RM1 Lista 01 Tensão e Deformação

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1) Para a estrutura pergunta-se: A 
estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 
kN? Dados: 
σ୳ା = 330 MPa; σ୳ି = 400 MPa; cs = 2. 
Resp.: Sim, σ୅୘ < σ୅ୈ୑. 
 
 
(AB: seção retangular, 50 x 30 mm) 
2) Por razões baseadas no custo, peso, 
disponibilidade, etc, a barra BC será construída 
de alumínio com tensão σ୅ୈ୑ = 100 MPa. 
Qual a escolha apropriada para o novo diâmetro 
desta barra? 
Resp.: d ≥ 25,2 mm. 
 
3) Determine a variação de comprimento da barra, 
E = 200 GPa. 
Resp.: δ = 2,15 mm. 
 
 
4) A barra rígida BDE é suspensa por duas barras 
AB e CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e 
tem uma área transversal de 500 mm²; A barra CD é feita 
de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 
mm². Para a força de 30 kN mostrada, determinar os 
deslocamentos dos pontos B, D, E. 
Resp.: δ୆ = 0,514 mm ↑; δୈ = 0,3 mm ↓ 
 δ୉ = 1,93 mm ↓ 
 
5) O diagrama tensão-deformação para uma liga de 
alumínio é mostrado ao lado. Sabendo-se que um corpo 
de prova desse material foi submetido à tensão de tração 
de 600 MPa, determine (a) o módulo de elasticidade do 
material (b) e a deformação permanente no corpo de 
prova quando a carga for retirada. 
Resp.: E = 75 GPa; εP = 0,015 mm/mm. 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
 
1 ª L I S T A : T E N S Õ E S M É D I A S E D E F O R M A Ç Ã O 
 
 
6) [ENADE 2017] 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
7) [ENADE 2014] 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
 
 
8) [ENADE 2017] 
 
 
 
 
Resp.: 
 
9) [ENADE 2008] 
 
As propriedades dos materiais compósitos complexos, 
como o concreto, não precisam ser iguais à soma das 
propriedades de seus componentes. O gráfico a seguir 
apresenta as curvas tensão x deformação da pasta de 
cimento, do agregado e do concreto endurecido. 
Qual das curvas corresponde à do concreto? Por quê? 
(A) C1 - o concreto apresenta módulo de elasticidade 
superior aos módulos de elasticidade dos seus elementos 
constituintes. 
(B) C2 - ao atingir aproximadamente 50% da tensão 
última, a fissuração da matriz argamassa se propaga, 
provocando uma diminuição mais acentuada no módulo 
de elasticidade tangencial. 
(C) C2 - o módulo de elasticidade secante é superior 
aos módulos de elasticidade dos seus elementos 
constituintes. 
(D) C3 - o concreto apresenta módulo de elasticidade 
inferior aos módulos de elasticidade dos seus elementos 
constituintes. 
 
 
 (E) C3 - as microfissuras na zona de transição entre a 
matriz argamassa e o agregado graúdo induzem a um 
aumento na relação deformação/tensão. 
 
Resp.: 
 
10) [ENADE 2011] 
 
Um cabo de aço segura um recipiente que contém 
cimento, como mostra a figura abaixo. A deformação 
específica normal medida na extremidade superior do aço 
é de 0,1 % quando a tensão normal é de 200 MPa, como 
mostra o diagrama tensão x deformação do cabo de aço. 
O módulo de elasticidade longitudinal desse aço é 
igual a: 
 
 
Resp.: 
 
 
11) Em construções de pequeno porte e com 
pequenas cargas nos pilares é comum utilizar blocos de 
fundação não armados, como é mostrado na figura. Sabe-
se que o bloco de fundação será construído utilizando 
rochas e concreto numa proporção que resulta em um 
peso específico de 5.000,00 kgf/m³ ou 0,005 kgf/cm³ e terá 
uma altura máxima (H) de 100 cm. A carga que o pilar 
transmite (F), para o bloco, é de 15.000,00 kgf. Em ensaio 
de sondagem verificou-se que a tensão admissível do solo 
é de 2 kgf/cm². Para estes dados pede-se para determinar 
o valor mínimo de L, considerando apenas o efeito de 
compressão no solo. 
Resp.: L = 100 cm. 
 
12) A figura ao lado representa uma sapata isolada de 
concreto armado, de dimensões 2,40 m x 1,20 m, que 
recebe a carga centrada P de um pilar, sendo a carga igual 
a 15 toneladas. Sabendo que a sapata será apoiada em 
solo compactado de resistência de 1,5 kg/cm² responda: 
 
(a) O solo suportará a pressão exercida pela sapata? 
(b) Caso suporte, qual será o coeficiente de 
segurança efetivo do sistema estrutural? 
 
Resp.: Sim. 
 
13) Um teste de tração é realizado na barra com 
diâmetro de 10 mm. Os pontos de referência usados para 
medir a variação de comprimento da barra, estão distantes 
50 mm um do outro. Quando P atinge 20 kN a distância 
entre os pontos aumenta 0,122 mm. Pergunta-se: Qual o 
módulo de elasticidade longitudinal da barra (E)? 
Resp.: E = 104 GPa. 
 
F 
 
 
14) A peça fundida mostrada é feita de aço, cujo peso 
específico é de 80 kN/m³ . Determine a tensão de 
compressão média que age nos pontos A e B. 
Resp.: σ = 64 kPa . 
 
15) O braço de controle está submetido ao 
carregamento mostrado na figura. Determine, com 
aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de 
aço em C se a tensão de cisalhamento admissível para o 
aço for de 55 MPa. 
Resp.: d = 20 mm. 
 
16) O vínculo horizontal BC tem 6,4 mm de 
espessura, uma largura w = 31,8 mm e é feito de um aço 
que tem um limite de resistência à tração de 450 MPa 
(ruptura). 
Qual é o coeficiente de segurança, se a estrutura mostrada 
for projetada para suportar uma carga P de 45 kN? 
Resp.: FS = CS = 2,35. 
 
17) A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima na 
barra, quando ela é submetida à carga mostrada. 
Resp.: σ୆େ = 85,7 MPa . 
 
 
 
 
 
18) A barra rígida AB é sustentada por uma haste de 
aço AC com 20 mm de diâmetro e um bloco de alumínio 
(apoio B) com área de seção transversal de 1800 mm2. 
Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão 
submetidos a cisalhamento simples. Se a tensão de 
ruptura do aço e do alumínio forem de 680 MPa e 70 
MPa, respectivamente, e a tensão falha para cada pino for 
de 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser 
aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 
Resp.: P = 168 kN. 
 
19) O carro de carga, com peso de 130 kN, é puxado 
pelo cabo com área transversal de 490 mm². Para ∝ = 30°, 
determine a tensão normal média no cabo. 
Resp.: P = 133 MPa. 
 
 
20) Para as seções B, C e D, determine as tensões 
normais médias. 
Resp.: 
σ୆ = −150,7 kPa 
σେ = −32,5 kPa 
σୈ = −25,5 kPa 
 
 
21) A lâmpada de 250N é sustentada pelos três cabos. 
Determine o valor de θ para a tensão normal média na 
haste AC seja duas vezes a tensão na hasta AD. Calcule o 
valor das tensões nas haste AB, AC e AD. 
Resp.: 
σ୅୆ = 3,93 MPa 
σ୅େ = 6,38 MPa 
σ୅ୈ = 3,19 MPa 
θ = 56,47° 
 
 
22) O dois elementos de aço estão ligados por uma 
solda de topo angulada de 60°, como mostra a figura. 
Determine as tensões médias de cisalhamento e normal 
no plano da solda. 
Resp.: σ = 8 MPa ; τ = 4,62 MPa. 
 
 
23) Determine para a seção a-a, inclinada 15° em 
relação ao eixo longitudinal, as tensões médias de 
cisalhamento e normal. 
Resp.: σ = 0,0152 MPa ; τ = 0,0567 MPa. 
 
 
24) Determine o diâmetro exigido para os parafusos, 
se τ୳ = 350 MPae CS = 2,5. 
Resp.: d ≥ 13,49 mm. 
 
 
25) A barra rígida AC está ligada por pinos com a 
barra AB e CD, que possuem σ୳ = 510 MPa . Para um 
fator de segurança igual a 1,75 determine o menor 
diâmetro das barras AB e CD. 
Resp.: d୅୆ ≥ 6 mm; dେୈ ≥ 5,4 mm. 
 
26) Sabendo que a barra AC é rígida e que a carga P 
causa um delocamento vertical de 10 mm no ponto C, 
determine a deformação específica normal nos cabos BD 
e EC. 
Resp.: ε୆ୈ ≥ 0,00107
୫୫
୫୫
; εେ୉ ≥ 0,0025
୫୫
୫୫
. 
 
 
27) Se a deformação normal admissível para os cabos 
BD e CE for ε୅ୈ୑ = 0,002 mm/mm , determine o 
deslocamento vertical máximo da extremidade da viga 
rígida. 
Resp.: δ୔ = 11,20 mm. 
 
 
 
28) Determine o diâmetro do cabo AB se a tensão 
admissível for σ୅ୈ୑ = 500 MPa. A barra BCD é rigida. 
Resp.: d ≥ 11,06 mm.29) Determine o deslocamento vertical e horizontal 
do ponto D, se E = 200 GPa e o diâmetro do cado for de 
8 mm. 
Resp.: δx = 0,086 mm; δy = 16,62 mm. 
 
Barra BCD é rígida. 
30) Para a viga tem-se τ୳ = 100 MPa. Determine a 
menor seção quadrada, para que a viga suporte o 
carregamento mostrado. 
Resp.: ____________. 
 
31) Para a viga tem-se τ୳ = 100 MPa. Determine a 
menor seção quadrada, para que a viga suporte o 
carregamento mostrado. 
Resp.: ____________. 
 
32) Para a viga tem-se τ୳ = 100 MPa e σ୳ =
200 MPa . Para P = 2000 N, determine a menor seção 
quadrada para que a viga suporte o carregamento 
mostrado. 
Resp.: □ 3,16 x 3,16 mm. 
 
 
33) Para a viga tem-se τ୳ = 100 MPa e σ୳ =
200 MPa. Sabendo que a altura da seção transversal da 
viga é de 10 mm, determine a largura mínima que mesma 
deve ter. P = 4000 N. 
Resp.: ____________. 
 
34) Para a viga tem-se τ୳ = 100 MPa e σ୳ =
200 MPa. Sabendo que a altura da seção transversal da 
viga é duas vezes a largura, determine as dimensões da 
seção transversal. P = 4000 N. 
Resp.: ____________. 
 
 
 
 
35) Sendo a barra BD rígida (indeformável), dimensionar o cabo AC (diâmetro), com a condição que o deslocamento 
vertical do ponto B seja δB ≤ 80 mm. O cabo possui comportamento conforme o diagrama tensão deformação mostrado 
abaixo. Dados: 
𝐶𝑆 = 2 𝑃 = 15 𝑡𝑜𝑛 𝜏௨ = 300 𝑀𝑃𝑎 𝜎௨ା = 500 𝑀𝑃𝑎 𝜎௨ି = 600 𝑀𝑃𝑎 
 
 
Resp.: 36,56 mm 
 
 
36) Para o problema anterior determine o valor máximo da carga P, sabendo que o diâmetro do cabo AC é de 10 
mm. Dados: 
CS =2 P? 𝜏௨ = 300 𝑀𝑃𝑎 𝜎௨ା = 500 𝑀𝑃𝑎 𝜎௨ି = 350 𝑀𝑃𝑎 E = 200 GPa 
δB(ADM) ≤ 50 mm 
37) Na temperatura ambiente (20°C) existe um 
espaçamento de 0,5 mm entre extremidades das barras 
mostradas na figura. Algum tempo depois, quando a 
temperatura atingir 140°C, determine (a) a tensão normal 
na barra de alumínio; (b) a variação do comprimento da 
barra de alumínio. 
Resp.: (a) σ = -116,2 MPa; (b) δ = 0,363 mm. 
 
38) Sabendo que existe um espaçamento de 0,5 mm 
quando a temperatura é de 24°C, determine (a) a 
temperatura na qual a tensão normal na barra de alumínio 
será igual a -76 MPa; (b) o comprimento exato 
correspondente da barra de alumínio. 
Resp.: TF = 94,1°C; (b) LF = 450,27 mm. 
 
39) Determine: (a) a força de compressão nas barras 
depois que a temperatura atingiu 82°C; (b) a variação 
correspondente no comprimento da barra de bronze. 
Resp.: P = 96,336 kN; (b) δ = 0,224 mm.. 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 0,002 0,004
ε (mm/mm)
σ (MPa)
 
 
40) A chave elétrica fecha quando as hastes de 
ligação CD e AB se aquecem, o que provoca a translação 
e a rotação do braço rígido BDE até fechar o contato em 
F. A posição original de BDE é vertical e a temperaturaé 
20°C. Determine o espaço “S” exigido entre os contatos 
para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110°C. 
Dados: αAB = 17× 10ି଺ °𝐶ିଵ; αCD = 24× 10ି଺ °𝐶ିଵ; 
Resp.: S = 0,7425 mm. 
 
41) Determine o valor máximo de P para que a tensão 
no cabo BC não ultrapasse 190 MPa e, o alongamento do 
mesmo não exceda 6 mm. E = 200 GPa, dcabo = 4 mm. 
Resp.: P ≤ 1,99 kN. 
 
42) Cada uma das hastes BD e CE é feita de latão (E 
= 105 GPa) e tem área de seção transversal de 200 mm². 
Determine a deflexão da extremidade A do elemento 
rígido ABC provocada pela ação de 2 kN (estaticamente 
indeterminado). 
Resp.: δA = 0,536 mm (↓) 
 
43) Determine a força de reação em C e o 
deslocamento do ponto B. Esboce o diagrama de 
deslocamentos para a barra. 
P = 100 kN, F = 30 kN; E1 = 100 GPa e E2 = 200 GPa. 
Resp.: Rc = 0; δB = 0,1069 mm. 
 
44) Determine a reação em C para P = 200 kN. 
Resp.: ____________. 
 
 
45) Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de 
latão, são unidas em C e contidas por apoios rígidos em A 
e E. Para o carregamento indicado na figura e sabendo 
que, Eaço = 200 GPa e Elatão = 105 GPa, determine (a) as 
reações em A e E e (b) o deslocamento do ponto C 
(estaticamente indeterminado). 
Res.: RA = 62,8 kN (←); RE = 37,2 kN (←); 
δC = 46,3 × 10-3mm. 
46) Uma força axial centrada de intensidade P = 450 
kN é aplicada ao bloco composto mostrado através de 
uma placa rígida de extremidade. Sabendo que h = 10 
mm, determine a tensão normal em (a) o núcleo de latão, 
(b) nas placas de alumínio. (estaticamente indeterminado) 
Resp.: (a) -140,6 MPa; (b) -93,8 MPa. 
 
47) Uma haste de poliestireno consiste em duas 
partes cilíndricas AB e BC engastadas em ambas as 
extremidades, com módulo de elasticidade E, e 
suportando duas ações de 6 kip. Determine (a) as reações 
em A e C, (b) a tensão normal em cada parte da haste 
(estaticamente indeterminado). 
Resp.: RA = 2,28 N (↑); RC = 9,72 N (↑); 
1, 875 ; 3, 09A B BCMPa MPas s= + = - . 
 
 
 
Respostas: 
 
N° Alternativa 
6) D 
7) E 
8) E 
9) B 
10) E