AD1 2013.1_atualizada

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A´lgebra I
AD1 - Primeira Avaliac¸a˜o a Distaˆncia - Aulas 1 a 7
1a Questa˜o: (2, 0 pontos) Determine uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que se tenha
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.
2a Questa˜o:
a) (1, 0 ponto) Um rei muito rico possui 3n moedas de ouro. Pore´m, uma destas moedas
e´ falsa e seu peso e´ menor que o peso das demais. Com uma balanc¸a de 2 pratos e sem
nenhum peso, mostre que e´ poss´ıvel encontrar a moeda falsa com apenas n pesagens.
b) (1, 0 ponto) Prove que
H2n ≥ 1 + n
2
, para n ≥ 0.
Hj representa o nu´mero harmoˆnico e e´ definido por
Hj = 1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
j
.
3a Questa˜o: (2, 0 pontos) Deseja-se pesar qualquer nu´mero inteiro de gramas de ouro, entre
1g e 100g, numa balanc¸a de dois pratos, onde os pesos so´ podem ser usados no prato esquerdo
da balanc¸a. Mostre que a escolha adequada de 7 pesos diferentes e´ suficiente para realizar
esta tarefa.
Sugesta˜o: Use o sistema de numerac¸a˜o em base 2.
4a Questa˜o: (2, 0 pontos) Um retaˆngulo de lados inteiros AB = m e BC = n, e´ dividido
em quadrados de lado 1. Em cada um dos ve´rtices ele possui um pequeno orif´ıcio. Um raio
de luz entra no retaˆngulo por um dos ve´rtices, na direc¸a˜o da bissetriz do aˆngulo reto, e e´
refletido sucessivamente nos lados do retaˆngulo. Quantos quadrados sa˜o atravessados pelo
raio de luz? Justifique sua resposta.
5a Questa˜o: (2, 0 pontos) Considere o conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
E´ poss´ıvel decompor o conjunto A em dois subconjuntos disjuntos tais que o produto dos
elementos de um seja igual ao produto dos elementos do outro? Justifique sua resposta.
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