Calcculo diferencial

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o 
comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é 
C=∫ba√1+[f′(x)]2dx. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o 
comprimento do arco da curva dada por f no intervalo fechado [0,2]: 
Nota: 10.0 
 A 2√5u.c. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o 
comprimento da curva, teremos: 
 
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c. 
 
 
 
(Livro-base, p. 21-
24). 
 B 3√5u.c. 
 C 4√u.c. 
 D 5√8u.c. 
 E 6√u.c. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o excerto de texto a seguir: 
 
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa 
determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86. 
 
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny. 
 Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f no ponto P=(12,−13), na 
direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45). 
Nota: 10.0 
 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85. 
 
 B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135. 
 
 C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65. 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u. 
 Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, 
temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. 
 
 
(livro-base, p. 
86). 
 D −57. 
 
 E −85. 
 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx 
, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de 
integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, 
considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral 
repetida ∫21∫21xydydx: 
Nota: 10.0 
 A 94 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro 
considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx
=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94 
 
 
(Livro-base p. 43-
47). 
 B 12 
 C 74 
 D 34 
 E 72 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma 
vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das 
derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6z 
: 
Nota: 10.0 
 A fx=3;fy=5;fz=−6 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em 
relação a cada variável. Então as derivadas parciais de f(x,y,z)=3x+5y−6z 
são: 
 
fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo x. 
fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo y. 
fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo z 
. 
 
(livro-base, p. 
80). 
 B fx=−3;fy=−5;fz=−5 
 C fx=5;fy=3;fz=−6 
 D fx=6;fy=5;fz=−3 
 E fx=−6;fy=5;fz=3 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx 
, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Depois integramos f(x,y) 
em relação a x. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy. 
 
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: 
Nota: 10.0 
 A 12 
 B 
3
2 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24
+224)=64=32. 
 
(livro-base, p. 54-
59). 
 C 52 
 D 72 
 E 92 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é 
representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da 
fabricação, se x1=3 
, x2=1 e x3=4 
: 
Nota: 10.0 
 A 
120 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 
100+6+2+12 = 120 
 
(livro-base, p. 75-76). 
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi 
é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como 
constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas 
parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
Nota: 10.0 
 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente 
em relação a cada variável. Assim, temos: 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
 
(Livro-base, p. 
80). 
 B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. 
 C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. 
 D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. 
 E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma 
sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são 
expressos em sequênciasque podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um 
valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da 
sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente 
de zero: 
Nota: 10.0 
 A 
an=2n 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... 
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); 
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim 
a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos 
números pares. 
 
(livro-base, p. 101). 
 B an=2n+1 
 C an=n+1 
 D an=2n-1 
 E an=n-1 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, 
e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo 
que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal 
que: 
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0) 
. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sent e y=cost., assinale a 
alternativa correta que apresenta a derivada de z em relação à variável t: 
Nota: 10.0 
 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como x 
 e y estão em função de t, temos 
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=
(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
 
 
(livro-base, p. 
79) 
 B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent 
 C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cost 
 D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. 
 E dzdt=(3x2−8xy+y2)cost 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx 
, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de 
integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, 
considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral 
repetida ∫20∫20yzdzdy: 
Nota: 10.0 
 
A0 
 
B2 
 
C4 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis 
constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20yd
y=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4 
 
 
(livr
o-
base
, p. 
43-
47). 
 D 8 
 E 16 
 
 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de 
formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente 
de zero? 
Nota: 10.0 
 A an = 2n 
 B an = 2n + 1 
 C an = n + 1 
 D 
an = 2n – 1 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares. 
livro-base p. 101-102 
 E an = n - 1 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser gen
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
 
Considerando a passagem de texto e o livro
variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
 
Nota: 10.0 
 A 6 
 B 10 
 C 
12 
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou! 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas.
: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
Você assinalou essa alternativa (C) 
 
Leia a seguinte passagem de texto: 
eralizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas. 
: Texto elaborado pelo autor da questão. 
iferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: 
 D 15 
 E 16 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro
várias variáveis, calcule o valor da integral de linha
dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩
que corresponde a esse valor. 
Nota: 10.0 
 A -12 
 B 24 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
ção determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas. 
exto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydz 
⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤1 e assinale a alternativa 
 
 
ção determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
Cálculo Diferencial e Integral a 
e assinale a alternativa 
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou! 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt
na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=
2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t
12+4=24. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral aVárias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis,
integral 
 
Nota: 10.0 
 A -1 
 B 
0 
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou! 
rnativa (B) 
x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt 
[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t
+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a 
, dadas as equações paramétricas: 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
+4t)+4(2t2+
+4t)∣∣∣10=8+
Cálculo diferencial e 
C 15 
D 
-
20 
E 30 
 
calcule a 
 C 1 
 D 2 
 E 3 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
por x1,x2 
 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x
primeiro produto, x1, uma unidade do segundo produto, 
produto, x3. 
. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75
Com base nos conteúdos estudados no
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0 
 A 
120 
Você assinalou essa alternativa (A)
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
e, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
, uma unidade do segundo produto, x2, e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 
 
Analise o seguinte problema: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
e, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
UES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes,
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região 
limitada pela curva y=x2 e pela reta
. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro
Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 10.0 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
 
O gráfico abaixo representa a área da região R 
e pela reta x 
 
o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
 A 
 
 B 
 
 C 1 
 D 2 
 E 
 
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou! 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor 
é a derivada de f em relação a xi 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y 
Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 10.0 
 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você assinalou essa alternativa (E) 
ial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi 
 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
 
 
Leia o trecho a seguir: 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
integralmente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
Aula 3 - Tema: 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
 Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável 
 de análise As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da 
sequência an=3+7n2n+n2 
, pode-se afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 A é convergente com limite 3. 
 B 
é convergente com limite 7. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Observamos 
que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
 
Logo, 
podemos 
afirmar que 
a sequência 
é 
convergent
e com 
limite igual 
a 7. (livro-
base, p. 
104-105) 
 C 
é 
convergent
e com 
limite 10. 
 D 
é 
divergente. 
 E 
é 
convergent
e com 
limite 
infinito. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z 
, o divergente de ⃗F é 
Nota: 10.0 
 A∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
 
 B 
∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz
. 
 C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
 D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), 
onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. 
 (livro-base, 155-
156) 
 E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar 
todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como 
habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
. 
Nota: 10.0 
 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de 
formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente 
de zero? 
Nota: 10.0 
 A an = 2n 
 B an = 2n + 1 
 C an = n + 1 
 D 
an = 2n – 1 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
livro-base p. 101-102 
 E an = n - 1 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias V
Leia a seguinte passagem de texto:
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas out
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
 
Considerando a passagem de texto e o livro
variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
 
Nota: 10.0 
 A 6 
 B 10 
 C 
12 
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas.
: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
Você assinalou essa alternativa (C) 
1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares. 
 
Leia a seguinte passagem de texto: 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
ras técnicas. 
: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Cálculo Diferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: 
 D 15 
 E 16 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral du
integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro
várias variáveis, calcule o valor da integral de linha
dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩
que corresponde a esse valor. 
Nota: 10.0 
 A -12 
 B 24 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydz 
⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤1 e assinale a alternativa 
 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
pla, integral tripla, 
Cálculo Diferencial e Integral a 
e assinale a alternativa 
Você assinalou essa alternativa (B
Você acertou! 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt
na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=
2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t
12+4=24. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis,
integral 
 
Nota: 10.0 
 A -1 
 B 
0 
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou! 
Você assinalou essa alternativa (B) 
x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt 
[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t
+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a 
, dadas as equações paramétricas: 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
+4t)+4(2t2+
+4t)∣∣∣10=8+
Cálculo diferencial e 
C 15 
D 
-
20 
E 30 
 
calcule a 
 C 1 
 D 2 
 E 3 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
por x1,x2 
 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x
primeiro produto, x1, uma unidade do segundo produto, 
produto, x3. 
. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75
Com base nos conteúdos estudados no
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0 
 A 
120 
Você assinalou essa alternativa (A)
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Analiseo seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
ção do custo de fabricação desses três produtos é representada 
+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
, uma unidade do segundo produto, x2, e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 
 
Analise o seguinte problema: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
ção do custo de fabricação desses três produtos é representada 
. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo d
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região 
limitada pela curva y=x2 e pela reta
. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro
Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 10.0 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo d
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
 
O gráfico abaixo representa a área da região R 
e pela reta x 
 
cima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
 A 
 
 B 
 
 C 1 
 D 2 
 E 
 
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou! 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Inte
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor 
é a derivada de f em relação a xi 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralm
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y 
Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 10.0 
 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi 
 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
 
 
Leia o trecho a seguir: 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
ente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
Aula 3 - Tema: 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
 Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável 
 de análise As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da 
sequência an=3+7n2n+n2 
, pode-se afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 A é convergente com limite 3. 
 B 
é convergente com limite 7. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Observamos 
que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
 
Logo, 
podemos 
afirmar que 
a sequência 
é 
convergent
e com 
limite igual 
a 7. (livro-
base, p. 
104-105) 
 C 
é 
convergent
e com 
limite 10. 
 D 
é 
divergente. 
 E 
é 
convergent
e com 
limite 
infinito. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z 
, o divergente de ⃗F é 
Nota: 10.0 
 A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
 
 B 
∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz
. 
 C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
 D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), 
onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. 
 (livro-base, 155-
156) 
 E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar 
todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como 
habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
. 
Nota: 10.0 
 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando olivro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de 
formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente 
de zero? 
Nota: 10.0 
 A an = 2n 
 B an = 2n + 1 
 C an = n + 1 
 D 
an = 2n – 1 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
livro-base p. 101-102 
 E an = n - 1 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias 
Leia a seguinte passagem de texto:
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas ou
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
 
Considerando a passagem de texto e o livro
variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
 
Nota: 10.0 
 A 6 
 B 10 
 C 
12 
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas.
: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
Você assinalou essa alternativa (C) 
1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro 
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) 
1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 
= 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares. 
 
Leia a seguinte passagem de texto: 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
tras técnicas. 
: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Cálculo Diferencial e Integral a várias 
, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: 
 D 15 
 E 16 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral d
integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro
várias variáveis, calcule o valor da integral de linha
dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩
que corresponde a esse valor. 
Nota: 10.0 
 A -12 
 B 24 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, 
integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydz 
⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤1 e assinale a alternativa 
 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
upla, integral tripla, 
Cálculo Diferencial e Integral a 
e assinale a alternativa 
Você assinalou essa alternativa (
Você acertou! 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt
na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=
2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t
12+4=24. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis,
integral 
 
Nota: 10.0 
 A -1 
 B 
0 
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou! 
Você assinalou essa alternativa (B) 
x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt 
[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t
+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a 
, dadas as equações paramétricas: 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
+4t)+4(2t2+
+4t)∣∣∣10=8+
Cálculo diferencial e 
C 15 
D 
-
20 
E 30 
 
calcule a 
 C 1 
 D 2 
 E 3 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
por x1,x2 
 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x
primeiro produto, x1, uma unidade do segundo produto, 
produto, x3. 
. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75
Com base nos conteúdos estudados no
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0 
 A 
120 
Você assinalou essa alternativa (A)
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
nção do custo de fabricação desses três produtos é representada 
+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
, uma unidade do segundo produto, x2, e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 
 
Analise o seguinte problema: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado 
nção do custo de fabricação desses três produtos é representada 
. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do 
e quatro unidades do terceiro 
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto: 
 
As técnicasde integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região 
limitada pela curva y=x2 e pela reta
. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro
Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 10.0 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
 
O gráfico abaixo representa a área da região R 
e pela reta x 
 
acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
Cálculo Diferencial e 
, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva 
 A 
 
 B 
 
 C 1 
 D 2 
 E 
 
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou! 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Int
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor 
é a derivada de f em relação a xi 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integral
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y 
Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 10.0 
 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi 
 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
 
 
Leia o trecho a seguir: 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
mente, ele está disponível em: 
Cálculo diferencial e integral de várias 
Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
Aula 3 - Tema: 
ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
 Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável 
 de análise As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da 
sequência an=3+7n2n+n2 
, pode-se afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 A é convergente com limite 3. 
 B 
é convergente com limite 7. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Observamos 
que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
 
Logo, 
podemos 
afirmar que 
a sequência 
é 
convergent
e com 
limite igual 
a 7. (livro-
base, p. 
104-105) 
 C 
é 
convergent
e com 
limite 10. 
 D 
é 
divergente. 
 E 
é 
convergent
e com 
limite 
infinito. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z 
, o divergente de ⃗F é 
Nota: 10.0 
 A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
 
 B 
∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz
. 
 C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
 D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), 
onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. 
 (livro-base, 155-
156) 
 E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar 
todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como 
habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
. 
Nota: 10.0 
 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z