Matemática Ensino Fundamental 8º ano - Caderno Do Professor 2014 - Vol 1

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7a SÉRIE 8oANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Caderno do Professor
Volume 1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
7a SÉRIE/8o ANO
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Os racionais como mostruário das frações 10
Situação de Aprendizagem 2 – As dízimas periódicas são previsíveis... 19
Situação de Aprendizagem 3 – Do googol ao angstrom, um caminho para as 
potências 27
Situação de Aprendizagem 4 – As potências e a memória do computador 35
Situação de Aprendizagem 5 – Aritmética com álgebra: as letras como números 44
Situação de Aprendizagem 6 – Produtos notáveis: significados geométricos 52
Situação de Aprendizagem 7 – Álgebra: fatoração e equações 67
Situação de Aprendizagem 8 – Aritmética e Geometria: expressões algébricas de 
algumas ideias fundamentais 76
Orientações para recuperação 82
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a 
compreensão do tema 83
Considerações finais 85
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 86
5
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada volume não se afastam, de 
maneira geral, do que é usualmente ensinado nas 
escolas, ou do que é apresentado pelos livros di-
dáticos. As inovações aqui pretendidas referem-se 
à abordagem desses assuntos, sugerida ao longo 
de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se 
evidenciar os princípios norteadores desse Cur-
rículo, destacando-se a contextualização dos 
conteúdos, as competências pessoais envolvidas, 
especialmente as relacionadas com a leitura e a 
escrita matemática, bem como os elementos cul-
turais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de extensões 
aproximadamente iguais. De acordo com o 
número de aulas disponíveis por semana, o 
professor explorará cada assunto com maior 
ou menor aprofundamento, ou seja, escolhe-
rá uma escala adequada para o tratamento de 
cada um desses assuntos. A critério do pro-
fessor, em cada situação específica, o tema 
correspondente a uma das unidades pode ser 
estendido para mais de uma semana, ao passo 
que o de outra unidade pode ser tratado de 
modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente con-
templar todas as 16 unidades, uma vez que, 
juntas, elas compõem um panorama do con-
teúdo do volume e, muitas vezes, uma das 
unidades contribui para a compreensão das 
outras. Insistimos, no entanto, no fato de que 
somente o professor, em sua circunstância 
particular e levando em consideração seu in-
teresse e o dos alunos pelos temas apresenta-
dos, pode determinar adequadamente quan-
to tempo dedicará a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresenta-
das, além de uma visão panorâmica de seu 
conteúdo, oito Situações de Aprendizagem, 
que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-
da, orientando o professor em sala de aula. 
As atividades são independentes e podem ser 
exploradas pelos professores com maior ou 
menor intensidade, segundo seu interesse e de 
sua turma. Naturalmente, em razão das limi-
tações de espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações 
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que 
a abordagem dos temas seja explicitada nas 
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Ca-
derno e sempre que possível, materiais como 
textos, softwares, sites e vídeos, entre outros, 
em sintonia com a abordagem proposta, que 
podem ser utilizados pelo professor para o en-
riquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
enunciadas no presente volume.
6
Conteúdos básicos do volume
Os dois primeiros temas do volume 1 da 
7a série/8o ano são as frações e as potências. 
Com relaçãoao estudo das frações, além 
da construção da ideia de número racional e da 
determinação de frações geratrizes, temas 
normalmente tratados nesta série, a natureza 
desses assuntos permite que sejam exploradas 
também duas importantes noções matemáti-
cas: a do infinito e a de classes de equivalência.
Concepções relacionadas ao infinito po-
dem ser exploradas por meio de discussões 
sobre as dízimas periódicas. Quando, por 
exemplo, chamamos de x a dízima periódica 
0,333... para, em seguida, multiplicar os dois 
lados da igualdade x = 0,333... por 10, produ-
zindo a nova igualdade 10x = 3,333..., temos a 
intenção de usar o seguinte artifício algébrico 
na sequência: 10x − x = 3,333... − 0,333... ‰�
‰ 9x = 3 ‰ x = 3
9
 ‰ 1
3
. Ocorre que o uso de 
tal artifício para a determinação da geratriz 
exige que se compreenda um fato importante so-
bre os conjuntos infinitos, o de que “um elemento 
a menos em um conjunto de infinitos elementos 
ainda assim produz um conjunto de infinitos ele-
mentos”. Esse fato foi usado quando concluímos 
que 3,333... − 0,333... é igual a 3. Note que o pri-
meiro fator tem infinitos algarismos 3 à direita da 
vírgula, ao passo que o segundo tem um algaris-
mo 3 a menos, o que, ainda assim, garante infini-
tos algarismos 3 à direita da vírgula.
Outra questão que também deve ser explo-
rada no contexto das dízimas periódicas é o 
da dupla representação com vírgula das fra-
ções decimais finitas, uma vez que “toda fra-
ção decimal finita pode ser escrita na forma de 
uma dízima periódica”. Utilizando o mesmo 
argumento apresentado para a obtenção das 
geratrizes, podemos mostrar que todo decimal 
finito pode ser transformado em uma dízima 
periódica (exemplos: 0,43 = 0,42999...; −28,91= 
= −28,90999...; 7 = 6,999...).
Com relação à discussão sobre classes de 
equivalência, o desafio proposto será o de com-
preender o conjunto dos números racionais 
como uma forma particular de organização 
das frações, em que cada número racional será 
um representante de uma classe de frações 
equivalentes. A compreensão dos racionais 
nesse contexto explora diretamente duas habi-
lidades muitas vezes utilizadas no pensamento 
matemático, a de organizar e a de classificar 
elementos em conjuntos de acordo com certa 
propriedade estabelecida.
No que diz respeito ao estudo das po-
tências, na 5a série/6o ano os alunos foram 
apresentados ao assunto por meio das potên-
cias de base inteira e expoente natural. No 
volume 1 da 7a série/8o ano, a ideia de potên-
cia deve ser ampliada pelo uso de expoentes 
inteiros negativos e pela discussão das princi-
pais propriedades operatórias das potências. 
A opção de não apresentar neste Caderno 
uma Situação de Aprendizagem específica 
para o estudo das propriedades operatórias 
das potências não significa que o assunto não 
seja importante. Espera-se que um aluno de 
7a série/8o ano seja capaz, ao longo do ano, de 
7
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
trabalhar com as propriedades operatórias das 
potências com razoável destreza e agilidade. 
As propostas de trabalho nas atividades des-
te Caderno exploram a ideia do uso das po-
tências na representação de números muito 
grandes ou muito pequenos em situações 
práticas e aplicadas, como a de investigar-
mos o significado das unidades de medida 
frequentemente usadas na informática (bits, 
bytes, megabytes etc.).
O estudo formal da Álgebra começa no 
final da 6a série/7o ano, por meio do uso de 
letras para representar situações e da resolu-
ção de equações simples, e tem continuidade 
na 7a série/8o ano, quando o enfoque volta-se 
para as regras de manipulação dos símbolos 
algébricos. Essa organização curricular não 
interfere diretamente na ordem tradicional 
de abordagem dos temas da Álgebra, porém, 
sugere uma forma diferente de tratá-los, espe-
cialmente no que diz respeito ao cálculo algé-
brico abordado na 7a série/8o ano.
Normalmente, atribuímos ao estudo da 
Álgebra as funções de generalizar a aritmé-
tica, de possibilitar um processo para a reso-
lução de problemas, de permitir a represen-
tação da variação de grandezas e, ainda, de 
formalizar estruturas matemáticas. Entende-
mos que essas quatro funções devem ser ex-
ploradas de forma relacionada, e não como 
blocos isolados dentro do planejamento. 
Dessa forma, as atividades propostas devem 
ser interpretadas como uma forma de estabe-
lecer a relação entre duas ou mais funções do 
estudo da Álgebra.
Na Situação de Aprendizagem 1, o obje-
to de estudo são as semelhanças e diferenças 
envolvendo as ideias de fração, razão entre 
números quaisquer e números racionais. Com 
relação ao conjunto dos números racionais, a 
Situação de Aprendizagem sugere a explora-
ção do tema por meio da ideia de classes de 
equivalência, o que precederia a formalização 
tradicional apresentada na maioria dos livros.
As “classes de equivalência” são apresenta-
das em situações de contexto e de forma intui-
tiva, para então serem aplicadas nas frações. 
Em seguida, a localização das frações na reta 
numérica está combinada à discussão sobre o 
caráter de densidade dos números racionais, 
isto é, o fato de que entre dois números racio-
nais existem uma infinidade de outros núme-
ros racionais. Essa propriedade marcará um 
passo entre o caráter discreto ou não contínuo 
dos números inteiros para a continuidade re-
presentada pelos números reais.
Na Situação de Aprendizagem 2, o tema 
central são as dízimas periódicas. Nela, discuti-
mos que toda fração irredutível possui uma re-
presentação decimal, a qual pode ser finita ou 
infinita e periódica. Nessa Situação de Apren-
dizagem, além da discussão sobre a obtenção 
das frações geratrizes, também será explorado 
o ponto de vista da “previsão” do tipo de repre-
sentação decimal de uma fração irredutível por 
meio de análises e estratégias de fatoração do 
seu denominador. Nesse processo, serão apro-
fundados tanto os conceitos relacionados às 
noções de múltiplos e divisores de um número 
natural como as regras de divisibilidade.
8
Partindo da motivação de que números 
muito grandes ou muito pequenos encon-
tram nas potências um caminho adequado 
e prático de representação, na Situação de 
Aprendizagem 3 procura-se motivar o estudo 
das potências a partir de situações práticas e 
desafiadoras, envolvendo notações como as 
do googol e do angstrom. A atividade tam-
bém apresenta uma proposta de uso da cal-
culadora no estudo das potências.
Na Situação de Aprendizagem 4, explora-
mos a relação entre o uso das potências e a 
memória do computador. Termos como bits, 
bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemen-
te, terabyte, de uso corrente na informática, 
geram contexto e significado, pois se referem a 
unidades de memória dos computadores cuja 
compreensão e uso estão diretamente relacio-
nados ao estudo das potências, fato que será 
explorado nessa Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 5 abordam-se 
os padrões e as regularidades em sequências 
numéricas sob o ponto de vista da diversidade 
de representações com letras. A estratégia uti-
lizada para que a diversidade de representa-
ções possa ser trabalhada por meio da investi-
gação dos alunos é a de associar as sequências 
numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas, 
arranjo este que poderá ser identificado pelo 
aluno de diferentes maneiras (por linhas, co-
lunas, reagrupando bolinhas e completando 
bolinhas). Com base na diversidade de ex-
pressões com letras que podem ser obtidas de 
cada uma das sequências, o professorpoderá 
trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a 
generalização de algumas propriedades, como 
a distributiva no produto, a comutativa e a as-
sociativa, iniciadas na 6a série/7o ano com os 
números naturais.
Na Situação de Aprendizagem 6, o tema 
central a ser desenvolvido são os produtos 
notáveis, cuja estratégia baseia-se no uso da 
Geometria. Muitos alunos enfrentam difi-
culdades no desenvolvimento dos produtos 
notáveis provavelmente porque aprendem o 
assunto como mera técnica algébrica, sem 
compreender o seu sentido, e porque veem o 
assunto de forma desvinculada de sua aplica-
ção. O uso diversificado de linguagens – em 
particular da linguagem geométrica no caso 
dos produtos notáveis – assume papel muito 
importante na apropriação de significados no 
contexto da Álgebra.
Na sequência, a proposta da Situação de 
Aprendizagem 7 é trabalhar fatoração, produ-
tos notáveis e frações algébricas, e simplificações 
de forma contextualizada. Nesse sentido, é em-
pregada a tradução de problemas enunciados 
na língua materna para a linguagem da Álgebra 
como pontapé inicial da atividade. Também será 
apresentada nessa Situação de Aprendizagem a 
distinção entre as ideias de igual dade e identida-
de, o que representa um importante passo para 
a compreensão do uso de letras no sentido de 
incógnita ou de variável.
Na Situação de Aprendizagem 8, propõem-
-se atividades nas quais, mais uma vez, o uso 
da linguagem escrita e das linguagens aritméti-
ca, algébrica e geométrica aparecem de forma 
9
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
integrada. Problemas aritméticos e algébricos 
que normalmente são tratados em séries/anos 
posteriores, como o do número de diagonais 
de um polígono ou da soma dos n primeiros 
números ímpares, serão apresentados de forma 
simples para o desenvolvimento de habilidades 
relacionadas ao cálculo algébrico.
É importante lembrar que as Situações 
de Aprendizagem 5, 6, 7 e 8 não esgotam 
nem os temas nem as possibilidades de abor-
dagem do tema “expressões algébricas” na 
7a série/8o ano. No entanto, a metodologia 
proposta consiste na apresentação de uma 
forma integrada de exploração das diversas 
funções da Álgebra e na valorização do uso 
da diversidade de linguagens como estraté-
gia para a aprendizagem com significado, e 
não como simples regra. É possível que a 
sistematização de alguns temas do volume 
também tenha de ser trabalhada por exer-
cícios disponíveis na maioria dos livros di-
dáticos, cabendo ao professor adequar esse 
trabalho às necessidades dos seus alunos.
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 7a série/8o ano 
do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Frações e números racionais. 
Unidade 2 – Decimais finitos e dízimas periódicas.
Unidade 3 – Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração 
irredutível.
Unidade 4 – Potências: definição e contextos.
Unidade 5 – Potências: aplicações práticas.
Unidade 6 – Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias.
Unidade 7 – Propriedades operatórias das potências.
Unidade 8 – Potências e problemas de contagem.
Unidade 9 – Expressões algébricas: equivalência e transformações.
Unidade 10 – Expressões algébricas: operações.
Unidade 11 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem geométrica.
Unidade 12 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.
Unidade 13 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.
Unidade 14 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.
Unidade 15 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.
Unidade 16 – Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais da Aritmética e da Álgebra.
10
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES
Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; 
números racionais.
Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalên-
cia, por meio de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, 
compreen dendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racio-
nais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações 
equivalentes; localizar números racionais na reta.
Sugestão de estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir 
classes de equivalência.
Roteiro para a aplicação da 
Situação de Aprendizagem 1
Nosso objetivo, nesta Situação de Apren-
dizagem, é esclarecer as seguintes questões:
 f Qual é a diferença entre uma fração e 
a razão entre dois números quaisquer?
 f Qual é a diferença entre uma fração e 
um número racional? 
A primeira questão é mais simples. É 
muito comum associarmos a representação 
a/b ao resultado da divisão de a por b e cha-
marmos o símbolo 
a
b
 de fração, mesmo que 
a e b não sejam inteiros. Por definição, uma 
fração é a razão entre dois números intei-
ros. No entanto, quando falamos de frações 
como 1, 2
3
, 5, ou, então, x
y
, em que x e y 
representam grandezas quaisquer, estamos 
usando a palavra “fração” em sentido figu-
rado, assim como falamos “dente” de um 
serrote ou “pé” de uma cadeira, sendo tal 
uso perfeitamente compreensível.
A segunda questão exige uma discussão 
mais completa. Existe uma diferença con-
ceitual importante entre uma fração e um 
número racional. Para esclarecer tal pon-
to, vamos precisar da noção de relação de 
equivalência, apresentada no texto a seguir.
11
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão 
entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença 
entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença 
entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas pergun-
tas está a noção de relação de equivalência.
Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e queremos 
organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. 
O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto 
“bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo 
algum critério.
Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se preferir-
mos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando 
como equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará 
organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis 
brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim 
por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se, e so-
mente se, têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis 
em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ou seja, 
ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, 
em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.
O mostruário representará, então, o conjunto das cores:
PRETO
AZUL
BRANCO
VERDE
CINZA
PRATA
OUTROS
Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equi-
valentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que 
Mostruário do conjunto dos 
automóveis quanto às cores
Branco
Azul
Preto
Prata
Cinza
Verde
Outros
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
12
representarem a mesma parte da unidade, como 
1
2
; 
3
6
; 
5
10
; 0,5; 13
26
;–7
(–14)
; 
232
464
; ... (todas representam a metade da unidade), ou, então, 5
3
; 10
6
; 1,666...; 500
300
; 
300
180
; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).
Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em 
uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é 
o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma 
classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum 
entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.
430
215
; 2; 6
3 1
7
; 0,142857...; 3
21
2
5
; 4
10
; 0,4; –6
–15
; 400
1000
 
...; ...; ...
7
3
; 2,333...; –35
–15
1,666... 5
3
; –15
–9
; 15
9
1
2
; 3
6
; 0,5; 13
26
; 231
462
; –7
–14
; 45
90
1
3
; –3
–9
; 7
21
; 15
45
; 2
6
; 111
333
Mostruário das frações: conjunto dos números racionais
1
2
1
3
1
7
2
7
3
5
3
...
Resumindo, podemos dizer que um número 
racional sempre representa uma classe de fra-
ções equivalentes. Assim como o número natu-
ral 5 representa o que há de comum entre todos 
os conjuntos que podem ser colocados em cor-
respondência biunívoca com os dedos de uma 
mão, um número racional representa o que há 
de comum entre todas as frações que represen-
tam a mesma parte da unidade. As frações 
3
5
, 
0,6 e 
9
15
 são diferentes, embora equivalentes; os 
números 
3
5
; 0,6 e 
9
15
 são diferentes representa-
ções do mesmo número racional.
13
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Para explorar um pouco mais a ideia de 
relação de equivalência, vamos resolver as se-
guintes atividades.
1. Podemos organizar o con-
junto de todos os polígonos 
que existem em classes de equi-
valência segundo o critério do número de 
lados. Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência? 
As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, 
o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o 
conjunto dos hexágonos etc.
hexá
gono
s
quadriláteros
pentágonos ...
triângulos
b) qual seria o mostruário do conjunto dos 
polígonos?
O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triân-
gulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etc.} ou 
{ , , , etc.}
2. Considere o conjunto dos números inteiros 
não nulos representados na reta numerada 
e a relação de equivalência: dois números 
inteiros são equivalentes se, e somente se, 
estiverem à mesma distância da origem, 
onde está o número zero. 
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência?
As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3}, 
{4, –4}, {5, –5}, e assim por diante.
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
b) qual seria o mostruário?
O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um 
inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3, 
4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto 
do módulo dos números inteiros.
3. Considere o conjunto de todas as frações 
positivas. Para organizá-lo em classes, con-
sideremos equivalentes todas as frações 
cuja soma do numerador com o denomina-
dor resulte sempre no mesmo número. Por 
exemplo, 
2
5
 estaria na mesma classe de 1
6
 e 
de 3
4
; 24
13
 estaria na mesma classe de 
1
36
 e de 
7
30
, e assim por diante. Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência? 
Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha 
a tabela a seguir, escrevendo na coluna 
à direita as frações cuja soma do nume-
rador e denominador vem indicada na 
coluna da esquerda:
14
Soma igual a 2
Soma igual a 3
Soma igual a 4
Soma igual a 5
Soma igual a 6
As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja 
soma do numerador com o denominador fosse constante, 
começando pelo menor valor possível, que é 2, depois 3, 4, 
e assim por diante:
soma igual a 2: 
1
1 ;
soma igual a 3: 
2
1 ; 
1
2 ;
soma igual a 4: 
3
1 ; 
2
2 ; 
1
3 ;
soma igual a 5: 
4
1 ; 
3
2 ; 
2
3 ; 
1
4 ;
...
Soma igual a 13: 
12
1 ; 
11
2 ; 
10
3 ; 
8
5 ; 
7
6 ; 
6
7 ; 
5
8 ; 
4
9 ; 
3
10 ; 
2
11 ; 
1
12 ;
... e assim por diante.
Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência 
por meio do seguinte conjunto:
Soma igual a 13
So
ma
 ig
ua
l a
 2
Soma igual a 3 Soma igual a 5
Soma 
igual a 4
1
1
1
2
, 2
1 1
4
, 2
3
, 3
2
, 4
1
1
3
, 2
2
, 3
1
...
1
12
, 2
11
, 3
10
, 5
8
, 6
7
, 7
6
, 8
5
, 9
4
, 
10
3
, 11
2
, 12
1
Professor, se preferir, você também pode propor a constru-
ção da seguinte tabela:
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
...
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
...
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
...
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
...
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
...
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
...
... ... ... ... ... ... ...
b) qual seria o mostruário?
O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a 
soma numerador + denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.
Localização dos números racionais na reta
A criação dos números racionais repre-
senta um momento importante do curso de 
Matemática no Ensino Fundamental, pois 
trata de noções que servirão de base para a 
construção do conjunto dos números irracio-
nais e, portanto, dos reais, objeto de estudo 
da 8a série/9o ano.
O fato fundamental do conjunto dos nú-
meros reais é a equivalência com os pontos da 
reta, isto é, a associação de cada número real a 
um ponto da reta e a sua recíproca, sendo cada 
ponto da reta associado a um número real. Essa 
equivalência entre pontos da reta e número real 
representa um passo muito importante na cons-
trução de noções geométricas e numéricas com 
aplicações na Matemática e nas ciências em ge-
ral, particularmente na Física.
15
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Na 6a série /7o ano, os alunos representa-
ram os números inteiros, positivos e negati-
vos por pontos equidistantes sobre a reta, 
respectiva mente à direita e à esquerda em 
relação ao zero. Essa representação permite 
compreender os números inteiros como uma 
ampliação dos números naturais na medida 
em que a escala, a partir de então, necessi-
tava, além da medida do comprimento de 
segmento unitário, ser orientada para a es-
querda do zero negativa e para a direita do 
zero positiva:
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
Agora, para representar na reta um núme-
ro racional com denominador n, devemos di-
vidir cada segmento de comprimento unitário 
em n partes iguais; os pontos da subdivisão 
representarão as frações na forma 
m
n
.
Por exemplo, a representação na reta de to-
dos os números racionais cujo denominador é 4 
será, portanto, da seguinte forma:
– 2 – 1 210
... – 
8
4
 – 
7
4
 – 
6
4
 – 
5
4
 – 
4
4
 – 
3
4
 – 
2
4
 – 
1
4
 
1
4
 
2
4
 
3
4
 
4
4
 
5
4
 
6
4
 
7
4
 
8
4
 ...
Embora cada número racional esteja as-
sociado a um ponto da reta, a recíproca aqui 
não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não 
se esgotam com os números racionais. Como 
sabemos, existem pontos da reta que serão 
associados aos números irracionais, dando 
ao conjunto real a qualidade de continuidade 
que é atribuída à reta. 
A localizaçãodos números racionais 
na reta permite que se façam algumas 
considerações lógicas sobre propriedades 
fundamentais que diferenciam os campos 
numéricos. Uma dessas ideias se refere à 
possibilidade da determinação do sucessor 
de um número.
Assim, cada fração de denominador 4 es-
tará associada a um ponto da reta.
Repetindo essa operação para todo deno-
minador n inteiro, teremos, para cada classe 
de equivalência de frações, um ponto corres-
pondente na reta:
1– 1 0
– 
4
4
–
 3
3
– 
2
2
– 
4
8
–
 2
4
–
 1
2
4
8
2
4
1
2
9
12
6
8
3
4
4
4
3
3
2
2
16
A todo número inteiro, seja positivo, nega-
tivo ou zero, podemos determinar seu suces-
sor e antecessor. Mas pensemos agora nos nú-
meros racionais: quem é o sucessor de 
1
2
 ou 
de 0,53? Como vemos, não existem sucessores 
de números racionais.
Outra ideia simples que pode ser discutida é 
a de que, dados dois números inteiros, podemos 
determinar que a quantidade de números in-
teiros entre eles é sempre finita e determinada. 
Por exemplo, entre –5 e 3 existem sete núme-
ros inteiros: {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. E com 
os racionais, como isso se dá? Considere os 
números racionais 
1
3
 e 
1
2
: quantos racionais 
existem entre eles? Sabemos que pelo menos 
um existe: o número médio entre eles, isto é: 
1
3 
+
 
1
2
2
 = 
5
6
2
 = 
5
12
.
Com relação aos números 
1
3
 e 
5
12
 , pode-
mos novamente determinar o número que está 
entre eles: 
1
3 
+
 
5
12
2
 = 
9
12
2
 = 9
24
 = 3
8
. Logo, 
o número encontrado também está entre 
1
3
 e 1
2
.
Pensando dessa forma, podemos admitir 
que sempre haverá um número racional entre 
dois racionais, e que a esse será associado um 
ponto na reta. Esse fato permite dizer que, en-
tre dois números racionais, existem infinitos 
números racionais.
Todo conjunto no qual exista uma infinida-
de de elementos do mesmo conjunto entre dois 
quaisquer de seus elementos é chamado de 
conjunto denso.
É curioso notar que o conjunto dos núme-
ros racionais é denso sem ser contínuo. Como 
dissemos, embora entre dois números racio-
nais quaisquer sempre haja uma infinidade de 
números racionais, uma vez que ele é denso, o 
conjunto dos números racionais não completa 
a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade 
é uma qualidade exclusiva do conjunto dos nú-
meros reais, quando cada ponto da reta – ima-
gem associada à continuidade – corresponderá 
a um número real, seja racional ou irracional. 
A seguir, propomos algumas atividades que 
representam uma possibilidade ao professor de 
discutir com os alunos as ideias anteriormente 
desenvolvidas. Neste momento, não é necessário 
se deter em aspectos e termos relativos à densi-
dade ou à continuidade. O interessante é que os 
alunos percebam que, com os números racionais, 
muitos mais pontos da reta serão associados do 
que os associados com os números naturais.
As noções aqui iniciadas poderão ser ex-
ploradas mais detalhadamente na Situação de 
Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas 
periódicas, oferece uma oportunidade de re-
presentação de números racionais na reta.
17
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
4. Localize na reta a seguir os números racio-
nais: 1, –2, 
1
3
, 
5
2
, – 3
4
 e –0,5.
2– 2 1
– 0,5
– 
4
3 0
– 1
3
1
2
5
5. Responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o número natural sucessor de 15?
16.
b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?
–6.
c) Qual é o número racional consecutivo de 
1
3
 ?
Não existe.
d) Quantos números inteiros existem entre 
–6 e 0?
5.
e) Quantos números racionais existem 
entre –6 e 0?
Infinitos.
f) Quantos números racionais existem en-
tre 0,1 e 0,2?
Infinitos.
6. Na atividade anterior, você observou que, 
diferentemente dos números naturais e in-
teiros, não existe sucessor de um número 
racional e que entre dois números racionais 
sempre existe uma infinidade de outros nú-
meros racionais. Os conjuntos que possuem 
essas propriedades são chamados de con-
juntos densos. Sendo assim, encontre um 
número racional que esteja entre:
a) 
1
2
 e 
3
4
2
+
2
1
4
3
=
2
4
5
8
5
=
b) 1 e 5
4
2
+1
4
5
=
2
4
9
8
9
=
c) 0,88 e 0,889
0,881.
d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012
1,01001000100001132.
Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média 
aritmética entre os números dados.
Observação: como exemplo, determinamos a média arit-
mética entre os valores. Destacamos, no entanto, a possibili-
dade de infinitas respostas para cada item.
7. Desenhe uma reta e localize nela 
os números 1
8
 e 1
10
. Identifique 
três números fracionários que este-
jam entre ambos.
0 1
8
1
10
1
Algumas soluções possíveis são: 
80
9 , 
160
19 e 
160
17 .
18
8. Em que intervalo há mais números racio-
nais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?
Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais. 
É isso que caracteriza um conjunto denso.
9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos 
que têm a qualidade de serem densos. Um 
exemplo disso é o tempo: qual é o instante 
sucessor das 10 horas? É impossível definir, 
assim como percebemos que entre dois ins-
tantes de tempo há uma infinidade de ins-
tantes. Pense em outras duas situações que 
envolvam conjuntos densos.
Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de tem-
peratura, de massa, de volume, de comprimento etc.
Considerações sobre a avaliação
A apresentação dos racionais como o 
mostruário das frações, baseada na ideia de 
classificações, é fundamental para a com-
preensão do conceito em questão e pode ser 
muito esclarecedora a respeito do significado 
que as relações de equivalência têm na Ma-
temática. Uma vez compreen dida, tal apre-
sentação pode servir de base para uma reor-
ganização conceitual dos outros conjuntos 
numéricos já estudados ou por estudar. Na 
resolução das atividades propostas, a aquisi-
ção de uma linguagem mais adequada para 
o tratamento de tais temas é mais importan-
te do que os inúmeros cálculos que podem 
ser associados a ela.
A expectativa ao final desta Situação de 
Aprendizagem é a de que os alunos tenham 
ampliado suas noções sobre as frações, condi-
ção essencial para a compreensão do conjunto 
dos números racionais. Essa ampliação está 
baseada, substancialmente, no conceito de 
classes de equivalência, sendo, portanto, um 
conceito importante para o professor avaliar, 
utilizando classes que envolvem equivalências 
contextualizadas ou numéricas.
Outra noção desenvolvida nesta unidade 
está associada à localização de números ra-
cionais na reta. Nesse caso, o professor pode 
sugerir algumas atividades cujo denominador 
seja 10, preparando, de certa forma, a discus-
são sobre frações decimais e periódicas, obje-
to da próxima Situação de Aprendizagem.
19
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...
Conteúdos e temas: dízimas periódicas.
Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto 
por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as 
condições que fazem que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o 
tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de 
fatoração do seu denominador.
Sugestão de estratégias: análisede dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso 
de calculadora.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
As frações representam a razão ou a di-
visão entre dois números inteiros. Quando 
nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes 
o quociente obtido é um número decimal 
“bem-comportado”, com um número fi-
nito de casas decimais, como o número 
0,25, que corresponde à fração 1
4
; outras 
vezes, o resultado da divisão é um número 
com uma infinidade de casas decimais, com 
um grupo que se repete periodicamente, ou 
seja, é uma dízima periódica, como na fração 
1
3
, que corresponde ao número 0,3333...
As frações do primeiro tipo podem ser es-
critas com seus denominadores em potências 
de 10:
1
4
 = 
25
100
, 
1
5
 = 
2
10
, 
7
40
 = 
175
1 000
 .
Nessa situação, as frações são transfor-
madas, de modo que seus denominadores se 
convertam em potências de 10, e isso é possí-
vel quando observamos que o denominador 
divide alguma potência de 10. Frações como 
essas representam uma grande vantagem prá-
tica, pois, além de serem de fácil comparação, 
permitem, em sua forma decimal, a aplicação 
dos mesmos algoritmos usados para efetuar 
as operações aritméticas.
No caso de frações que geram dízimas pe-
riódicas, como 
1
3
 ou 
5
70
, as frações não serão 
propriamente decimais no sentido de ter um de-
nominador que seja potência de 10, pois, como 
não existe um último algarismo no desenvolvi-
mento decimal, não existirá uma potência ade-
quada de 10. Assim, essas frações terão repre-
sentação decimal ilimitada ou infinita.
Esta primeira atividade pretende auxiliar os 
alunos a reconhecer, com razoável grau de certe-
za, quando uma fração qualquer gerará uma dí-
20
zima periódica no caso de ser efetuada a divisão 
entre numerador e denominador. Para responder 
a tal questão, basta observar o seguinte: se espe-
ramos que uma fração qualquer 
a
b
 seja equiva-
lente a uma fração decimal, ou seja, a um número 
decimal finito, então devemos ter 
a
b
 equivalente 
a uma fração com denominador igual a uma 
potência de 10, ou seja, do tipo c
10n
 para algum 
valor de n. Logo, partindo de uma fração 
a
b
 já 
reduzida à sua forma mais simples, para termos 
a
b
 = 
c
10n
 devemos multiplicar o numerador e o 
denominador de a
b
 pelos mesmos fatores, de 
modo a atingir uma potência de 10 no denomi-
nador. Isso significa que não podem existir em 
b fatores que não existam na potência de 10, ou 
seja, b não pode ter fatores que não sejam 2 ou 5. 
No caso de qualquer fator primo diferente de 2 
ou 5, é certo que o resultado da divisão será uma 
dízima periódica.
Desafio!
Cada “casa” da tabela corresponde a 
uma fração cujos numerador e denomina-
dor são identificados nas respectivas linha e 
coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assi-
nalada na tabela com a letra E corresponde 
à fração 
3
4
, enquanto a “casa” assinalada 
com a letra M corresponde à fração 
6
7
. As-
sinale com um X as “casas” correspondentes 
às frações geratrizes de dízimas periódicas. 
Numerador
D
en
om
in
ad
or
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4 E
5
6
7 M
8
9
Professor, com a realização da ativida-
de, espera-se que os alunos consigam pre-
ver se a divisão entre numerador e denomi-
nador de uma fração irredutível gerará ou 
não uma dízima periódica. 
Numerador
D
en
om
in
ad
or
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3 X X X X X X
4
5
6 X X X X X X
7 X X X X X X X X
8
9 X X X X X X X X
21
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
1. Analisando a tabela da se-
ção Desafio!, identifique quan-
do uma fração irredutível não 
gera uma dízima ao ser dividido o numera-
dor pelo denominador.
É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em 
que o denominador é formado apenas pelos fatores primos 
2 e 5, geram decimais exatos quando o numerador é dividido 
pelo denominador.
Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida por 
meio da tabela, é conveniente que sejam consideradas fra-
ções com numerador e denominador maiores do que 9, por 
exemplo, 
160
27 ou 
125
124 .
Na sequência, os alunos devem ser moti-
vados a refletir sobre os casos de frações irre-
dutíveis em que a divisão entre numerador e 
denominador gera dízimas periódicas.
2. Quando uma fração com denominador 
igual a 3 não gera uma dízima?
Quando for possível simplificar os termos da fração, elimi-
nando o fator 3 do denominador, como em 
6
9 = 
2
3 = 1,5.
3. Todas as frações irredutíveis com denomi-
nador contendo apenas fator primo igual a 
3 geram dízimas periódicas? Dê exemplos 
para justificar sua resposta. 
Os dados observados na tabela indicam que os denominado-
res 3 geram dízimas periódicas quando o numerador não é 
múltiplo de 3. De modo geral, frações irredutíveis com deno-
minador 3n, n ≥ 1, gerarão dízimas periódicas.
4. Escreva a sequência dos números primos 
menores do que 30. 
Esses números compõem o seguinte conjunto: {29, 23, 19, 17, 
13, 11, 7, 5, 3, 2}.
5. Quais dos números primos que você escreveu 
na atividade anterior podem ser combinados 
para formar o denominador de uma fração ir-
redutível e geradora de uma dízima periódica?
Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabe-
la, observa-se que, excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os 
outros gerarão uma dízima periódica. Dessa forma, podemos 
concluir que, se o denominador tiver um fator diferente des-
ses, dois, a fração irredutível gerará uma dízima.
6. Escreva cinco exemplos de frações, diferen-
tes das vistas em sala de aula, nas quais a 
divisão entre numerador e denominador 
gerará uma dízima periódica.
Neste caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo de-
nominador seja um número primo diferente de 2 e 5, e o 
numerador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis 
soluções seriam: 
11
1 , 
29
1 , 
11
3 , 
29
5 , 
17
23 ...
7. Em que situação a divisão entre 
numerador e denominador de 
uma fração irredutível gera uma 
dízima periódica?
No caso de o denominador ter fatores primos que sejam di-
ferentes de 2 e 5.
8. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes 
das vistas em sala de aula, nas quais, com cer-
teza, a divisão entre numerador e denomina-
dor não resultará em uma dízima periódica.
Algumas soluções possíveis seriam: 
5
1 , 
4
7 , 
10
9 , 
25
3 …
O encerramento desta parte da atividade 
pode envolver a socialização de todas as res-
postas e a escrita de uma conclusão geral da 
classe, sob a coordenação do professor. Em 
seguida, o próximo passo pode ser discutir 
pelo menos um processo de obtenção da fra-
ção geratriz de uma dízima periódica dada.
22
Dízimas periódicas e cíclicas
Quando uma fração corres-
ponde a uma dízima periódica, 
podemos notar que é possível uma estima-
tiva do tamanho máximo do seu período, 
isto é, do número de casas decimais que se 
repetirão.
Observe a divisão de 1 por 7:
Nessa divisão, acrescentando os zeros 
necessários para produzir as casas decimais, 
observamos que as divisões parciais não são 
exatas e que os restos possíveis são menores 
do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o 
resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presen-
ça indicaria que a divisão tem um resultado 
exato, sendo, portanto, um decimal finito. 
Assim, na sétima casa decimal, certamente 
ocorrerá a repetição de um resto e, a partir 
daí, como sempre completamos com zero 
para continuar a divisão, todos os outros 
restos se repetirão, produzindo a dízima pe-
riódica. Poderíamos preverque, nesse caso, 
a dízima resultante da divisão teria um pe-
ríodo de, no máximo, seis casas decimais, o 
que efetivamente ocorreu. 
Na tabela construída, colocamos em or-
dem os quocientes decimais e os restos pro-
duzidos por eles.
Observe o desenvolvimento decimal 
de 
2
7
: 
Comparando os períodos gerados pe-
las duas frações, podemos observar que 
elas possuem os mesmos algarismos, 
porém ordenados de forma diferente e 
respeitando um movimento cíclico. Ob-
servando que a divisão de 
2
7
 começa 
com resto 2, que também aparece como 
resto na divisão de 
1
7
, os restos, a par-
tir desse ponto, também vão coincidir 
em ambas as divisões, uma vez que o 
desenvolvimento de 
1
7
 tem período de 
comprimento “máximo”:
1
01
03
02
06
04
05
r
e
s
t
o
s
0,142857...
7
quocientes
Quocientes
1
1
3
2
6
4
5
0
1
4
2
8
5
Restos
quocientes
2
02
06
04
05
01
03
r
e
s
t
o
s
0,285714
7
Quocientes
2
2
6
4
5
1
3
0
2
8
5
7
1
Restos
7
4
1
7
 = 0,14285714...
2
7
 = 0,285714...
i
n
í
c
i
o
do ciclo
Quocientes
resto inicial
1
1
3
2
6
4
5
0
1
4
2
8
5
Restos
7
23
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
9. Considere a seguinte fração 
1
13
 = 0,0769230769...
quocientes
1
0 01
09
012
03
04
r
e
s
t
o
s
0,076923...
13 Quocientes
1
1
10
9
12
3
4
0
0
7
6
9
2
Restos
Aplicando o método discutido anterior-
mente, escreva as frações a seguir na sua 
forma decimal periódica:
a) 
10
13
 = 0,769230...
b) 
9
13
 = 0,692307...
c) 
3
13
 = 0,23076...
d) 
4
13
 = 0,307692...
10. Observando a tabela de quocientes e res-
tos, é possível encontrar o desenvolvimen-
to decimal de 2
13
? Justifique sua resposta e 
tente encontrá-lo.
Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não 
apresenta resto igual a 2, não permite prever o desenvolvi-
mento de 
13
2 a partir de 
13
1 . Portanto, é necessário efetuar 
a divisão 
13
2 .
quocientes
2
02
07
011
05
06
08
r
e
s
t
o
s
0,153846...
13 Quocientes
2
2
7
5
11
6
8
0
1
5
3
8
4
Restos
Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que 
não estavam presentes na primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}. 
Agora, com base nesse novo desenvolvimento, podemos 
escrever as frações 
13
7 , 
13
11 e 
13
8 , observando o caráter 
cíclico dos quocientes:
13
7 = 0,538461... 
13
11 = 0,846153... ou 
13
8 = 0,6153846...
As tabelas juntas formam todos os restos que podem ser nu-
meradores ou frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Diferente da fração 
7
1 , em que 
todos os possíveis restos apareceram na primeira tabela, na 
fração 
13
1 houve a necessidade de se construir duas tabelas.
Desafio!
Sem efetuar a divisão, e apoiado na 
tabela da seção anterior referente à divi-
são de 1
7
, encontre o desenvolvimento 
decimal de 5
7
.
Seguindo o processo discutido, podemos deduzir 
que em 
7
5 , como o primeiro resto é 5, seu desen-
volvimento será: 
7
5 = 0,714285…
3
6
24
Professor, nessa discussão você pode uti-
lizar calculadoras ou planilhas eletrônicas, 
explorando outras frações, como 
1
21
. Nesse 
caso, também serão necessárias duas tabelas, 
que darão como restos os valores do conjun-
to {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}. 
O interessante será perceber que a quantidade 
de restos igual a 12 não é máxima como 
com os denominadores 7 e 13. Os números 
{3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18} não estarão na ta-
bela dos restos, pois podem ser simplificados 
com o denominador 21, isto é, não represen-
tam frações irredutíveis.
Professor, como você pode observar, o tra-
balho com dízimas, além da abordagem co-
mum, pode ser feito sob forma investigativa, 
que envolva conceitos simples de divisão e de-
composição em fatores primos.
Encontrando a geratriz de uma dízima 
periódica
Todo número racional escrito na forma de-
cimal finita se transforma facilmente em uma 
fração: 1,25 = 125
100
 = 
5
4
. Mas e se o número 
racional for escrito na forma decimal periódi-
ca infinita?
Combinado à análise das frações que ge-
ram dízimas, um trabalho complementar que 
permite o aprofundamento desse tema é o 
de operação recíproca, isto é, parte-se de um 
número decimal escrito na forma de dízima 
perió dica para encontrar sua fração geratriz.
Existem vários métodos para a obtenção da 
fração geratriz de uma dízima periódica, mas, 
para o nível de conhecimento dos alunos de 
7a série/8o ano, propomos o seguinte:
Obtenção da geratriz de uma dízima
a) simples
Em uma dízima periódica simples, o perío-
do se apresenta imediatamente após a vírgula, 
por exemplo, 0,4444... ou 2,5555... ou, ainda, 
2,343434...
Para obter a fração geratriz de uma dízi-
ma periódica simples, podemos tratá-la como 
uma incógnita, como y. 
y = 0,4444...
Em seguida, multiplicamos os dois termos 
da igualdade por uma potência de 10, cujo ex-
poente é igual à quantidade de numerais do 
período da dízima.
y = 0,4444...
10y = (0,444...) u 10
10y = 4,444...
Subtraindo uma expressão da outra:
(10y – y) = 4,444... – 0,444...
obtemos:
9y = 4 ‰ y = 4
9
Assim, a geratriz da dízima 0,444... é a 
fração 
4
9
.
25
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz 
da dízima 2,343434...
y = 2,343434... (Multiplicaremos os dois 
termos por 102 = 100.)
100y = 234,343434... (Subtrairemos uma 
expressão da outra.)
99y = 232 ‰ y = 
232
99
Assim, a geratriz da dízima 2,343434... é a 
fração 
232
99
.
b) composta
Em uma dízima periódica composta, entre 
o período e a vírgula há um ou mais numerais 
que não fazem parte do período, por exemplo, 
0,23333... ou 1,03242424...
De modo semelhante ao que foi feito ante-
riormente, nomearemos a dízima de y.
y = 0,2333...
Visto que o período é formado apenas por 
um algarismo, multiplicaremos toda a expres-
são por 101.
y = 0,2333
10y = 2,333...
Subtraindo uma expressão da outra, 
teremos:
9y = 2,1 ‰ y = 
2,1
9
 = 
21
90
Dessa forma, a geratriz da dízima 0,2333... 
é a fração 
21
90
.
Observe, a seguir, o processo de determina-
ção da geratriz de 0,235454...
x = 0,23545454...
10x = 2,3545454...
100x = 23, 545454...
1 000x = 235,454545...
10 000x = 2354, 545454...
10 000x – 100x 
9 900x
2 354,5454... – 23,5454... 
2 331
9 900x = 2 331
x = 
2 331
9 900 x = 
259
1 100
10 000x – 100x = 2 354,5 454... – 23,5454...
Observe que é importante destacar que 
o produto por potências de 10 deve ser de-
senvolvido até que seja encontrada a parte 
decimal periódica igual. Nesse caso, isso 
foi feito para os produtos obtidos por 100 
e 10 000.
26
Neste momento do trabalho, a capacidade 
do aluno de aplicar os processos desenvolvi-
dos até aqui para encontrar a geratriz da dí-
zima é desafiada. 
Caso o professor considere adequado, su-
gerimos o uso da calculadora para a verifica-
ção do resultado.
No Ensino Médio, esse assunto será reto-
mado quando o objeto de estudo for a soma 
de termos infinitos de uma progressão geomé-
trica. Neste momento, por exemplo, a dízima 
2,3333... será interpretada como a soma infi-
nita das parcelas: 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... 
11. Determine a fração geratriz de cada uma 
das seguintes dízimas periódicas:
a) 2,7777...
925
b) 0,454545...
99
45
c) 1,2343434...
990
1 222
d) 3,1672867286728...
99 990
316 697
12. Escreva o número racional 
7
6
0,33333
 na forma 
a
b
 , sendo 
a
b
 
uma fração irredutível.
Resposta: 
2
7
O decimal 0,333… corresponde à fração 
3
1 . Assim, temos 
6
7
3
1
 = 
6
7 u 
1
3 = 
2
7
13. Encontre o valor de x que é solução da 
equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 
+ 0,0005x + ... = 4.
Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 + 
+ 0,005 + 0,0005 + ...) = 4. Observamos, então, que o coeficien-
te de x é uma dízima periódica: (3,15555…)x = 4. Encontrando 
sua geratriz, podemos resolver o problema:
y = 3,1555
10y = 31,5555
10y - y=28,4
y = 
9
28,4 = 
90
284 
Então: 
90
284 x = 4 A x = 
71
90
S = ቊ
71
90 ቋ
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
a expectativa é de que os alunos tenham com-
preendido o campo dos números racionais 
como compostos por números cuja represen-
tação decimal pode ser finita ou perió dica e 
infinita. Tal definição dos números racionais é 
importante, pois será retomada na discussão 
sobre outro tipo de número, os irracionais.
No caso das dízimas periódicas, a explora-
ção das primeiras experiências com represen-
tações infinitas serviu de base para uma série 
27
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
de atividades com um sentido de investigação 
e pesquisa. Na avaliação, a exploração da 
curiosidade dos alunos, a prática de uma re-
flexão crítica diante de situações insólitas ou 
curiosas na escrita dos números, como são as 
dízimas, é muito mais relevante do que a mera 
fixação de regras operatórias para determinar 
as geratrizes. 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS
Conteúdos e temas: potenciação; propriedades de potenciação; conversões de unidades de medidas.
Competências e habilidades: compreender a utilidade das potências na representação de nú-
meros muito grandes ou muito pequenos; analisar e interpretar dados escritos na forma de 
potências de 10; relacionar a representação decimal com a notação científica de grandezas.
Sugestão de estratégias: uso de calculadora; construção e leitura de tabelas; interpretação de dados.
Considerando os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número 
de dígitos?
Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o 
cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que 
contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito 
simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso siste-
ma de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre 
sistemas de numeração propostas na 6a série/7o ano.
Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou mui-
to pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses núme-
ros. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é de aproximadamente 300 000 km/s ou 
300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 u 105 km/s ou 3 u 108 m/s.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
O uso de potências na Matemática é um 
recurso útil para a representação de números 
muito grandes ou muito pequenos, e esse será 
o fator motivador desta atividade. No início 
da 7a série/8o ano, o aluno já terá conhecimen-
tos básicos sobre as potências, sendo neces-
sário apenas uma retomada do assunto que 
inclua discussões sobre significados, notações 
e linguagem.
Em seguida, a expectativa é a de que possa 
ser desenvolvido um trabalho para investigar 
a importância das potências na representação 
de números muito grandes ou muito peque-
nos, o que servirá de justificativa para o estu-
do mais detalhado das propriedades operató-
rias das potências na sequência do curso.
28
A atividade a seguir utiliza a informação da 
velocidade da luz em cálculos aplicados. O que 
se deseja mostrar com esta e outras atividades 
apresentadas na sequência são algumas possi-
bilidades de cruzamento de dados contextua-
lizados e o trabalho com potências. Tais pos-
sibilidades não devem ser interpretadas como 
atividades acabadas sobre o assunto, mas sim 
como suporte didático ao trabalho do profes-
sor. Cabe, portanto, ao professor articulá-las da 
maneira mais conveniente, de acordo com os co-
nhecimentos dos alunos sobre potências.
1. Em Astronomia, a distância que 
a luz percorre em um ano é chama-
da ano-luz. Sendo assim, responda:
a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo 
que a velocidade da luz é 3 u 108 m/s?
Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta 
exigirá o seguinte cálculo:
365 u 24 u 60 u 60 u 3 u 108 = 9 460 800 000 000 000 m = 
= 9,4608 u 1015 metros
b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em 
anos-luz, sabendo-se que essa distância é de 
aproximadamente 150 000 000 000 metros? 
©
 N
as
a 
an
d 
T
he
 H
ub
bl
e 
H
er
it
ag
e 
T
ea
m
 
(S
T
Sc
l/A
U
R
A
)
Para responder a esta pergunta, basta escrevermos os valores 
em notação científica:
9,4608 u 1015
1,5 u 1011
 5 1,58 u 10–5 = 0,0000158 anos-luz.
c) quanto tempo, aproximadamente, um 
feixe de luz leva para chegar do Sol 
até a Terra? 
Como a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente 
1,5 u 1011 metros e a velocidade da luz é de 3 u 108 m/s, um fei-
xe de luz demorará 
3 u 108
1,5 u 1011 = 500 segundos para atingir a 
Terra, aproximadamente 8 minutos e 20 segundos. Para efeito 
de comparação, o professor pode comentar que um feixe de 
luz, em 1 segundo, dá aproximadamente 7 voltas e meia em 
torno da Terra.
2. O diâmetro da Via Láctea é de 
aproximadamente 100 000 anos-luz. 
Por que os astrônomos utilizam uma unida-
de “tão grande” como o ano-luz para indi-
car distâncias?
Para medir distâncias grandes, é mais prático usar uma uni-
dade grande; na Astronomia, existem unidades menores que 
o ano-luz, como a “unidade astronômica”, que é a distância 
média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km. O parsec, 
que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normal-
mente para distâncias entre estrelas ou galáxias.
Nos filmes de ficção, muitas 
vezes as personagens indi-
cam distâncias entre estrelas 
utilizando as unidades anos-luz e parsec. 
Faça uma pesquisa sobre unidades de me-
didas astronômicas e registre alguns 
exemplos de sua aplicação.
29
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Números muito grandes ou muito peque-
nos envolvendo medidas reais podem ser uti-
lizados em diversas atividades com potências. 
A seguir, apresentamos uma tabela com dados 
reais aproximados que podem servir de refe-
rência para que o professor elabore atividades 
com potências, proporcionalidade e conversões 
de unidades de medidas.
Notação científica
3. A tabela a seguir apresenta 
dados reais aproximados en-
volvendo potências:
Número de moléculas em 
1 grama de água
3 u 1022 
moléculas
Número de átomos do 
corpo humano 10
28 átomos
Raio da Terra 6 u 106 m
Distância entre a Terra e a 
Lua 4 u 10
8 m
Distância entre a Terra e o Sol 1,5 u 1011 m
Massa da Terra 6 u 1024 kg
Idade da Terra 4,5 u 109 anos
Idade do Universo 1,5 u 1010 anos
Número de habitantes da 
Terra (estimativa em 2011) 7 bilhões
Expectativa de vida dos 
brasileiros em 2011 73,4 anos
PIB* (Produto Interno Bru-
to) brasileiro em 2012 
4,4 trilhões de 
reais
Número de células do corpo 
humano
100 bilhões = 
 = 1011Número de possibilidades do 
sorteio dos seis números da 
Mega-Sena
50 milhões = 
= 5 u 107
Analisando os dados dessa tabela, escreva 
cada um dos números a seguir em notação 
científica, ou seja, na forma m u 10n, com 
1 ≤ m < 10.
a) número de habitantes da Terra em 2011;
7,0 u 109 pessoas.
b) expectativa de vida dos brasileiros em 
2011 (em segundos);
2,3 u 109 segundos.
c) PIB brasileiro em 2012.
4,4 u 1012 reais.
Vale a pena observar que, apesar da pratici-
dade relacionada ao uso de potências para a re-
presentação de números muito grandes, quando 
temos a possibilidade de nos referir a um número 
dessa natureza por palavras, a compreensão do 
significado concreto da ordem da grandeza será 
favorecida. Por exemplo, dizer que o número de 
habitantes estimado da Terra em 2011 foi de 7 u 109 
pessoas é muito menos esclarecedor do que falar 
em 7 bilhões de pessoas. Por esse motivo, os exer-
cícios que estabelecem a correspondência entre o 
uso de potências e as palavras da nossa língua que 
as representam devem sempre ser incentivados.
Veremos a seguir uma atividade que possibi-
lita a introdução da ideia de notação científica.
Quando falamos em números grandes para 
trabalhar potências, uma contextualização inte-
ressante que pode ser feita é a do número googol 
(lê-se “gugol”). Há, inclusive, um conhecido site 
de buscas na internet cujo nome foi inspirado no 
número googol de Edward Kasner, provavelmen-
te porque esse site traz uma quantidade “muito 
grande” de informações.
*PIB: Produto Interno Bruto – o conjunto de bens e 
serviços produzidos no ano.
30
Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu 
sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A 
resposta do pequeno Milton – algo parecido com "guuugol" – não foi muito 
animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. 
Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, 
dizendo de outra maneira, o número 10100.
Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto 
1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo 
em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do 
litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número 
de elétrons em todo o Universo.
Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro 
ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-
-se o número dessas partículas (�10110 partículas) em um número maior que 1 googol.
Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kas-
ner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, 
quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros de 1 googolplex? A resposta exige apenas 
alguns cálculos. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100 é equivalente a dizer que esse número 
tem o primeiro dígito igual a 1 seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, le-
varíamos 0,5 u 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como 
a idade estimada do Universo é 1,5 · 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, 
aproximadamente, a 4,7 · 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não 
haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.
4. Cerca de 70% da superfície da 
Terra encontra-se coberta por 
água, o que corres ponde a um vo-
lume de aproximadamente 1 385 984 610 km3 
(desse total, 97,5% é de água salgada e 2,5% 
de água doce). Sabendo que em cada cm3 te-
mos 1 g de água (a densidade da água é 
1 g/cm3) e consultando a tabela apresentada 
anteriormente, calcule o número de molécu-
las de água na superfície da Terra. Em segui-
da, compare esse dado com 1 googol. Nesta 
atividade, desconsidere o fato de a densidade 
da água salgada ser maior que 1 g/cm3.
Para resolver esta atividade, primeiro temos de conver-
ter km³ em cm³, o que indicará a massa de água na Terra 
( 1,4 u 1024 gramas). Dado que 1 g de água tem 3 u 1022 
moléculas, então, o número de moléculas do total de água 
na superfície da Terra é de aproximadamente 4,2 u 1046. Apro-
ximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se 
discutir com os alunos que esse número é muito menor 
que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vis-
ta, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se 
dividirmos 1 googol por 1050, o resultado será 1050, que é o 
número de vezes que o número de moléculas de água na 
superfície da Terra caberia dentro de 1 googol.
31
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Usando a calculadora
Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente 
a conta 370 000 u 2 100 000, contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, 
esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo-se que 370 000 = 3,7 u 105 e 2 100 000 = 
= 2,1 u 106, o produto procurado é 2,1 u 3,7 u 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 u 3,7 = 
= 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 
1011 será igual a 777 000 000 000.
Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação 
científica automaticamente.
Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for-
mas, dependendo do fabricante:
7.7711 7.77 E11 7.77 E + 11ou ou
Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potên-
cia de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem 
ser observados.
Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, em que a 
vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso siste-
ma aparece representado na calculadora como 38,490.25
A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, 
que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao 
lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.
As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita 
o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por xy ou, em alguns casos, uma tecla in-
dicando o sinal de acento circunflexo ^ é a que deve ser usada para elevar uma base a 
um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de 
calculadora para calcular 35:
3 5 =I.
3 5 =II.
xy
^
O resultado que aparecerá no visor será 243
32
Um dos fatores fundamentais sobre potên-
cias com expoentes inteiros pode ser discuti-
do com os alunos com base em uma situação 
contextualizada:
5. Faça algumas experiências 
com sua calculadora, registrando 
a seguir os valores encontrados.
Resposta pessoal.
6. Suponhamos que, em determinado país, a 
produção de um material tenha sido igual 
a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do 
desenvolvimento tecnológico, passou a tri-
plicar anualmente a partir daí. Uma tabela 
com as quantidades produzidas ao final de 
cada ano é apresentada a seguir. Complete 
os espaços em branco utilizando, quando 
possível e se necessário, uma calculadora:
Ano
Produção 
P (toneladas)
Potência 
correspondente
2000 1 30
2001 3 31
2002 9 32
2003 27 33
2004 81 34
2005 243 35
2006 729 36
2007 2 187 37
2008 6 561 38
2009 19 683 39
... ... ...
2015 14 348 907 315
2000 + n ... 3n
A regularidade da multiplicação pelo fator3 a cada ano conduz 
naturalmente à representação da produção correspondente 
de modo simplificado, por meio de uma potência de 3 ÷ n 
anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas.
As atividades desta etapa permitirão justi-
ficar as potências de expoente negativo. Para 
tanto, pode-se partir das propriedades:
am · an = am+n
am
an
 = am – n (a ≠ 0)
Para compreendê-las, basta que se conte 
o número de fatores resultantes ao efetuar as 
operações indicadas. Por exemplo:
3 números 2 5 números 2
�
� 
�
�2
3 u 25 = 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 = 28
Uma vez trabalhada a propriedade 
am ∙ an = am+n, os expoentes negativos podem 
ser apresentados da seguinte forma:
5 u 1
5
 = 1 (o produto de um número dife-
rente de zero pelo seu inverso é 1).
5 u 1
5
 = 50 (qualquer número diferente de 
zero, quando elevado a zero, resulta 1).
51 u 5x = 50 (substituímos 
1
5
 por 5x para po-
der usar a propriedade am u an = am + n).
51+x = 50 (para que a igualdade seja verda-
deira, necessariamente x = <1).
Conclusão: a notação adequada para 
1
5
 
como potência de base 5 é 5–1.
Posteriormente, pode-se discutir com 
os alunos que, excluindo-se o caso em que 
33
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
a = 0, a notação an pode ser estendida para 
o expoen te 0, uma vez que: a0 = 
an
an
 = 1 ou, 
partindo da propriedade am u an = am + n, pode-
mos apresentar o cálculo:
a0 u an = a0 + n = an, o que indica que a0 = 1.
Outro recurso que pode ser explorado na 
apresentação de expoentes inteiros é o referen-
te à regularidade observada no quadro do Sis-
tema Decimal Posicional. Uma vez construída 
a tabela, podem-se associar as potências com 
expoentes negativos à sua parte decimal, de 
modo que o Sistema Decimal possa ser inter-
pretado em toda a sua generalidade.
8. A tabela a seguir indica uma série de repre-
sentações com potências de expoente nega-
tivo. Pesquise sobre as unidades relaciona-
das, faça a conversão entre as unidades e 
complete a coluna.
1 centímetro 10–2 metros
1 milímetro 10–3 metros
1 micrômetro 10–6 metros
1 nanômetro 10–9 metros
1 angstrom 10–10 metros
7. O nosso sistema de numeração – Siste-
ma Decimal Posicional – é formado se-
gundo certa regularidade com relação 
às potências de base 10. Interprete essa 
característica completando a tabela a 
seguir:
Milhar Centena Dezena Unidade
1 000 100 10 1
103 102 101 100
Décimos Centésimos Milésimos
0,1 0,01 0,001
10
1
101
1
=
 
=
 
10–1 10–2
100
1
103
1
=
 
=
 
10–3
A tabela “Radiação eletromagnética - com-
primento de onda em metros”, que permite 
trabalhar potências de forma interdisciplinar 
com a área de Ciências, é aquela referente 
ao comprimento de ondas eletromagnéticas, 
como as ondas de rádio, TV, micro-ondas, ra-
diação infravermelha, luz visível, ultravioleta, 
raios X e raios gama. Essas radiações diferem 
entre si pela sua frequência e pelo seu compri-
mento de onda. As ondas eletromagnéticas se 
propagam no vácuo com velocidade constante, 
igual a 300 000 km/s (velocidade da luz).
Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que apresente nú-
meros muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apre-
sente os mesmos números em notação científica.
 Professor, você pode discutir com os alunos que os expoentes negativos nos permitem representar números muito peque-
nos com potências.
34
9. O comprimento de um cordão de 
DNA na célula é de aproximada-
mente 10–7 m, o que corresponde a 
aproximadamente 1 000 angstroms. Com 
base nesse dado, calcule a equivalência en-
tre angstrom e metro.
1 angstrom corresponde a 10–10 m.
10. O diâmetro de um fio de cabelo huma-
no é de aproximadamente 2,54 u 10–5 m. 
Quantos fios de cabelo humano teriam 
de ser colocados lado a lado para for-
mar 1 m? 
Para determinar a quantidade de fios de cabelo que 
correspondem a 1 metro, basta que façamos a divisão: 
2,54 u 10-5
1
 = 39 370 fios. Você também pode discutir com 
os alunos que o ser humano tem em média 100 000 fios de 
cabelo, podemos concluir, portanto, que todos os fios de ca-
belo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros, 
resultariam em cerca de 2,54 metros (2,54 u 10 –5 u 100 000).
11. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, 
aproximadamente, 1,6 u 10–5 m por hora. 
Um caracol de jardim se locomove no ritmo 
de, aproximadamente, 3 u 10–2 m por hora. 
Quanto tempo nossos fios de cabelo demo-
rariam para crescer o equivalente à distância 
que um caracol de jardim percorre em 1 hora?
A solução deste problema exige que efetuemos os seguin-
tes cálculos: 
1,6 u 10-5
3 u 10-2
= 1,875 u 103 horas, o que cor responde a 
 
24
1,875 u�103 = 78,125 dias, ou seja, 78 dias e 3 horas.
Considerações sobre a avaliação
Como dito inicialmente, a opção de não 
apresentar atividades específicas sobre as opera-
ções com potências não significa que tal assunto 
seja irrelevante, mas apenas que o tratamento 
usualmente dado a esse assunto costuma ser 
suficiente. Dessa forma, o foco desta Situação 
10–18 10–15 10–12 10–9 10–6 10–3 100 103 106 109
Raios cósmicos Raios X Luz visível
Radar
Rádio VLF
Raios gama Infravermelho TV
Micro-ondas
Ultravioleta
Radiação eletromagnética – comprimento de onda em metros
Raios 
cósmicos
Raios 
gama
Raios X Ultravioleta
Luz 
visível
Infra- 
vermelho
Micro-ondas
Ondas 
de rádio
Energia de 
corrente 
alternada
Alta frequência
(Comprimento da onda: curto)
Baixa frequência
(Comprimento da onda: longo)
©
 C
en
tr
o 
de
 E
ne
rg
ia
 N
uc
le
ar
 n
a 
A
gr
ic
ul
tu
ra
/U
SP
Encontrado em: Princípios da Irradiação. Texto: Adriano Costa de Camargo. Orientação: Prof. Dr. Júlio Marcos 
Melges Walder. Laboratório de Irradiação de Alimentos e Radioentomologia. 
Disponível em: <http://www.cena.usp.br/irradiacao/principios.htm>. Acesso em: 1 nov. 2013.
35
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
de Aprendizagem recai sobre a exploração de 
potências por meio de sua utilização na repre-
sentação do googol e do angstrom. Na próxima 
Situa ção de Aprendizagem, veremos especial-
mente a família dos bytes: giga, mega, tera etc.
O significado dos números contidos nas 
tabelas apresentadas pode servir de base 
para a formulação de grande quantidade de 
problemas interessantes, bem como para a 
proposição de trabalhos extraclasse. O fun-
damental é que o trabalho com potências 
seja desenvolvido com base em problemas 
contextualizados. Tais problemas podem 
ser tanto os aqui apresentados como alguns 
criados pelos próprios alunos.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 
AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR
Conteúdos e temas: potências; propriedades de potências.
Competências e habilidades: conhecer e operar com as propriedades das operações com potên-
cias de expoentes inteiros; reconhecer a potenciação em situações contextualizadas; transfor-
mação de unidades.
Sugestão de estratégias: construção de tabelas e árvores de possibilidades; construção e análise 
de gráficos e tabelas; uso de calculadora.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em 
dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de 
memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilo-
grama para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives 
de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas 
especificações