Gabarito com Resolução da Lista 1 Cálculo I

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GABARITO DA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I 
ENGENHARIA CIVIL / ENGENHARIA MECATRÔNICA 
 
1. a) { } φ=−<<−∈= 10x12|NxA , pois os números negativos não pertencem ao conjunto dos 
números naturais. 
b) { } { }89x7|ZxB =<<∈= , unitário, pois 8 é o único inteiro no intervalo considerado. 
c) { } { }4749x43eprimoéx|ZxC =<<∈= , unitário, pois 47 é o único inteiro no intervalo 
considerado que é primo (possui somente dois divisores, 1 e ele mesmo). 
d) { } φ==+∈= 612x3|NxD , pois o x que resolve a equação é 2− , que não é natural. 
e) { } { }40x4x|*NxE 2 ==−∈= , unitário, pois a outra raiz da equação de 2º grau é 0 e ∗∉ N0 . 
f) { } { }2paréxeprimoéx|ZxF =∈= , unitário, pois o único primo que é par é 2 (qualquer outro par 
maior que 2 tem pelo menos três divisores: 1, 2 e ele mesmo). 
2. Temos { } { } { }7,5,3,2Ce9,...,3,2,1,0B,9,7,5,3,1A === . Logo, 
a) BA ⊂ , pois todo elemento de A é, também, elemento de B. 
b) AC ⊄ , pois C2 ∈ , mas A2 ∉ . 
c) BC ⊂ , pois todo elemento de C é, também, elemento de B. 
d) CA ⊄ , pois, por exemplo, A1∈ , mas C1∉ . 
3. Conjunto A: 
000xx0x 22 =−=−⇒= ; 011xx1x 22 =−=−⇒= ; 222xx2x 22 =−=−⇒= e 
633xx3x 22 =−=−⇒= . 
Portanto, { }{ } { }6,2,03,2,1,0x:xxA 2 =∈−= . 
Conjunto B: 
( ) ( ) 1110n 0n =−=−⇒= ; ( ) ( ) 1111n 1n −=−=−⇒= ; ( ) ( ) 1112n 2n =−=−⇒= ; ( ) ( ) 1113n 3n −=−=−⇒= e 
assim sucessivamente. 
Ou seja, ( ) 11 n =− se n é par e ( ) 11 n −=− se n é ímpar. Portanto, ( ){ } { }1,1Nn:1B n −=∈−= . 
Conjunto C: 
11xou2x022x13xx1322x 22 ==⇒=+−⇒=+ . Portanto, { } { }11,2x1322x:NxC 2 ==+∈= . 
4. Temos ( )
4
1
2
1
e
9
1
3
1
,00,11,
4
1
2
1 2222
2
=





=





==−=





− . Como B é o conjunto dos quadrados 
dos elementos de A que são racionais e não inteiros, 






=
4
1
,
9
1B . 
 
 
2 
5. Temos Q39eQR6,QR2,Q11,Q00,R1,R4 ∈=−∈−∈∈=∈=∉−∉− . 
Portanto, { }6,2B= . 
6. { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0U= , { } { } e6,5,4,3,2B,7,5,3,1A == { }8,6,4,2,0C = . 
{ } { } { } { }9,7,6,5,4,3,2,19,7,5,3,1BCB,8,6,5,4,3,2,0CB,5,3BA =∪=∪=∪=∩ , 
( ) { } { } ( ) ( ) { } { }5,35,3CABA,5,38,6,5,4,3,2,0ACBA =φ∪=∩∪∩=∩=∪∩ , 
{ } { } CAC,7,1BA,5,3CB,U,CA,AA =−=−=−φ=φ=∩=φ∪ , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6,7,5,7,4,7,3,7,2,7,...,6,1,5,1,4,1,3,1,2,1BxA = , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }7,8,5,8,3,8,1,8,...,7,0,5,0,3,0,1,0AxC = e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }7,7,5,7,3,7,1,7,...,7,3,5,3,3,3,1,3,7,1,5,1,3,1,1,1AxAA2 == . 
7. { }6,5,4,3,2,1U= , { } { } { }.2,1BAe3BA,4,3,2,1BA =−=∩=∪ 
O diagrama de Venn correspondente à situação do exercício é mostrado a seguir: 
 
Portanto, { } { } { }.4ABe4,3B,3,2,1A =−== 
8. Temos { } { } { }e,d,c,aCed,c,bB,c,b,aA === . Logo, { } { } ee,aBC,bCA =−=− { }cCBA =∩∩ 
e, portanto, ( ) ( ) ( ) { }e,c,b,aCBABCCA =∩∩∪−∪− . 
9. Pelo enunciado, podemos chegar ao seguinte diagrama: 
 
Portanto, { }h,g,f,e,dB= . 
 
3 
10. Pelo enunciado, podemos chegar ao seguinte diagrama: 
 
Portanto, { }cBA =∩ . 
11. VVVVFVFV 
12. Temos ( ) { } { }{ } ( )( ) ( )An2 224An,A,1,0,A ===Ρφ=Ρ e 
( ) { } { } { } { } { } { }{ }B,5,3,5,1,3,1,5,3,1,B φ=Ρ , ( )( ) ( )Bn3 228Bn ===Ρ 
13. A questão é resolvida através do diagrama de Venn, lembrando-se a recomendação de iniciar 
a colocação dos dados da intersecção para ‘fora’: 
 
Respostas: 
a) 46 indivíduos foram expostos à substância A mas não à substância B. 
b) 17 indivíduos foram expostos à substância B mas não à substância A. 
c) 81 indivíduos foram expostos à substância A ou à substância B. 
d) 19 indivíduos não foram expostos nem à substância A e nem à substância B. 
14. Mesmo procedimento do exercício anterior, observando que são, agora, três conjuntos. 
 
4 
A B
C
30
12090
150
60
2090
40
 
Respostas: 
a) 40 alunos não escolheram nenhuma das três disciplinas optativas. 
b) 90 alunos escolheram A mas não B nem C. 
15. { } [ ] { } [ ],8,78x7|RxBA,20,220x2|RxBA)a =≤≤∈=∩=≤≤∈=∪ 
{ } [ ) [ [ { } ( ] ] ]20,820,820x8|RxAB,7,27,27x2|RxBA ==≤<∈=−==<≤∈=− e 
{ } ( ) ( ) ] [ ] [∞+∪∞−=∞+∪∞−=>∨<∈= ,82,,82,8x2x|RxA . 
( ] [ ] [ ) ( ) [ ] [ ]10,5AB,40,200,10BA,5,0BA,40,2010,10BA)b =−∪−=−=∩∪−=∪ e 
( ] [ ) ( )∞+∪∪−∞−= ,4020,510,A . 
[ ) [ ) [ ) [ ) ( )1,Ae1,0AB,,5BA,5,1BA,,0BA)c ∞−==−∞+=−=∩∞+=∪ . 
{ } ( ) ( ) ( )∞+=∞+=−∞−=−=∩=∪ ,8Ae,8AB,8,BA,8BA,RBA)d . 
( ] { } ( ] [ )∞+−∪−∞−==−=−φ=∩−−−=∪ ,13,AeBAB,ABA,BA,13,3BA)e . 
[ ] [ ) { } [ ) ( ) ( )∞+∪∞−=−=−=−=∩−=∪ ,96,Ae6,6AB,9BA,9,6BA,9,6BA)f . 
( ) [ ] ( ] ( )∞+∪−∞−=φ=−∪−=−=∩=∪ ,41,AeAB,4,31,1BA,BBA,ABA)g . 
[ ] [ ] ( ) ( )∞+∪∞−==−=−φ=∩=∪ ,50,AeBAB,5,0BA,BA,6,0BA)h . 
( ] [ ) [ ] ( ) ( ) ( )∞+∪−∞−=−−=−=−−=∩−=∪ ,42,Ae2,3AB,4,3BA,3,2BA,4,3BA)i .