = 












1000
210
231
, já que as operações feitas para levar 
A até U, foram definidas de forma a levar AD até uma forma triangular UD. Mas então o posto de AD é o 
mesmo que o posto de UD, ou seja 3. Pela observação 4.8 isto nos garante que as colunas de AD são LI. 
 
4.14.viii – As colunas pivotais de toda matriz A são LI 
 
 O argumento é exatamente o mesmo usado no exemplo acima. Ou seja, se AD é a matriz formada pelas 
colunas pivotais de A, e U é uma matriz linha equivalente a A, então AD é linha equivalente à matriz UD, das 
 
 
24 
24 
colunas pivotais de U, que é pxp, triangular, superior e sem zeros na diagonal. Portanto, AD é mxp, e seu 
posto é o mesmo que o posto de U, ou seja, p. Pela observação 4.8, as colunas de AD são LI. 
 
Exercícios da seção 4.4 
 
Exercício 4.30 - Em cada caso, diga quais dos conjuntos abaixo é LD . Se o for, escreva um de seus vetores 
como combinação linear dos demais: 
 
i -{ (1,2,1,3)
T
 , (2,-1,1,2)
 T
, (1,4,1,3)
 T
 }  4 
 
ii - { (1,2,1,3)
T
 , (2,-1,1,2)
 T
, (1,4,1,3)
 T
 , (1,0,0,0)
 T
 }  4 
 
iii - { (1,2,1,3)
T
 , (2,-1,1,2)
 T
, (1,4,1,3)
 T
 , (1,0,0,0)
 T
 , (0,0,0,1)
T
}  4 
 
Exercício 4.31 - Verifique que, no exemplo 4.13: 
i - As colunas A
(2)
, A
(3)
 e A
(4)
 estão num mesmo plano que contem (0 0 0)
T 
ii – A(1) está fora do plano definido no item anterior 
 
Exercício 4.32 - Verifique que se S
(1)
 é a primeira solução canônica de Ax = 0, então AS
(1)
 = 0 corresponde a 
escrever a primeira coluna de variáveis livres de A uma combinação linear das colunas pivotais. Veja que algo 
semelhante vale para cada uma das demais colunas de variáveis livres. 
 
Exercício 4. 33+ - Mostre que se v1 , v2 , ...., vn são vetores LD então um deles é combinação linear dos 
demais. 
 
Exercício 4.34 - Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Dois vetores em  são sempre LD. 
 
ii - Tres vetores em 2 são sempre LD. 
 
iii - Dois vetores em 2 são sempre LI. 
 
iv - Quatro vetores em 3 são sempre LD 
 
vii - Se  = {v1, v2} é LI no 
3
, é possível encontrar v3 no 
3
 tal que {v1,v2,v3} continue LI. 
 
viii - Se {v1,v2,v3} é LD então v1 é uma combinação linear de v2 e v3. 
 
ix - Se V = [ v1, v2, v3] e v1 é uma combinação linear de v2 e v3 então V = [v2, v3] 
 
4.5 BASE DE SEV 
 
 
Bases de SEVs do n são importantes por funcionarem como sistemas de coordenadas para os SEVs, 
conforme teremos ocasião de apontar já ao final da subseção 4.5.1. Em 4.5.1 conceituaremos, inicialmente, o 
que se entende por base de um SEV do n e veremos exemplos relevantes. Em 4.5.2 veremos que todo SEV do 
n admite uma base. Em especial, que todo SEV do n é da forma Col(A), para alguma matriz A. Em 4.5.3 
trabalhamos a idéia de dimensão de um SEV, e apresentamos um algoritmo bastante prático para achar bases de 
Col(A) e de Lin(A). 
 
 
 
 
25 
25 
4.5.1 Definição e exemplos 
 
 Pelo que vimos na subseção 4.3.1, se V = Ger(A1, A2,,Am) = Lin(A) for o espaço das linhas de uma 
matriz A, de posto p, e U for uma matriz escada linha-equivalente a A então: 
 
 i - V = Ger(U1 , U2 , ... , Up) = Lin(U) 
 
 ii - { U1 , U2 , ... , Up } é LI (vide exemplo 4.14.v) 
 
Definição 4.6: Uma base de um SEV V do n é um subconjunto finito 
  = {U1 , U2 , ... , Up }  V, satisfazendo i e ii acima. 
 Em palavras, é um subconjunto LI de geradores de V 
 
Exemplos 4.15: 
 
i -  = { (1,0)T , (0,1)T} é uma base do 2 
 
ii -  = {(1,2)T , (1,-1)T} é uma base do 2 
 
iii -  = { (1,0)T , (0,1)T, (1,1)T} não é LI, e portanto não é uma base do 2 
 
iv - Seja V = [ (1,0,2) , (2,1,0) , ( 1,1,-2)], como no exemplo 4.12. 
 
  = { (1,0,2), (2,1,0) , ( 1,1,-2) } não é LI e portanto não é uma base de V. 
 
 No entanto, U = 1 0 2
2 1 0
1 1 2








 é linha-equivalente a U = 1 0 2
0 1 4
0 0 0









 
 
 Portanto, V = [(1,0,2), (0,1,-4)] . Além disto, (1,0,2) e (0,1,-4) são LI. 
 
 Ou seja,  = {(1,0,2), (0,1,-4)} é uma base de V. 
v - As colunas da matriz identidade nxn formam uma base do n. 
 
vi - As soluções canônicas de Ax = 0 formam uma base de N(A) = {x  n | Ax=0} 
 
 Na observação 4.4 registramos que, as soluções canônicas de Ax = 0 geram N(A). No exemplo 4.14.vi, 
vimos que também são LI. 
 
vii - As linhas não nulas de uma matriz na forma escada e linha-equivalente a A, formam uma base para o 
espaço das linhas de A, conforme situamos logo no início desta subseção. 
 
viii – Cheque que dada uma base  = { U1 , U2 , ... , Up } para o espaço das linhas de A
T
, então  = { U1
T
 , 
U2
T
 , ... , Up
T
 } é uma base para o espaço das colunas de A. 
 
 
 
 
26 
26 
Exemplo 4.16- Sejam A = 






10
11 , B = 





 
110
111 ,  =  )2()1( A,A e  = {B
(1)
, B
(2)
 , B
(3)
} 
 
 Verifique que  é uma base de 2, enquanto que  é um conjunto LD de geradores de 2. Seja d = (d1 
d2)
T
 um ponto qualquer de 2. Vamos escrevê-lo como combinação linear dos vetores de , e depois como 
combinação linear dos vetores de . 
 Se d = x1A
(1)
 + x2A
(2)
, isto significa que Ax = d. Como A é 2x2 de posto 2, obtemos para Ax = d uma 
única solução: 
x = 





 
2
21
d
dd . (4.3) 
Isto significa que só há uma maneira de escrever cada vetor d de 2 como combinação linear das colunas 
de A, a saber: 
 d = (d1-d2) A
(1)
 + d2 A
(1)
 
 Se d = x1B
(1)
 + x2B
(2)
 + x3B
(3) 
, isto significa Bx = d. Como B é 2x3 de posto 2, devemos esperar mais de 
uma solução para Bx = d. De fato, 
Bx = d  








3
22
211
x
dx
2ddx
 
Por exemplo, para  = 0 e  = 1, obtemos duas maneiras distintas de escrever d como combinação linear 
das colunas de B 
d = (d1-d2) B
(1)
 + d2 B
(2)
 = (d1 - d2 -1 ) B
(1)
 + (d2 – 1) B
(2)
 + B
(3) 
 
Observação 4.9 Base como sistema de coordenadas num SEV 
 O exemplo acima é bastante ilustrativo da diferença fundamental que existe entre uma base de um SEV 
e um conjunto de geradores que não é base. Ela reside no fato que todo vetor do SEV se escreve de uma única 
maneira como combinação linear dos vetores de uma base dada, o que não ocorre se o conjunto de geradores 
não for uma base. Em particular, uma base de um SEV funciona como um sistema de coordenadas do SEV. No 
caso acima, por exemplo, a unicidade de x expressa na relação 4.3, faz com que possamos pensar em x = (d1-
d2 d2)
T
 como um vetor que representa as coordenadas de d na base do 2 constituída pelas colunas de A. 
Na seção 4.5 veremos como isto funciona, no caso geral. 
 
Exercícios da subseção 4.5.1 
Exercício 4.35 - Mostre que se V = Ger(v1 , v2 , .... , vn ) e v2 for combinação linear dos demais, então V = 
Ger(v1 , v3 , .... , vn ) 
 
 
27 
27 
Exercício 4.36 - Sejam v1 = (1,3,5,2)
T
 , v2 = (1,0,1,0)
 T
 e v3 = (2,3,6,2)
 T
. 
Ache uma base de V = [ v1 , v2 , v3 ] que esteja contida em {v1 , v2 , v3} 
 
Exercício 4.37 - Cheque as afirmações feitas nos exemplos 4.15.i-ii, 4.15.v e 4.15.viii 
Exercício 4.38 - Considere A = 
1 0 1 1
2 1 0 1
5 2 1 3













 
i - Encontre uma base para o espaço das linhas de A. 
ii - Encontre uma base para o espaço das colunas de A. 
iii - Encontre uma base para o espaço das linhas de AA
T 
iv - Encontre uma base para o espaço das linhas de A
T
A 
 
Exercício 4.39 - Seja  um subconjunto do 2. Verifique que 
 
i - Se  tiver apenas um vetor então não gera 2 
ii - Se  tiver tres vetores então êles são LD. 
iii - Conclua que toda base  do 2 tem exatamente dois vetores. 
 
Exercício 4.40 - Seja  um subconjunto do 3. Verifique que 
 
i - Se  tiver menos de tres vetores então não gera o 3 
ii - Se  tiver quatro vetores então êles são LD no 3. 
iii - Conclua que toda base  do 3 tem exatamente tres vetores. 
 
4.5.2 Todo SEV do n tem uma base 
 
Nesta subseção veremos que, teoricamente, sempre é possível obter bases de SEVs do n. Nossa 
preocupação aquí é um pouco mais teórica, porém essencial ao que se segue. Começamos vendo como, dado 
conjunto de geradores de um SEV, não necessariamente LI, sempre é possível extrair-lhe uma base para W. 
Observação 4.10 Todo conjunto finito de geradores de um SEV W contem uma base de W. 
Dem : A observação é uma consequência imediata do fato que se W = Ger(v1 , v2 , .... , vn ) e um dos vi for 
combinação linear dos demais, então podemos eliminá-lo da lista, no sentido que os demais vetores continuam 
gerando V. (Vide exercício 4.35) 
 Na observação anterior vimos como se pode construir uma base de um SEV do n a partir de uma lista 
finita de geradores, jogando fora da lista, sucessivamente, aqueles vetores que dependem linearmente dos 
demais. Nossa preocupação agora é em construir uma base de um SEV W, acrescentando, sucessivamente, 
vetores a uma lista LI de vetores em W. A idéia pode ser entendida mais facilmente no seguinte exemplo. 
 
 
 
 
28 
28 
Exemplo 4.17 Construindo uma base para o 3 
 
 Uma maneira de começar seria escolhendo um vetor não 
nulo qualquer, digamos v1 = (1 1 2)
T
 e fazendo  = {v1}. 
Obviamente a reta que contem v1, W1 = Ger(v1) não é todo o 
3. Escolhamos então um v2 que não esteja em W1 , diga- 
mos v2 = (1 2 0)
T
 (vide exercícios 4.41-42) e atualizemos 
 para  = {v1,v2}. Observe que  continua LI e W2 = 
Ger(v1,v2) é um plano no 
3
. Tomemos agora um v3 qualquer 
que não esteja em W2 , digamos v3 = (0 0 1)
T
 e atualize- 
mos  para  = {v1,v2, v3}. Observe que  continua LI, 
mas agora 3 = Ger(v1,v2, v3). 
 
 
Observação 4.11 Acrescentando vetores a uma lista LI 
 
Se  = { v1, v2,  , vk} é um conjunto de vetores LI no 
n
 e vk+1 não estiver no subespaço gerado pelos 
vetores de , então, ao acrescentarmos vk+1 ,  = { v1, v2,  , vk, vk+1} permanece LI. Para vê-lo, tome uma 
combinação linear nula dos vetores de : 
 0 = c1v1 + c2v2 +  + ck+1vk+1  ck+1vk+1 = –( c1v1 + c2v2 +  + ckvk) 
 ck+1 tem que ser zero, pois senão vk+1 = – ( c1v1 + c2v2 +  + ckvk)/ ck+1 estaria no SEV gerado por  
 Como ck+1 = 0, então 0 = c1v1 + c2v2 +  + ckvk  c1 = c2 =  = ck , uma vez que  é LI 
 
Ou seja, se uma combinação linear dos vetores de  é nula, seus coeficientes são todos nulos. Isto significa 
que  é LI. 
 Uma pergunta natural, agora, seria: Todo SEV do m admite uma base ? A resposta afirmativa constitui 
nosso primeiro teorema-chave deste capítulo. A idéia de como garantir uma base  a um SEV V já está 
colocada no exemplo 4.17 e na observação 4.11. Ou seja, é começar  com um vetor não nulo de V e ir 
acrescentando vetores de V, de forma a deixar  sempre linearmente independente. O processo sempre se 
esgota em, no máximo, m passos, conforme veremos a seguir. 
Teorema-chave 4.1 Se W é um SEV do m e   W é um subconjunto LI, então é possível “completar” , 
de modo a obter uma base  de W, no sentido que   . Em especial, todo SEV W  {0} do m admite 
uma base. 
 
Dem: Sejam W  {0} um SEV de m;  = { A(1), ..., A(j) }  W, LI ; V = Col(A(1), ... , A(j)). 
 
 
 Se W = V,  é uma base de W. Senão, considere A(j+1) em W – V , atualize , acrescentando-lhe A(j+1) , ou 
seja, fazendo  = { A(1), ... , A(j+1) }. Atualize V para V =Col(A(1), ... , A(j+1)). Pela observação 4.11,  
continua LI. 
 W1
 
 
 v1 
 v3 
 
 v2 
 
 
 
 W2 
 
 
 
 
29 
29 
 
 Do mesmo jeito, se W = V,  é uma base de W. Senão considere A(j+2) em W – V, atualize para  = { A(1), 
... , A
(j+2)
 } e V = Col(A
(1)
, ... , A
(j+2)
). Pela observação 4.11,  continua LI. 
 
 
 Os três pontinhos significam que, podemos ir repetindo os passos acima k vezes, enquanto W  
Col(A
(1)
, ... , A
(j + i -1)
 ), para i=1,, k. Isto significa que depois de k iterações, teremos  = {A(1), A(2), , A(j+k)} 
e V = Col(A
(1)
, A
(2)
,  , A(j+k))  W. Do mesmo jeito que antes, a observação 4.11 nos garante que  
continua resultando LI. Portanto, se W = V,  é uma base de W. Só falta mostrar que este processo não pode 
continuarindefinidamente. Mais precisamente, termina com k  n-j, pela razão que se  = {A(1), A(2), , 
A
(m+1)
 }, a matriz A = (A
(1)
 A
(2)
  A(m+1) ) teria m linhas e m +1 colunas. Neste caso, o posto de A seria no 
máximo m e, portanto, menor que o número de colunas. A observação 4.8 nos garantiria, neste caso que as 
colunas de A são LD, contradizendo a construção de , que as garante LI. Isto significa que W tem uma base 
com, no máximo, m elementos. 
Em especial, se W 0, seja A
(1)
 ≠ 0 um vetor em W, considere  = {A(1) }.  é LI e o argumento 
acima nos garante uma base  para W, contendo A(1) . 
 
Exercícios da subseção 4.5.2 
Exercício 4.41 - Sejam W = Col(A), onde A = 












110
011
121
, e b = 










1
0
0
 
i – Obtenha a fatoração A = LU, com L triangular inferior e U triangular superior, sem relaizar trocas de linhas 
ii – Verifique que W é um plano no 3 e que  = {A(1) , A(2)} define uma base de W 
iii - Observe que Lb = b, e que Ux = b não tem solução. 
iv - Conclua que Ax = b também não tem solução, sem fazer mais contas. 
v - Conclua que b não está em W = Col(A), sem fazer mais contas. 
vi – Você sabe explicar por quê não foi uma coincidência obtermos b em 3 – W e se isto corresponde a 
alguma estratégia possível para se encontrar um ponto fora de W.. 
(Sugestão: Observe que se Lb = b e Ux = b não tem solução, tampouco Ax = L(Ux)=Lb terá.) 
 
Exercício 4.42 - Sejam W = Col(A), onde A = 










110
242
121
e b = 










1
0
0
, c = 










0
1
0
 
i - Verifique que Ax = b tem solução, mas Ax = c não tem. 
Ii – Verifique que não é possível aplicar a eliminação de Gauss a A, sem trocar a segunda linha com a terceira. 
iii
*
 – Explique por quê não foi uma coincidência obter c em 3 – Col(A) 
 (Sugestão: Pense na fatoração PA = LU, bem como no fato que Ux = b não tem solução) 
 
 
 
 
30 
30 
4.5.3 Dimensão de um SEV 
 
Os exercícios 4.35 e 4.36 nos indicam uma questão-chave para tudo o que se segue: 
 
 Duas bases de um mesmo subespaço vetorial têm o mesmo número de elementos? 
 
 
Teorema chave 4.2 
 
Seja V = [A
(1)
 , A
(2)
 , ... , A
(n)
] = Col(A) 
 
 Então qualquer subconjunto de V com mais de n elementos é LD 
 
 DEM: Seja  = { B(1) , B(2) , ... , B(p)}  V. Queremos mostrar que se p > n então  é LD. 
 
 Como V = Col(A), para cada j = 1, 2, ... p, obtenha C
(j)
 tal que 
 
 B
(j)
 = AC
(j)
 
 
 Em particular, obtemos uma matriz C, nxp e tal que B = AC. Como n < p, C tem variáveis livres. Seja x 
uma solução não trivial de Cx = 0. Mas então Bx = ACx = 0, com x  0. 
 
Isto significa que as colunas de B são LD, como queríamos. 
 
 Em particular, o teorema chave nos diz que, se  e  são duas bases de um mesmo SEV W, então nem 
 pode ter mais vetores que , nem  pode ter mais vetores que . Ou seja: 
 
 
Definição-chave 4.7: Seja V um SEV do m. 
 
 A dimensão de V é o número de elementos de qualquer uma de suas bases. 
 
 Se  = { v1 , v2 , ... , vn } é uma base qualquer de V, denotamos dim(V) = n. 
 
Exemplos 4.18: 
 
4.18.i - Como as colunas da matriz identidade formam uma base do n  dim( n) = n 
 
4.18.ii - Dim( {(x1,x2,x3) : 2x1 + 3x2 - x3 = 0} ) = 2. (Por quê?) 
 
4.18.iii - Se V = [(1,0,2)
T
, (2,1,0)
T
, ( 1,1,-2)
T
], como no exemplo 4.5  dim(V) = 2 
 
4.18.iv - Do exemplo 4. 15.vi, segue que a dimensão do espaço nulo de A vale n -Posto(A). 
 
4.18.v - Do exemplo 4.15.vii, segue que a dimensão do espaço das linhas de A é Posto(A) 
 
Consequência fundamental do teorema-chave 4.2: 
 
 Duas bases quaisquer de um mesmo SEV do m têm o mesmo número de elementos. 
 
 
31 
31 
4.18.vi - Do exemplo 4.15.viii, segue que a dimensão do espaço das colunas de A é Posto(A
T
) 
 
 
Observação 4.12 Duas consequências do teorema-chave 4.2 
 
 k vetores LI num SEV do n de dimensão k formam uma base. 
 
Seja W um SEV do n de dimensão k, e  = {A(1),..., A(k) }  W e LI. Se  não fosse base de W, o 
teorema-chave 4.1 nos forneceria uma base de W com mais do que k elementos, contrariando o teorema-
chave 4.2. 
 
 k geradores num SEV do n de dimensão k formam uma base. 
Suponha que W = Ger(A
(1)
,... , A
(k)
) 
que suas colunas A
(1)
,... , A
(k)
 são também LI, e portanto uma base de W. 
 
 Na seção 3.5, nos deparamos com uma situação na qual era importante saber se o posto de A é o mesmo que 
o posto de sua transposta. No exemplo 4.14.viii, vimos que as colunas pivotais de A formam um subconjunto 
LI do espaço das colunas de A. Mas então o teorema chave 4.1 nos diz que é possível obter uma base de 
Col(A) que inclua as colunas pivotais. Em particular, como o número de colunas pivotais é o posto de A, isto 
significa que: 
 
 dim(Col(A))  Posto(A) (4.4) 
 
Por outro lado, no exemplo 4.18.vi, vimos que dim(Col(A)) = dim(Lin(A
T
)) = Posto(A
T
). Juntando 
isto com a desigualdade 4.4, obtemos 
 
 Posto(A
T
)  Posto(A) (4.5) 
 
 Mas como A = (A
T
)
T
 , podemos usar 4.5, para obter: 
 
 Posto(A) = Posto( (A
T
)
T
 )  Posto(AT) (4.6) 
 
As duas últimas inequações garantem nosso último resultado chave deste capítulo: 
 
 
Teorema-chave 4.3 - Se A é uma matriz mxn então Posto(A) = Posto(AT). Em particular, 
 
Posto(A)= dim(Col(A)) = dim(Col(A
T
)) = dim(Lin(A)) 
 
 
 
 
32 
32 
Exemplo 4.19 Obtendo uma base do espaço das colunas 
 
Considere A = 










33321
87642
54321
 e veja que U = 











00000
21000
54321
 é uma matriz na forma 
escada linha-equivalente a A. Portanto, 
 
Dim(Col(A)) = Posto(A) =2 
 
As colunas pivotais de A são a primeira e a quarta. Portanto  = { A(1), A(4) } é um subconjunto LI num 
SEV de dimensão 2. A observação 4.8 nos garante então que  é uma base do espaço das colunas de A. Na 
verdade, o argumento acima se generaliza facilmente e não foi por acaso que obtivemos as colunas pivotais 
formando uma base do espaço das colunas de A, conforme poderemos ver a seguir. 
 
Observação 4.13 As colunas pivotais formam uma base do espaço das colunas de A 
 
Observe que o número de colunas pivotais de A coincide com seu posto que, segundo o teorema-chave 
4.3, é também a dimensão do espaço das colunas de A. Como o conjunto formado pelas colunas pivotais de A é 
LI e tem o mesmo número de elementos que a dimensão de A, a observação 4.8 nos garante que as colunas 
pivotais de A formam uma base do espaço das colunas de A. Esta é, provavelmente, a razão pela qual as 
colunas pivotais são frequentemente denotadas como colunas básicas de A, na literatura. No sentido de indicar 
que definem uma base de Col(A), a denominação “básicas” lhes é muito adequada. 
 
Juntando o fato que o espaço das linhas de matrizes linha-equivalentes são os mesmos (subseção 4.3.1), 
com o fato de as linhas de uma matriz na forma escada formarem uma base de seu espaço das linhas (exemplo 
4.15.vii) e o fato das colunas pivotais de A serem base do espaço dascolunas de A (observação logo acima ), 
obtemos: 
 
Algoritmo para achar bases dos espaços das linhas e das colunas de A: 
 
 
Passo 1 - Ache uma matriz escada U, linha equivalente à A 
 
Passo 2 - Forme uma base do espaço das linhas de A com as linhas não nulas de U. 
 
Passo 3 - Forme uma base de Col(A) com as colunas de A correspondentes às dos pivôs de U 
 
Alternativamente, aplique os passos 1 e 2 à matriz A
T. Ou seja, considere uma matriz U’, linha 
equivalente a A
T
. As linhas não-nulas de U’ (transpostas) formam uma base do espaço das colunas Col(A) 
 
 
 
 
33 
33 
Exercícios da subseção 4.5.3 
 
Exercício 4.43 - Cheque a dimensões indicadas no exemplo 4.18.ii 
 
Exercício 4.44 – Ache uma base do 3 que contenha v1 = (1, 2,1)
T
 e (2,3,4)
T 
.
 
 
 
Exercício 4.45 - Considere A = 











2210
1201
1011
. Calcule as dimensões e explicite bases para Col(A), 
Col(A
T
) , N(A), N(A
T
). 
 
Exercício 4.46 - Ache uma base para W = [(1,0,1,0)
T
 ,(1,-1,1,2)
T
 ,(3,-2,3,4)
T
]  4 e calcule a sua dimensão. 
 
Exercício 4.47 – Sejam V e W SEVs do n. Certo ou Errado? Justifique: 
 
i - Sejam v1 = (1,0,1,0)
T
, v2 = (2,1,2,1)
T
 e v3 = (-2,-2,-2,-2)
T
. Existe uma base  do 4 que contem v1, v2 e v3. 
ii - Sejam v1 = (1,0,1,0)
T
, v2 = (2,1,2,1) e v3 = (-2,-2,-2,0)
T
. Existe uma base  do 4 que contem v1, v2 e v3. 
iii - Sejam v1 = (1,0,1,0)
T
, v2 = (2,1,2,1) , v3 = (-2,-2,-2,-2)
T
, v4 = (0, 0, 0, 1) e v5 = (-1,-1,-1,0). Existe uma 
base  do 4 formada com quatro dos cinco vetores acima. 
iv Sejam v1 = (1,0,1,0)
T
, v2 = (2,1,2,1) , v3 = (-2,-2,-2,-2)
T
, v4 = (0, 0, 0, 1) e v5 = (-1,-1,-2,0). Existe uma base 
 do 4 formada com quatro dos cinco vetores acima. 
v – Se  é um conjunto de geradores de V com 5 elementos, então dim(V) = 5 
vi - Se  é um conjunto de geradores de V com 5 elementos, então dim(V)  5 
vii - Todo conjunto de geradores de V com p = dim(V) elementos é uma base de V. 
viii - Se  é um conjunto LI de vetores de V com 5 elementos, então dim(V) = 5 
ix - Se  é um conjunto LI de vetores de V com 5 elementos, então dim(V)  5 
x - Se dim(V) = 5 e  = {v1, v2, v3 } é um conjunto LI formado por vetores de V, então é possível completar 
, de modo a formar uma base ’ para V ( ou seja, de modo que   ’}. 
xi – Todo conjunto LI de vetores de V com p = dim(V) elementos é uma base de V. 
xii – Se W  V é SEV do n então dim(W)  dim(V) 
xiii – Se dim(W)  dim(V) então W está contido em V 
 
 
4.6 Bases como sistemas de coordenadas num SEV 
 
No exemplo 4.16 vimos a diferença que existe entre uma base de um SEV e um conjunto de geradores 
LD, num caso particular. Na observação 4.17, indicamos que as bases de SEVs funcionam como sistemas de 
coordenadas. O objetivo desta seção é explorar esta idéia. Na primeira subseção verificamos que, no caso 
geral, podemos entender uma base de um SEV do n como um sistema de coordenadas no SEV. Na subseção 
 
 
34 
34 
4.6.2 tratamos da relação que existe entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases de um mesmo 
SEV, essencial para podermos trabalhar com as transformações lineares no n. 
 
4.6.1 Bases ordenadas de um SEV 
 
 Começamos generalizando a situação descrita na observação 4.17 
 
Observação 4.14 Se  = {v1, v2, ... ,vn} é uma base de V então todo vetor em V se escreve de maneira única 
como combinação linear dos elementos de . 
 
DEM : Suponha que v  V seja tal que v = 1v1 + .... + nvn = 1v1 + .... + nvn . 
 Mas então 0 = (1-1) v1 + .... + (n - n) vn . 
 A independência linear de  nos garante, neste caso, todos os coeficientes (i - i) = 0. 
 Ou seja, i = i , para todo i 1,,n 
 
Na verdade estamos interessados em bases ordenadas, para poder usá-las como sistemas de 
coordenadas. 
 
Definição 4.8 Dizer que  = { v1 , v2 , ... ,vn } é uma base ordenada, significa dizer que seus vetores não 
podem mudar de posição, ou seja, a cada vetor vi está associado o i-ésimo lugar que ele ocupa em  
 
Definição 4.9 Coordenadas de um vetor numa base ordenada 
 
Sejam V um SEV do m e  = { v1 , v2 , ... ,vn } uma base ordenada de V. 
 
Seja v  V com v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn .. 
 
Designamos por coordenadas de v na base  ao ( único ) vetor do n definido como: 
 
[v] = 

















n
2
1
 
 
 
 
 
35 
35 
Exemplo 4.20 Observe que  = {(1,0,1)T, (0,1,-1)T , {1,1,1)T } é uma base do 3. 
 
 Sejam v = 










3
2
1
 e [v] = 










3
2
1



. Então: 
. 
 
 
Exercícios da subseção 4.6.1 
 
Exercício 4.48 - Ache uma base para o plano de equação x + y + z = 0. Ache as coordenadas de ( 1 1 -2)
T
 
nesta base. Encontre as coordenadas de (a b -(a+b) )
T
 nesta base. 
 
Exercício 4.49 (41)- 
i -Verifique que  = 
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1



















































, , ,
 é um conjunto de geradores do 3, mas não uma base. 
ii - Escreva x = 
x
x
x
1
2
3








 como combinação linear dos vetores de  de duas maneiras diferentes. 
 
Exercício 4.50 - Sejam  a base canônica do 3 ( = 








































1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
) e  = 
1
0
1
0
1
1
1
1
1









































 
i - Verifique que  é uma base do 3 
ii - Dado x = 










3
2
1
x
x
x
  3, encontre uma matriz M tal que x = M[x] 
iii - Mostre que M é invertível e calcule [(1,0,0)
T
] 
 
Exercício 4.51 - Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Se dim(V) = 4 e ={v1, v2 , v3} é um conjunto LI então V  Ger(v1, v2 , v3 ) 








3
2
1
321
32
31



 



































1
1
1
1
1
0
1
0
1
v 321   













4
2
3
v 
 
 
 
36 
36 
ii - Se dim(V) = 4 e ={v1, v2 , v3} é um conjunto LI, então é possível completar uma base de V, a partir 
de . Ou seja, é possível encontrar v4 tal que ={v1, v2 , v3, v4 } é uma base de V 
iii - Se dim(V) = 4 e ={v1, v2 , v3,v4 ,v5}, então  não é LI. 
iv - Seja V = VA  VB. Se  e  são bases de VA e VB respect., então  é uma base de V 
v - Se dim(V) = n então nenhum conjunto com menos de n vetores pode gerar V. 
vi - Se dim(V) = n então nenhum conjunto com mais de n vetores de V pode ser LI. 
 
4.6.2 Mudança de bases no n 
 
No capítulo 8 tentaremos esmiuçar melhor o que acontece com o produto matriz-vetor como