AD1 metodos determinísticos II

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2018
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 – AD1
Questa˜o 1: (1,4pts) Resolva as inequac¸o˜es em cada um dos casos: (a) |3x − 2| < 1 e (b) x+4x−3 < 2.
Soluc¸a˜o: a) Veja que |3x− 2| < 1⇔ −1 < 3x− 2 < 1. Logo
−1 < 3x− 2⇔ 1
3
< x e 3x− 2 < 1⇔ x < 1.
Portanto, x ∈ (13 , 1).
b) x+4x−3 < 2⇔ x+4x−3 − 2 < 0⇔ x+4x−3 − 2
(
x−3
x−3
)
< 0
Logo, a nossa desigualdade e´ equivalente a 10−xx−3 < 0. Analisando o sinal dos fatores 10− x e x− 3
obtemos
x < 3 ou x > 10, escrito de outra forma, x ∈ (−∞, 3) ∪ (10,+∞).
Questa˜o 2: (1,8pts) (a) Encontre todas as ra´ızes de p(x) = x3 − 8x2 + 21x − 20. (b) Encontre os
valores de x ∈ R tais que p(x) > 0.
Soluc¸a˜o: (a) Se houver alguma raiz inteira, ela divide −20, ou seja podem ser, ±1,±2,±4,±5,±10
ou ±20. Testando obtemos x = 4 e´ uma ra´ız. Dividindo o polinoˆmio por x − 4 obtemos p(x) =
(x2 − 4x + 5)(x − 4). Precisamos encontrar as ra´ızes de x2 − 4x + 5 = 0, mas o discriminante e´
b2 − 4ac = 16− 20 = −4 < 0. As outras ra´ızes sa˜o complexas. Podemos calcular elas: 2 + i e 2− i.
(b) como x3−8x2+21x−20 = (x2−4x+5)(x−4) e o coeficiente do termo de maior grau de x2−4x+5
e´ positivo. Segue que x2− 4x+5 > 0 para todo x ∈ R. Portanto, quem decide o sinal de p(x) e´ x− 4.
Mas x− 4 > 0 se, e so´ se, x > 4.
Questa˜o 3: (1,5pts) Encontre os pontos na intersec¸a˜o da reta y = x+ 3 e com a hipe´rbole xy = 4.
Soluc¸a˜o: Substituindo y em xy = 4 por x = 3 obtemos x2 + 3x− 4 = 0. Resolvendo temos x = −4
e x = 1. Logo a reta intercepta a hipe´rbole em (−4,−1) e (1, 4).
Questa˜o 4: (1,8pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando f(x) = x2 − 4x + 7 e
a = 3.
Soluc¸a˜o: Calculando
lim
x→3
f(x)− f(a)
x− a = limx→3
x2 − 4x+ 7− 4
x− 3 = limx→3
(x− 3)(x− 1)
x− 3 = limx→3(x− 1) = 2.
1
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
(3 + h)2 − 4(3 + h) + 7− 4
h
= lim
h→0
h2 + 2h
h
= lim
h→0
(h+ 2) = 2.
Questa˜o 5: (1,5pts) Resolva a equac¸a˜o
e7−5x = ln 100.
Soluc¸a˜o: Como ambos os lados da igualdade sa˜o positivos, aplicando ln em ambos os lados da
equac¸a˜o obtemos
7− 5x = ln (ln 100)⇔ 5x = 7− ln (ln 100)⇔ x = 7− ln (ln 100)
5
.
Questa˜o 6: (2,0pts) Encontre o domı´nio e a imagem, e, se existir, a inversa da func¸a˜o:
f(x) =

x− x2 se x ≥ 12
x se x ∈ (−12 , 12)
x2 + x se x ≤ −12
.
Soluc¸a˜o: O domı´nio e´ claramente todo o R. Observe que se procurarmos os x tais que f(x) = 0,
obtemos x = −1, x = 0 e x = 1. Logo, f(x) na˜o e´ injetora, portanto na˜o possui inversa.
A imagem e´ todos os nu´meros Reais, pois para y < 0, conseguimos um x > 1/2 tal que y = x−x2.
Para y > 0 conseguimos determinar um x < −1/2 tal que y = x2 + x.
Para ajudar a perceber que realmente esta func¸a˜o na˜o possui inversa segue o gra´fico dela
2