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Manual de Geometria Descritiva António Galrinho FICHA TÉCNICA Título Manual de Geometria Descritiva Autor António Galrinho Grafismo Do autor Edição 2ª - 2012 APRESENTAÇÃO Este livro apresenta uma compilação dos conteúdos fundamentais da Geo- metria Descritiva. A organização de cada capítulo tem em conta os graus de dificuldade das matérias, sendo estas apresentadas e sequenciadas de modo a facilitar a aprendizagem. Capítulos: 1. PONTO E SEGMENTO DE RETA 2. RETA 3. PLANO 4. MÉTODOS AUXILIARES 5. INTERSEÇÕES 6. FIGURAS PLANAS 7. SÓLIDOS I 8. SÓLIDOS II 9. PARALELISMOS 10. PERPENDICULARIDADES 11. DISTÂNCIAS 12. ÂNGULOS 13. SOMBRAS I 14. SOMBRAS II No final de cada capítulo são propostos exercícios a ele relativos. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 1 O que é a Geometria Descritiva? A Geometria Descritiva é um sistema de projeções que utiliza figuras geométricas, tendo por objeti- vo treinar o raciocínio lógico e a visualização mental. Na prática, o que se pretende com esta disci- plina é passar as figuras geométricas do espaço para representação bidimensionais. Nesta disciplina não se efetuam operações aritméticas para se resolver os exercícios; estes resol- vem-se através de traçados com base na lógica geométrica. As medidas utilizadas servem apenas para colocar os dados dum enunciado; a partir desse momento tudo se resolve com operações de traçado. Não é necessário nem há conveniência em recorrer, de forma sistemática, a modelos tridimensio- nais nem a programas informáticos que ponham em evidência a tridimensionalidade das figuras e do espaço. As vantagens que daí advêm, em termos pedagógicos, são mínimas e pontuais. O mais importante é levar o aluno a desenvolver a capacidade de visão espacial na ausência desses mode- los e ante a presença dos traçados bidimensionais. Esta disciplina necessita de um estudo regular e continuado, que não consiste apenas em ler os tex- tos e ver as imagens, mas também na realização frequente de exercícios, pois só através deles se esclarecem devidamente muitas dúvidas e se consolidam os conhecimentos. Não se deve esquecer que, além das situações gerais, existem, em todas as matérias, situações particulares, devendo ambas merecer a devida atenção. O treino que a Geometria Descritiva proporciona é uma ferramenta importante para o estudo doutros métodos de representação, como as Axonometrias, a Perspetiva Cónica ou o a Múltipla Projeção Ortogonal (sistema de alçados, cortes, etc.). Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 2 Convenções e traçados Na Geometria Descritiva as figuras geométricas são descritas com nomes, da seguinte maneira: Pontos Letras maiúsculas do alfabeto latino, acrescentando 1, 2 ou 3, conforme se trate da projeção hori- zontal, frontal ou lateral de um ponto, respetivamente. Por exemplo A1, A2 e A3. Retas Letras minúsculas do alfabeto latino, acrescentando 1, 2 e 3, nas projeções horizontal, frontal e late- ral de uma reta, respetivamente. Por exemplo, r1, r2 e r3, são as projecções da recta r. Segmentos de reta Indicam-se com os nomes dos seus extremos entre parêntesis retos. Por exemplo, o segmento de reta [AB] terá como projeções horizontal e frontal os segmentos [A1B1] e [A2B2], indicando-se no tra- çado das projecções apenas os extremos A1, B1, A2 e B2. Polígonos Indicam-se com os nomes dos vértices entre parêntesis reto: triângulo [PQR], pentágono [ABCDE], por exemplo. Nas projeções indicam-se apenas os nomes dos vértices: P1, P2, Q1, Q2, etc. Circunferências Indicam-se com uma letra minúscula entre parêntesis reto. Por exemplo, a base [b], a circunferência [c] e a directriz [d] terão como projecções horizontais e frontais [c1] e [c2], [b1] e [b2], [d1] e [d2]. Estas indicações encontram-se em desuso no traçado. Planos Letras minúsculas do alfabeto grego, precedendo os nomes dos seus traços por h e f. Por exemplo, hα e fα são, respectivamente, os traços horizontal e frontal do plano α. Ângulos Letras minúsculas do alfabeto grego. As indicações αº e βº designam-se por ângulo α, ângulo β. Num enunciado, ae e ad indicam que os ângulos têm abertura para a esquerda ou para a direita. Sólidos Letras maiúsculas do alfabeto grego. Estas designações aplicam-se apenas nos enunciados. Letras gregas (mais utilizadas) Minúsculas: α, β, δ, π, θ, ω, ν, φ, ρ, σ, ψ... (alfa, beta, delta, pi, teta, ómega, niu, fi, ró, sigma, psi…) Maiúsculas: Δ, Ω, Σ, Θ, Π... (delta, ómega, sigma, teta, pi, ...) Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 3 São utilizados alguns tipos de linhas e símbolos, devendo ser tidos em conta cuidados com os traça- dos e com os materiais, da maneira como se indica: Linhas Estes tipos de linhas são válidos para retas e para curvas. Nos traçados, efetuados a lápis ou lapi- seira, cada aluno define as suas espessuras, de modo a que se distingam bem umas das outras. Linhas finas: para linhas de chamada e traçados auxiliares; Linhas médias: para representar os elementos dados num enunciado; Linhas grossas: para representar a solução dum exercício; Linhas a traço interrompido, utilizadas em invisibilidades (sobretudo nos capítulos relativos e Sombras e a Sólidos), a traço médio ou grosso; Símbolos Alguns destes símbolos são utilizados apenas nos traçados, outros em legendas, outros em ambos. ≡ Coincidente: indica que duas figuras são coincidentes, ocupando o mesmo lugar no espaço; // Paralelo: indica que duas figuras são paralelas entre si; Perpendicular: indica que duas figuras são perpendiculares entre si; / Oblíquo: indica que duas figuras são oblíquas entre si; Є Pertence: indica que uma figura pertence a outra, ou seja, está contida nela; Perpendicular: coloca-se no cruzamento de duas retas para salientar que são perpendiculares; = Igual: indica que, dentro dum mesmo traçado, duas medidas (distâncias ou ângulos) são iguais; quando é necessário indicar mais medidas iguais podem utilizar-se os sinais – e ≡, entre outros. Traçados Devem ser tidos em conta alguns cuidados na sua execução: - Colocar as letras próximas dos elementos geométricos que estas designam; - Colocar as letras na posição de leitura da folha, não devendo ficar inclinadas; - Utilizar letras de tamanho médio e claramente legíveis; - Não colocar letras sobre os traçados, se tal não for possível colocá-las sobre linhas finas; - Quando se apagar traçados fazê-lo com eficácia; - Apresentar as folhas limpas e os traçados rigorosos. Materiais Para realizar traçados sobre papel, sugerem-se os seguintes materiais, limpos e em bom estado: - Aristo: esquadro com transferidor e linhas de referência integradas, que permitem marcar ângulo e traçar paralelas e perpendiculares; - Compasso: não deve ter folgas e as suas pontas devem estar ao mesmo nível, com a mina afiada; - Lápis ou lapiseira: de dureza média e bem afiado (desnecessário se se tratar de minas finas); - Borracha: de preferência branca e macia; - Papel: de baixa textura, de formato A4 e com cerca de 80g para exercícios comuns, de formato A3 e com cerca de 120g para testese exercícios de maiores dimensões. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 4 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 1 1 PONTO E SEGMENTO DE RETA Neste capítulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geométrico mais simples. Resultado da união de dois pontos, aborda-se também o Segmento de Reta. Com esses elementos são explicados alguns aspetos cruciais que ajudarão a compreender as Retas e os Planos, assim como outras figuras geométricas tratadas nos diferentes capítulos. Sumário: 2. Os planos de projeção 3. Os planos bissetores 4. As projeções do ponto 5. As duas coordenadas do ponto 6. O alfabeto do ponto 7. Pontos simétricos 8. A projeção lateral do ponto 9. As três coordenadas do ponto 10. Os segmentos de reta no espaço 11. As projeções dos segmentos de reta 12. A projeção lateral dos segmentos de reta 13. Exercícios Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 2 Os planos de projeção A Geometria Descritiva é um sistema diédrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de proje- ção. Um deles é vertical e designa-se por Plano Frontal de Projeção (PFP), ou φo (fi zero); o outro é horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projeção (PHP), ou νo (niu zero). Esses planos cru- zam-se numa reta que se designa por eixo x. O eixo x divide os planos de projeção em semiplanos: no Plano Frontal de Projeção existe o Semi- plano Frontal Superior (SFS) e o Semiplano Frontal Inferior (SFI); no Plano Horizontal de Projeção existe o Semiplano Horizontal Anterior (SHA) e o Semiplano Horizontal Posterior (SHP). Os planos de projeção dividem o espaço em quatro porções, designadas por diedros: I.º, II.º, III.º e IV.º. PHP νo PFP φo x Os planos de projeção em perspetiva Esta perspetiva mostra os planos de projeção, os semiplanos, o eixo x e os diedros. É este o sistema básico utilizado em Geometria Descritiva. Normal- mente representa-se nesta posição, supondo o observador situado no I.º diedro, à esquerda. II.º Diedro I.º Diedro III.º Diedro IV.º Diedro II.º Diedro I.º Diedro III.º Diedro IV.º Diedro φo νo SHP SHA SFI SFS SHA SHP SFI SFS Os planos de projeção vistos de lado Representados de lado, os planos de projeção ficam reduzidos a duas retas e o eixo x reduzido a um ponto. Normalmente representa-se nesta posi- ção, com o I.º diedro em cima, à direita, supondo que o observador se encontra do lado esquerdo. x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 3 Os planos bissetores Além dos planos de projeção, existem também os planos bissetores. Os planos bissetores dividem os diedros em espaços iguais, chamados octantes. Ou seja, devido à presença dos planos bisseto- res, cada diedro fica dividido em dois octantes. O β1/3 é o plano que divide a meio os diedros I e III; o β2/4 divide os diedros II e IV. Estes planos não são utilizados como planos de projeção. νo φo x Os diedros e os octantes vistos de lado Nesta imagem mostra-se como se distri- buem os diedros e os octantes ao longo do espaço. Cada diedro contém dois octantes. A contagem, de uns e de outros, faz-se do Semiplano Horizontal Anterior para cima. β2/4 β1/3 β1/3 β2/4 φo νo 1º Oct. 2º Oct. 3º Oct. 4º Oct. 5º Oct. 6º Oct. 7º Oct. 8º Oct. I.º Diedro II.º Diedro III.º Diedro IV.º Diedro Os planos bissetores e os planos de projeção em perspetiva Os planos bissetores dividem os diedros em espaços iguais, chamados octantes. Como se pode verificar, planos de projeção e planos bissetores cruzam-se no eixo x. Chama-se β1/3 ao bissetor dos diedros ímpares e β2/4 ao bissetor dos diedros pares. As projeções do ponto Na Geometria Descritiva trabalha-se habitualmente com projeções ortogonais, o que significa que as figuras geométricas são projetadas do espaço para os planos de projeção através de retas que lhes são perpendiculares. νo φo x As projeções dos pontos na representação final Depois de projetados os pontos e de efetuado o rebatimento, as representações finais dos pontos ficam como mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, respetivamente. φo ≡ νo x x Projeções de pontos em perspetiva Os pontos são projetados do espaço para os pla- nos de projeção através de retas que são perpendi- culares aos planos, designadas por projetantes. Aqui, essas retas estão representadas apenas no ponto A, para não sobrecarregar o traçado. As projeções após o rebatimento Rodando em torno do eixo x, os planos de projeção ficam coincidentes. Nesse movimento, designado por rebatimento, os diedros I e III abrem, os diedros II e IV fecham. Aqui rebateu o PHP sobre o PFP, mas se for ao contrário o mesmo, aquele que se mostra na imagem seguinte. A A2 A1 B B2 B1 C C2 C1 D D1 D2 A2 A1 B2 B1 C1 C2 D2 D1 A2 A1 C1 C2 B2 B1 D2 D1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 4 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 5 As duas coordenadas do ponto Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três coordenadas: abcissa, afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa é explica- da mais adiante, em “As três coordenadas de um ponto”. Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as três coordenadas, bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui. As medidas das coordenadas são dadas em centímetros. Projeções dos pontos dados Os pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos planos de projeção vistos de lado, na pri- meira imagem; nesta estão representados pelas suas projeções. Como se pode verificar, cotas positivas e afas- tamentos negativos originam projeções para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam projeções para baixo do eixo x. S R T U V X Y Z φo νo afastamentos negativos afastamentos positivos cotas positivas cotas negativas Coordenadas dos pontos representados: R(1,5;2) S(0;1) T(-1,5;1,5) U(-3;0) V(-2;-1) X(0;-2) Y(1;-1,5) Z(2,5;0) O primeiro valor corresponde ao afastamento, o segundo à cota, separados por ponto e vírgula. x R2 R1 S2 S1 T2≡T1 U1 U2 V1 V2 X2 X1 Y2 Y1 Z1 Z2 cotas + afast. - afast. + cotas - Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 6 O alfabeto do ponto O alfabeto do ponto é o conjunto de todas as posições genéricas que os pontos podem ter em rela- ção aos planos de projeção. A2 A1 B2 B1 C2 C1 D2 D1 E2 E1 F2≡F1 G1 G2 H1 H2 I1 I2 K1 K2 J1 J2 L1 L2 M1 M2 N2≡N1 O2 O1 P2 P1 Q2≡Q1 x Posições genéricas dos pontos representadas nas projeções Os pontos A, B e C têm a projeção frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-se no I.º diedro; os pontos E, F e G têm ambas as projeções para cima do eixo x, situam-se no II.º diedro; os pon- tos I, J e K têm a projeção frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III.º diedro; os pontos M, Ne O têm ambas as projeções para baixo do eixo x, situam-se no IV.º diedro. Os pontos D, H, L e P têm uma projeção no eixo x, situam-se nos planos de projeção; os pontos B, F, J e N têm projeções com medi- das iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissetores; o ponto Q situa-se no eixo x. Posições genéricas dos pontos vistas de lado Os pontos representados na ima- gem ao lado são os mesmos que se apresentam em projeções na ima- gem de cima. Aqui pode-se obser- var com mais clareza os diedros, octantes e planos onde se situam. As coordenadas destes pontos são: A(3;1) B(2;2) C(1;3) D(0;4) E(-1;3) F(-2;2) G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1) J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4) M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1) P(4;0) Q(0;0) A B C D E F G H I J K L M N O P Q β2/4 β1/3 φo νo Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 7 Pontos simétricos A determinação de pontos simétricos é importante para exercitar a marcação de pontos e para melhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina. Toma-se um ponto como referência e determinam-se os seus simétricos em relação aos planos de projeção, aos planos bissetores e ao eixo x. Determinação de pontos simétricos Os pontos de referência utilizados nesta imagem são os seguintes: A(1;3) P(-4;2) Os simétricos de A são: B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3 E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4 F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo x Os simétricos de P são: Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP R(4;2) - simétrico em relação ao PFP S(-2;4) - simétrico em relação ao β2/4 T(2;-4) - simétrico em relação ao β1/3 U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x As coordenadas dos pontos simétricos mantêm os valores absolutos dos do pon- to de referência. D A U C T P S E Q F R B β2/4 β1/3 φo νo A2 B2 C2 D2 E2 F2 A1 B1 C1 D1 E1 F1 Projeções dos pontos representados na imagem anterior Aqui estão representados os pontos de referência, A e P, e os seus simétricos em relação aos planos de proje- ção, aos planos bissetores e ao eixo x, de acordo com a vista de lado, que se observa na imagem anterior. P1 P2 Q1 Q2 R1 R2 S1 S2 T1 T2 U1 U2 x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 8 PHP νo PFP φo x P2 P1 P PLP πo z y P3 A projeção lateral do ponto Além das projeções frontal e horizontal, por vezes há necessidade de recorrer a uma terceira proje- ção que se designa por projeção lateral, muito útil nalguns capítulos. A projeção lateral obtém-se no plano lateral de projeção (PLP), ou πo (pi zero), que corresponde ao plano da abcissa nula, perpendicular aos outros dois planos de projeção. Esse plano, ao cruzar-se com os outros, dá origem aos eixos y e z. O eixo y resulta do cruzamento com o PHP, o eixo z do cruzamento com o PFP. As três projeções de um ponto em perspetiva O ponto P é projetado no PHP em P1, no PFP em P2 e no PLP em P3. Depois de feitas as projeções, os planos rebatem conforme mostram as setas. O primeiro rebatimento a considerar é o do PHP, só depois de faz o rebatimento do PLP. Do primeiro rebatimento resulta a coincidên- cia dos eixos y e z. x y≡z P2 P1 P3 A projeção lateral de um ponto A projeção lateral obtém-se com linhas de chamada paralelas ao eixo x e com uma rotação feita com o compasso colo- cado no ponto de cruzamento dos eixos. A rotação do compasso faz-se sempre no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio. O ponto P corresponde ao que está representado em perspetiva; o pon- to R encontra-se no segundo diedro e o S no quarto, não estando representados na imagem anterior. R1 R2 R3 S1 S2 S3 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 9 As três coordenadas do ponto Muitas das vezes é necessário utilizar também, além do afastamento e da cota, a abcissa. O plano de referência para a abcissa é o plano lateral de projeção, ou πo. À esquerda desse plano as abcis- sas têm valores positivos, à direita têm valores negativos. Nas projeções é a reta y≡z que serve de referência para a marcação das abcissas. Quando são dadas as três coordenadas de um ponto isso não significa que se tem de representar as três projeções. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, à esquerda ou à direita de y≡z, ou de um ponto de referência marcado no eixo x. x y≡z Coordenadas dos pontos representados: A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2) F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1) O primeiro valor corresponde à abcissa, o segundo ao afastamento, o terceiro à cota. cotas + afast. - afast. + cotas - abcissas - abcissas + A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 G2 G1 E2 E1 H1 H2 I1≡I2 J1 J2 F1 F2 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 10 νo φo x P2 P1 P πo z y P3 Os segmentos de reta no espaço A união de dois pontos dá origem a um segmento de reta. Aqui mostram-se as duas e as três proje- ções de um segmento de reta no espaço, em perspetiva. Nas páginas seguintes mostram-se seg- mentos de reta em várias posições, quer em duas quer em três projeções. As três projeções do segmento de reta Para obter a projeção lateral de um seg- mento de reta basta unir as projeções laterais dos seus extremos. Consoante a posição do segmento de reta, assim será o aspeto da sua projeção lateral. Exemplifica-se aqui com um segmento de reta de perfil. νo φo x A A2 A1 B B2 B1 As duas projeções do segmento de reta Para obter as projeções do segmento de reta basta unir as projeções dos seus extremos. Obviamente, o segmento pode ter diferentes posições em relação aos planos de projeção, o que leva a que as suas projeções apresentem aspetos diferentes. Aqui exemplifica-se com um segmento de reta oblíquo. P3 Q3 Q Q2 Q1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 11 As projeções dos segmentos de reta Os segmentos de reta podem ter sete posições genéricas. Essas posições equivalem às da reta, a estudar no capítulo Alfabeto da Reta. Segmentos de reta paralelos aos planos de projeção O segmento de reta [AB] é paralelo a ambos os planos de projeção; essa posição designa-se por fronto- horizontal. O segmento [CD] é paralelo ao PHP e oblíquo ao PFP; designa-se por horizontal. O segmento [EF] é paralelo ao PFP e oblíquo ao PHP; a sua posição é frontal. x C2 D2 C1 D1 E2 F2 E1 F1 A2 B2 A1 B1 x I2≡J2 I1 J1 G2 H2 G2≡H2 Segmentos de reta perpendiculares aos planos de projeção Estes segmentos de reta também são parale- los a um plano de projeção, mas aquilo que aqui se salienta é a sua relação de perpendi- cularidade com os planos de projeção. O pri- meiro segmento é perpendicular ao PHP e designa-se por vertical; o segundo é perpendi- cular ao PFP, sendo de topo. De notar a coincidência que acontece numa das projeções dos extremos dos segmentos. K2 K1 L1 x L2 Segmentos dereta oblíquos aos planos de projeção Estes segmentos de reta são ambos oblí- quos aos planos de projeção. O [KL] é também oblíquo ao eixo x; designa-se por oblíquo. O [MN] é também perpendicular ao eixo x; a sua posição é de perfil. N2 M2 N1 M1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 12 A projeção lateral dos segmentos de reta Aqui mostram-se as projeções laterais de alguns segmentos de reta, além das projeções principais. Para as obter basta unir as projeções laterais dos extremos desses segmentos. Segmentos de reta oblíquos ao plano lateral de projeção Aqui mostra-se como se obtém a projeção lateral de um segmento de reta oblíquo e de outro horizontal. O pro- cesso é o mesmo para qualquer segmento de reta. x C2 D2 C1 D1 x G2 H2 G1≡H1 K2 K1 L1 L2 N2 M2 M1 N1 Segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeção Normalmente é com segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeção que há interesse em saber da sua projeção lateral, sobretudo em exercícios do capítulo Distâncias. Aqui mostra-se um segmento de reta verti- cal e outro de perfil. x x y≡z y≡z y≡z y≡z G3 H3 M3 N3 L3 K3 D3 C3 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 13 Ponto e segmento de reta – Exercícios Pontos em dupla projeção 1. Representar, em dupla projeção, os pontos: A(3;1) F(-3;3) J(2;-2) B(2;4) G(4;-1) K(-1;2) C(0;3) H(0;-3) L(-4;0) D(2;0) I(-2;-3) M(0;0) E, do β1/3, com -1cm de abcissa 2. Representar, em dupla projeção, os pontos: N(3;1;2) S(-5;2;0) W(-3;0;0) O(1;3;1) T(2;2;-2) X(3;3;4) P(5;-2;4) U(-6;4;-1) Y(-4;1;2) Q(-2;0;3) V(6;0;-3) Z(0;-2;3) R, do β2/4, com -4cm de abcissa e -5 de cota Pontos em tripla projeção 3. Representar, em tripla projeção, os pontos: A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0) B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0) 4. Representar, em tripla projeção, os pontos: G(4;2;-2) I(-3;1;-3) K(0;5;0) H(2;-3;3) J(-5;-1;4) Pontos simétricos 5. Determinar os pontos simétricos dos seguintes pontos, em relação aos planos de projeção: A(4;2) B(3;-1) C(-2;2) 6. Determinar os pontos simétricos dos seguintes pontos, em relação aos planos bissetores: D(3;1) E(-3;4) F(-2;-2) 7. Determinar os pontos simétricos dos seguintes pontos, em relação aos planos de projeção, aos planos bissetores e ao eixo x: F(2;-4) H(-1;-3) Segmentos de reta em dupla projeção 8. Representar, em dupla projeção, os segmentos de reta [AB] e [CD] cujos extremos são: A(8;2;2) C(2;1;2) B(4;4;0) D(-3;4;-2) 9. Representar, em dupla projeção, os segmentos de reta [EF] e [GH] cujos extremos são: E(6;0;0) G(0;1-1) F(2;-2;5) H(-4;0;3) 10. Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: [IJ], vertical, com 3cm de tamanho, sendo I(4;3;2) o ponto de menor cota. [KL], de topo, com 4cm de tamanho, tendo L(-3;0;3) menor afastamento. 11. Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: [MN], fronto-horizontal com 3cm de tamanho, sendo N(2;1;2) o ponto mais à direita. [OP], de perfil cujos extremos são O(-3;1;4) e P(5;1). 12. Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: [QR], horizontal com 4cm de tamanho, fazendo 30ºae, estando R(2;0;2) à direita de Q. [ST], frontal, estando S(-1;-3;2) à esquerda de T, que tem -5cm de abcissa e 1cm de afastamento. 13. Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: [UV], conhecendo V(2;4;2), e sabendo que U tem 1cm de afastamento e 6cm de cota e se situa no PHP. [WX], conhecendo W(-2;-1;4) e X(4;2) e sabendo que a projeção frontal do segmento faz 30ºad. Segmentos de reta em tripla projeção 14. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta de perfil com 3cm de afastamento, cujos extre- mos são A(2;5) e B(4;1). 15. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos são C(3;4;1) e D(0;2;5). 16. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta de perfil cujos extremos são E(4;3;5) e F(-2;1). 17. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos são G(3;3;5) e H(-2;3;2). 18. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos são I(-4;2;1) e J(-4;5;4) 19. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos são K(-3;3;1) e L(-3;3;5). 2 RETA O alfabeto da reta é o conjunto das posições genéricas que uma reta pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas posições, assim como posições particulares que algumas retas podem ter. Mostra-se também como se determinam as projeções laterais de algumas retas, como se marcam pontos nas retas e como se determina o percurso de uma reta. Sumário: 2. Reta horizontal 3. Reta frontal 4. Reta fronto-horizontal 5. Reta de topo 6. Reta vertical 7. Reta oblíqua 8. Reta de perfil 9. Posições particulares da reta fronto-horizontal 10. Posições particulares da reta oblíqua 11. Posições particulares da reta de perfil 12 e 13. A projeção lateral da reta de perfil 14. A projeção lateral das retas vertical, de topo e fronto-horizontal 15. A projeção lateral das retas horizontal, frontal e oblíqua 16. Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical 17. Marcação de pontos nas retas horizontal e frontal 18. Marcação de pontos na retas oblíqua e de perfil 19. Percurso das retas horizontal e frontal 20. Percurso das retas oblíqua e de perfil 21. Percurso das retas de topo e vertical 22. Exercícios Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 1 Reta horizontal A reta horizontal, ou de nível, é paralela ao plano horizontal de projeção e oblíqua ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço frontal. Esta reta pode ter abertura para a esquerda ou para a direita, que se considera do lado onde o afastamento é positivo. Designam-se por traços os pontos onde as retas cruzam os planos de projeção. νo φo x A reta horizontal em projeções A recta n tem cota positiva e abertura para a direita, e corresponde àquela que está representada na perspetiva acima. A reta a tem cota negativa e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas proje- ções. A projeções frontais duma reta horizontal são paralelas ao eixo x, as horizontais são oblíquas. F≡F2 F1 n n2 n1 F1 F2 n2 n1 x a2 a1 F2 F1 A reta horizontal em perspetiva A reta horizontal n é projetada no PHP em n1, pro- jeção essa que é paralela à própria reta e oblíqua ao eixo x. A sua projeção no PFP é n2, paralela ao eixo x. A reta cruza o PFP no ponto F, que é o seu traço frontal. // PHP / PFP n Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 2 Recta frontal A reta frontal é oblíqua ao plano horizontal de projeção e paralela ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço horizontal. Esta reta pode ter abertura para a direita ou para a esquerda, que se consi- dera do lado onde a cota é positiva. νo φo x A reta frontal em projeções A reta f tem afastamento positivo e abertura para a direita e corresponde à que está representada em perspeti- va. A reta b tem afastamento negativo e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas projeções. A projeções horizontais duma reta frontal são paralelas ao eixo x, as frontais são oblíquas. H≡H1 H2 f f2f1 H1 H2 f2 f1 b2 b1 H2 H1 A reta frontal em perspetiva A reta frontal f é projetada no PHP em f1, projeção essa que é paralela ao eixo x. A sua projeção no PFP é f2, que é paralela à própria reta f. A reta cru- za o PHP no ponto H, que é o seu traço horizontal. // PFP / PHP f x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 3 Reta fronto-horizontal A reta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projeção, pelo que não possui traços. νo φo x A reta fronto-horizontal em projeções A reta a tem afastamento positivo e cota positiva, situa-se no I.º diedro. A reta b tem afastamento negativo e cota positiva, situando-se no II.º diedro. A reta a corresponde à que está representada em perspetiva; a recta está apenas representada em projeções. Ambas as projeções duma reta fronto-horizontal são paralelas ao eixo x. a2 a1 x b1 A reta fronto-horizontal em perspetiva A reta fronto-horizontal a é projetada no PHP em a1 e no PFP em a2, ambas as projeções são paralelas ao eixo x. Esta reta não cruza os planos de proje- ção, pelo que não tem traços. a a2 a1 b2 // PHP // PFP a Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 4 Reta de topo A reta de topo é paralela ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de proje- ção. Tem apenas traço frontal. Esta reta é projetante frontal, o que quer dizer que todos os pontos que possui são projetados frontalmente no seu traço (ver mais adiante “Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical”). νo φo x A reta de topo em projeções A reta t tem cota positiva, situa-se nos I.º e II.º diedros; a reta d tem cota negativa, pelo que se situa nos III.º e IV.º diedros. A reta t corresponde à que está representada em perspetiva; a reta d está apenas representada nas projeções. A projeção horizontal de uma reta de topo é perpendicular ao eixo x, a frontal fica reduzida a um ponto coinci- dente com o seu traço. (t2)≡F2 t1 A reta de topo em perspetiva A reta de topo t é projetada no PHP em t1, projeção essa paralela à própria reta. A projeção frontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre parêntesis (t2). Essa projeção coincide com o traço da recta. t F≡F2≡(t2) t1 F1 F1 (d2)≡F2 d1 F1 // PHP PFP t x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 5 Reta vertical A reta vertical é paralela ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje- ção. Tem apenas traço horizontal. Esta reta é projetante horizontal, o que quer dizer que todos os pontos que possui são projetados horizontalmente no seu traço (ver mais adiante “marcação de pon- tos nas retas de topo e vertical”). νo φo x A reta vertical em projeções A reta v tem afastamento positivo, situa-se nos I.º e IV.º diedros. A reca a tem afastamento negativa, pelo que se situa nos IIº e IIIº diedros. A reta v corresponde à que está representada em perspetiva; a reta a está apenas representada nas projeções. A projeção frontal de uma reta vertical é perpendicular ao eixo x, a horizontal fica reduzida a um ponto, coinci- dente com o seu traço. (a1)≡H1 a2 A reta vertical em perspetiva A reta vertical v é projetada no PFP em v2, proje- ção essa paralela à própria recta. A projeção hori- zontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre parêntesis (v1). Essa projeção coincide com o traço da reta. v H≡H1≡(v1) v2 H2 H2 (v1)≡H1 v2 H2 // PFP PHP v x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 6 Reta oblíqua A reta oblíqua é oblíqua a ambos os planos de projeção e oblíqua também ao eixo x. Tem dois tra- ços. As suas projeções horizontal e frontal podem ter abertura para a esquerda ou para a direita, o que se considera onde os afastamentos e as cotas são positivas, respetivamente. νo φo x A reta oblíqua em projeções As projeções da reta r têm aberturas para lados opostos. As projeções da reta s têm aberturas para o mesmo lado. A reta r corresponde à que está representada em perspetiva; passa pelos diedros II, I e IV. A reta s está apenas representada nas projeções; passa pelos diedros I, IV e III. A projeções duma reta oblíqua são oblíquas ao eixo x. F1 H≡H1 r r2 r1 H1 H2 r2 r1 s2 s1 H2 H1 A reta oblíqua em perspetiva A reta oblíqua r é projetada no PHP em r1 e no PFP em r2. Essas projeções são oblíquas ao eixo x. A reta cruza o PHP no ponto H e o PFP no ponto F, que são os seus traços. H2 F≡F2 F2 F1 F2 F1 / PHP / PFP / eixo x r x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 7 Reta de perfil A reta de perfil é oblíqua aos planos de projeção e perpendicular ao eixo x. Tem dois traços que, situados em diferentes semi-planos, farão com que a reta atravesse diferentes diedros. νo φo x A reta de perfil em projeções No espaço, as projeções da reta de perfil não são coincidentes, como se pode ver na perspetiva, mas depois de se dar o rebatimento de um plano de projeção sobre o outro elas ficam coincidentes e perpendiculares ao eixo x. A reta p passa pelos diedros II, I e IV e corresponde à que está representada na perspetiva; a recta b é uma de outras possibilidades, passando pelos diedros I, II e III. F1≡H2 H≡H1 p p2 p1 H1 p1≡p2 A reta de perfil em perspetiva A reta de perfil p é projetada no PHP em p1 e no PFP em p2. Essas projeções são perpendiculares ao eixo x. A reta cruza o PHP no ponto H e o PFP no ponto F, que são os seus traços. F≡F2 F2 F1≡H2 H1 b1≡b2 F2 F1≡H2 / PHP / PFP eixo x p x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Recta - 8 Posições particulares da reta fronto-horizontal A reta fronto-horizontal apresenta algumas posições particulares, onde está contida nos planos bis- setores. x a2 a1 Retas situadas nos planos bissetores e no eixo x As retas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projeções se apresentam uma para cada lado do eixo x e com cota e afastamento iguais. As retas c e d têm projeções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. Estas situa- ções de pertença aos planos bissetores são idênticas às que encontramos nos pontos. A reta e coincide com o eixo x. a є β1/3 b є β1/3 x≡e1≡e2 d2≡d1 c є β2/4 d є β2/4 e ≡ eixo x b1 b2 c2≡c1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Recta - 9 Posições particulares da reta oblíqua Em posições particulares, a reta oblíqua pode ser paralela aos planos bissetores, estar contida neles ou ser apenas passante. Retas passantes são as que cruzam o eixo x. x r2 Retas paralelas aos planos bissetores As projeções da recta r são paralelas entre si, pelo que os seus traços têm medidas iguais, situando-se para lados opostos do eixo x. É paralela ao β2/4. As projeções da reta s fazem ângulos iguais com o eixo x, com aber- turas para o mesmo lado; os seus traços têm medidas iguais e ficam para o mesmo lado do eixo x. É paralela ao β1/3. x a2≡a1 b2 Retas passantes A reta a tem projeções coincidentes, situa-se no β2/4; a reta b tem projeções com ângulos simétricos, situa-se no β1/3. Qualquer ponto da reta a tem projeções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; qualquer ponto da reta b tem projeções simétricas, pelo que pertence β1/3. A reta c é uma reta passante qualquer, uma vez que as suas projeções têm ângulos diferentes. r // β2/4 s //β1/3 a є β2/4 (recta passante) b є β1/3 (recta passante) c - recta passante qualquer r1 s2 s1 H1≡H2≡F1≡F2 b1 H1≡H2≡F1≡F2 c2 c1 H1≡H2≡F1≡F2 = = = = H2 H1 H2 H1 F2 F1 F2 F1 r1 // r2 - - - - = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 10 Posições particulares da reta de perfil As posições particulares da reta de perfil são idênticas às da reta oblíqua. Por serem mais difíceis de visualizar a partir das suas projeções, mostram-se representações dessas retas nos planos de projeção vistos de lado. x H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H2≡F1 H2≡F1 F2≡H1 F2 H1 a1≡a2 b1≡b2 c1≡c2 d1≡d2 e1≡e2 P2 P1 Q2≡Q1 R2 R1 c є β1/3 (Pєβ1/3) recta passante d є β2/4 (Qєβ2/4) recta passante e - recta passante qualquer (R - ponto qualquer) P Q R φo νo a b e c d β2/4 β1/3 Posições particulares da reta de perfil, representadas nas projeções e vistas de lado Os traços da reta a têm medidas iguais, cada um representado para um lado do eixo x, o que faz com que essa reta seja paralela ao β2/4 e simultaneamente perpendicular ao β1/3. Os traços da reta b são coincidentes, o que faz com que seja paralela ao β1/3 e perpendicular ao β2/4. A reta c situa-se no β1/3, cruza o eixo x e contém o ponto P, que também se situa nesse bissetor. A reta d situa-se no β2/4, cruza o eixo x e contém o ponto Q, que se situa nesse bissetor. A reta e cruza o eixo x e contém o ponto R que é um ponto qualquer. As retas c, d e e são passantes, isto é, cruzam o eixo x, por que é aí que se situam ambos os seus traços. Para ficarem devidamente definidas há que acrescentar um outro ponto que as situe no espaço. // β2/4 β1/3 a // β1/3 β2/4 b = = = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 11 νo φo x F≡F2 H3 πo z y F3 A projeção lateral da reta de perfil Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades determinam-se recor- rendo à projeção lateral da reta. A reta de perfil é aquela que mais uso faz da projeção lateral. A projeção lateral de uma reta de perfil em perspetiva Aqui mostram-se as três projeções de uma recta de perfil. Tal como acontece com o PFP e o PHP, a projeção no PLP é feita na perpendicular a este plano. Uma vez obtida a projeção lateral, o PLP rebate sobre o PFP, ficando a projeção lateral da reta como se mostra na ima- gem seguinte. x y≡z p3 A projeção lateral da reta de perfil A projeção lateral da reta de perfil obtém- se unindo as projeções laterais dos pontos que a definem. Neste caso a reta está defi- nida pelos seus traços, mas quando está definida por outros pontos procede-se do mesmo modo. A projeção H3 obtém-se rodando a medida de H1 no sentido inverso dos ponteiros do relógio. F2 F3 H1 H3 p1≡p2 F1≡H2 H≡H1 p3 p p2 p1 H2≡F1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 12 Dado que a reta de perfil apresenta algumas variantes, será útil verificar como se determinam as suas projeções laterais em algumas situações diferentes. x y≡z Reta de perfil com os traços acima do eixo x A projeção H3 surge à esquerda de y≡z em virtude de o rebatimento do PHP se efetuar no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio. p2≡p1 H1 H3 F1≡H2 Reta de perfil com os traços abaixo do eixo x A projeção lateral do ponto F está sempre em y≡z, obtém-se através de uma linha paralela ao eixo x. F2 F3 p3 x y≡z p2≡p1 H1 H3 F1≡H2 F2 F3 p3 Reta de perfil definida por dois pontos Se uma reta está definida por dois pontos, que não os traços, a sua projeção lateral determina-se unin- do as projeções laterais desses pontos. Determinação dos traços da reta de perfil Quando uma reta está definida por dois pontos, pode-se determinar os seus traços através da pro- jeção lateral. Este exercício continua o anterior. x y≡z p2≡p1 H1 H3 F1≡H2 F2 F3 p3 A2 A3 B2 B3 B1 A1 x y≡z p2≡p1 p3 A2 A3 B2 B3 B1 A1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 13 x y≡z A projeção lateral da reta fronto-horizontal Para obter a projeção lateral desta reta roda-se para o eixo x a medida correspondente ao seu afastamento. Uma vez que a reta é perpendicular ao PLP, a sua projeção lateral fica reduzida a um ponto, coincidente com a projeção lateral do traço da reta, o ponto L. a2 x y≡z v3 A projeção lateral da reta vertical A projeção lateral da reta vertical fica perpendicular ao eixo x, contendo a projeção lateral do seu traço. v2 H1≡(v1) H3 H2 x y≡z t3 A projeção lateral da reta de topo A projeção lateral da reta de topo fica paralela ao eixo x e passa pela projeção lateral do seu traço. t1 F2≡(t2) F1 F3 a1 (a3)≡L3 A projeção lateral das retas vertical, de topo e fronto-horizontal Sobretudo nos capítulos Distâncias e Ângulos é, por vezes, necessário recorrer às projeções laterais destas retas. Mostra-se aqui como se determinam. L1 L2 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 14 A projeção lateral das retas horizontal, frontal e oblíqua Embora sem aplicação prática na resolução de qualquer outro tipo de exercício, mostra-se aqui como se determinam as projeções laterais destas retas. A projeção lateral das retas horizontal, frontal e oblíqua e respetivos traços As projeções laterais das retas horizon- tais, tenham cota positiva ou negativa, são coincidentes com as frontais. As projeções laterais das retas frontais, tenham afastamento positivo ou negativo, são perpendiculares ao eixo x. Para determinar as projeções laterais das retas oblíquas é necessário determinar as projeções laterais de dois dos seus pontos. Aqui utilizam-se os seus traços, mas podem ser utilizados outros pontos. Nos casos anteriores estão também indi- cadas as três projeções dos traços das retas. H1 H2 r2 r1 F2 F1 x Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 15 x y≡z n1 n2≡n3 x y≡z n1 n2≡n3 F2 F1 L2≡F3 L3 L1 L1 L2≡F3 F2 F1 x y≡z f2 L1 L2 H1 H2 L3 L3 H3 f3 f1 x y≡z f2 L1 L2 H1 H2 L3 H3 f3 f1 y≡z H3 F3 r3 L2 L1 L3 Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical Para que um ponto pertença a uma reta é necessário que as suas projeções se situem nas proje- ções homónimas dessa reta. Como veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para que este pertença às recas fronto-horizontal, de topo e vertical. x a2 a1 Marcação de pontos na reta fronto-horizontal Todos os pontos que se marquem numa reta fronto-horizontal terão sempre o mesmo afastamento e a mesma cota (que são os da reta). Por isso, basta dar a medida da abcissa de cada um dos pontos. Aqui são dados os seguintes pontos: A, com 3cm de abcissa; B, com -2cm de abcissa; C, com 0cm de abcissa. y≡z A2 A1 B2 B1 C2 C1 Marcação de pontos nas retas de topo e vertical Uma reta de topo mantém os mesmos valores de abcissa e de cota. Para marcar pontos nessa reta basta dar o valor do afastamento. Uma reta vertical mantém os valores de abcissa e de afastamento. Para marcar pontos nessa reta basta daro valor da cota. J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota. x K1 J1 t1 (t2)≡F2≡J2≡K2 (v1)≡H1≡L1≡M1 v2 M2 L2 H2 F1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 16 Marcação de pontos nas retas horizontal e frontal Também para traçar pontos situados nestas retas basta dar uma de duas coordenadas, já que a outra mantém o mesmo valor. x n2 n1 Marcação de pontos na reta horizontal Todos os pontos que se marquem numa reta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da própria reta). Para marcar pontos nessa reta basta dar a medida da abcissa ou do afastamento. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo: A, com 1,5cm de abcissa; B, com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento. y≡z A2 A1 B2 B1 C2 C1 Marcação de pontos na reta frontal Os pontos de uma reta frontal terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria reta). Para se marcar pontos nessa reta basta dar o seu valor de cota ou de abcissa. A título de exemplo são dados os seguintes pontos: J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abcissa; L, com -2,5cm de cota. x K1 L1 f1 f2 L2 F2 F1 y≡z J2 J1 K2 H2 H1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 17 Marcação de pontos nas retas oblíqua e de perfil Para marcar pontos na reta oblíqua basta dar uma das suas coordenadas, qualquer que ela seja. Para marcar pontos na reta de perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abcissa é sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projeção lateral para marcar pontos na reta de perfil. x r2 r1 Marcação de pontos na reta oblíqua A reta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta que seja dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo: A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abcissa y≡z A2 A1 B2 B1 C2 C1 Marcação de pontos na reta de perfil Uma reta de perfil mantém o mesmo valor de abcissa. Para se marcar pontos nessa reta recorre-se à projeção lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são dados os seguintes pontos: M, com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota. x M1 p2≡p1 N2 F2 F1 y≡z H3 H2 H2 H2≡F1 F3 H1 F2 M2 M3 N3 N1 p3 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 18 Percurso das retas horizontal e frontal Aqui determinam-se pontos notáveis e indicam-se os diedros e os octantes por onde cada uma des- tas retas passa. É nisso que consiste a determinação do percurso de uma reta. Pontos notáveis de uma reta são os seus traços nos planos de projecção e nos planos bissectores. x n2 n1 Percurso da reta horizontal Aqui mostra-se o percurso de uma reta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir do eixo x, uma linha simétrica à projeção n1; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais. Aplica-se este processo quando o ângulo da projeção da reta é um valor inteiro e conhecido. I2≡I1 Q2 Q1 Percurso da reta frontal Esta reta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Aqui o ponto Q obteve-se traçando uma paralela ao eixo x com medida igual à do afastamento da reta. É possível aplicar este processo apenas nas retas frontal e horizontal. x Q1 f1 f2 F2 F1 Q2 I1≡I2 H2 H1 II.º diedro I.º diedro 2.º octante 3.º octante 4.º octante 1.º octante I.º diedro IV.º diedro 2.º octante 1.º octante 8.º octante 7.º octante = = = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 19 Percurso das retas oblíqua e de perfil Aqui determinam-se os pontos notáveis destas retas e indicam-se os seus percursos. x r2 r1 Percurso da reta oblíqua Aqui está indicado o percurso de uma reta oblíqua com o traço frontal com cota positiva e o horizontal com afastamento positivo. A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode marcar-se um ponto qualquer numa das projeções (não é necessário dar-lhe nome) e transpor, com o compasso, essa medida para o lado oposto do eixo x. Com uma linha simétrica à da projeção utilizada determina-se o ponto. I2≡I1 Q2 Q1 Percurso da reta de perfil Como as projeções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da reta de perfil indica-se na projeção late- ral. Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissetores, que fazem 45º com os eixos. Esta reta estava, à partida, definida pelos seus traços, mas se estiver definida por outros pontos procede- se de forma idêntica. x Q1 p2≡p1 F2 F1 Q2 I1≡I2 II.º diedro I.º diedro 2.º oct. 3.º octante 4.º octante 1.º octante H2 H1 IV.º diedro 8.º octante F2 F1≡H2 F3 H3 H1 Q3 I3 I.º diedro II.º diedro IV.º diedro 1.º oct. 2.º oct. 8.º oct. 7.º oct. 3.º oct. y≡z p3 lβ1/3 lβ2/4 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 20 Percurso das retas de topo e vertical Aqui, os pontos notáveis determinam-se diretamente. Contudo, como uma das projeções destas retas fica reduzida a um ponto, sugere-se a indicação do seu percurso na projeção lateral. x Percurso da reta de topo Os pontos Q e I, respetivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se diretamente, uma vez que o ponto Q tem uma projeção para cada lado do eixo x e o ponto I tem projeções coincidentes. Com recurso aos traços laterais dos planos bissetores, fica evidente o percurso da reta. Percurso da reta vertical Tal como na reta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam diretamente e se indica o percurso da reta na sua projeção lateral. x Q1 t1 (t2)≡F2≡Q2≡I2≡I1 (v1)≡H1≡Q1≡I1≡I2 v2 Q2 II.º diedro I.º diedro 2.º oct. 3.º oct. 1.º oct. 4.º oct. I.º diedro 1.º oct. 2.º oct. IV.º diedro 7.º oct. 8.º oct. y≡z lβ1/3 lβ2/4 Q3 I3 t3 y≡z lβ1/3 lβ2/4 H2 v3 H3 Q3 I3 F1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 21 Reta – Exercícios Retas com marcação de pontos 1. Representar a reta fronto-horizontal h, que con- tém o ponto P(1;3;-1). Nela marcar os pontos: A, com 2cm de abcissa B, com 4cm de abcissa C, com -3cm de abcissa 2. Representar a reta horizontal n, com 2cm de cota, fazendo 40ºad, sendo o seu traço o ponto F com 2cm de abcissa. Nela marcar os pontos: D, com 4cm de afastamento E, com -1cm de abcissa G, com -1cm de afastamento I, com 6cm de abcissa 3. Representar a reta frontal f, que contém o ponto R(4;-3;6). Nela marcar os pontos: H, traço da reta, com -3cm de abcissa K, com 4cm de cota L, com -2cm de abcissa M, com -4cm de cota 4. Representar a reta de topo t, com 3cm de cota e 4cm de abcissa. Nela marcar os pontos: F, traço da reta N, com 2cm de afastamento O, com -5cm de afastamento P, com -3cm de afastamento 5. Representar a reta vertical v, com -2cm de afas- tamento e 3cm de abcissa. Nela marcar os pontos: H, traço horizontal Q, com 4cm de cota R, com -3cm de cota 6. Representar a reta oblíqua r, cujos traços são os pontos H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos: S, com 4cm de abcissa T, com 2cm de cotaU, com 1cm de afastamento V, com -1cm de afastamento Pontos notáveis e percurso de retas 7. Representar a reta n do exercício 2. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 8. Representar a reta f do exercício 3. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 9. Representar a reta t do exercício 4. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 10. Representar a reta v do exercício 5. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 11. Representar a reta r do exercício 6. Determinar os pontos notáveis em falta e o seu percurso. 12. Representar a reta s, que contém os pontos A(4;-1;5) e B(-2;-4;-2). Determinar os pontos notá- veis e o percurso dessa reta. 13. Representar a reta b, que contém o ponto R(-2;2;3), fazendo as suas projeções frontal e hori- zontal 40ºad e 40ºae, respetivamente. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 14. Representar a reta m, que contém o ponto M(2;-1,5;-3), fazendo as suas projeções frontal e horizontal 55ºad e 20ºae, respetivamente. Determi- nar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 15. Representar a reta c, que contém o ponto C(3;2;4) e é passante no ponto P com -2cm de abcissa. Determinar o percurso dessa reta. 16. Representar a reta e, passante no ponto R com 3cm de abcissa, fazendo as suas projeções frontal e horizontal 55ºad e 25ºae, respetivamente. Determi- nar o percurso dessa reta. 17. Representar a reta r, que contém o ponto P(1;2;3) e é paralela ao β2/4, fazendo a sua proje- ções frontal 35ºad. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 18. Representar a reta s, que contém o ponto S(-4;1;5), fazendo a suas projeções frontal e hori- zontal ambas 30ºad. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. Reta em tripla projeção 19. Representar as rectas h e n dos exercícios 1 e 2. Determinar as suas projeções laterais. 20. Representar as retas f, t e v dos exercícios 3, 4 e 5. Determinar as suas projeções laterais. 21. Representar a reta r do exercício 6. Determinar as suas projeções laterais. 22. Representar a reta de perfil p, cujos traços são os pontos H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorren- do à projeção lateral, os seus pontos: X, com -1cm de afastamento Y, com 2cm de cota 23. Representar a reta do exercício anterior. Deter- minar os pontos notáveis em falta e o seu percurso. 24. Representar a reta a, definida pelos pontos R (4;1:3) e S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o seu percurso. 25. Representar a reta de perfil b, que contém o ponto Z(6;2) e é paralela ao β1/3. Determinar os pon- tos notáveis e o seu percurso Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 22 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 1 3 PLANO O alfabeto do plano é o conjunto das posições genéricas que um plano pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas posições, assim como posições particulares que alguns planos podem ter. Mostra-se que retas podem existir em cada plano e como se marcam pontos nos planos. Ainda se apresentam modos diversos de defi- nir os planos. Sumário: 2. Plano horizontal 3. Plano frontal 4. Plano de topo 5. Plano vertical 6. Plano de perfil 7. Plano de rampa 8. Plano oblíquo 9. Posições particulares do plano oblíquo 10. Posições particulares do plano de rampa 11 e 12. O traço lateral do plano de rampa 13. O traço lateral dos planos frontal e horizontal 14. O traço lateral dos planos vertical, de topo e oblíquo 15. Marcação de pontos em planos projetantes 16. Marcação de pontos em planos não projetantes 17. Retas do plano horizontal 18. Retas do plano frontal 19. Retas do plano de topo 20. Retas do plano vertical 21. Retas do plano de perfil 22. Retas do plano de rampa 23 e 24. Retas do plano oblíquo 25 e 26. Plano definido por duas retas 27. Planos definidos por uma reta e um ponto 28. Planos definidos por três pontos 29. Planos definidos por uma reta e tipo 30. Planos definidos por pontos e tipo 31. Retas notáveis em planos definidos por retas 32. Retas dos planos bissetores em planos definidos por retas 33 e 34. Exercícios Plano horizontal O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço frontal. Este plano é projetante frontal, uma vez que as figuras que ele pode conter ficam projetadas frontalmente no seu traço. Designam-se por traços as retas onde os planos cruzam os planos de projeção. νo φo x O plano horizontal representado pelo seu traço O plano α tem cota positiva e corresponde àquele que é mostrado em perspetiva. O plano θ tem cota negativa e está apenas representado nesta imagem. Um plano com cota nula ficará com o seu traço coincidente com o eixo x. x O plano horizontal em perspetiva O plano α, por ser paralelo ao PHP, cruza apenas o PFP numa reta que é o seu traço frontal, designado por (fα). Por se tratar de um plano projetante ape- nas com um traço, este indica-se entre parêntesis. // PHP PFP α (fα) (fα) (fθ) α Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 2 Plano frontal O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje- ção. Tem apenas traço horizontal. Este plano é projetante horizontal, dado que as figuras que ele pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço. νo φo x O plano frontal representado pelo seu traço O plano π tem afastamento positivo e corresponde àquele que é mostrado em perspetiva. O plano ρ tem afas- tamento negativo e está apenas representado nesta imagem. Um plano com afastamento nulo ficará com o seu traço coincidente com o eixo x. x O plano frontal em perspetiva O plano π, por ser paralelo ao PFP, cruza apenas o PHP, numa reta que é o seu traço horizontal, designado por (hπ). Por ser um plano projetante apenas com um traço, este indica-se entre parênte- sis. // PFP PHP (hπ) (hρ) (hπ) π π Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 3 Plano de topo O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo ao plano horizontal de proje- ção. Tem dois traços. Este plano é projetante frontal, pois todas as figuras que nele existam ficam projetadas frontalmente no seu traço frontal. νo φo x O plano de topo representado pelos seus traços O plano β tem abertura para a direita e corresponde àquele que está representado em perspetiva. O plano δ tem abertura para a esquerda. São estas as duas variantes de um plano de topo. O traço frontal do plano de topo é oblíquo ao eixo x, o horizontal é perpendicular. x O plano de topo em perspetiva O plano β cruza o PFP em fβ e o PHP em hβ. São esses os seus traços. / PHP PFP β fβ hβ fβ hβ fδ hδ β Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 4 Plano vertical O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje- ção. Tem dois traços. Este plano é projetante horizontal, já que todas as figuras que ele pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço horizontal. νo φo x O plano vertical representado pelos seus traços O plano ω tem abertura para a direita e corresponde àquele que está representado em perspetiva. O plano θ tem abertura para a esquerda. Estas são as duas variantes que um plano vertical pode ter.O traço frontal do plano vertical é perpendicular ao eixo x, o horizontal é oblíquo. x O plano vertical em perspetiva O plano ω cruza o PHP em hω e o PFP em fω. Essas retas são os seus traços. / PFP PHP hω ω ω fω fω hω fθ hθ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 5 Plano de perfil O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Tem dois traços. Este plano é dupla- mente projetante, o que significa que todas as figuras que nele estiverem contidas ficam projetadas em ambos os seus traços. νo φo x O plano de perfil representado pelos seus traços Representado pelos traços, o plano de perfil apresenta apenas esta possibilidade: os seus traços são sempre coincidentes e perpendiculares ao eixo x. De notar que a coincidência entre os traços não existe no espaço mas passa a existir após o rebatimento dos planos de projeção. x O plano de perfil em perspetiva O plano ψ cruza o PHP em hψ e o PFP em fψ. Esses são os seus traços horizontal e frontal, res- petivamente. PHP PFP ψ fψ hψ fψ≡hψ ψ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 6 Plano de rampa O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante. νo φo x O plano de rampa representado pelos seus traços Os traços do plano α correspondem ao plano representado em perspetiva; o seu traço horizontal tem afasta- mento positivo e o frontal tem cota positiva. Esse plano passa pelos diedros II, I e IV. O plano θ está numa posi- ção diferente, passando pelos diedros I, IV e III. x O plano de rampa em perspetiva O plano α cruza o PHP em hα e o PFP em fα. São esses os seus traços, paralelos ao eixo x. α fα hα / PFP / PHP // eixo x α fα hα fθ hθ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 7 Plano oblíquo O plano oblíquo é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante. νo φo x O plano oblíquo representado pelos seus traços Os traços do plano π, ambos com abertura para a direita, correspondem ao plano representado em perspetiva. O plano β apresenta traços com aberturas para lados contrários. Os traços do plano oblíquo são ambos oblíquos ao eixo x, podendo apresentar aberturas para lados iguais ou diferentes. x O plano oblíquo em perspetiva O plano π cruza o PHP em hπ e o PFP em fπ. São esses os seus traços, oblíquos ao eixo x. π fπ hπ / PFP / PHP / eixo x π fπ hπ hβ fβ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 8 Posições particulares do plano oblíquo O plano oblíquo pode apresentar duas posições particulares, cujos traços se apresentam na imagem seguinte. x hπ≡fπ fα Traços dos planos oblíquos em posições particulares Os traços do plano α têm ângulos iguais e aberturas para o mesmo lado; trata-se de um plano perpendicular ao β1/3. Se representarmos uma recta de perfil nesse plano ela será também perpendicular ao β1/3. Os traços do plano π são coincidentes; trata-se de um plano perpendicular ao β2/4. α β1/3 hα π β2/4 = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 9 Posições particulares do plano de rampa O plano de rampa apresenta cinco posições particulares, que são semelhantes às da reta de perfil. x fθ fψ≡hψ hθ Planos perpendiculares / paralelos aos planos bissetores Um plano de rampa que tenha traços com medidas iguais, um para cada lado do eixo x, é paralelo ao β2/4 e perpendicular ao β1/3; é essa a situação do plano θ. Um plano de rampa com os traços coincidentes é paralelo ao β1/3 e perpendicular ao β2/4; o plano ψ está nessas condições. // β2/4 β1/3 // β1/3 β2/4 x≡hδ≡fδ≡hρ≡fρ≡hω≡fω A2 A1 B2≡B1 C2 C1 Planos passantes São passantes os planos que contêm o eixo x. Os traços desses planos são, por isso, coincidentes com o eixo x. Estão aqui representados três. O plano δ está coincidente com o β1/3, pois está definido pelo eixo x e pelo ponto A, que se situa nesse bissetor. O plano ρ é coincidente com o β2/4, uma vez que está definido pelo eixo x e pelo ponto B, desse bissetor. O plano ω é um plano passante qualquer, pois está definido pelo eixo x e pelo ponto C, que não se situa em qualquer dos planos bissetores. δ ≡ β1/3 (Aєβ1/3) ρ ≡ β2/4 (Bєβ2/4) ω - plano passante qualquer (C - ponto qualquer) θ ψ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 10 νo φo x πo z y O traço lateral do plano de rampa Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades, entre outros, deter- minam-se recorrendo ao traço lateral do plano de rampa. Mostra-se aqui como se determina esse traço. O traço lateral do plano de rampa em perspetiva O traço lateral do plano de rampa é a reta onde este corta o PLP. Essa reta cruza-se com o traço frontal no eixo z e com o traço horizontal no eixo y, pon- tos com os quais se determina o traço lateral, como se vê abaixo. x y≡z O traço lateral do plano de rampa O traço lateral do plano de rampa obtém -se rodando para o eixo x a medida cor- respondente ao afastamento do traço horizontal, unindo-se ao ponto de cruza- mento do traço frontal com o eixo z. fα hα α lα lα fα hα Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 11 Aqui mostra-se como se determina o traço lateral de planos de rampa em posições diferentes da que foi mostrada na página anterior. x y≡z O traço lateral do plano de rampa em diferentes posições No primeiro caso temos um plano de rampa com o traço horizontal com afastamento negativo; no segundo o traço frontal tem cota negativa; no terceiro ambos os traços têm valores negativos. A rotação da medida do traço horizontal faz-se sempre no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. lπ hπ fπ x y≡z lβ fβ hβ x y≡z lδ fδ hδ Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 12 O traço lateral dos planos frontal e horizontal Além do plano de rampa, os planos frontal e horizontal são também perpendiculares ao plano lateral de projeção. A determinação dos traços laterais desses planos pode ser útil essencialmente em exercícios de Ângulos e de Distâncias. O traço lateral do plano horizontal O traço lateral do plano horizontal obtém-se automaticamente. No espaço, ele é paralelo ao eixo y; após o reba- timento do PLP fica coincidente com o traço frontal do plano, tenha ele cota positiva ou negativa. x y≡z O traço lateral do plano frontal O traço lateral do plano frontal é paralelo ao eixo z e obtém-se rodando a medida do afastamento do traço hori- zontal no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. À esquerda temos um plano com afastamento positivo, à direita um com afastamento negativo. (hθ) lθ (fδ)≡lδ x y≡z (hρ) lρ x y≡z (fβ)≡lβ x y≡z Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 13 O traço lateral dos planos vertical, de topo e oblíquo A determinação dos traços laterais destes planos não tem qualquer aplicação noutros capítulos. De qualquer modo, mostra-se aqui como se procede a essa determinação. O traço lateral do plano oblíquo O traço lateral do plano oblíquo é de perfil. Para o determinar basta rodar o ponto de cruzamento do traço hori- zontal com y≡z e unir ao ponto de cruzamentodo traço frontal com a mesma reta. À esquerda está um plano com traços abertos para o mesmo lado; à direita está um plano com traços abertos para lados contrários. x y≡z O traço lateral dos planos vertical e de topo O traço lateral do plano vertical é vertical; para o determinar basta rodar o ponto onde o seu traço horizontal cruza y≡z. O traço lateral do plano de topo é de topo; devido ao rebatimento o plano lateral de projeção, fica paralelo ao eixo x, passando pelo ponto onde o traço frontal cruza y≡z. hθ lθ fπ x y≡z fρ hρ x y≡z hα x y≡z Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 14 fθ lρ hπ lπ fα lα Marcação de pontos em planos projetantes A marcação de pontos em planos projetantes faz-se diretamente, uma vez que uma das projeções do ponto fica sempre no traço sobre o qual o plano é projetante. No caso do plano de perfil (por ser duplamente projetante) ambas as projeções do ponto ficam em ambos os traços. Marcação de pontos nos planos horizontal, frontal e de perfil O plano horizontal α tem 2cm de cota; os pontos que lhe pertencem têm também essa medida. As coordenadas dos pontos representados no plano α são: A(1;2) B(-1;2) O plano frontal θ tem 1cm de afastamento; os pontos que lhe pertencem terão essa medida. As coordenadas dos pontos representados no plano θ são: C(1;3) D(1;-2) As coordenadas dos pontos representados no plano ρ são: E(2;1) F(-2;3) x (fα) (hθ) A1 A2 B2 B1 C2 C1 D1 D2 Marcação de pontos nos planos vertical e de topo As coordenadas dos pontos representados no plano β são: J(1,5;2) K(-1;-2) As coordenadas dos pontos representados no plano δ são: L(1;2) M(2,5;-1) x fβ J2 K2 J1 hβ K1 L2 L1 M1 M2 fδ hδ fρ≡hρ E2 E1 F2 F1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 15 Marcação de pontos em planos não projetantes A marcação de pontos em planos não projetantes faz-se com recurso a retas auxiliares desses pla- nos. Apenas os pontos situados nos traços se podem marcar diretamente. Marcação de pontos no plano oblíquo Para marcar pontos no plano oblíquo deve utilizar-se uma reta frontal ou horizontal do plano, reta essa que tenha uma das coordenadas do ponto. Aqui optou-se por utilizar retas frontais em ambos os casos, que defi- nem, à partida, as medidas dos afastamentos dos pontos dados. Os pontos marcados têm as seguintes coordenadas: A(2;1,5) B(0;2,5) C(-1;2,5) D(2;0) x hπ A2 A1 Marcação de pontos no plano de rampa Para marcar pontos no plano de rampa utiliza-se uma reta auxiliar oblíqua que lhe pertença. Neste plano não é possível dar simultaneamente afastamento e cota, mas pode-se indicar também um valor para a abcissa. Os traços frontal e horizontal destes planos têm, respetivamente, 1,5cm de cota e 2,5cm de afastamento. Os pontos marcados são os seguintes: J, com 1cm de afastamento K, com -0,5cm de cota L, com 1,5cm de cota e -1cm de abcissa M, com 2,5cm de afastamento e -2cm de abcissa N, com 1cm de afastamento e 7cm de abcissa O ponto N marcou-se com a ajuda do ponto J, que tem a mesmo afastamento. H2 H1 fπ f2 f1 H2 H1 F2 F1 J2 J1 K2 K1 r2 L2 L1 M2 M1 x r1 hω fω B2 B1 x hπ C2 H1 H2 D1 fπ f2 f1 C1 D2 N2 N1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 16 f2 // fπ f2 // fπ Retas do plano horizontal O plano horizontal pode conter três tipos de retas diferentes. Como este plano é paralelo ao plano horizontal de projeção, todas as retas que ele contém são também paralelas a esse plano. Sendo projetante frontal, as retas são projetadas frontalmente no seu traço. Tipos de retas que existem no plano horizontal O plano horizontal pode conter retas fronto-horizontais, horizontais e de topo. Apresenta-se um exemplo de cada tipo. x (fα)≡h2≡n2 n1 h1 t1 F2 F1 (t2)≡F’2 F’1 Retas dos planos bissetores As retas a e b são aquelas em que o plano α corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem projeções com medidas iguais, uma para cada lado do eixo x; a reta b tem projeções coincidentes. Ambas são fronto- horizontais. Estas retas determinam-se diretamente, não sendo necessário traçado auxiliar para o fazer. x (fα)≡a2≡b2≡b1 a1 a Є β1/3 b Є β2/4 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 17 Retas do plano frontal O plano frontal pode conter três tipos de retas diferentes. Como este plano é paralelo ao plano fron- tal de projeção, todas as retas que ele contém são também paralelas a esse plano. Sendo um plano projetante horizontal, as retas são projetadas no seu traço. Tipos de retas que existem no plano frontal O plano frontal pode conter retas fronto-horizontais, frontais e verticais. Apresenta-se um exemplo de cada tipo. x (hπ)≡h1≡f1 f2 h2 (v1)≡H’1 H1 H2 v2 H’2 Retas dos planos bissetores As retas a e b são aquelas em que o plano π corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem medidas iguais, uma para cada lado do eixo x; a reta b tem projeções coincidentes. São retas fronto-horizontais, que se determinam diretamente, sem ajuda de traçado auxiliar. x (hπ)≡a1≡b2≡b1 a2 a Є β1/3 b Є β2/4 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 18 Retas do plano de topo O plano de topo pode conter três tipos de retas diferentes. É um plano projetante frontal, pelo que as retas que ele contém são projetadas frontalmente no seu traço frontal. Tipos de retas que existem no plano de topo O plano de topo pode conter as retas frontal e de topo, representadas à esquerda, e oblíqua, representada à direita. x fδ≡r2 hδ fδ≡f2 hδ f1 H2 H1 t1 (t2)≡F2 F1 r1 H2 H1 F1 F2 Retas dos planos bissetores As retas a e b são aquelas em o plano α corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem ângulos iguais; a reta b tem projeções coincidente. Ambas são oblíquas passantes. Estas retas determinam-se diretamente, sem necessidade de traçado auxiliar. x fδ≡b2≡b1 hδ fδ≡a2 hδ a1 F1≡F2≡H1≡H2 F1≡F2≡H1≡H2 a Є β1/3 b Є β2/4 = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 19 Retas do plano vertical O plano vertical pode conter três tipos de retas diferentes. É um plano projetante horizontal, pelo que as retas que ele contém são projetadas horizontalmente no seu traço horizontal. Tipos de retas que existem no plano vertical O plano vertical pode conter as retas horizontal e vertical, representadas à esquerda, e oblíqua, representada à direita. x fθ hθ≡r1 fθ hθ≡n1 r2 F2 F1 H2 H1 F1 F2 (v1)≡H1 H2 v2 n2 Retas dos planos bissetores As retas a e b são aquelas em que o plano θ corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem ângulos iguais; a reta b tem projeções coincidentes. São ambas oblíquas passantes. Estas retas determinam-se diretamente, sem ajuda de traçado auxiliar. x fθ hθ≡b1≡b2 fθ hθ≡a1 F1 a2 F1≡F2≡H1≡H2 F1≡F2≡H1≡H2 a Є β1/3 b Є β2/4 = = Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 20 Retas do plano de perfil O plano de perfil pode conter três tipos de retas. Tratando-se de um plano duplamente projetante, as retas que ele contém ficam projetadas em ambos os seus traços. Tipos de retas que existem no
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