Apostila de matemática financeira

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APOSTILA 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
RESUMO 
Esta apostila é um meio 
complementar de 
aprendizagem, não 
descartando os livros 
didáticos como métodos de 
estudo. 
Cristiane de Brito Nunes 
da Silva 
 
 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwjsxovU75HjAhVNK7kGHfNkArcQjRx6BAgBEAU&url=https://blog.luz.vc/excel/matematica-financeira-no-excel/&psig=AOvVaw2OorQVVCwAV3lsDH4LUjQ9&ust=1562006990261791
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
É um ramo da matemática que analisa algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens 
de consumo. Ela faz uso de algumas ferramentas para melhorar o desempenho e agilizar processos, atuando 
assim, na simplificação de operações financeiras a um Fluxo de Caixa. 
Conceitos básicos: 
 Capital (valor atual, presente ou aplicado) 
 É o valor representado por uma determinada quantia de dinheiro, títulos ou bens, disponível numa certa 
data para aplicação numa operação financeira. Representado pela letra C, de capital ou P, de principal. 
 
 Juros 
 Valor cobrado pelo credor pelo empréstimo do capital em um período de tempo especifico, valor do 
atraso de uma prestação ou o lucro de uma aplicação financeira. 
Divide-se em Juros Simples e Juros Compostos. Representado pela letra J. 
 Costuma-se especificar taxa de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, motivo pelo 
qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado. 
 Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos 
um sistema de capitalização simples (Juros Simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado 
com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros 
Compostos). 
 Na pratica, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido. 
 
 
OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
Cálculo de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de venda 
 Quando se trabalha com compra e venda de mercadorias, pode-se obter lucro ou prejuízo, que pode ser 
sobre o custo da mercadoria ou sobre a venda. Então o que é preço de custo de uma mercadoria – é o preço de 
aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e a venda e, ainda das despesas de administração, 
tributárias (PIS, CONFINS, ICMS e outras) e de funcionamento da empresa. 
 Vendas com lucro 
 Ao se vender uma mercadoria pode-se acarretar um lucro, sobre o preço de custo ou sobre o preço de 
venda, importante entender que ao se comprar e ao se vender uma mercadoria, vale a lei da demanda e da 
oferta. 
 Vendas com lucro sobre o preço de custo 
Nomenclatura: 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
L = lucro 
i = taxa unitária de lucro 
𝑉 = 𝐶 + 𝐿 𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝐿 = 𝑖𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑉 = 𝐶 + 𝑖𝐶 𝑉 − 𝐶 = 𝑖𝐶 
𝑖 = 
𝑉 − 𝐶
𝐶
 
 
Ex.: uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada mercadoria com um lucro de 13% sobre o 
preço de custo da mesma. Determine o preço de venda, sabendo-se que esta mercadoria custou R$ 230,00. 
 
 
 Vendas com lucro sobre o preço de venda 
 
𝑉 = 𝐶 + 𝐿 𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝐿 = 𝑖𝑉 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑉 = 𝐶 + 𝑖𝑉 𝑉 − 𝑖𝑉 = 𝐶 
𝑖 = 
𝑉 − 𝐶
𝑉
 
Ex.: uma loja de eletrodomésticos comprou uma mercadoria por R$ 689,00 e quer vende-la com um lucro de 
25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o valor de venda dessa mercadoria? 
 
 
Vendas com prejuízo 
 Venda com prejuízo sobre o preço de custo 
Nomenclatura: 
V = preço de venda 
C = preço de custo 
P = prejuízo 
i = taxa unitária de prejuízo 
𝑉 = 𝐶 − 𝑃 𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑃 = 𝑖𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑉 = 𝐶 − 𝑖𝐶 𝑉 − 𝐶 = −𝑖𝐶 
−𝑖 = 
𝑉 − 𝐶
𝐶
 
 
Ex.: um aparelho de jantar foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo-se que esse 
aparelho custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda? 
 
 
Vendas com prejuízo sobre o preço de vendas 
𝑉 = 𝐶 − 𝑃 𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑃 = 𝑖𝑉 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑉 = 𝐶 − 𝑖𝑉 𝑉 − 𝐶 = −𝑖𝑉 
−𝑖 = 
𝑉 − 𝐶
𝑉
 
 
Ex.: uma mercadoria cujo custo é de R$ 96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. 
Calcule o preço de venda dessa mercadoria. 
 
 
Abatimentos e aumentos sucessivos 
 Na compra e venda de mercadorias tira-se uma fatura da mercadoria. Essa fatura é relação que 
acompanha a remessa de mercadorias expedidas, com a designação de quantidades, marcas, pesos, valores 
unitários e totais de cada mercadoria, percentuais de descontos, impostos, etc. 
 Muitas vezes são realizados descontos – decorrentes de ofertas, pagamentos à vista, etc, ou acréscimos 
sucessivos – decorrentes de multas, impostos, etc. 
 
 Abatimentos sucessivos 
 Uma empresa distribuidora pode oferecer abatimentos sucessivos sobre o valor da fatura. Para calculara 
o valor líquido da fatura pode-se calculara os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos sucessivos, 
respeitando a ordem das taxas, até obtermos o líquido final ou, aplica-se a fórmula. 
Nomenclatura: 
a = abatimentos 
PV = valor inicial da fatura 
i = taxa de abatimento 
l = valor líquido da fatura, após os descontos 
𝐿 = 𝑃𝑉 (1 − 𝑖1) (1 − 𝑖2) … (1 − 𝑖𝑛) 
Ex.: uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? 
 
 
Resposta: O valor líquido a pagar é de R$ 6.624,00 
 
 Aumentos sucessivos 
 No lugar de valor líquido (L) teremos o montante ou valor futuro (FV) e como são aumentos, adiciona-se 
as taxas ao invés de subtraí-las como no desconto. 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖1) (1 + 𝑖2) … (1 + 𝑖𝑛) 
Ex.: sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determine o preço 
final desse artigo. 
 
Resposta: O preço final do artigo é de R$ 2.766,62 
 
Exercícios: 
1. Uma televisão foi vendida por R$ 859,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? 
2. Quanto por cento sobre o custo se perdeu, ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$ 280,00? 
3. Vendendo um imóvel por R$ 150.000,00 tive um prejuízo de 17% sobre o preço de venda. Por quanto comprei? 
4. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540,00 tendo perdido 20% do preço de venda? 
5. Vendi uma loja por R$ 32.000,00. Se tivesse vendido por mais R$ 1.999,00, o meu lucro seria de 40% sobre 
o preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 
6. Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto 
deveria ser vendida, para dar lucro de 12 % sobre o preço de custo? 
7. Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu a redução de 15% sobre este valor e, 
em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução. 
8. Uma pessoa comprou um automóvel de R$15.800,00 (preço de tabela) com desconto de 2,5%. No dia 
seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro 
total dessa pessoa? 
9. Qual será o valor líquido de uma fatura de R$ 36.000,00 que recebe descontos sucessivos de 2%, 5% e 4%? 
 
 
 
 
Regra de Sociedade 
 
 Entende-se por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital 
para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos. 
 
 Tem por objeto a divisão dos lucros ou prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, 
por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão 
de um novo sócio, há quatro casos a considerar: 
a) Os capitais são iguais e empregados duranteo mesmo tempo. 
 
b) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. 
 
Ex.: Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,00 durante 1 ano e 3 meses, 
o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio, o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de 
cada sócio? 
 
 
c) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. 
 
Ex.: Três pessoas forma uma sociedade, permanecendo o primeiro durante 6 meses, o segundo 10 meses e o 
terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada sócio, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00? 
Solução: 
A + B + C = 8.400 
𝐴
6
= 
𝐵
10
=
𝐶
12
= 𝐾 
 
𝐴 = 6. 𝐾 𝐵 = 10. 𝐾 𝐶 = 12. 𝐾 6𝑘 + 10𝑘 + 12𝑘 = 8.400 
 
28𝑘 = 8.400 𝑘 = 
8.400
28
= 300 
 
𝐴 = 6𝑥300 = 1.800,00 𝐵 = 10𝑥300 = 3.000,00 𝐶 = 12𝑥300 = 3.600,00 
d) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais. 
 
Ex.: Constitui-se uma sociedade formada por 3 sócios: o primeiro entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela 
permaneceu por 30 meses, e o segundo entrou com R$ 70.000,00 e ficou 40 meses e o terceiro entrou com R$ 
50.000,00 e ficou por 35 meses. O resultado após um certo período, foi de R$ 50.000,00, quanto deverá receber 
(ou pagar) cada sócio? 
1º sócio = 60.000 x 30 = 1.800.000,00 
2º sócio = 70.000 x 40 = 2.800.000,00 
3º sócio = 50.000 x 35 = 1.750.000,00 
 
A + B + C = 50.000 
𝐴
1.800.000
= 
𝐵
2.800.000
=
𝐶
1.750.000
= 𝐾 
 
𝐴 = 1.800.000𝑥𝐾 𝐵 = 2.800.000𝑥𝐾 𝐶 = 1.750.000𝑥𝐾 
 
1.800.000𝑘 + 2.800.000𝑘 + 1.750.000𝑘 = 50.000 
 
6.350𝑘 = 50.000 𝑘 = 
50.000
6.350.000
= 𝐾 = 0,0078 
 
𝐴 = 1.800.00𝑥0,0078 = 14.173,23 𝐵 = 2.800.000𝑥0,0078 = 21.840,00 
 
 𝐶 = 1.750.000𝑥0,0078 = 13.650.000,00 
 
 
 
Porcentagem 
 
 Toda razão da forma a/b na qual o denominador b = 100, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Ex.: Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou quatro partidas na primeira fase e venceu 
três. Qual a porcentagem de vitorias obtida por essa seleção nessa fase? 
Solução: 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠
= 
3
4 
= 0,75 = 
75
100
= 75% 
Logo, a porcentagem de vitória obtida nessa fase é de 75%. 
Ex.: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Pagou-se R$ 
690,00 pela mercadoria. Qual o preço original da mercadoria? 
Solução: 
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei 
representa 100% - 8% = 92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690,00. 
92%. 𝑋 = 690 → 
92
100
. 𝑋 = 690 → 𝑋 =
690. 100
92
= 750,00 
Logo, o preço original da mercadoria é de R$ 750,00. 
 
EXERCÍCIOS: 
1. (BB) Os sócios A e B constituíram uma empresa. Entraram cada um com o capital de R$ 78.000,00 e R$ 
152.000,00, respectivamente. Após um ano de atividade lucraram R$ 46.000,00. Quanto coube ao sócio A em 
R$? (R. b)) 
a) 15.200 
b) 15.600 
c) 15.750 
d) 16.500 
e) 30.400 
2. Antônio e Marcos montaram uma fábrica de roupas tendo cada um investido R$ 50.000. Sabendo que ao final 
do ano, foi contabilizado um prejuízo de R$ 5.000, qual o valor da responsabilidade de cada sócio? (R. – 5.000) 
 
3. Jorge, Luiz e Lucas montaram uma revenda de autopeças no início do ano. Jorge investiu R$ 20.000, Luiz R$ 
25.000 e Lucas R$ 5.000. Se no fim do ano o lucro foi de R$ 40.000, quanto coube a cada sócio? (R. 16.000; 
20.000; 4.000) 
 
4. Em uma sociedade o lucro foi de R$ 5.700. Calcular quanto os sócios Juca e Paulo devem receber, sabendo 
que Juca investiu R$ 1.200 e trabalhou 4 meses enquanto Paulo investiu R$ 3.000 e trabalhou 6 meses. (R. 
1.200; 4.500) 
 
5. Uma sociedade realizada entre duas pessoas é baseada em quotas de responsabilidade limitada. Sabendo 
que os investimentos foram de R$ 5 000,00 e R$ 15 000,00 e que após determinado tempo um lucro de R$ 100 
000,00 fora gerado. Qual será a parte de cada um de acordo com os investimentos ocorridos? (R. 25.000; 75.000) 
 
6. Gabriela e Marina repartiram o lucro de uma negociação no valor de R$ 49.000,00, de forma proporcional aos 
investimentos realizados. Sabendo que Gabriela investiu R$ 20.000,00 a mais que Marina e que seu lucro foi de 
R$ 7.000,00 a mais que o de Marina, determine o valor do investimento de cada uma das sócias. (R. 80.000; 
60.000) 
 
7. João e Paulo constituíram uma empresa. João contribuiu com R$ 70.000 e Paulo com R$ 30.000. Sabendo-
se que na distribuição do lucro apurado. João recebeu R$ 25.600 a mais do que Paulo, o lucro da empresa foi 
em R$: (R. c)) 
a) 60.000 
b) 62.000 
c) 64.000 
d) 65.000 
e) 66.000 
 
8. Certa sociedade constituída por 3 sócios, com o capital de R$ 180.000, teve R$ 25.200 de lucro. Sabendo-se 
que o sócio A entrou com 1/3 de capital, o B entrou com 2/5 e o C entrou com o restante, determinar o lucro de 
cada sócio em R$: (R. e)) 
a) 7.200; 9.500; 8.500 
b) 8.500; 8.500; 8.500 
c) 9.000; 10.200; 6.000 
d) 8.400; 10.080; 6.720 
e) 9.200; 10.000; 6.000 
9. Uma loja oferece um desconto de 20% em um determinado produto caso o comprador realize o pagamento 
em dinheiro. Roberto, interessado no produto que custa R$500,00, deseja comprá-lo à vista para obter o 
desconto e economizar. Qual foi o valor que Roberto pagou? (R. 400) 
10. Numa sala de aula, a professora de matemática estima que cerca de 40% dos alunos serão reprovados na 
sua disciplina. Sabendo que a sala possui 30 alunos, quantos alunos não serão reprovados? (R. 18) 
11. João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. O salário de João antes do 
aumento era igual a? (R. 1.200) 
12. Paulo, dono de uma livraria, adquiriu em uma editora um lote de apostilas para concursos, cujo valor 
unitário original é de R$ 60,00. Por ter cadastro no referido estabelecimento, ele recebeu 30% de desconto na 
compra. Para revender os materiais, Paulo decidiu acrescentar 30% sobre o valor que pagou por cada apostila. 
Nestas condições, qual será o lucro obtido por unidade? (R. d)) 
a) 4,20 
b) 5,46 
c) 10,70 
d) 12,60 
e) 18,00 
13. Ao comprar uma apostila obtive um desconto de 5% por realizar o pagamento à vista. Sabendo que o valor 
inicial da apostila era de R$ 60,00, o valor que paguei por ela foi de: (R. a)) 
a) 57,00 
b) 57,60 
c) 58,20 
d) 58,80 
e) 59,50 
 
 
 
OUTROS CONCEITOS: 
 
 
 Ano civil 
 É o período de 365 dias ou 366 (ano bissexto), com meses de 28 (29), 30 ou 31 dias (ano-calendário). 
 Ano comercial 
 É o período de 360 dias considerando-se todos os meses com 30 dias. É muito utilizado em operações 
financeiras. 
 Regra para arredondamento 
 Sempre que surgirem operações envolvendo frações serão considerados 4 (quatro) casas decimais. 
Em situações que envolvem potências (exponencial – aplicáveis a juros compostos), quando serão utilizados 6 
(seis) casas decimais. 
O critério adotado para arredondamento de valores será o internacional. 
Ultimo digito Resultado Exemplo 
0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 190,987654321 = 190,98765 
5 
Somar 1 ao que fica após 
eliminar o nº 5 
190,98765 = 190,9877 
6, 7, 8, 9 
Somar 1 ao que fica após 
eliminar o ultimo digito 
190,9877 = 190,99 
 
 
 Notas 
 No Brasil, adota-se normalmente o ano civil para contagem dos dias e o ano comercial (com 360 dias) 
para cálculo da taxa de juros, são chamados juros bancários (mês = 30 dias). 
Para cálculo de juros simples comercial observar a proporcionalidade dos períodos. 
1 ano é composto de: 
 2 semestres 
 3 quadrimestres 
 4 trimestres 
 6 bimestres 
 12 meses 
 360/365/366 dias 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Juros e Montante 
 
 Juro é a remuneração recebida por quem aplicou ou paga por quem tomou dinheiro emprestado e é 
sempreexpresso em unidades monetárias, o juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou 
a remuneração do capital aplicado. O juro é o pagamento pelo uso de poder aquisitivo por um determinado 
período de tempo. 
 
 Montante, também chamado de valor de resgate ou valor futuro. É a soma do principal mais juros. 
 
 Taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se refere a taxa, ou seja, mede a 
relação entre os juros recebidos ou pagos em um determinado período de tempo e o principal que deu origem a 
estes juros. A taxa de juros pode ser expressa em notação percentual (10% ao ano, por exemplo) ou em notação 
decimal (0,10 ao ano, por exemplo). 
 
 As taxas de juros geralmente são apresentadas de dois modos: 
 
Forma percentual 
 
 A taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. 
 
 
Forma unitária 
 
 A taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, calcula-se o que rende a aplicação de uma unidade de 
capital no intervalo de tempo referido pela taxa. Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se 
a taxa expressa na forma percentual por 100. 
 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
12% a.a. 12/100 0,12 a.a. 
6% a.s. 6/100 0,06 a.s 
1% a.m. 1/100 0,01 a.m 
 
 Os juros podem ser capitalizados no regime de juros simples, no regime de juros contínuos ou no 
regime de juros compostos. No Brasil, apenas os regimes de juros simples e de juros compostos são usados. 
 
 Diagrama de capital no tempo 
 
 Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. 
Esse fluxo é conhecido como fluxo de caixa – que é uma representação gráfica das entradas e saídas de capital. 
 
 
 
Nomenclaturas empregadas: 
 Reta horizontal = escala de tempo com progressão da esquerda para a direita; 
 Período de tempo = representados em intervalos contíguos, de modo que cada número representa 
períodos acumulados; 
 Flechas = Para baixo – saída ou aplicação de dinheiro (valor negativo) 
 Para cima – entrada ou recebimento de dinheiro (valor positivo) 
 
 
Juros Simples 
 
 O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema 
não é utilizado na pratica nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática 
Financeira, é de uma certa forma, importante. 
 
 Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período 
de tempo determinado (n). 
 
 A taxa de juros indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em 
porcentagem do capital. 
 
 Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia 
emprestada mais uma quantia que denominamos de juros. 
 
 Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, pode ser escrito com a seguinte 
formula: 
 
 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑛 
Nomenclatura: 
 
J = juros 
C = capital, principal ou valor presente 
i = taxa de juros expressa na mesma unidade de tempo do período 
n = período de capitalização. 
 
 No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos 
no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado Montante (M). Logo, tem-se: 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐶. 𝑖. 𝑛 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖. 𝑛) 
 
 
 
 
 
Ex.: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00, colocado a taxa de 1% a.m. durante 1 ano e 2 
meses. 
 
Solução: 
J = ? 
C = 2.000 
i = 1% a.m = 1/100 = 0,01 
n = 1 ano e 2 meses = 14 meses 
 
𝐽 = 2000 𝑥 0,01 𝑥 14 → 𝑱 = 𝟐𝟖𝟎, 𝟎𝟎 
 
Ex.: Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% 
a.m. 
Solução: 
M = ? 
C = 1.200 
i = 0,5% a.m. = 0,5/100 = 0,005 
n = 2 anos e 6 meses = 30 meses 
𝑀 = 1200(1 + 0,005.30) → 𝑀 = 1200(1,15) → 𝑴 = 𝟏. 𝟑𝟖𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
 
 
 São aquelas que, aplicadas a um mesmo valore presente (capital), geram um mesmo valor futuro, para 
um mesmo intervalo de tempo. 
 
Ex.: Calculara a taxa mensal proporcional a 24% ao ano. 
1º reduzir o tempo a uma mesma unidade 
2º 1 ano = 12 meses 
3º utilize a regra de três para resolver a proporcionalidade 
 
24% → 12 meses X = 24% x 1/ 12 = 24%/12 = 2% ao mês 
X% → 1 mês 
 
 
 
JUROS SIMPLES COMERCIAL E JUROS SIMPLES EXATO 
 
Juros simples comercial (ano comercial): são juros cujo cálculo considera o ano comercial com 360 dias e o mês 
comercial com 30 dias. 
 
Juros simples exato (ano civil): são os juros cujo cálculo considera o ano civil, ou seja, o número exato de dias 
do ano, 365 dias e 366 dias para o ano bissexto e os meses conforme o calendário com 28 (29), 30 e 31 dias. 
 
 Considerando o número exato de dias de cada mês. 
 
 31 dias = janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro. 
 30 dias = abril, junho, setembro e novembro. 
 28 (29) dias = fevereiro 
 
Ex.: Um empréstimo de R$ 12.000,00, realizado em 05/07/2016 foi pago em 29/11/2016. Sendo a taxa de 10,95% 
ao ano, qual o valor total dos juros simples exatos? 
1º passo: determine o número de dias 
05/07 → 31/07 = 26 dias 
01/08 → 31/08 = 31 dias 
01/09 → 30/09 = 30 dias 
01/10 → 31/10 = 31 dias 
01/11 → 29/11 = 29 dias 
Total de dias 147 dias 
 
2º passo: aplicar a formula 
C = 12.000 
N = 147 dias 
i = 10,95% = 10,95%/365 = 0,03% a.d 
J = ? 
 
𝐽 = 12000 𝑥 0,0003 𝑥 147 → 𝑱 = 𝟓𝟐𝟗, 𝟐𝟎 
 
 
 
Exercício: 
 
01- Você tomou emprestado a importância de R$ 4.000,00 pelo prazo de 3 anos, à taca de 30% ao ano. 
Qual o valor dos juros a ser pago? (R. 3.600,00) 
 
02- Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de R$ 12.000,00 pelo prazo de 6 meses, à 
taxa de 2% ao mês. (R. 1.440,00) 
 
03- Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples 
de 18% ao semestre (18% a.s). 
 
04- Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao 
bimestre durante 5 anos? (R. 36.000,00) 
 
05- Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto 
tempo este capital estará duplicado? (R. 20 meses ou 1ano e 8 meses) 
 
06- Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto 
tempo este capital estará triplicado? 
 
07- Qual a taxa mensal proporcional a 240% ao ano. (R.20%) 
 
08- Qual a taxa anual proporcional a 4% ao trimestre. (R. 16%) 
 
09- Qual a taxa semestral proporcional a 6% ao bimestre. (R. 18%) 
 
10- Qual a taxa quadrimestral proporcional a 21% ao ano. (R. 7%) 
 
11- No regime de juros simples e pelo prazo de 24 meses são realizadas as seguintes aplicações 
financeiras: 
 
I. R$ 3.000,00, à taxa de 3,00% ao mês. 
II. R$ 4.000,00, à taxa de 1,50% ao mês. 
III. R$ 6.000,00, à taxa de 2,25% ao mês. 
IV. R$ 7.000,00, à taxa de 4,50% ao mês. 
 
A taxa média proporcional anual dessas quatro aplicações é, em %, igual a 
 
 
a) 22,50. 
b) 24,00. 
c) 36,00. 
d) 11,25. 
e) 18,00. 
 
12- Emprestei para meu irmão R$ 25.000,00 à taxa de 2% ao mês. Qual o montante após 6 meses? (R. 
28.000,00) 
 
13- Qual a capital inicial necessário para que você tenha R$ 22.000,00 daqui a 12 anos, a uma taxa de 
10% em regime de juros simples? (R. 10.000) 
 
14- A que taxa mensal deve ser aplicada a quantia de R$ 200.000,00, para que em 12 meses obtenha-se 
um montante de R$ 248.000,00 no regime de juros simples? (R. 2% a.m.) 
 
15- Qual o período que um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de 2% ao mês, leva para obter um 
montante de R$ 148.000,00 no regime de juros simples? (R. 24 meses) 
 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
 As operações de desconto de títulos diversos são realizadas por bancos, factoring e outras instituições 
financeiras. 
 Todotítulo de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, 
obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Portanto, desconto é a denominação dada a um 
abatimento que se faz quanto um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento. 
 Os títulos de crédito mais utilizados em situações financeiras são: 
 Nota promissória; 
 Duplicata; 
 Letra de cambio; 
 O beneficiário recebe hoje o título que deveria receber no vencimento futuro, descontado o valor do 
deságio (depreciação do valor nominal de um título, para que possa ser liquidado antes do seu vencimento) e 
cessão de direitos creditórios (o credor cede o seu credito – valor a receber numa data – para terceiros). 
 Operações onde se negociam títulos como notas promissórias, duplicatas entre outros. 
 Há dois tipos de Desconto Simples: 
 Desconto Comercial (por fora) ⇒ N 
 Desconto Racional (por dentro) ⇒ A 
Nomenclaturas: 
 Data de vencimento: dia fixado, no título, para pagamento da aplicação. 
 Valor nominal (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) (N): valor indicado no título. 
 Desconto (D): diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 Taxa de desconto (i): taxa utilizada para dar o desconto. 
 
 
 
 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 𝐷𝑟 = 𝐴 . 𝑖 . 𝑛 𝐷𝑐 = 𝑁 . 𝑖 . 𝑛 
𝐷𝑟 = 
𝑁𝑥𝑖𝑥𝑛
1 + 𝑖𝑥𝑛
 𝐴 = 𝑁 (1 − 𝑖 . 𝑛) 
 𝐴 =
𝑁
1+𝑖𝑥𝑛
 
Ex.: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido 
para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. 
Solução: 
N = 10.000 n = 3 meses i = 5% a. m 
𝑨 = 𝑵(𝟏 − 𝒊𝒙𝒏) 
𝑨 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟑) = 𝟖. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
𝑫𝒄 = 𝑵 − 𝑨 𝑫𝒄 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟖. 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Ex.: Uma nota promissória de R$ 5.850 tem vencimento previsto para daqui a 3 meses, para resgatar a mesma 
no dia de hoje foi acordada uma taca de desconto comercial simples de 2% ao mês. Qual o desconto no 
pagamento dessa promissória? 
𝑫𝒄 = 𝑵𝒙𝒊𝒙𝒏 𝑫𝒄 = 𝟓, 𝟖𝟓𝟎𝒙 𝟎, 𝟎𝟐𝒙𝟑 = 𝟑𝟓𝟏, 𝟎𝟎 
𝑫 = 𝑵 − 𝑨 𝟑𝟓𝟏 = 𝟓. 𝟖𝟓𝟎 − 𝑨 𝑨 = 𝟓. 𝟒𝟗𝟗, 𝟎𝟎 
Ex.: Um título de R$ 6.000,00 a ser descontado à taca de 2,1 % a.m. faltando 45 dias para o vencimento do 
título, determine o desconto racional e o valor atual racional. 
N = 6.000 n = 45 dias i = 2,1% a. m = 0,0007 a.d 
𝑫𝒓 =
𝑵𝒙𝒊𝒙𝒏
𝟏 + 𝒊𝒙𝒏
 𝑫𝒓 = 
𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝒙 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝒙 𝟒𝟓
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝒙𝟒𝟓
 = 
𝟏𝟖𝟗
𝟏, 𝟎𝟑𝟏𝟓
= 𝟏𝟖𝟑, 𝟐𝟐 
𝑫 = 𝑵 − 𝑨 𝟏𝟖𝟑, 𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟎𝟎𝟎 − 𝑨 𝑨 = 𝟓. 𝟏𝟖𝟔, 𝟕𝟖 
 
Ex.: Um título de R$ 24.000 foi descontado 6 meses antes a uma taxa de 7% a.m. Nestas condições, quanto a 
pessoa pode obter pelo título? (Desconto por dentro) 
𝑨 =
𝑵
𝟏 + 𝒊𝒙𝒏
 𝑨 = 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝒙𝟔
 = 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟒𝟐
= 𝟏𝟔. 𝟗𝟎𝟏, 𝟒𝟏 
 
Exercício: 
RACIONAL 
(por dentro) 
COMERCIAL 
(por fora) 
D = N - A 
01- Suponha que uma empresa contraia um empréstimo em uma instituição financeira no valor de R$ 
100.000,00, sendo 5% ao mês a taxa de desconto comercial simples e o prazo de vencimento de dois meses. 
Encontre o valor do desconto e o valor atual. (R. Dc=10.000,00 e A= 90.000,00) 
 
02- Uma nota promissória de R$ 190.000,00, vencendo em 95 dias, sofreu R$ 5.145,00 de desconto 
comercial simples. Qual é a taxa anual usada nesta operação? (R. 10,8% a.a.) 
 
03- Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 9.000,00 à taxa de 36% ao ano, resgatada 
75 dias antes do vencimento. 
 
04- Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 420.768,00 oitenta dias antes do seu vencimento, à taxa 
comercial de 49% ao ano, qual o seu valor nominal? 
 
05- Um título no valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses 
antes de seu vencimento e sendo a taxa de 42% ao ano, pede-se calcular o valor do desconto racional simples 
e o valor atual dessa operação. (R. D=380,09 e A= 3.619,91) 
 
06- Uma duplicata foi descontada por R$ 80.000,00, faltando 45 dias para seu vencimento. Vamos 
determinar o valor do desconto racional e o valor da duplicata, utilizando a taxa de juros simples de 5% ao mês. 
(R. D=6.000,00 e N=86.000) 
 
07- Uma nota promissória de R$ 5.850,00 tem vencimento previsto para daqui a 3 meses, para resgatar a 
mesma no dia de hoje foi acordada uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Qual o desconto no 
pagamento dessa promissória? (R. D=351,00 e A= 5.499,00) 
 
08- Qual o valor resgatado por José que trocou um cheque de R$ 5.000,00 com 3 meses de antecedência 
pelo regime de desconto simples por fora de 2% ao mês? (R. 4.700,00) 
 
09- Um título de valor nominal de R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor 
atual é igual a R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi de desconto simples comercial. A taxa anual de 
desconto desta operação foi? (R. 14,40% a.a) 
 
10- Um título foi descontado 6 meses antes de seu vencimento por R$ 3.772,00 pelo regime de desconto 
simples por fora a uma taxa de 6% ao bimestre. Qual o valor do título? (R. 4.600,00) 
 
11- O desconto racional de um título que foi antecipado por 4 meses a 10% ao mês totalizando R$ 
120.000,00. Calcular o valor do título no dia do vencimento? (R. N=42.000,00) 
12- Uma pessoa tinha um título em seu poder e resolveu negociá-lo 3 meses antes do seu vencimento. A 
taxa de juros vigente no mercado é de 8% ao mês. Qual o valor do título nesta situação? (Desconto racional) (R. 
19.354,84) 
13- De quanto será o desconto racional que um título de R$ 8.000, a taxa de 8% ao mês, sofre ao ser 
resgatado em dois meses antes do seu vencimento? (R. 1.141,29) 
14- Uma duplicata, no valor de R$ 120.000 e com vencimento em 4 anos, por quanto será paga hoje se 
sofrer um desconto por dentro de 14% a.a.? 
15- Qual foi o desconto obtido para saldar uma dívida de R$ 8.000 dois meses antes do vencimento e a 
taxa de 12% ao mês? 
16- Uma letra de câmbio foi para 4 meses antes do seu vencimento, com um desconto comercial de 9% ao 
mês, tendo se reduzido para R$ 75.600. Qual era o seu valor de face? 
17- Qual o desconto comercial obtido no resgate de um título de R$ 85.000, 5 meses antes do vencimento, 
a taxa de 8% ao mês? 
18- Calcular o desconto comercial de um título no valor de R$ 60.800, descontado a uma taxa de 42,58% 
ao ano, quando faltavam 128 dias para o seu vencimento. 
19- Um título no valor de R$ 6.800 foi resgatado 58 dias antes do vencimento, pelo valor de R$ 6.442,30. 
Calcular a taxa de desconto racional mensal. 
20- Qual o valor resgatado por José que trocou um cheque de R$ 5.000, com 3 meses de antecedência 
pelo regime de desconto por fora de 2% ao mês? 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 No regime de juros compostos a base de cálculo será sempre o montante, ou seja, os juros são 
calculados em cima de resultado do montante e não mais do capital como nos juros simples. A cada período, os 
juros são incorporados ao capital principal e passam a rende juros. Usualmente chamados de “juros sobre juros”. 
 
Ex.: José aplicou um valor de R$ 15.000 no banco, durante um período de 3 anos, a uma taxa de juros compostos 
de 10% ao ano. Qual será o rendimento gerado ao final de três anos? 
 No primeiro ano o capital inicial ( C ) de 15.000, multiplicado pela taxa ( i ) de 10%, gerou um juro de 
1.500,00. O montante do primeiro ano foi de R$ 16.500,00. 
 No segundo ano os juros gerados foram o valor do montante ( M ) do primeiro ano, multiplicado pela 
taxa de 10%, gerou um juro de 1.650,00 e um montante de R$ 18.150,00. 
 No terceiro ano os juros gerados foram o valor do montante do segundo ano, multiplicado pela taxa de 
10%, gerou um juro de 1.815,00 e ummontante final de 19.965,00. 
 
 Resumo do demonstrativo de rendimento sobre o capital de R$ 1.500,00, aplicado por José no período 
de três anos. 
Período (ano) Capital (R$) Juros (R$) Montante (R$) 
1º 15.000,00 1.500,00 16.500,00 
2º 16.500,00 1.650,00 18.150,00 
3º 18.150,00 1.815,00 10.965,00 
 
Para descobrir os rendimentos de uma capitalização composta, pode ser feita utilizando os formulários. 
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 𝑛 = 
ln (
𝑀
𝐶 )
ln(1 + 𝑖)
 𝑖 = √
𝑀
𝑐
𝑛
 − 1 
 𝑀 = 𝐽 + 𝐶 ≫ 𝐽 = 𝐶 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
 
 
Ex.: Maria decidiu comprar um carro e, para tanto, decidiu tomar um empréstimo no banco em que é correntista. 
Para adquiri o carro zero, Maria solicitou R$ 35.000,00, que serão pagos em 36 meses, a uma taxa de 2,5% ao 
mês de juros compostos. Qual será o montante pago por Maria ao final do prazo de financiamento? 
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 33.000(1 + 0,025)36 
 𝑀 = 33.000𝑥 2,432535 
 𝑀 = 80.273,66 
O montante pago por Maria pelo novo carro é de R$ 80.273,66. 
Ex.: Rafael fez uma aplicação no banco no valor de R$ 15.000,00 a juros compostos. Após um período de 2 
meses, ela recebeu o montante de R$ 25.350,00. Descubra a que taxa de juros esse capital foi aplicado. 
𝑖 = √
𝑀
𝑐
𝑛
 − 1 𝑖 = √
25.350
15.000
2
 − 1 
 𝑖 = 1,3 − 1 𝑖 = 0,3 → 30% 
O capital de Rafael foi aplicado a uma taxa de 30% ao mês. 
Ex.: Qual os juros de uma aplicação de R$ 5.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês, durante 6 meses? 
𝐽 = 𝐶 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝐽 = 5.000 [(1 + 0,015)6 − 1] 
 𝐽 = 5.000 (1,093443 − 1) ≫ 𝐽 = 5.000 𝑥 0,03443 = 467,22 
Ex.: Em quanto tempo um capital de R$ 16.000,00 gera um montante de R$ 20.155,93, considerando-se uma 
taxa composta de 8% ao mês? 
𝑛 = 
ln (
𝑀
𝐶 )
ln(1 + 𝑖)
 𝑛 = 
ln (
20.155,93
16.000 )
ln(1 + 0,08)
 
 𝑛 = 
ln 1,259746
ln 1,08
 𝑛 = 
0,230910 
0,076961
 𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Exercícios: 
01- Qual o valor do montante correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, aplicado durante um prazo 
de 18 meses, sendo cobrada uma taxa de 3% ao mês? 
 
02- Qual o valor tomado emprestado por uma pessoa, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 5% ao mês, 
sabendo que o montante ao final do prazo é de R$ 24.000,00? 
 
03- Qual a taxa de juros compostos cobrada em um empréstimo de R$ 1.800,00, a ser resgatado por R$ 
3.184,00, ao final de 2 anos? 
 
04- A que taxa de juros compostos mensais o capital de R$ 2.500,00 rende juros de R$ 1.200,00 em 2 
meses? 
05- Qual o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 que ficou aplicado durante 3 meses à taxa 
de 5% ao mês de juros compostos? (R. 1.157,63) 
 
06- Qual o montante de uma aplicação de R$ 8.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 3% ao mês, pelo 
prazo de 15 meses? (R. 12.463,74) 
 
07- Quais os juros de uma aplicação de R$ 5.000,00, no regime de juros compostos, a uma taxa de 1,5% 
ao mês, durante 6 meses? (R. 467,22) 
 
08- Um capital de R$ 10.000,00 aplicado por 4 meses gerou um montante de R$ 12.155,06. Qual a taxa 
dessa operação? (R. 5% a.m.) 
 
09- Qual o preço à vista de uma mercadoria que pode ser adquirida através de um pagamento de R$ 400,00 
após 3 meses. Considere uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. (R. 376,93) 
 
10- Qual a taxa bimestral aplicada a R$ 1.000,00 de modo a gerar R$ 3.000,00 após 7 bimestres. (R. 17% 
a.b.) 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
TAXA NOMINAL: 
 Apesar de vermos que o juro só é formado no final de cada período, na prática vemos com frequência 
anúncios do tipo: 
 Juros de 64% ao ano, capitalizados mensalmente; 
 Juros de 425% ao ano, capitalizados bimestralmente. 
Convencionou-se, então, chamar de taxas nominais essas taxas com capitalizações diferentes dos 
períodos anunciados nos juros. Portanto, taxas nominais são aquelas cujo período de capitalização não coincide 
com aquele a que se refere a taxa. Também, por convenção, adotou-se que a taxa por período de capitalização 
seja proporcional à taxa nominal. 
𝑖𝑘 = 
𝑖
𝑘
 
Converte a taxa nominal para efetiva 
 
Multiplica-se ou divide-se a taxa pela capitalização. 
Ex.: 20% a.b/m ⇒ ?% a.m/m ⇒ 10% a.m/m 
 20% / 2 = 10% 
Ex.: 30% a.t/m ⇒ ?% a.m/m ⇒ 10% a.m/m 
 30%/ 3 = 10% 
Ex.: 120% a.a/b ⇒ ?% a.b/b ⇒ 20% a.b/b 
 120%/4 = 20% 
Ex.: 0,3% a.d/m ⇒ ?% a.m/m ⇒ 9% a.m/m 
 0,3% * 30 = 9% 
Ex.: 2% a.m/a ⇒ ?% a.a/a ⇒ 24% a.a/a 
 2% * 12 = 24% 
 
Ex.: um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 3 anos a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual é o 
valor futuro? 
C = 25.000 
i = 24%a.a/t ⇒ 6% a.t/t 
n = 3 anos = 12 trimestres 
M = 25.000 (1+0,06)12 ⇒ M = 25.000 * 2,0122 ⇒ M = 50.304,91 
 
TAXA EFETIVA: É a taxa que dá a mesma remuneração financeira, pois rendem o mesmo valor. É a taxa anual 
equivalente à taxa do período de capitalização pedido. 
𝑖𝑝 = [(1 + 𝑖)
𝑛𝑝
𝑛𝑞⁄ − 1] 
Nomenclatura: 
ip = taxa efetiva (taxa que se procura) 
i = taxa nominal 
np = número de capitalizações, em dias, para um período da taxa efetiva 
nq = número de capitalizações, em dias, para um período da taxa nominal 
 
Ex.: 21% a.b/b ⇒ ?% a.m/m 
𝑖𝑝 = [(1 + 0,21)
30
360⁄ − 1] ⇒ 𝑖𝑝 = [1,1 − 1] = 0,1 𝑥 100 = 10% 𝑎. 𝑚/𝑚 
 
 
Exercício: 
01- Encontre a taxa equivalente em cada um dos casos a seguir: 
 
a) Ao trimestre com capitalização trimestral de 66,20% ao ano/s. (R. 15,37%) 
b) Ao trimestre com capitalização trimestral de 42% ao quadrimestre/b. (R. 33,10%) 
c) Ao mês com capitalização mensal de 30% ao ano/m. (R. 2,5%) 
d) Ao semestre com capitalização mensal de 75% ao ano/b. (R. 36,40%) 
e) Ao semestre com capitalização semestre de 30% ao ano/t. (R. 15,56%) 
f) Ao ano com capitalização trimestral de 7,5% ao quadrimestre/q. (R.22,2952%) 
g) Aos 75 dias com capitalização aos 75 dias de 70% aos 33 dias/33d. (R. 234%) 
 
02- Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal? 
 
a) 12,616% ao semestre. 
b) 24% ao ano. 
c) 12% ao semestre. 
d) 4,803% ao bimestre. 
e) 5,75% ao trimestre 
 
03- A taxa anual equivalente a 3,5% ao mês, a juros compostos, e a taxa mensal equivalente a 54% ao 
ano, a juros simples, são, respectivamente, 
 
a) 42,00% e 3,44%. 
b) 49,51% e 4,12%. 
c) 42,00% e 3,88%. 
d) 48,17% e 3,44%. 
e) 51,11% e 4,50%. 
04- Considere as seguintes afirmações: 
 
I – As taxas de juros de 0,50% ao mês e 6,00% ao ano são proporcionais entre si. 
II –A taxa efetiva anual de juros de 12,00% ao ano capitalizados semestralmente é 12,36%. 
III – As taxas de juros de 5,00% ao mês e 15,00% ao trimestre são taxas equivalentes entre si, em juros 
compostos. 
 
Estão corretas 
 
a) apenas a I 
b) apenas a II 
c) apenas a I e a II 
d) apenas a I e a III 
e) apenas a II e a III 
 
05- Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado 
ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%? (R. 9.325,82) 
 
06- Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 
1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? (R. 21.225,92) 
 
 
07- Uma fatura de cartão de crédito foi paga com dois meses de atraso, e o valor pago, incluindo os 
25% de juros correspondentes ao bimestre, foi de R$ 1100,00. O valor da fatura sem os juros era de 
 
a) R$ 825,00. 
b) R$ 842,00. 
c) R$ 860,00. 
d) R$ 874,00. 
e) R$ 880,00. 
08- Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 24% a.a. com capitalizações 
bimestrais. Depois de quatro meses de capitalização sem que houvesse qualquer depósito adicional ou qualquer 
retirada, o proprietário desse montante faz um saque de R$ 608,00 e o restante do dinheiro continuou a ser 
capitalizado nas mesmas condições. 
Seis meses após o início dessa aplicação, o valor acumulado era: 
a) R$5.000,00; 
b) R$ 4.998,00; 
c) R$ 4.992,00; 
d) R$ 4.948,00; 
e) R$ 4.942,00. 
 
09- Um bem, cujo preço à vista é R$ 500,00, será adquirido por meio de duas prestações mensais 
consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira delas paga um mês após a compra. Nessa venda, a taxa mensal 
de juros compostos aplicada é: 
 
a) 20%; 
b) 25%; 
c) 30%; 
d) 40%; 
e) 50%. 
10- A Cia. Endividada tinha que liquidar uma dívida no valor de R$ 200.000,00 em determinada data, 
porém precisou negociar a prorrogação do prazo de pagamento por não dispor de liquidez. O credor aceitou 
prorrogar o pagamento por 90 dias e negociou a remuneração com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. 
O valor devido pela Cia. Endividada, no final do prazo de prorrogação, foi, em reais, 
 
a) 212.000,00. 
b) 212.241,60. 
c) 208.080,00. 
d) 216.000,00. 
e) 216.486,43. 
11- Um contrato de prestação de serviços prevê, em caso de atraso do pagamento do serviço realizado, 
a cobrança de juros de 1% ao mês, sobre o saldo devedor, ou seja, no regime de juros compostos. Além disso, 
há uma multa adicional de 2% sobre o valor do serviço previsto no contrato. Considere que o comprador pagou 
com atraso de 6 meses um contrato nesses moldes, cujo valor era de 100 milhões de reais, e que nenhum 
pagamento intermediário fora efetuado nesse período. (R. d ) 
Assim, o valor mais próximo do total pago nessa operação, incluindo multa e juros, foi de 
 
a) R$ 106.152.000,00 
b) R$ 106.200.000,00 
c) R$ 108.000.000,00 
d) R$ 108.152.000,00 
e) R$ 108.275.000,00 
 
 
 
 
 Desconto, no regime de capitalização composta é como no simples, corresponde à quantia a ser 
abatida do valor nominal antes do vencimento. O valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 Utilizamos o desconto composto nas operações de longo prazo onde, o desconto simples pode ter 
resultados sem nexo. 
 O desconto composto pode também ser comercial (não é usado no Brasil) e racional (utilizado no 
Brasil). 
 
Desconto composto racional 
 É o desconto obtido pela diferença entre o valor futuro ou nominal e o valor presente ou atual de um 
compromisso, que seja saldado n períodos antes do vencimento, à uma determinada taxa. 
𝐷𝑐 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷𝑐 = 𝑁[1 − (1 − 𝑖)𝑛] 𝐴 = 𝑁(1 − 𝑖)𝑛 
 
 
 
DESCONTO COMPOSTO 
Desconto racional composto 
 Como vemos, o desconto racional composto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor 
atual. 
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷𝑟 = 𝑁 [1 −
1
(1 + 𝑖)𝑛
] 𝐴 =
𝑁
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
EXERCÍCIOS: 
01- Determine o valor atual de um título de R$ 12.500,00, saldado 9 meses antes do vencimento , à taxa 
de desconto composto de 2,7% ao mês. 
02- Qual o desconto composto que um título de R$ 9.850,00 sofre ao ser descontado, 8 meses antes do 
seu vencimento, à taxa de 3,75% ao mês? 
03- Um título no valor de R$ 29.500,00 foi saldado 2 meses antes do seu vencimento. O possuidor do título 
obteve uma taxa de desconto composto de 1,8% ao mês. Qual foi o desconto racional e qual a quantia recebida? 
04- Um título de valor nominal de R$ 48.860,00 foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, tendo sido 
contratada a taxa de 2,45% ao mês. Qual foi o desconto racional concedido? 
05- Ao descontar uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 no vencimento, a financeira informou 
que sua taxa era de 45% ao ano. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do vencimento, qual seria o valor 
líquido (valor de resgate) recebido pelo possuidor do título? 
06- Em um título no valor de R$ 11.000,00 o desconto sofrido foi de R$ 1.005,60. Se a taxa de juros de 
mercado for de 2,5% ao mês, qual será o prazo de antecipação? 
07- Com uma antecipação de 8 meses, o valor nominal de um compromisso é de 7 vezes o desconto 
racional. Qual é o seu valor nominal, se o valor de resgate é de R$ 13.564,00? 
08- Pedro receberia R$ 60.000,00 como parte de sua herança. Contudo, necessitando do dinheiro 5 meses 
antes da data do recebimento, propõe a um amigo a venda dos seus direitos por R$ 56.954,02. Que taxa de 
juros anual Pedro pagou? 
09- Numa antecipação de 7 meses, o desconto racional composto foi de R$4.718,94. Qual é o valor nominal 
do título, uma vez que a taxa de juro anual é de 42%? 
10- O quociente do valor de resgate sobre o valor atual descontado racionalmente é de 1,04598 
considerando-se uma antecipação de 85 dias. Qual é a taxa de juros anual? 
11- Se o valor nominal for igual a 52 vezes o seu desconto racional resultante de um resgate, 3 meses 
antes do vencimento, qual é a taxa de juro anual? 
12- Ao descontar uma nota promissória no valor de R$ 16.960,00 no vencimento, a financeira informou 
que sua taxa era de 44% ao ano, em regime de juro composto. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do 
vencimento, qual seria o valor líquido recebido pelo possuidor do título? 
 
RENDAS CERTA OU ANUIDADES 
 
Rendas certas ou anuidades 
 Quando uma série de pagamentos tem valores variáveis e periodicidade diferente é necessário que se 
resolva como se cada aplicação ou pagamento fosse independente, o que acarreta, na maioria das vezes, uma 
sobrecarga de cálculos. À uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, com intervalo de tempo iguais, 
chamamos de “rendas certas ou anuidades” e, para elas temos mecanismos que facilitam a resolução dos 
cálculos. 
 Denomina-se renda à sucessão de depósitos (capitalizações) ou de prestações (amortizações), em 
épocas diferentes, destinadas a formar um capital ou pagar uma dívida. 
 Nas aplicações financeiras, quando o objetivo é constituir um capital em data futura, tem-se o processo 
de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida tem-se o processo de amortização. 
 Pode ocorrer também o pagamento pelo uso sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis. 
 As rendas ou anuidades, quanto à forma de pagamento ou de recebimento, podem ser de dois tipos: 
 Rendas certas ou determinísticas: aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não 
dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros como o valor dos termos, o prazo de duração, a 
taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis (Matemática Financeira). Podem ser constituídas por aplicações iguais 
e em série, com a finalidade de se formar um montante num futuro pré-estabelecido, prestações assumidas hoje, 
como forma de empréstimo, prestações de bens adquiridos, etc. 
 Rendas aleatórias ou probabilísticas: ocorre quando, pelo menos um dos parâmetros é uma variável 
aleatória, isto é, não pode ser previamente determinada. O número de termos é indeterminado (Matemática 
Atuarial). 
 
Definições importantes 
 
 Anuidade ou renda certa: capitais (pagamentos ou recebimentos) referidos à uma dada taxa de juros i; 
 Termos da anuidade: valores que constituem a renda; 
 Período: intervalo de tempo entre dois termos; 
 Duração da anuidade: soma dos períodos; 
 Valor atual ou presente de uma anuidade: soma dos valores atuais dos seus termos, para uma mesma 
data focal, à uma taxa de juros. 
 Montante ou valor futuro da anuidade: soma dos montantes dos seus termos, à uma mesma taxa de 
juros e uma mesma data focal. 
Classificação das anuidades 
 Uma série de pagamentos ou recebimentos é representada por um fluxo de caixa. Os fluxos de caixa 
podem ser verificados das mais variadas formas e tipos. 
Quanto à periodicidade: 
 Periodicidade: todos os períodos são iguais. 
 Não periódicas: os períodos não são iguais entre si. 
Quanto ao prazo: 
 Temporárias: a duração é limitada (1 ano, 5 anos). 
 Perpetuas: a duração é ilimitada (seguros de vida). 
Quanto ao valor dos termos: 
 Constantes: todos os termos são iguais. 
 Variáveis: os termos não são iguais entre si. 
Quanto à forma de pagamento ou de recebimento: 
 Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
 Diferidas: quando os termossão exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. 
o Postecipadas ou vencidas: os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
o Antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VP VF 
 
ANTECIPADOS 
 
VENCIDOS 
 
 
 VP VF 
ANTECIPADOS 
 
VENCIDOS 
 
 
IMPORTANTE: 
 Para resolver os problemas a taxa de juros ( i) e o período (n), tem que estar sempre na mesma 
unidade de tempo das parcelas (PMT). 
 
Passos para resolver exercícios. 
1º Passo: definir se é um problema envolvendo VP ou VF. 
2º Passo: verificar se é termo antecipado ou vencido. 
3º Passo: escolher qual fórmula utilizar. 
4º Passo: verificar se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo das prestações. 
Ex.: Qual será o montante ao final de 5 anos, que um investidor terá poupado, se começar hoje a depositar R$ 
200,00 por mês, sendo a taxa de juros de 1% ao mês? 
 
 
 
EX.: Uma televisão que à vista custa R$ 1.800,00, será parcelada em 24 prestações mensais, sendo o primeiro 
pagamento para o próximo mês. Sabendo que a taxa de juros é de 20% ao ano, qual o valor das parcelas? 
 
Ex.: Se quero juntar R$ 20.000,00, fazendo depósitos de R$ 420,385 mensais, a partir do próximo mês, em 
uma aplicação que rende uma taxa de 9,2727% ao trimestre, quantos anos eu demoraria para conseguir meu 
objetivo? 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
01- Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante 5 anos, para 
que possa resgatar R$ 200.000,00 no final dos 60 meses, sabendo-se que o fundo proporciona um rendimento 
de 2% ao mês? 
02- Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para 
acumular um montante de R$ 100.516,08? 
03- Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações 
mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? 
04- Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 
cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês. 
05- Calcule o número de prestações mensais de R$ 15.000,00 cada um, capazes de liquidar um 
financiamento de R$ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre. 
06- Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R$ 1.000,00 por mês, à taxa de 
3% ao mês? 
07- Uma financeira anuncia que seus coeficientes para financiamento de carros em 24 meses são: 
a) carro zero Km = 0,06480 
b) carro usado = 0,06815 
Se uma pessoa quiser financiar R$ 20.000,00 em 24 meses na compra de um carro zero Km, pergunta-se 
quanto deverá pagar de prestação mensal? 
 
Anuidades antecipadas 
01- Qual é o valor futuro de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00 à taxa de 1,5% ao 
mês? 
02- Quanto se deve depositar no início de cada semestre, com antecipação, numa instituição financeira que 
paga 9% ao semestre, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no final de 3 anos, sendo os juros capitalizados 
semestralmente? 
03- Qual o montante a receber ao final do 5º mês, resultante da aplicação de 5 prestações mensais iguais 
e consecutivas de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação será feita na data do 
contrato? 
04- Determinar o valor de um imóvel financiado em 24 prestações iguais de R$ 5.054,03 sabendo-se que a 
taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação deverá ser paga no ato da assinatura do 
contrato. 
05- Uma certa pessoa compra uma mercadoria em 24 prestações iguais de R$ 630,64 sendo que a primeira 
prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa do mercado é de 4% ao mês, qual será o preço à vista 
da referida mercadoria? 
06- Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo-se que seu ganho é de 1,5% ao mês, 
quanto possuirá em 2 ½ anos? 
07- Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser depositadas, à taxa de 2% ao mês, a 
fim de constituir um montante de R$ 6.706,00? 
 
 
RENDA OU ANUIDADE DIFERIDA (COM CARÊNCIA) 
 
 As rendas ou anuidades diferidas são aquelas em que o 1º termo é exigível a partir de um certo período, 
denominado período de carência. Tudo como se os termos fossem transladados de um intervalo de tempo igual 
à carência. 
 Carência é um prazo entre a assinatura do contrato e o pagamento da primeira parcela. 
Nomenclaturas: 
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
PMT = valor das parcelas ou termos 
 
 
 
Ex.: Uma pessoa compra um produto em onze parcelas de R$ 100,00. Sabendo que o primeiro pagamento só 
se dará após 3 meses (carência), qual o preço à vista do produto, com uma taxa de juros de 1% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Compostos 
Período de 
Carência 
Série de pagamentos vencidas ou antecipadas ????? 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
01- Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser quitado em 5 prestações mensais iguais 
e consecutivas. Sabemos que a 1ª prestação tem o seu vencimento 90 dias após a data do contrato e que a taxa 
de juros cobrada pelo Banco X é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações. 
02- Antônio compra de um amigo, um apartamento cujo valor à vista é de R$ 150.000,00 nas seguintes 
condições: entrada de R$ 50.000,00 mais prestações mensais de R$ 18.598,04 com um ano de carência. 
Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 4,5% ao mês, qual o número de prestações? 
03- Qual o valor atual ou presente de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00 com três meses de 
carência, à taxa de 1,5% ao mês? 
04- Qual o valor presente de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$ 500,00, 
sendo de 2% a taxa de juros e devendo a primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o 
empréstimo? 
05- Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 6 pagamentos bimestrais consecutivos, sendo de 
4% ao bimestre a taxa de juros. Calcule esta prestação, sabendo-se que o pagamento da primeira delas deve 
ser efetuado 4 meses após a realização do empréstimo. 
 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
 
 
 Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de longo prazo. 
 Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e 
financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. 
 Os problemas mais importantes num empréstimo de longo prazo dizem respeito à explicitação do sistema 
de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros efetivamente cobrada. 
 Existem várias maneiras de amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem 
estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário). 
 Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da forma pela qual 
o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital. 
 
Definições básicas 
 
Encargos financeiros – representam os juros da operação, caracterizando-se como custo para o devedor e 
retorno para o credor. 
Amortização – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, 
geralmente, através de parcelas periódicas (mensais, trimestrais, etc). 
Saldo devedor – representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução do valor 
já pago pelo credor a título de amortização. 
Prestação – é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período 
de tempo. Assim: 
Prestação = Amortização + Encargos 
Carência – muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferimento na data convencional 
do início dos pagamentos. 
 
Sistema de amortizações constantes – SAC 
 O credor exige a devolução de principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. 
 
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
 ≫ 𝐴 =
𝑉𝑃
𝑛
 
 
Ex.: Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi adquirido a uma taxa de 10% ao mês, pagando em 4 prestações. 
Construa a planilha financeira de amortizações de uma dívida pelo sistema de amortização constante (SAC). 
𝐴 =
1.000
4
= 250 
Período PMT J A VP 
0 - - - 1.000 
1 350 100 250 750 
2 325 75 250 500 
3 300 50 250 250 
4 275 25 250 - 
Total 1.250,00 250,00 1.000,00 
 
Ex.: Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo-se que o principal 
será amortizado em prestações semestrais, no prazo de 5 anos e que a taxa cobrada é de 30% ao ano, 
construa a planilha. 
 
Período PMT J A VP 
0 - - - 100.000 
1 24.017,50 14.017,50 10.000 90.000 
2 22.615,80 12.615,80 10.000 80.000 
3 21.214,00 11.214,00 10.000 70.000 
4 19.812,30 9.812,30 10.000 60.000 
5 18.410,50 8.410,50 10.000 50.000 
6 17.008,80 7.008,80 10.000 40.000 
7 15.607,00 5.607,00 10.000 30.000 
8 14.205,30 4.205,30 10.000 20.000 
9 12.803,50 2.803,50 10.000 10.000 
10 11.401,80 1.401,80 10.000 - 
Total 177.096,50 77.096,50 100.000,00 
 
 
Sistema de amortização francês – SAF – Tabela Price 
Cálculo da Prestação 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 [
(1 + 𝑖)𝑛𝑥 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
] 
Ex.: Um banco empresta R$ 100.000,00 entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que o banco 
utiliza o sistema francês, que a taxa contratada seja de 30% ao ano e que o banco quer a devolução em 5 
anos, com prestações semestrais, construa a planilha. 
𝑖𝑝 = [(1 + 0,3)
180
360⁄ − 1] = 0,140175 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
𝑃𝑀𝑇 = 100.000 [
(1 + 0,140175)10𝑥 0,140175
(1 + 0,140175)10 − 1
] ≫ 𝑃𝑀𝑇 = 100.000 [
0,520460
2,712916
] ≫ 
 𝑃𝑀𝑇 = 100.000 𝑥 0,191845 ≫ 𝑃𝑀𝑇 = 19.184,40 
Período PMT J A VP 
0 - - - 100.000 
1 19.184,40 14.017,50 5.166,90 94.833,10 
2 19.184,40 13.293,20 5,891,20 88.941,80 
3 19.184,40 12.467,40 6.717,00 82.224,80 
4 19.184,40 11.525,90 7.658,60 74.566,20 
5 19.184,40 10.452,30 8.732,10 65.834,10 
6 19.184,40 9.228,30 9.956,20 55,877,90 
7 19.184,40 7.832,70 11.351,80 44.526,20 
8 19.184,40 6.241,50 12.943,00 31.583,90 
9 19.184,40 4.427,20 14.757,30 16.825,90 
10 19.184,40 2.358,60 16.825,90 - 
Total 191.844,00 91.844,00 100.000 
 
EXERCÍCIOS: 
01- Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% ao ano, será pago em 5 prestações anuais. O valor 
da primeira prestação, a pagar pelo SAC, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, 
respectivamente de: 
a) 200 e 800 
b) 200 e 900 
c) 300 e 700 
d) 300 e 800 
e) 300 e 900 
02- Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser paga em 100 prestações mensais, no 
SAC. Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a primeira prestação, 
se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em: 
a) 100% 
b) 50% 
c) 25% 
d) 10% 
e) 5% 
03- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira paga 30 dias após o 
empréstimo, com juros de 10% ao mês, no SAC. O valor, em reais, da terceira prestação será: 
a) 50,00 
b) 55,00 
c) 60,00 
d) 65,00 
e) 70,00 
04- Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações constantes anuais, sem carência. A 
taxa de juros contratada é de 8% ao ano. Construir a planilha de financiamento. 
05- O Banco L&S emprestou R$ 240.000,00 pagos no ato, à taxa de 9% ao ano. O prazo total para a 
amortização do financiamento é de 3 anos e meio. O pagamento de juros e das amortizações constantes deve 
ser semestral. Construir a planilha. 
06- Uma empresa recebe um financiamento de R$ 300.000,00 para ser pago em 6 prestações anuais, pelo 
Sistema Francês. Construir a planilha, considerando a taxa de juros de 20% ao ano. 
07- Usar o exercício anterior para 6 parcelas semestrais, com taxa efetiva. 
08- Um empréstimo de R$ 70.000,00 será realizado à uma taxa de 26% ao ano, num período de 2 anos, com 
prestações quadrimestrais. Pergunta-se: 
a) qual o valor da 4ª amortização pelo SAC; 
b) qual o valor da 6ª prestação pelo SAF; 
c) qual o valor da 2ª prestação pela Tabela Price; 
d) qual o valor do 2º saldo devedor, 2ª amortização, 2º juro e 2ª prestação pelo SAF; 
e) quais os valores da amortização, do juro e da prestação de 2º período pelo SAC; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
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CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira. 3a ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 1988 
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NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplicações. 4a ed. São Paulo: Atlas, 1998 
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SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. Aplicações à Análise de Investimento. São Paulo: Makron 
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ZIMA, Peter. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995