Resoluções Exercícios Matemática Discreta

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LISTA DE EXERCI´CIOS MATEMA´TICA DISCRETA
Livro: Kenneth H. Rosen (pt-BR)
1. Qual a cardinalidade de cada um dos conjuntos abaixo?
a) {a}
b) {{a}}
c) {a, {a}}
d) {a, {a}, {a, {a}}}
2. Suponha que A, B e C sejam conjuntos, tal que A ⊆ B e B ⊆ C. Mostre que A ⊆ C.
3. Encontre o conjunto de partes para cada um dos conjuntos abaixo, em que a e b sa˜o
elementos distintos.
a) {a}
b) {a, b}
c) {∅, {∅}}
4. Considere A = {a, b, c, d} e B = {y, z}. Encontre:
a) A×B
b) B × A
5. Demonstre a propriedade da complementac¸a˜o da Tabela 1 mostrando que (Ac)c = A.
6. Demonstre as propriedades dos elementos neutros da Tabela 1 mostrando que:
a) A ∪∅ = A
b) A ∩ U = A
7. Considere A e B como conjuntos. Demonstre as propriedades comutativas da Tabela 1
mostrando que:
a) A ∪B = B ∪ A
b) B ∩ A = B ∩ A
8. Demonstre a primeira lei de De Morgan da Tabela 1 mostrando que se A e B forem
conjuntos, enta˜o (A ∪B)c = Ac ∩Bc
a) mostrando que cada lado e´ um subconjunto do outro lado.
b) usando uma tabela de pertineˆncia.
9. Considere A e B como conjuntos. Mostre que:
a) (A ∪B) ⊆ A
b) A ⊆ (A ∪B)
c) A−B ⊆ A
d) A ∩ (B − A) = ∅
e) A ∪ (B − A) = A ∪B
10. Mostre que se A e B sa˜o conjuntos, enta˜o A−B = A ∩Bc.
11. Demonstre a segunda propriedade distributiva da Tabela 1, mostrando que se A, B e C
sa˜o conjuntos, enta˜o A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Respostas
1. a) 1
b) 1
c) 2
d) 3
2. Soluc¸a˜o 1 Tome um x ∈ A arbitra´rio. Pela a definic¸a˜o de subconjunto x ∈ A→ x ∈ B.
De maneira ana´loga, posso dizer que, x ∈ B → x ∈ C. Logo, posso concluir que A ⊆ C,
pela a propriedade de transitiva.
3. a) P ({a}) = {∅, {a}}
b) P ({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
c) P ({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}
4. a) A×B = {(a, y), (a, z), (b, y), (b, z), (c, y), (c, z), (d, y), (d, z)}
b) B × A = {(y, a), (y, b), (y, c), (y, d), (z, a), (z, b), (z, c), (z, d)}
5. Soluc¸a˜o 2 Tome x ∈ (Ac)c ⇔ x /∈ Ac ⇔ x ∈ A. Logo (Ac)c = A.
6. a) A ∪∅ = A
Soluc¸a˜o 3 Tome um x ∈ (A ∪ ∅) → x ∈ A ou x ∈ ∅, pore´m o ∅, por definic¸a˜o,
na˜o conte´m nenhum elemento, enta˜o x /∈ ∅. Logo, posso concluir que A ∪∅ = A.
b) A ∩ U = A
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Soluc¸a˜o 4 Tome um x ∈ A, enta˜o x ∈ U , pois o conjunto U representa o conjunto
universo. Assim x ∈ A e x ∈ U . Logo x ∈ (A∩U). Portanto A ⊂ (A∩U). Assim
podemos concluir que A ∩ U = A.
7. a) A ∪B = B ∪ A
Soluc¸a˜o 5 Seja x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ou x ∈ B ⇔ x ∈ B ∪ A. Portanto,
A ∪B = B ∪ A.
b) A ∩B = B ∩ A
Soluc¸a˜o 6 Seja x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A e x ∈ B ⇔ x ∈ B ∩ A. Portanto,
A ∩B = B ∩ A.
8. a) Soluc¸a˜o 7 Mostrando que (A ∪B)c ⊆ Ac ∩Bc. Suponha que x ∈ (A ∪B)c ⇒ x /∈
(A ∪ B) ⇒ ¬((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)). Pela a lei de De Morgan temos que ¬(x ∈ A)
e ¬(x ∈ B) ⇒ x /∈ A e x /∈ B. Usando a definic¸a˜o de complemento temos que,
x ∈ Ac e x ∈ Bc ⇒ x ∈ Ac ∩Bc. Logo, isso mostra que (A ∪B)c ⊆ Ac ∩Bc.
Soluc¸a˜o 8 Mostrando que Ac ∩Bc ⊆ (A∪B)c. Suponha agora que x ∈ Ac ∩Bc ⇒
x /∈ A e x /∈ B. De fato, ¬(x ∈ A)∧¬(x ∈ B) e´ verdade. Pela a lei de De Morgan
temos que, ¬((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ⇒ ¬(x ∈ A ∪ B) ⇒ x ∈ (A ∪ B)c. Logo, isso
mostra que Ac ∩Bc ⊆ (A ∪B)c.
9. a) (A ∩B) ⊂ A
Soluc¸a˜o 9 Tome x ∈ (A ∩ B), enta˜o x ∈ A e x ∈ B. De modo particular, x ∈ A.
Logo, (A ∩B) ⊂ A.
b) A ⊂ (A ∩B)
Soluc¸a˜o 10 De maneira ana´loga ao item (a), se x ∈ A ⇒ x ∈ (A ∩ B). Logo,
conclui-se que A ⊂ (A ∩B).
c) A−B ⊂ A
Soluc¸a˜o 11 Tome x ∈ A − B ⇒ x ∈ A e x /∈ B. Assim, como x so´ tem uma
relac¸a˜o de pertineˆncia com o conjunto A, posso concluir que A−B ⊂ A.
d) A ∩ (B − A) = ∅
Soluc¸a˜o 12 Tome um x ∈ A ∩ (B −A)⇒ x ∈ A e x ∈ (B −A). Pela a definic¸a˜o
de diferenc¸a entre conjuntos x /∈ A. Portanto a igualdade A ∩ (B − A) = ∅ e´
verdadeira.
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