ELETROM 8 I Gerando Campo magnetico (1)

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CAPÍTULO 8
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas
CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva
ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Este Capítulo Mostrará Como o Campo Magnético 
é originado de Uma Distribuição de Corrente 
O Capítulo seguinte Mostrará Como um Campo 
Magnético gera uma distribuição de Corrente 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Fontes de Campo Magnético Estacionário
3 - Eletroimam de Corrente Contínua
1 - Imã permanente
2 - Campo elétricos variando linearmente
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Considere um elemento diferencial dL de corrente, 
uma pequena seção de um condutor filamentar 
dL1
aR
I1
Suponha que neste filamento 
de raio desprezível circule 
uma corrente I1
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
LEI DE BIOT-SAVART diz que a intensidade de campo 
magnético dH causada por esta corrente neste elemento 
de filamento num determinado ponto P é dada de uma 
forma geral por: 
Ponto 1 PR12
dL1
aR12
I1
Ponto 2
dH= I dL x aR
4pi R 2
Ou particularmente
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
A lei de BIOT-SAVART: 
é análoga á Lei de Ampère para o elemento de corrente 
e lembra a lei de Coulomb para elementos diferenciais 
de carga
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
A lei de BIOT-SAVART 
descrita nas equações 
não pode ser testada 
experimentalmente 
porque dI não pode ser 
isolado
Considere que a equação da 
descontinuidade
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
A corrente total que atravessa a superfície fechada é
nula, mas é esta corrente que deve ser considerada 
na fonte de experiência.
Então somente a LEI DE BIOT-SAVART integral pode 
ser verificada experimentalmente.
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
A LEI DE BIOT-SAVART pode ser expressa em termos 
de fontes distribuídas, como J [A/m ] e K [A/m] A 
(densidade superficial de corrente) 
2
Se K for uniforme, a corrente 
total I, em uma largura b 
desprezível é dada por 
b
I
K
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Se K não for uniforme, a corrente total I é dada por 
b
I
K
dn
Onde dn é o elemento diferencial 
de caminho atravessado pelo 
fluxo de corrente
I.dL = K.dS = J.dv
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
LEI DE BIOT-SAVART 6 7 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Exemplo: Encontre H para um fio infinito
Ponto 1
z
I
x
zaz
y
dL
R
aR
Ponto 2ρaρ
Vácuo
φ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
O deslocamento diferencial em coordenadas cilíndricas 
é pré-definido 
O caminho ao longo do fluxo de I é definido por
dρ = 0 
dφ = 0 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Considerando isto e 
aplicando a definição
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
O vetor aφ varia com a coordenada φ, mas não com ρ e z
A integração com relação a ρ e aφ, é constante e pode ser 
removida da integração
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Resultado final
A separação da linhas de 
fluxo é inversamente 
proporcional o raio e a 
magnitude de H que por sua 
vez é ortogonal as linhas de 
fluxo.
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
Exemplo: Use a LEI DE BIOT-SAVART 
para obter o campo produzido por um 
segmento aleatório com extremidades 
a um ângulo α1 e α2 de um ponto P 
z
x
α2
y
α1
I
Ponto Pρ
φ
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE é derivada da lei de Biot-
Savart e é análoga a leis de Gauss. E fornece a corrente 
resultante que circula dentro de um percurso fechado
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
a
b
c
I
A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE tem a Superfície 
Gaussiana substituída pela linha ou percurso fechado 
chamado Espira Amperiana 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE tem a Superfície 
Gaussiana substituída pela linha ou percurso fechado 
chamado Espira Amperiana 
I
I
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Aplicação 1: Recorrendo ao 
condutor infinito da figura ao lado. 
Escolhamos um percurso
perpendicular ou tangencial ao 
longo do qual H é constante.
Ponto 1
z
Ix
zaz
y
dL
R
aR
Ponto 2
ρaρ
Vácuo
φ
H
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
No exemplo em questão o percurso fechado é um círculo 
de raio ρ cuja lei circuital de Ampère fornece
Hφ
ρ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicação 2: Seja um fio coaxial percorrido por uma 
distribuição uniforme de corrente I, encontre a 
intensidade de campo Magnético Ηφ a partir do centro
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
a
b
c
Ι
z
−Ι
Hφ
ρ = ρ1
φ = −φ1
ρ = ρ1
φ = φ1
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicação 2: Dentro do condutor interno, considerando 
a distribuição de corrente J uniforme
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Hφ
ρ
ρ = aI Iint
S SintJ = =
I Iint
pia piρJ = =2 2
2ρIint = I a2
Hφ.dL = Iint Hφ 2pi ρ =
2ρIint = I a 2 Hφ =
Iρ
2pi a2
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicação 2: encontrando a intensidade de campo 
Magnético Ηφ entre os dois condutores
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Hφ
I = Iint
Hφ.dL = I Hφ 2pi ρ = I
Hφ =
I
2pi ρ
ρ b
a
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicação 2: No interior do condutor externo a intensidade 
de campo Magnético Ηφ depende de Jext e Iint
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
IINT = I - IEXT
Hφ.dL = Iint
Hφ
ρ b
cI Iint
S SintJ = = J = =
I Iext
pic - pib2 2 piρ - pib2 2
Iext = I
c - b
2 2ρ - b
2 2 IINT = I - I
c - b
2 2ρ - b
2 2
Hφ 2pi ρ = I - I
c - b
2 2ρ - b
2 2
Hφ = c
2
–ρ2
c² -b²2pi ρ
I 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicação 2: Fora dos condutores a intensidade de 
campo Magnético Ηφ é nula
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Hφ
Iint = I – I = 0 
Hφ.dL = Iint Hφ 2pi ρ = 0
Hφ = 0
ρ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICOESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Hφ =
Iρ
2pi a2 Hφ =
I
2pi ρ Hφ =
ρ - b
2 2C - b
2 2
2pi ρ
I Hφ = 0
a
3a4a
I
2pia
0 1a 2a 3a 4a
I
4pia
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
APLICAÇÃO 3: Seja uma superfície no plano z = 0 com 
uma corrente superficial K uniforme no sentido de y 
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
z
x
3
y
3’
K=Kyay
z
1
1’
2
2’
L
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Adotando o percursos 1 - 1’- 2’- 2 - 1
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
H
H
1 - 1’ 2’- 2 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Adotando o percursos 1 - 1’- 2’- 2 - 1
3 - 3’ 2’- 2 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Verificamos que Hx é o mesmo para todos os valores 
de z+ e z-, assim Hx é simétrico entre os dois lados do plano
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Considerando an como vetor unitário normal a superfície, 
o resultado pode ser escrito corretamente para todo z
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Se uma segunda superfície de corrente é colocada 
fluindo n direção oposta K = - KyAy em z = h, isto 
mostra que o campo na região entre as superfícies é
dado por:
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Aplicação 4: Aplicando a LEI CIRCUITAL 
DE AMPÈRE num cilindro circular de 
comprimento L infinito e de raio ρ = a e 
densidade superficial de corrente uniforme 
Ka.aφ
H = Ka.az, p/ ρ<a
H = 0, p/ ρ>a
z
K= Ka.aφ
z
ρ = a
L
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
ρ = a
N Espiras
d
z
H = azd
NI
Aplicação 5: Aplicando a LEI CIRCUITAL 
DE AMPÈRE num solenóide de 
comprimento L finito, de raio ρ = a, com N 
espiras circulares de corrente I circulante
No centro do solenóide
H = 0, p/ ρ>a
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Eixo z ρ0
a
H=Kaaz em ρ =ρ0 - a, z = 0
ρ
Aplicação 6: Aplicando a LEI 
CIRCUITAL DE AMPÈRE 
num toróide de raio ρ = ρ0, 
perfil circular r = a e 
densidade superficial de 
corrente uniforme Ka.aφ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Aplicação 7: Aplicando a 
LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 
num toróide de raio ρ = ρ0, 
com espiras de perfil 
circular r = a corrente 
elétrica circulante I
Eixo z
ρ0 a
I
H = 0, p/ ρ>a
H = NIa.az, p/ . 
. 2piρ p/ ρ <a
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
terceira derivada especial de análise vetorial ROTACIONAL
z
x
y
∆x
∆y
4
2
3
1
Seja determinada a 
intensidade do campo 
magnético no centro do 
percurso incremental 
fechado de lados ∆x e 
∆y em coordenadas 
cartesianas
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
A integral de linha fechada de H no percurso 1 - 2 - 3 - 4 - 1 
soma 4 vetores H.∆L, um para cada lado
O Valor de Hy do trecho 1 – 2 é dado pelo: 
valor de referência Hy0 no centro de 
retângulo, 
a variação de Hy e 
a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
∆x
∆y
4
2
3
1
∆x1/2
Hy12
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
∆x
∆y
4
2
3
1
∆y1/2
Hy23
percurso 1 - 2 - 3 - 4 - 1
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Pela lei circuital de Ampère, este resultado pode ser igual 
a corrente envolvida pelo percurso ou corrente que 
atravessa a superfície limitada pelo percurso. ∆I = Jz∆x∆y
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Quando o percurso tende a zero temos:
Encontramos uma relação entre a integral de linha e a 
seção transversal com a corrente por seção transversal 
o que é análogo a lei de Gauss na direção de z
∆x
∆y
JxHx
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Escolhendo percursos fechados ortogonais a este, nos 
planos x=0 e y=0 obtemos equações análogas nas 
direções de x e y
∆x
∆y
Jx
∆z
Jy Jz
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
ROTACIONAL é o limite da razão entre uma integral 
fechada em um percurso no plano ortogonal a ela e aárea 
envolvida ∆Sn quando o percurso é infinitesimal, 
(n) representa o componente do sistema de coordenadas
H
dL
∆S
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Considerando o rotacional de H em todas as direções de x, 
y e z do plano carteziano obtemos
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
De forma simplificada podemos escrever também
Podemos obter o Rotacional em coordenadas cilíndricas
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
E o Rotacional em coordenadas esféricas
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Não requer interpretação física por ser nula, 
mas indica que E é nulo por não requer 
trabalho para deslocar a carga no percurso 
fechado
E.dL = 0
Hφ.dL = Iint Diz que se H possui circulação em um 
circuito fechado, então a corrente atravessa 
este percurso
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL segundo Skilling
H
rot (H)
ω
ω
dL
Interpretação segundo Skilling
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Aplicação 8: 
Considere o fluxo de um rio
Aplicação 9: Campo de 
uma corrente num 
filamento infinito 
Leito do rio
Superfície
Velocidade
Vmax
V=0
H
Corrente para 
dentro da página
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Há um certa quantia de fluxo intensa empurrando as 
algumas pás no sentido anti horário e uma grande quantia 
de fluxo empurrando muitas pás no sentido horário isto 
pode anular a rotação 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
z
x
y
(0,0,z1)
H =
 
0
H =
 
0 , 2
 
z 
a x2
d
d
Aplicação 10: Calcule 
o rotacional supondo 
que a intensidade de 
campo H = 0,2 z2 ax, 
para z > 0 e Η = 0 no 
restante. longo dos 
quatro segmentos . 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Para um percurso quadrado de lado d, centrado em 
(0,0,z1) em y=0, onde z1>(1/2)d calculemos a integral de 
linha de H ao longo dos quatro segmentos . 
As outras componentes são nulas então e ∇xH=0,4.z1.ay
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Podemos resolver isto diretamente aplicando derivada parcial
Que testa o resultado acima quando z=z1
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.3 – ROTACIONAL
Assim podemos escrever a forma pontual da lei circuital 
de Ampère que é a 2ª de 4 equações de Maxwell 
aplicada a condições estáticas
Agora já podemos escrever a terceira das 4 equações de 
Maxwell, que é forma pontual da lei de Gauss
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
an
∆S
∆S
∆S
∆S
Superfície S
∆S∆S∆S
∆S
∆S
∆S
∆S
∆S
∆S
∆S
∆S
Seja dada a superfície abaixo dividida em n áreas ∆S
incrementais onde podemos aplicar a definição a seguir.
Onde n indica a normal 
coerente com a regra da 
mão direita. dL.∆S indica 
que o percurso fechado é
o perímetro de uma área 
incrementa ∆S
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Passando ∆S para o outro lado e associando com seu 
vetor normal unitário an temos ∆S, então
Considerando o Rotacional no elemento ∆S
∆S dl∆S
dl∆S
dl∆S
dl∆S
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Considerando o ∆S incremental a ponto de tornar dS, 
circulando em todos os dS e integrando em toda 
superfície, obtemos
dS
Que é a identidade chamada 
TEOREMA DE STOKES
dS dS
dSdS
dL
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
dS
Neste caso, cada dS integrado tem parte do perímetro 
cancelada e redundante e com circulação oposta aos 
vizinho dS, levando ao cancelamento e formando a fronteira 
L que envolve S dS dS
dSdSS
dl
dl
LS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
APLICAÇÃO: Seja a porção de uma esfera ilustrada abaixo
8.4 – TEOREMA DE STOKES
z
y
x
0,1pi
0,3pi
R=4
1
2
3
porção definida por r=4, 0≤θ
≤0,1pi e 0 ≤ φ ≤ 0,3pi, e o caminho 
fechado que constitui seu 
perímetro que é composto por 
três arcos de circunferência:
1 - r = 4; 0 ≤ θ ≤ 0,1pi; φ = 0,
2 - r = 4; θ = 0,1pi; 0,1 ≤ φ ≤ 0,3pi,
3 - r = 4; 0 ≤ θ ≤ 0,1pi; φ = 0,3pi, 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
z
y
x
0,1
pi
0,3
pi
R=4
1
2
3
1 - r = 4; 0 ≤ θ ≤ 0,1pi; φ = 0
2 - r = 4; θ = 0,1pi; 0,1 ≤ φ ≤ 0,3pi,
3 - r = 4; 0 ≤ θ ≤ 0,1pi; φ = 0,3pi, 
Encontre ambos lados do 
TEOREMA DE STOQUES para 
este problema dado que 
H = 6r senφ ar + 18r senθ cosφ aφ 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
O elemento diferencial ao longo do caminho dL nos 3 
eixos em coordenada esféricas é
8.4 – TEOREMA DE STOKES
= 0 já que r = 4 ∴constante
= 0 no trecho 2 pois θ =0,1 ∴ constante
= 0 nos trechos 1 e 3 pois φ constante
H = Hrr ar +Hφr aφ+Hθr aθ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Assim temos
8.4 – TEOREMA DE STOKES
H = Hrr ar +Hφr aφ+Hθr aθ = 6r senφ ar + 18r senθ cosφ aφ 
r = 4
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Usando o gradiente em coordenadas esféricas
Encontramos a integral de superfície
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Considerando dS = r senθ dθ deφ ar encontramos 
Verificamos que o resultados verificam o teorema de 
STOKES e que uma corrente de 22,2 A flui para cima na 
calota esférica 
S
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Multiplicando ∇xH =J por dS e integrando, obtemos a LC 
Ampère. Integrando os lados na superfície aberta 
obtemos o TEOREMA DE STOKES
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Integrando a densidade de corrente através de S temos I
envolvida por um percurso fechado e os dS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Seja A um campo vetorial, então pode-se escrever que:
vol
S
Multiplicando por dv e integrando
Aplicando o Teorema da divergência do lado esquerdo
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Aplicando o TEOREMA DE STOKES a uma superfície 
fechada
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Que pode ser aplicada a campos 
magnéticos invariantes no tempo
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
Para campos magnéticos invariantes no tempo temos:
Como já obtivemos anteriormente:
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.4 – TEOREMA DE STOKES
A lei experimental de Biot-Savart é:
Vimos que a lei circuital de Ampère é: 
Daí chegamos ao rotacional que nos 
levou a forma pontual da lei Ampère 
Do TEOREMA DE STOKES obtemos a lei circuital de Ampère
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
B é a DENSIDADE DE FLUXO que é
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
UNIDADES de B [Weber por metro quadrado], [Wb/m ], 
[Tesla], [T] ou [Gauss] = 10 [Wb/m ].
2
2-4
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
O FLUXO MAGÉTICO 
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
UNIDADES de fluxo magnético é [Weber] ou [Wb]
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é
Linha de fluxo nascem nas cargas positivas e morrem 
nas cargas negativas
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
As linhas magnéticas não começam e terminam em 
cargas magnéticas, então
Assim, com a aplicação do teorema da divergência
Esta é a última das 4 equações de Maxwell
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
Temos assim as 4 equações de Maxwell
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
Podemos adicionar outras 2 equações ao conjunto 
que relacionam D e E e B e H
Além da definição de potencial eletrostático
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
Das últimas equações 
encontramos quatro 
equações integrais que 
especificam a divergência 
e o rotacional aplicados 
aos campos elétrico e 
magnético
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
O uso dos teoremas de STOKES e da divergência 
permite relacionara as quatro equações de Maxwell com 
as últimas quatro equações integrais
Aplicação: Encontre o fluxo 
entre os condutores de uma 
linha coaxial da figura da 
aplicação 2 a
b
c
Ι
z
−Ι
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
Para este problema verificamos que a intensidade de 
campo magnético é dada pela equação
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Então o FLUXO MAGÉTICO é dado por 
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
O uso de potenciais V em eletrostática simplifica 
a resolução de problema no campo eletrostático
O potencial elétrico V é um artifício que nos 
permite resolver problemas por etapas menores 
ρ, V e E
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Existe um Vm escalar obtido analogamente a V?
Sim!
Às vezes!
H = - ∇Vm
Existe uma função H = f(Vm = f(J)) análogo a V=f(Q)?
Se Existe Vm então ele pode ser escrito assim
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Esta solução não deve conflitar com os resultados 
anteriores, então
H = - ∇Vm
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Mas o rotacional do gradiente é nulo para qualquer escalar 
gradiente na região que Vm é definido
As dimensões de Vm são Ampères, e este potencial 
satisfaz a equação de Laplace
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
E por isto podemos dizer queCAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Vm não satisfaz a equação de Laplace onde J ≠ 0.
Vm não é função unívoca da posição como V o é.
Existe mais de um Vm para cada posição do espaço.
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
APLICAÇÃO: Estabeleça o 
potencial magnético Vm para 
um cabo coaxial cuja seção 
reta é mostrada ao lado, 
onde J = 0 p/ a < r < b 
ρ = c
ρ = b
ρ = a
P = (ρ,τ/ 4,0) 
fora
Neste caso vimos que
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Se I é a corrente total que flui na direção az no condutor 
interno e se H = - ∇Vm e ∴J = 0 ntão
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Assim podemos concluir que
Onde a constante de integração foi feita igual a zero. 
Qual o potencial associado com o ponto P, onde φ = 0? 
No sentido anti horário verificamos que em P
φ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Comparando com o caso da eletrostática, sabemos que:
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
Vabé independente do percurso, mas no caso 
magnetostático
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
Isto quer dizer que ainda que J = 0, se houver uma 
corrente ao longo do percurso, a integração acrescenta 
um I a cada volta
φI
2I
3I
V é um campo conservativo e Vm não é
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
Escolhendo uma barreira que não atravesse o plano φ = pi.
φ
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
O potencial escalar magnético é a quantidade cujas 
equipotenciais formaram quadrados curvilíneos com as 
linhas de fluxo de H
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Análise do potencial vetor magnético
Útil para o estudo de: 
* Radiação de Antenas
* Radiação de Aberturas
* Irradiação de Linhas de 
Transmissão
* Guias de Ondas
* Fornos de Microondas
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Aplicação do potencial vetor magnético
* Regiões onde J=0 e J≠0
* Regiões onde os campos são variáveis no 
tempoSe a divergência da densidade de indução Magnética é
Então B é o rotacional do potencial vetor magnético A
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Assim o campo ou intensidade de Campo magnéticos é
Em casos específicos 
a densidade de 
corrente pode ser 
facilmente determinada 
pelo rotacional do 
rotacional do Potencial 
vque é zero
× A
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Compare com o potencial 
escalar eletrostático
Veremos que o potencial vetor magnético A e definido por
[Wb /m ]2 E com a intensidade de campo
Ponto 1 PRdL
aR
I
Ponto 2
µ0
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Escrevendo na forma diferencial
Aplicação: determine A, o 
potencial vetor magnético 
num ponto P(ρ,φ,z) devido 
a um filamento diferencial 
que passa pela origem no 
sentido positivo do eixo z 
(z)
(y)
(x)
Vácuo
P(ρ,φ,z)
2 2
ρ
R = ρ + z
φ
I.dL=I.dz.az
z
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Assim podemos escrever também que:
A direção de dA é a mesma de Idl ou do fluxo de corrente, 
sendo mais intenso próximo do condutor e tendendo a 
zero quando se afasta dele 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
O rotacional da equação anterior, dá a intensidade de 
campo que está de acordo com a Lei de Biot-Savart
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
I dL
O A potencial vetor magnético, pode ser obtido também 
para fontes de correntes distribuídas superficialmente 
ou numa seção 
condutora
I dL
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Como a magnitude da 
corrente filamentar é
constante, trocamos IdL
por IdL removendo uma 
quantidade do sinal de 
integração, gerando as 
expressões ao lado:
8.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETORE E ESCALAR MAGNÉTICOS
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Buscando as provas das relações entre as quantidades 
relativas ao campo eletrostático a partir do campo H.
rotacional
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Em coordenadas cartesianas temos:
P2(x1,y1,z1) R12
dL1
aR12
I1
P1(x2,y2,z2)
A
dx
dy
dz
dv
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Se B = ∇ x A e B = µ0 H então 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Sendo a ordem de diferenciação parcial e integração 
irrelevantes e sendo µ0/4pi constante temos
∇2 é a diferenciação em x2, y2 e z2, dv é escalar e função de 
x1, y1 e z1, sendo fatorado para fora da operação rotacional 
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
O rotacional do produto de um escalar por um vetor é
O que expande o integrando da equação anterior
1
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
1
O 2º termo é nulo, pois ∇×J1 indica derivada parcial 
de f(x1, y1, z1) em relação a x2, y2 e z2 e o 1º conjunto de 
variável não é função do 2º
O 1º termo é função de R12
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Tomando o recíproco do raio
E substituindo na equação anterior, temos que
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Considerando que J1 dv1 = I1 dL1 então
Mostrando que a equação do campo esta correta
Busquemos a prova da lei circuital de Ampère pontual
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8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Expandido o duplo rotacional
Sabendo que ∇ x H = J, B = ∇ x A e B = µ0 H obtemos
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Onde 
Esta última equação é a definição do Laplaciano de um 
vetor em coordenadas cartesianas, que ao ser aplicada 
na equação anterior, produz
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Encontrado a divergência para o laplaciano de A abaixo 
obtemos
Associando a identidade vetorial ∇ Vm = 0 (J=0)2
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8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Chegamos a
A 2ª parte deste integrando é nula, porque J1 não é
função de x2, y2 e z2
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8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Já verificamos que 
Reescrevendo a última expressão em função disto, temos 
a equação que segue
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8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Como estamos trabalhando com campos magnetostático,o primeiro termo é nulo.
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MAGNETOSTÁTICO
Aplicando o teorema da divergência no segundo termo
S1
∆A = 0 J1 = 0 
divA=0
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8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
P/ encontrar o laplaciano do vetor A, comparamos a 
componente x com o campo eletrostático
Assim, para o potencial eletrostático vimos que:
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
Aplicando ao potencial magnético, e procedendo a troca 
de variáveis, obtemos:
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MAGNETOSTÁTICO
De forma análoga, para os demais eixos temos
Ou vetorialmente, podemos escrever
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
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MAGNETOSTÁTICO
Substituindo a divergência e o Laplaciano de A temos a 
resposta, e com isto a ultima prova prometida das 
relações de H, B e A..
Aplicação: Encontre o potencial vetor magnético, 
considerando o campo entre um par de fios condutores 
coaxiais com raios a e b, e corrente I na direção az.
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
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MAGNETOSTÁTICO
Desenvolvendo o Laplaciano em uma soma vetorial de 
Laplacianos escalares por componente cartesiana.
a
b
c
Ι
z
−Ι
(a,0,0)
2a
-ρL +ρL
Aplicação: Se J é nulo entre 
os condutores, então:
CAPÍTULO 8 - CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
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MAGNETOSTÁTICO
Este resultado não pode ser obtido de outros sistemas 
de coordenadas
Mas em coordenadas cilíndricas, a componente z do 
vetor laplaciano é o escalar da componente z
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MAGNETOSTÁTICO
Como J está no sentido de z, A só tem componente em z 
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MAGNETOSTÁTICO
Sendo esta estrutura simétrica, Az só é função de ρ
Assim o resultado previsível de Az é
Referenciando ρ = b como nulo
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MAGNETOSTÁTICO
Obtendo o rotacional de A relacionando C1 as fontes
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MAGNETOSTÁTICO
Calculando a integral de linha
e
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MAGNETOSTÁTICO
µ0I
pi
µ0I
2pi
z
0
0 1 2 3 4 5
A
z
(
w
b
/
m
)
Assim podemos traçar a curva entre Az e ρ/a dentro do 
condutor interno em entre os condutores quando b=5a 
para Az sendo arbitrado em ρ = b
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8.2 – LEI CICUITAL DE AMPÈRE
8.4 – TEOREMA DE STOKES
8.5 – O FLUXO MAGÉTICO E A DENSIDADE DE FLUXO
8.3 – ROTACIONAL
8.7 – DERIVAÇÃO DAS LEIS DO CAMPO 
MAGNETOSTÁTICO
8.6 – POTENCIAIS VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS
Considerações Finais