Calculo Diferencial e Integral I Questões

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Unidade I – O estudo das Funções
Exercício 1
Resolução:
Dada a função f(x) = 5.x – 37 , assinale a alternativa correta com o 
resultado de 3.f(5) + 4.f(8) =
Alternativas:
a) 12
b) –12 
c) 24
d) –16 
e) –24
1° Passo: Calcular f(5) e f(8):
f(x) = 5.x – 37
f(5) = 5.5 – 37 = 25 – 37 = – 12
e
f(8) = 5.8 – 37 = 40 – 37 = 3
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Unidade I – O estudo das Funções
Exercício 1
Resolução:
Dada a função f(x) = 5.x – 37 , assinale a alternativa correta com o
resultado de 3.f(5) + 4.f(8) =
Alternativas:
a) 12
b) –12 
c) 24
d) –16 
e) –24 
2° Passo: Substituir em 3.f(5) + 4.f(8) = e calcular:
3.f(5) + 4.f(8) =
3.( – 12) + 4.3 =
– 36 + 12 = – 24
Alternativa correta “e” – 24.
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Unidade I – O estudo das Funções
Exercício 2
Resolução:
Dada a equação quadrática: x² +8x – 48 = 0
Calcule e assinale a alternativa que traz sua solução.
Alternativas:
a) S = {– 4 , 12 }
b) S = {– 4 , – 12 }
c) S = { 4 , 12 }
d) S = { 4 , – 12 }
e) S = { }
1° Passo: Definir quem é a, b e c e calcular o delta:
x² +8x – 48 = 0
a = 1 , b = +8 e c = – 48
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256
19264
)48).(1.(4)8(
..4
2
2



 cab
Unidade I – O estudo das Funções
Exercício 2
Resolução:
2° Passo: Achar x1 e x2, substituindo na equação de Báscara:
x² +8x – 48 = 0  a = 1 , b = +8 e c = – 48 e Delta = 256
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
2
168
1.2
256)8(
.2






x
x
a
b
x
4
2
8
2
168
1 

x
12
2
24
2
168
2 



x
Alternativa correta “d” S = { 4 , – 12 }.
Unidade II – Limites
Exercício 3
Dado o limite:
Calcule e assinale a alternativa que traz sua solução.
Alternativas:
a) 48
b) –51
c) 105
d) –54
e) –115 
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


 1
1005.3
lim
2
1 x
xx
x
Unidade II – Limites
Exercício 3
Resolução:
Substituindo “x” tendendo a “– 1” na função do limite:
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
51
2
102
2
1053
2
10051.3
11
100)1.(5)1.(3
1
1005.3
lim
2
2
1

















 x
xx
x
Alternativa correta “b” – 51.
Unidade II – Limites
Exercício 4
Dado o limite indeterminado:
Resolva e assinale a alternativa que traz a solução desse limite 
indeterminado.
Alternativas:
a) 0
b) 35
c) 50
d) 60
e) 85 
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







 25
625
lim
2
25 x
x
x
Unidade II – Limites
Exercício 4
Resolução:
1° Passo: Verificar se o limite é indeterminado:
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Como temos “zero” no denominador da fração, dizemos que o 
limite é indeterminado.
0
0
0
625625
0
625)625(
2525
625)25(
25
625
lim
2
2
25

















 x
x
x
Unidade II – Limites
Exercício 4
Resolução:
2° Passo: Vamos colocar o sinal de menos em evidência (na frente)
e “fatorar” o numerador da fração:
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
50)50()2525()25(lim
)25(
)25).(25(
lim
)25(
)625(
lim
25
625
lim
25
25
2
25
2
25



















x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Alternativa correta “c” 50.
Unidade III – Derivadas
Exercício 5
Dada a função: 
y = – 8.x² + 6.x + 15 
Assinale a alternativa que traz corretamente a sua DERIVADA.
Alternativas:
a) y´= –16.x + 6
b) y´= –8.x +15 
c) y´= +16.x –6 
d) y´= –14.x² +6
e) y´= –16.x –8
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Derivada da Função Potência ou “Regra do Tombo”:
y = –8.x² +6.x +15 
y´= –8.2.x2–1 +6.1.x1–1 + 0
y´= –16.x +6.x0
y´= –16.x +6.1
y´= –16.x +6 
Resolução:
Alternativa correta “a” y´= –16.x +6.
Unidade III – Derivadas
Exercício 6
Dada a função: 
y = – 0,4.senx + 1,6.cosx + 32 
Assinale a alternativa que traz corretamente a sua DERIVADA.
Alternativas:
a) y´= +0,4.cosx +1,6.senx
b) y´= +0,4.cosx –1,6.senx + 32
c) y´= –0,4.cosx –1,6.senx
d) y´= +0,4.senx –1,6.cosx
e) y´= –0,4.cosx +1,6.senx
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Derivada da Função Seno e Cosseno:
(senx)´= cosx e (cosx)´= –senx 
y = – 0,4.senx + 1,6.cosx + 32
y´ = – 0,4.cosx + 1,6.(–senx) + 0
y´ = – 0,4.cosx –1,6.senx
Resolução:
Alternativa correta “c” y´= –0,4.cosx –1,6.senx
Unidade III – Derivadas
Exercício 7
Um móvel obedece a seguinte equação horária de espaço:
S = 3.t² –2.t +16
Calcule a velocidade desse móvel no instante “10” segundos e
assinale a alternativa correta.
Alternativas:
a) V = 36 m/s
b) V = 42 m/s
c) V = 22 m/s
d) V = 0 m/s
e) V = 58 m/s
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Unidade III – Derivadas
Exercício 7
Resolução:
1° passo: 
Derivamos a função espaço para encontrarmos a função velocidade:
S = 3.t² –2.t +16
S´= V = 3.2.t –2.1
S´= V = 6.t –2
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Alternativa correta “e” V = 58 m/s.
2° passo: 
Substituímos o tempo de 10 segundos na função velocidade:
V = 6.t –2
V = 6.10 –2 = 60 – 2 = 58 m/s
Unidade IV – Integrais
Exercício 8
Dada a Integral Indefinida:
Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.
Alternativas:
a) 24.x³ +24.x + C
b) 2.x4 +12.x³ – 5 + C
c) 2.x4 +4.x³ – 5x + C
d) 2.x³ +4.x² – 5 + C
e) 8.x4 +24.x³ – 5x + C
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
  dxxx ).5.12.8(
23
Unidade IV – Integrais
Exercício 8
Resolução:
Aplicando a regra de integração:
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Alternativa correta “c” 2.x4 +4.x³ – 5x + C.
C
n
x
dxx
n
n 



 1
.
1
1
 
Cxxx
Cx
xx
C
xxx
dxxx










5.4.2
5
3
.12
4
.8
1
.5
12
.12
13
.8
.5.12.8
34
34
11213
23
Unidade IV – Integrais
Exercício 9
Dada a Integral Indefinida por Substituição:
Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.
Alternativas:
a) 3x².sen (x³ + 10) +C
b) sen (x³ + 10) +C
c) cos (x³ + 10) +C
d) – sen (x³ + 10) +C
e) 3x².cos (x³ + 10) +C
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
  dxxx ).10cos(.3
32
Unidade IV – Integrais
Exercício 9
Resolução:
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Alternativa correta “b” sen ( x³ +10) + C.
Substituindo:
CxsenCsenu
duu
x
du
ux
dxxx







)10(
.cos
.3
.cos.3
).10cos(.3
3
2
2
32







2
2
3
.3
..3
10
x
du
dxoudxxdu
xu
Unidade V – Aplicações do Cálculo
Exercício 10
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Dada a função de duas variáveis a seguir:
f(x,y) = x² + y² – 10.xy
Calcule a imagem (o valor da função) para f(2, – 1) e assinale a 
alternativa correta.
Alternativas:a) 25
b) 50
c) –42 
d) 30
e) 35
f(x,y) = x² + y² – 10.xy
f(2,–1) = 2² + (–1)² –10.(2).(–1)
f(2,–1) = 4 +1 +20 = 25
Resolução:
Alternativa correta “a” f(2, – 1) = 25.
Unidade VI – Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Exercício 11
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Dada a função de duas variáveis a seguir:
f(x,y) = –5.x4.y³ +10.x².y² –22 
Calcule os valores das derivadas parciais em relação a x e em 
relação a y, no ponto ( 2 , –1 ) e assinale a alternativa correta.
Alternativas:
a) fx(2, – 1) = 100 e fy(2, – 1) = –500
b) fx(2, – 1) = 190 e fy(2, – 1) = – 200
c) fx(2, – 1) = 200 e fy(2, – 1) = –320
d) fx(2, – 1) = 69 e fy(2, – 1) = – 180
e) fx(2, – 1) = – 320 e fy(2, – 1) = 200
Exercício 11
Resolução:
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa
Alternativa correta “c” fx(2,-1) = 200 e fy(2,-1) = –320.
Unidade VI – Derivadas Parciais / Integrais Duplas
1° Passo: Calcular a Derivada Parcial em x e substituir o ponto f(2, – 1): 
f(x,y) = –5.x4.y³ +10.x².y² –22
fx(x,y) = –5.4.x³.y³ +10.2.x¹.y² – 0 
fx(x,y) = –20.x³.y³ +20.x.y² 
fx(2, –1) = –20.(2)³.(–1)³ +20.2.(–1)²
fx(2, –1) = –20.8.(–1) +40.+1 = +160 +40 = 200
2° Passo: Calcular a Derivada Parcial em y e substituir o ponto f(2, – 1): 
f(x,y) = –5.x4.y³ +10.x².y² –22
fy(x,y) = –5.x4.3.y² +10.x².2.y¹ – 0 
fy(x,y) = –15.x4.y² +20.x².y 
fy(2, –1) = –15.(2)4.(–1)² +20.(2)².(–1)
fy(2, –1) = –15.16.+1 +20.4.(–1) = –240 –80 = –320