Matemática Financeira 2009 Administração

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Introdução a Matemática Comercial e Financeira 2009 
 
I - Regra e Três Simples 
 
Grandeza Diretamente Proporcional 
 
Exemplo 1: Um operário recebe R$ 836 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias ? 
R: R$ 1463 
Grandeza Inversamente Proporcional 
 
Exemplo 2: Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam 
empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia ? 
R: 9 dias 
Exercícios: 
 
1) Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra ? 
R: 3 dias 
2) Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma velocidade, em 56 
min ? 
R: 49 km 
3) Um operário faz em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos dias 
poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,3 ? 
R: 18 dias 
4) Com velocidade média de 42 km/h um navio percorre a distância entre dois portos em 6 horas e 30 
minutos. Que velocidade deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 5 horas e 15 minutos? 
R: 52 km/h 
5) Em um navio com tripulação de 800 marinheiros há comida para 45 dias. Quanto tempo durará a 
comida se o navio receber mais 100 marinheiros? 
R: 40 dias 
6) Trabalhando 6 horas por dia, um operário faz em 12 dias um determinado trabalho. Em quantos dias 
poderia fazê-lo trabalhando 8 horas por dia? 
R: 9 dias 
7) Uma lebre está 80 m à frente de um cão que o persegue. Enquanto a lebre percorre 17 m, o cão 
percorre 21. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre ? 
R: 420 m 
8) Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam 24 
homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado 
desde o começo? 
R: 25 dias 
 
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II - Regra de Três Composta 
 
Exemplo: 15 operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto 
tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia ? 
R: 25 dias 
Exercícios: 
 
1) Um texto de 4800 palavras é escrito em 18 páginas, com 30 linhas em cada página. Quantas páginas 
seriam necessárias para datilografar um texto de 3600 palavras de modo que cada página tivesse 27 
linhas ? 
R: 15 págs 
2) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos kg de pão serão 
consumidos em 5 dias, estando duas pessoas ausentes? 
R: 5 kg 
3) 15 homens, trabalhando 8 horas diárias, cavaram um poço de 400 m
3
 em 10 dias. Quantos homens 
devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 horas diárias, cavem os 600 m
3
 restantes? 
R: 5 homens 
4) Uma máquina tem capacidade para asfaltar em 4 dias, 160 metros de pista com 12 metros de 
largura. Quantos dias e fração serão necessários para asfaltar 800 metros de uma estrada que tenha 16 
metros de largura sendo que em ambos os casos o dia de trabalho é composto de 9 horas? 
R: 26 dias e 6 horas 
5) Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando 4,5 h 
por dia. “Afrouxando” em 
10
1
a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levará para 
percorrer a mesma distância ? 
R: 5 dias 
6) Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15 dias. Quantos 
dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 h 
diárias, com a velocidade que torna o rendimento 
8
1
 maior ? 
R: 38 d e 2 h 
 
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III - Porcentagem 
Exemplos: 
a) Calcule 10% de R$ 350,00 b) R$ 350 é 10% de quanto? 
 
c) Quantos % R$ 350 é de R$ 700 ? 
 
d) Uma mercadoria custava R$ 200, agora custa R$ 280. De quantos % foi o aumento ? 
 
e) Uma mercadoria custava R$ 200, agora custa R$ 140. De quantos % foi o desconto ? 
 
Exercícios: 
1) Economizei R$ 8,40 ao obter um desconto de 12 % na compra de uma roupa. Quanto paguei pela 
roupa ? 
R: R$ 61,60 
2) Em uma cidade, 35 % da população é constituída de homens e 40 % de mulheres. Qual a população 
da cidade, se o número de crianças é de 8000 ? 
R: 32000 hab 
3) Um operário que devia executar 120 metros de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalho 
e, no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos? 
R: 28,2 metros 
4) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160 e uma 
de R$ 180. Qual o preço da mercadoria? 
R: R$ 880 
5) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8 cada um. Vendeu a metade a R$ 10 e o restante a R$ 
12. De quanto por cento foi o lucro? 
R: 37,5% 
6) Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$ 43680 
ele pagou 35% do restante. 
R: R$ 156000,00 
7) Comprei 6 peças de tecido de 50 m a 9 R$/m. Quero vendê-las com um lucro de 30 %. Vendo a 
terça parte à razão de 11 R$/m. Por quanto devo vender o metro do tecido restante ? 
R: R$ 12,05 
8) Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 6. Ao desossa-lo, percebe que 
os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo que o preço por kg dessa carne é de R$ 4 e que, 
durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso, qual o peso do pedaço de carne cozida e quanto 
que ela custa por kg? 
R: 1,122 kg e R$ 5,35 / kg 
9) Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460,00. Se o pagamento for à vista, a 
loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga 2/5 à vista e o restante em 3 
prestações, sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. Qual o preço à vista da 
televisão? Qual o valor de cada prestação? 
R: R$ 437 e R$ 115 
10) O meu consumo de energia no mês de julho foi de 525 kWh, resultando em um valor de R$ 
150,00. De quanto será o valor total da minha conta de energia, se o valor do imposto (ICMS) é de 25 
% sobre o total da conta (fatura) ? 
R: R$ 200,00 
11) TTN 1997 – A população de uma cidade era de 10000 habitantes em 1970, tendo crescido 20% na 
1
a
 década e 12% acumulativamente na 2
a
 década. Qual a população dessa cidade em 1990? 
R: 13440 hab 
12) TTN 1997 – Um empresa, constituída em forma de sociedade anônima, possui o seu capital 
dividido em 350 milhôes de ações. João, um acionista, possui 0,3% do capital da empresa. 
Considerando que uma assembléia geral dos acionistas aprovou uma bonificação em ações, na qual 
 
 4 
para cada 7 ações possuídas o acionista recebe uma ação bonificada, com quantas ações ao todo João 
ficará após receber as ações bonificadas? 
R: 1200000 
13) Enem/98 – Uma escola de ensino médio tem 250 alunos que estão matriculados na 1ª, 2ª ou 3ª 
série. 32% dos alunos são homens e 40% dos homens estão na 1ª série. 20% dos alunos matriculados 
estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens. Dentre os alunos da 2ª série, o número de mulheres é igual 
ao número de homens. Quantas mulheres estão matriculadas na 1ª série ? 
R: 92 mulheres 
14) Vunesp – As promoções do tipo “leve 3 pague 2”, comuns no comércio, acenam com um desconto, 
sobre cada unidade vendida, de: 
a) 50/3 % b) 20% c) 25% d) 30 % e) 100/3 % 
R: e 
15) Unicamp – Um vendedor propõe a um comprador de um determinado produto as seguintes 
alternativas de pagamento: 
a) pagamento à vista com 65% de desconto sobre o preço de tabela 
b) pagamento em 30 dias com 55% de desconto sobre o preço de tabela 
Qual das alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando que ele consegue, com uma 
aplicação de 30 dias, um rendimento de 25% ? 
R: à vista 
 
 
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IV - Operações sobre Mercadorias – Vendas com lucro e vendascom prejuízo 
 
Vendas com Lucro 
 
Preço de venda = preço de custo + lucro => V = C + L 
a) O lucro pode ser uma porcentagem (i) do custo, então: V = C + i.C => V = C (1+i) 
b) O lucro pode ser uma porcentagem (i) da venda, então: 
V = C + i.V => V – i.V = C => V(1-i) = C => 
)i1(
C
V


 
 
 
 
1) Um comerciante comprou um objeto por R$ 480. Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, 
qual deve ser o preço de venda? 
R$ 576 
2) Uma casa foi vendida por R$ 60.000,00 , dando um lucro de 20 % sobre o seu custo. Quanto havia 
custado ? 
R: R$ 50.000,00 
3) Um objeto comprado por R$ 80 foi revendido por R$ 104. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro 
sobre o preço de custo? 
R: 30% 
4) Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser 
este preço? 
R: R$ 80 
5) Um comerciante comprou um objeto por R$ 480. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, 
qual deve ser este último? 
R: R$ 600 
 
Vendas com Prejuízo 
 
Preço de venda = preço de custo - prejuízo => V = C - P 
a) O prejuízo pode ser uma porcentagem (i) do custo, então: V = C - i.C => V = C (1-i) 
b) O prejuízo pode ser uma porcentagem (i) da venda, então: 
V = C - i.V => V + i.V = C => V(1+i) = C => 
)i1(
C
V


 
 
6) Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 125, só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 
8% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio? 
R$ 115 
7) Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10 % sobre o seu custo, pelo preço de R$ 36,00. Quanto 
havia custado? 
R: R$ 40,00 
8) Uma agência vendeu um carro por R$ 8500. Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre 
o preço de venda, quanto custou esse carro? 
R: R$ 9775 
 
 
 
 6 
Abatimentos Sucessivos: 
)i1)...(i1()i1()i1(PL n321 
 
 
L = valor líquido P = valor inicial, valor presente ou principal 
i = taxas de abatimentos na forma unitária 
 
Aumentos Sucessivos: 
)i1)...(i1()i1()i1(PM n321 
 
 
M = montante ou valor futuro 
 
 
9) Vendi um objeto por R$ 120. Se tivesse vendido por mais R$20, meu lucro seria de 50% do preço 
da nova venda. Qual foi o meu lucro? 
R: R$ 50 
10) Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5000 e ainda ficaria 
com R$ 700. Quanto tenho? 
R: R$ 3800 
11) Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais que o outro. Se os dois juntos fizeram 
720 pontos, quanto fez cada soldado? 
R: 300 e 420 pontos 
12) Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15800 (preço de tabela) com desconto de 5%. No dia 
seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 10% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percentual 
de lucro dessa pessoa? 
R: 15,79% 
13) Um comerciante comprou 2000 ovos de páscoa, ao custo de R$ 4,00 a unidade e deseja obter um 
lucro de 30 % sobre toda a venda do estoque. Vendeu 75 % dos ovos com 50 % de lucro. Por quanto 
deverá vender cada um dos ovos restantes ? 
R: R$ 2,80 
14) Fuvest – Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser de 
no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda 
acrescentando 80% ao preço de custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter um desconto no 
momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de 
tabela, de modo a não ter prejuízo ? 
a) 10 % b) 15% c) 20% d) 25 % e) 36 % 
R: c 
15) Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um, se os 
dois foram vendidos por R$ 2142,00 
R: R$ 1050 e R$ 1092 
16) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foi vendido 
cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748,00 
R: R$ 289 e R$ 459 
17) Sobre uma fatura de R$ 150000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o 
valor líquido da fatura? 
R: R$ 128478,00 
18) Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira ganhou 
100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo? 
R: 22,825% 
 
 
 7 
V - Câmbio 
 
Moeda Símbolo Compra Venda 
Dólar Americano US$ 1,85 1,90 
Euro 

 2,50 2,60 
 
1) Na minha viajem aos EUA comprei US$ 1,000.00, quantos reais gastei ? 
2) Nessa viajem sobrou US$ 200,00, quantos reais recebi de volta? 
3) Uma empresa recebe um comprador alemão 

25 000 ; em seguida, paga um fornecedor americano 
US$ 12,000. Quanto lhe restou em reais ? 
4) Tenho US$ 250 para vender. Quantos reais irei receber, recorrendo ao câmbio oficial? 
5) Quantos dólares poderei adquirir com R$ 500.000,00? 
6) Com US$ 2,000 um turista consegui comprar R$ 4.300,00. Qual foi a taxa de câmbio? 
7) Uma pessoa recebe uma herança de US$ 560,000, em seguida compra uma empresa em Berlim por 

230 000 . Quanto lhe restou em reais? 
 
 
 8 
VI – Juros Simples 
 
No regime de juros simples o juro é calculado apenas sobre o capital inicial 
niCJ 
 
JCM 
 
 niCM  1
 
J = juros; C = Capital Inicial ; i = taxa de juros na forma unitária; n = tempo de aplicação; M = 
Montante 
Obs: 
O prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. 
 
Exemplo 1: Aplicou-se a importância de R$ 3000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. 
Qual o valor do juro a receber? Qual o montante final? 
R: 108 , 3108 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9200,00, à taxa de 5% ao trimestre, 
durante 3 trimestres? Calcule o montante? 
R: 1380 , 10580 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2) Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. 
Calcular o juro e o montante produzido? 
R: 1065 , 57865 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas 
referidos, reduzidos a mesma unidade. 
 
Exemplo 2: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 
 
 
 
 
Exemplo 3: Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 
 
 
 9 
 
Exemplo 3: Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 
 
 
 
 
Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, 
produzem o mesmo juro. 
 
No regime de juros simples as taxas proporcionais são equivalentes 
 
Exemplo 4: Um capital de R$ 2400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine 
o juro obtido. 
R: 500 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18500, aplicado durante 2 anos, 4 meses 
e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. 
R: 15725 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32500,00, à taxa de 18% ao ano, durante 
3 meses. 
R: 1462,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4) Calcule o juro de um capital de R$ 5000,00 durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao 
ano. 
R: 2800 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
Determinação do número exato de dias entre duas datas 
 
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS 
 
Meses /Dias Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
 
 11 
Exemplo 6: a) Quantos dias temos entre 11 de março e 18 de maio 
R: 68 
 
 
b) determine o número exato de dias entre 20 de outubro a 15 de março do ano seguinte 
R: 146 
 
 
 
c) e se o ano seguinte do exemplo b for bissexto? 
R: 147 
 
 
 
Exemplo 7: Um empréstimo de R$ 8500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. 
Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago? 
R: 1360 
 
 
 
 
 
Exercício 5) Um capital de R$ 9840,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, no período compreendido 
entre 15/04 e 23/07 do mesmo ano. Qual o juro recebido? 
R: 974,16 
 
 
 
 
 
Exercício 6) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% 
ao ano, para render um juro de R$ 5696? 
R: 32000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7) A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 6000, que durante 6 meses e 20 dias, 
rendeu R$ 1320 de juro? 
R: 3,3 % a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exercício 8) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19680, que, à taxa de 33,6 % ao ano, renderam 
R$ 9368 de juro? 
R: 17 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 9) Um capital inicial de R$ 16000, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 2192 de juro. Sabendo 
que a aplicação foi feita no dia 15/05/06, qual foi a data de vencimento do contrato? 
R: 29/09/06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Um investidor aplica 2/3 do seu capital a 5% ao mês e o restante a 54% ao ano. Decorridos 
3 anos e 4 meses, recebe um total de R$ 522000 de juro. Calcule o seu capital inicial. 
R: 270000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Uma pessoa aplica R$ 4800 a 24% ao ano. Após algum tempo, a taxa é aumentada para 
3% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 8 meses os juros 
totalizaram R$ 912. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Exemplo 10: Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15000 à vista. A prazo, vende por R$ 
16540, sendo R$ 4000 de entrada e o restante após 04 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada ? 
R: 3,5 % a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 10) O capital de R$ 900 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4 % ao mês, 
rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de 
cada parte. 
R: R$ 500 e R$ 400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 11) Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido 
seja igual a 4/5 do capital? 
R: 2 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 12) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano obtendo-se um 
ganho anual de R$ 8640. Qual o valor desse capital? 
R: 32400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Exercício 13) Duas pessoas tem juntas R$ 261640 e empregam o que tem a taxa de 40% ao ano. Após 
2 anos, a primeira recebe R$ 69738 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma? 
R: 87233,75 e 174406,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 14) Um negociante obteve R$ 441000 de empréstimo, à taxa de 21% ao ano. Alguns meses 
depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 18% ao ano, assumiu o 
compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de 
realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou ao todo R$ 82688 de juro. 
Calcule o prazo do primeiro empréstimo. 
R: 3 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
VII – Juros Compostos (Uso de calculadora científica) 
No regime de juros compostos o juro é calculado sobre o montante do período anterior, ou seja, os 
juros rendem juros. 
JCM 
 
 niCM  1
 
J = juros; C = Capital Inicial; i = taxa de juros na forma unitária; n = tempo de aplicação; M = 
Montante 
Obs: 
1) O prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. 
 
Exemplo 1: Calcule o montante produzido por R$ 3.000,00, emprestados em regime de juro composto 
a 3% ao mês, durante 10 meses. 
R: R$ 4.031,75 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de 
R$ 4.058,00. 
R: R$ 3.500,47 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Uma loja financia um bem de consumo no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada 
pela loja? 
R: 4% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único 
pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro 
composto. 
R: 5 semestres. 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
Resolva: 
Exercício 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no 
regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 
R: R$ 9.237,24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5 % ao mês, 
durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule esse capital. 
R: R$ 72.000,43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3) Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de R$ 12.000,00 para 
receber R$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto 
no regime de juro composto? 
R: 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4) O capital de R$ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se 
no fim de certo tempo a R$ 11.456,00. Calcule esse tempo. 
R: 8 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
1) No regime de juros compostos as taxas proporcionais NÃO são equivalentes. Para determinar a taxa 
equivalente deve-se utilizar: 
   121 11 ma ii 
 
 
Exercício 5) 
a) determine a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano. 
6,78% a.t. 
 
 
 
 
b) Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
26,82% ao ano.c) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. 
6,18% a.m. 
 
 
 
 
d) determine a taxa semestral equivalente a 45 % ao ano. 
20,42% a.s. 
 
 
 
 
 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
É comum encontrar esse tipo de denominação. As taxas nominais são sempre anuais e não estão na 
mesma unidade de tempo do período de capitalização. Para se encontrar a taxa de juros do período de 
capitalização, aplica-se a proporcionalidade. 
 
Exemplo 5: Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 1 ano, com juros de 24% ao ano 
capitalizados trimestralmente ? 
  38,631206,15000
4
24,0
150001 4
4







n
iCM
 
A taxa efetiva (if) foi de: 
   41 11 ta ii 
=> 
      %25,262625,1106,011 141  fff iii
 
Ou: 
%25,262625,1
5000
38,6312
 fi
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Exercício 6) Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco 
cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a 
ser devolvido ao final dos 2 anos? 
42,58% e R$ 71.147,79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa real e taxa aparente 
 
Taxa aparente é a que vigora nas operações financeiras. A taxa real é a aparente descontada da taxa de 
inflação. Portanto: 
     Iri  111
, onde i é a taxa aparente, r é a taxa real e I é a taxa de inflação 
 
Exemplo 6: Uma pessoa adquire uma lera de câmbio, em uma época A e a resgata na época B. O juro 
aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação nesse período 
foi de 15%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi 
de 21%, calcule a taxa real anual. 
R: 9,09 % 
 
 
 
 
 
 
Exercício 8) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno 
real correspondente a uma taxa de 9% ao ano. Qual é a taxa de inflação. 
R: 11,93% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Exercícios Complementares: 
1) Calcule o montante e o juro de uma aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 
14 meses. 
R: R$ 12.100,72 e R$ 4.100,72 
2) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774,00 
de juro. Determine a taxa de aplicação. 
R: 2,5 % a.m. 
3) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,00, à taxa de 
3% ao mês ? 
R: 13 meses 
4) Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado 
trimestralmente ? 
R: 2 anos 
5) Unicamp – Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor 
reajustado em 38 %. Sabendo que o reajuste no 1º mês foi de 15%, podemos afirmar que o do 2º mês 
foi de: 
a) 18,5 % b) 19,5% c) 20% d) 21,5 % e) 23 % 
R: c 
6) Puc-SP – Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para 
atacadistas com um lucro de 50%. Esses repassam o produto para os feirantes com um lucro de 50%. 
Os feirantes vendem os produtos para o consumidor com um lucro de 50%. O preço pago pelo 
consumidor em relação ao vendido pelo horticultor teve um acréscimo de: 
a) 150 % b) 187% c) 200% d) 237,5 % e) 337,5 % 
R: d 
7) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu 
um montante de R$ 19752,00 
R: R$ 14999,90 
8) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,37, à taxa de 
3% ao mês? 
R: 13 meses. 
9) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3773,72 
de juro. Determine a taxa de aplicação. 
R: 2,5% ao mês 
10) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do 
capital aplicado no fim de 8 meses? 
R: 10,67% a.b. 
11) A poupança paga juros de 6% ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juros? 
R: 6,14% a.a. 
12) O capital de R$ 18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizado trimestralmente. 
Qual o montante? 
R: R$ 26.594,20 
13) Durante quantos anos R$ 25.000,00 produzem R$ 14.846,00 de juro, a 24% ao ano, capitalizado 
trimestralmente? 
R: 2 anos 
14) Um investidor aplica R$ 25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, a 
importância de R$ 34.000,00. Calcule a taxa aparente dessa aplicação e calcule a taxa de inflação no 
período, sabendo que a taxa real de juro foi de 20%. 
R: 36% e 13,33% 
 
 
 
 
 
 
 20 
VIII – DESCONTO COMPOSTO 
 
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura (valor nominal N), é normal que 
entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem 
uma data de vencimento, porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um 
abatimento denominado desconto (d). Quando para o cálculo do desconto é aplicada a regra de juros 
simples, tem-se o desconto simples. Quando é aplicada a regra do juro composto é denominado 
desconto composto. 
 
Aplicando a regra de juros compostos 
n)i1(CM 
 . O desconto é o juro produzido pelo valor atual 
do título durante o período de antecipação (n) para se igualar ao valor nominal do mesmo. Assim, o 
valor do resgate desse título (ou valor atual A) é de: 
 n
n
i
N
A
)i(AN



1
1
 ou 
n)i1(NA 
 
ANd 
. 
 
Exemplo 1: Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu 
vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês. Determine também o desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 739,08 e R$ 60,92 
Exemplo 2: Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, 
tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto 
concedido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 107,10 
Exemplo 3: Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 36.954,00 como 
valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi a 
taxa de juro mensal adotada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 2% ao mês. 
 
 
 
 21 
Resolva: 
Exercício 1: Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, 
descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 851,83 
 
Exercício 2: Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 
meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 30% ao ano, capitalizados 
bimestralmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R$ 673,73 
Exercício 3: A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do 
vencimento, se reduziu a R$ 3.736,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 6% ao bimestre. 
Exercício 4: Por um título de R$ 2.300,00 paguei R$ 2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. De 
quanto tempo antecipei o pagamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 4 meses 
 
 22 
Equivalência de Capitais 
 
As vezes temos a necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento 
diferente, ou ainda saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados 
ao que se denomina equivalência de capitais. 
 
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quandoseus valores 
atuais, nessa época são iguais. 
 
A solução desse tipo de problema consiste em estabelecer uma data de comparação (no caso a data 
zero) e comparar os valores atuais dos títulos em questão. Se resultar uma igualdade, podemos concluir 
que esses capitais diferidos são equivalentes. 
 
Exemplo 4: Quero substituir um título de R$ 40.000,00, vencível em 3 anos, por outros dois, de iguais 
valores nominais, vencíveis no fim de 1 e 2 anos, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos 
novos títulos, sabendo que a taxa de desconto da transação é de 40% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R$ 11.904,71 
 
Exercício 5: Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 9.000,00 
vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor 
desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 12.119,77. 
 
 23 
Exercícios complementares: 
1) Um título de valor nominal de R$ 30.000,00 foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por 
R$ 23.037,00. Qual foi a taxa trimestral de desconto composto? 
R: 4,5% ao trimestre 
2) Uma firma toma emprestada de um banco a importância de R$ 20.000,00 no prazo de 10 meses, à 
taxa de 3,5% ao mês, em regime de juro composto. Quanto deveria essa firma pagar ao banco, se 
desejasse antecipar 4 meses o pagamento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 3 % ao mês? 
R: R$ 25.065,97 
3) Um industrial toma um empréstimo de R$ 500.000,00 por 4 anos, com juro de 40$ ao ano, 
capitalizado trimestralmente. Passado algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 
pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2
o
, 3
o
 e 4
o
 anos, respectivamente. Calcule o valor 
desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano com 
capitalização semestral. 
R: R$ 530.452,40 
4) Uma firma toma emprestada por 3 anos, a juro de 245 ao ano capitalizados bimestralmente, a 
importância de R$ 300.000,00. Decorrido 1 ano, a firma faz um acordo pagando R$ 100.000,00 no ato 
e assinando uma promissória com vencimento para um ano após a data do acordo. Calcule o valor 
nominal do novo título, sabendo que o desconto concedido é de 24% ao ano, capitalizado anualmente. 
R: R$ 366.116,90 
 
 
 
 
 
 24 
IX – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS 
 
Primeiro definimos: 
 
Renda imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do 1º período a contar da 
data zero. 
 
Renda antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no início do 1º período, ou 
seja, na data zero. 
 
Renda diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado 
número de períodos, a contar da data zero. 
 
 
Capitalização: tem como objetivo determinar o montante constituído por depósitos periódicos de 
quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa. 
 
Amortização: tem como objetivo determinar o valor atual, o valor de um empréstimo, constituído por 
prestações periódicas de quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa. 
 
9.1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
1) Fator de Capitalização => 
 
 
i
1i1
s
n
i/n


 (tabelado) 
a) Renda Imediata: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais, no final de cada período 
(renda imediata), a uma taxa de rendimento i é de: 
 i/nsTVF 
 
 
Exemplo 1: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no final de 
cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 6520,61 
Exemplo 2: Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa 
de 6% ao ano, capitalizado anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital 
de R$ 400.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 30.347,19 
Exemplo 3: A que taxa uma pessoa realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, 
forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito? 
 
 
 
 25 
 
 
 
 
R: 1,5% ao mês 
 
Exemplo 4: Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao 
mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 12 prestações. 
Resolva: 
Exercício 1: Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 2% ao 
mês, quanto possuirá em 1 ano e 3 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 11.759,52 
Exercício 2: Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa 
de 25 % ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 17.763,90 
Exercício 3: Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do 
décimo depósito constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar aquelas 
importâncias? 
 
 
 
 
 
 
 
R: 1% ao mês 
 
 
 
 26 
Exercício 4: Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para , a 0,5% ao mês, 
constituirmos um capital de R$ 16.283,00? 
 
 
 
 
 
 
 
R: 8 mensalidades 
 
b) Renda antecipada: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais, no início de cada 
período (renda antecipada), a uma taxa de rendimento i é de: 
  1sTVF i/1n  
 
 
 
Exemplo 5: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no início de 
cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 6.618,41 
 
Exercício 5 : Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, 
sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juro composto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 62.681,64 
 
Exercício 6 : Quanto se deve depositar no início de cada mês, numa instituição financeira que paga 
1,5% ao mês, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 1.041,99 
 
 
 
 27 
Exercício 7 : Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de R$ 20.000,00 de termo, 
cujo montante, à taxa de 10% ao ano, é de R$ 169.743,00. 
 
 
 
 
 
 
 
R: 6 termos 
Exercício 8: A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, a 
importância de R$ 10.524,68, para no fim de 1 ano possuir o montante de R$ 50.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 7% ao trimestre 
9.2 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA 
Fator de Amortização => 
 
 
 n
n
i/n
i1i
1i1
a



 
 
a) Renda Imediata: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no final de 
cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de: 
 i/naTVP 
 
Exemplo 6: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de 
cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 502,31 
Exercício 9: Calcule o valor atual de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 
1.200,00 e o restante à taxa de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da 
prestação é de R$ 192,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 3001,93 
 
 28 
Exercício 10: O preço de um carro é de R$ 37.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é 
financiado à taxa de 2,5% ao mês em 12 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 2.205,16Exercício 11: A que taxa foi contraída a dívida de R$ 46.925,37, se ela deve ser paga em 12 prestações 
mensais de R$ 5.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
R: 4% ao mês 
Exercício 12: Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5% ao mês, se 
pagar uma dívida de R$ 6.186,56 
 
 
 
 
 
 
 
R: 8 prestações 
 
b) Renda antecipada: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no início 
de cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de: 
  1aTVP i/1n  
 
 
Exemplo 7: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas no início 
de cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 487,68 
 
 
 
 
 
 
 29 
Exercício 13: Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 
cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro? 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 9306,41 
Exercício 14: Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um 
empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 1.433,77 
Exercício 15: Quantas prestações anuais antecipadas de R$ 29.429,90 serão necessárias para pagar 
uma dívida de R$ 165.000,00 com uma taxa de juro de 16% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 10 prestações. 
Exercício 16: Um comerciante pôe em oferta um eletrodoméstico com preço à vista de R$ 499,00, ou 
em 16 prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 48,00. Qual a taxa efetiva cobrada pelo 
comerciante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 6,5% ao mês. 
 
 
c) Renda diferida (carência): O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, 
após um diferimento (carência de m períodos), no final de cada período (renda imediata), a uma taxa 
de juros i é de: 
    i/mi/nm aaTVP  
 
 
 
 30 
Lembrando que m é período que antecede a renda imediata 
 
Exemplo 8: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de 
cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês e a primeira parcela deverá ser efetuada 3 meses 
após a realização do empréstimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 532,90 
 
Exercício 17: Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 
500,00, a juros de 3% ao mês, com uma carência de 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 3.679,12 
Exercício 18: Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 
7% ao bimestre a taxa de juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado 
o empréstimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 5.215,56 
Exercício 19: Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor 
dessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido uma carência de 2 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: R$ 3.616,60 
 
 
 
 
 31 
 
 
Exercícios Complementares 
1) Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês, 
quanto possuirá em 2 anos? 
R: R$ 6.084,37 
2) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha 
R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos e renda imediata e antecipada? 
R: R$ 2.348,83 e R$ 2.291,54 
3) Quanto terei no final de 20 meses se aplicar R$ 500,00 por mês, durante os 15 primeiros meses, a 
uma taxa de 1% ao mês, de acordo com os conceitos de renda antecipada? 
R: R$8.543,59 
4) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00 necessárias para se obter um 
montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre e uma renda imediata. 
R: 10 aplicações. 
5) Uma aplicação mensal imediata de R$ 400,00 gera, no final do décimo segundo mês, um montante 
de R$ 5.364,87. Calcule a taxa mensal. 
R: 2% 
6) Qual o valor que financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12 prestações mensais, 
iguais, imediatas e sucessivas de R$ 350,00 cada uma? 
R: R$ 3.590,22 
7) Uma loja vende uma mercadoria a R$ 800,00. No crediário é exigida uma entrada de 30% e são 
cobrados juros de 4% ao mês. Qual será o valor das prestações se um comprador optar por 6 prestações 
mensais imediatas? 
R: R$ 106,83 
8) Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 120.000,00, a ser liquidado 
em 18 meses, à taxa de 3% ao mês, sendo que a primeira prestação vence a 90 dias da data do 
contrato? 
R: R$ 9.256,40 
 
 
 32 
X – Sistemas de Empréstimos 
 
1) Sistema Francês de Amortização (SFA): Nesse sistema (SFA) o mutuário se compromete a 
amortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas e imediatas. Onde o valor da parcela T 
é definido por: 
 i/na
VP
T 
 
Exemplo: Uma instituição faz um empréstimo de R$ 100 000,00 para ser pago pelo SFA em 4 
prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de 
amortização: 
 
Período Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 ----- ------ ------ 100 000,00 
1 
2 
3 
4 
Total 
 
 
Obs; O Sistema Price é um caso particular do SFA onde a taxa é dada em termos anuais, as prestações 
são mensais e no cálculo é utilizada a taxa proporcional. 
 
2) Sistema de Amortização Constante (SAC): Nesse sistema o mutuário se compromete a amortizar 
o empréstimo com prestações periódicas e imediatas. A diferença é que nesse caso a amortização é 
constante e, portanto as prestações são decrescentes: 
 
Exemplo: Uma instituição faz um empréstimo de R$ 100 000,00 para ser pago pelo SAC em 4 
prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de 
amortização: 
 
Período Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 ----- ------ ------ 100 000,00 
1 25 000,00 
2 25 000,00 
3 25 000,00 
4 25 000,00 
Total 
 
 
 33 
3) Sistema Francês de Amortização com correção monetária 
 
Uma instituição faz um empréstimo de R$ 1600,00 para ser pago pelo SFA com Correção Monetária 
em 4 prestações mensais, à taxa de 3% ao mês. Monte a planilha de amortização, admitindo que o 
financiamento terá correção monetária mensal, senda as taxas de inflação verificadas nesses períodos, 
respectivamente, de 4%, 6%, 8% e 10%. 
 
Período Prestação Juro Amortização Dívida 
Corrigida 
Amortização 
Acumulada 
Saldo 
Devedor 
0 ----- ------ ------ 1600,00 ------ 1600,00 
1 
2 
3 
4 
 
1º passo: preencher a coluna da dívida corrigida 
2º passo: preencher a coluna da prestação corrigida 
3º passo: de linha em linha, calcula-se o juro sobre a dívida corrigida, a amortização, a amortização 
acumulada e o saldo devedor. 
 
 
 34 
Algumas Informações básicas sobre a calculadora HP 12C 
 
Ponto e Vírgula 
Com a máquina desligada, digite: segure o ponto  e ligue a máquina ON e solte o ponto 
simultaneamente. Muda o ponto para vírgula ou vice-versa. 
 
Número de Casa decimais 
Digite : f 0 , f 1 até f 9 
Números Negativos 
Digite o nº qualquer e tecle CHS 
Limpar o visor 
 A tecla CLX (clear X) limpa o visor, sem alterar o resto da pilha. 
Memórias 
Para introduzir um nº na memória, digite o nº e STO de 0 a 9 e para recuperar o mesmo nº 
digite, RCL e nº do registro que armazenou de 0 a 9, Ex. 23,5 STO1, CLX , RCL 1. 
Função Calendário 
A calculadora está programada com a forma americana (month/day/year). Para utilizarmos a forma 
brasileira (dia/mês/ano) execute g D.MY (g4) aparecerá no visor a função 
Ex. Um título foi comprado em 26/07/2001 com vencimento para 63 dias. Qual a data de 
vencimento? Digite f 9, 26.072001, ENTER , 63, g DATE . No visor aparecerá 
27.09.2001 4. O nº 4 significa quinta-feira, assim 1 é segunda, 2 é terça etc... 
Quantos dias decorrem entre as datas 26.07.2001 e 25.12.2001? 
Digite 26.072001 enter 25.122001 g DYS no visor aparecerá 152 dias. Para tirar o D.MY 
do visor digitar g M.DY . 
Porcentagem 
Para calcular 14 % de $300, digite 300, ENTER , 14, % . No visor aparecerá 42 . 
Para calcular um desconto de 8% de $12,50, digite 12,50, ENTER , 8, % − No visor 
aparecerá 11,50. 
Para calcular a diferença % entre dois valores $58,50 para $53,25, digitar 58.5, ENTER , 
53.25, % . No visor aparecerá - 8,97. 
Para calcular porcentagem do total, se você possui um valor total ex. 7.95 e quer saber quanto 
representa 2.36 e 3.92 do total, digite 7.95, ENTER , 2.36, %T . No visor aparecerá 29.69 
tecle CLX , digite 3.92 %T . No visor aparecerá 49,31. 
Funções: Raiz e Potência 
 
2
,digite 2 g 
x
. No visor aparecerá 1,41421 
 
 35 
 
 3 x 
 3 , digite 3 enter 3 e a tecla y . No visor aparecerá 27. 
 
 1/5 x 
 (1,54) digite 1.54 enter, 5 e a tecla 1/x e a tecla y . No visor = 1,09019 
Funções Financeiras: 
Para armazenar um nº num registrador financeiro, introduza-o no visor e pressione a seguir a tecla 
correspondente ( n , i , PV , PMT , FV ). Conhecendo 3 variáveis, não importando sua ordem 
de entrada digitar a função incógnita. Ex: 
Conhecendo o n que é o prazo da operação = 2 meses 
Conhecendo o i que é a taxa de juros da operação = 3 % a .m 
Conhecemos o PV, que é o valor presente da operação. Aqui deve-se digitar o CHS pois a 
entrada é negativa. Digitar 100, CHS e PV 
Quero saber o FV, que é o valor futuro da operação. Digitar FV . No visor aparecerá a 
resposta - 106,09 
Para limpar os registros financeiros, digitar f CLEAR FIN . 
Comprei um bem por $ 970,00 a ser pago em 3 parcelas iguais de $333,33, sendo o 1º pagto no ato. 
Qual a taxa de juros cobrada? 
Utilize o g BEG (antecipação), no visor aparecerá begin. Digite 970, CHS , PV , 3, N , 
333,33, PMT e tecle o i . No visor aparecerá a resposta 3,12 % a .m 
Para voltar ao sistema postecipado digite g END . Desaparecerá no visor o begin. 
Outras Funções da HP 12C: 
A Calculadora HP 12C oferece muito mais. Existem outras teclas financeiras, teclas estatísticas e até 
mesmo teclas que permitem a programação. Explorar a calculadora e fazer uso de todos os recursos 
que ela oferece dependerá da necessidade e empenho de cada um para tirar o melhor proveito dessa 
ferramenta. 
 
Funções Financeiras no Excel 
 
Função efetiva (calcula a taxa anual efetiva de uma taxa nominal anual) 
= efetiva(taxa nominal;número de períodos composto por ano) 
 
Função VF (calcula o valor futuro de uma série de pagamentos iguais e periódicos) 
=VF(taxa;nper;PMT;VP;tipo) tipo=1 para antecipado e tipo=0 para imediato 
 
Função VP (calcula o valor presente de uma série de pagamentos iguais e periódicos) 
=VP(taxa;nper;PMT;VF;tipo) tipo=1 para antecipado e tipo=0 para imediato 
 
Função taxa (calcula a taxa de juros de uma série de pagamentos) 
=taxa(n;PMT;VP;VF;tipo) tipo=1 para antecipado e tipo=0 para imediato 
 
Função nper (calcula o número de períodos de uma série de pagamentos) 
=nper(taxa;PMT;VP;VF;tipo) tipo=1 para antecipado e tipo=0 para imediato