VETORES E ESPAÇOS VETORAIS

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 1: Vetores e Espaços Vetoriais – parte I
Apresentação
Nesta aula, vamos trabalhar o conceito de vetores e suas possíveis aplicações.
Além disso, discutiremos a representação dos vetores no plano e no espaço e
também a determinação do ângulo entre vetores.
Objetivos
Identificar vetores e reconhecer suas principais aplicações;
Esboçar vetores no plano e no espaço;
Determinar o ângulo formado entre vetores.
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Você se lembra o que é grandeza
escalar e grandeza vetorial?
Quando você diz que:
Um terreno possui 100m².
Um refrigerante de 2L está em promoção no supermercado.
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Fará um dia “quente”, pois a temperatura prevista é de
38°C.
Você apresenta uma informação perfeitamente caracterizada.
E uma grandeza caracterizada perfeitamente apenas pelo seu módulo, ou
seja, por meio de um número e uma unidade de medida correspondente,
denomina-se grandeza escalar.
Já quando você lê a notícia:
“O avião que sofreu uma pane seca se deslocava
com uma velocidade constante de 400 km/h”, algumas
perguntas podem surgem, como, por exemplo:
“Em qual direção esse avião ia?” ou “Em que sentido
ele estava?”.
Logo, as grandezas que não são completamente definidas apenas por seu
módulo são denominadas de grandezas vetoriais.
É o caso da força, da velocidade e da aceleração de grandezas, que
necessitam de módulo, direção e sentido.
Vetor
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Se uma grandeza vetorial sugere a noção de vetor, qual é, então, o conceito
apropriado para vetor?
Um vetor pode ser entendido e representado como um segmento
orientado.
Um segmento está orientado quando nele há um sentido de percurso,
considerado positivo.
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma
direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são
representantes de um vetor.
A Figura 1 ilustra este conceito:
Figura 1: Representação do vetor 
¯
AB ou B – A em forma de uma seta em
branco. Todos os vetores de mesmo sentido, direção e comprimento de AB
representam o mesmo vetor. A é a origem e B é a extremidade do segmento.
Um vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada
por uma seta (→v), como nos mostra a Figura 2.
Logo, quando escrevemos →v =
¯
AB afirmamos que o vetor →v é determinado pelo
segmento orientado AB ou qualquer outro segmento de mesmo comprimento,
mesma direção e mesmo sentido de AB.
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Figura 2: Representação do vetor →v na forma de uma seta em branco. O
segmento orientado 
¯
AB possui origem em A e extremidade em B.
O vetor →v também pode ser chamado de vetor livre, pois cada ponto do
espaço pode ser considerado como a origem de um segmento orientado que é
representante do vetor →v.
Na Figura 3, você pode verificar uma consequência direta disso:
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Figura 3: Representação dos vetores →v e (
→
PQ) (setas em branco). Dados o
vetor →v e um ponto P, existe apenas um só ponto Q tal que o segmento
orientado PQ tenha o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo
sentido de →v.
Casos particulares de vetores
Dois vetores →u e →v são paralelos (→u // →v), se os seus representantes tiverem a
mesma direção (Figura 4).
Figura 4: Os vetores →u, →v e →w são paralelos (setas em branco), ou seja, →u // →v
// →w. Observe que os vetores →v e →w apresentam sentidos opostos ao vetor →u.
Além disso, o vetor →w possui um módulo (comprimento) maior do que o do
vetor →u.

Atenção
Dois vetores →u e →v são iguais (→u = →v ), se tiverem o módulo, a
direção e o sentido iguais;
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Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor
nulo), que é indicado por 
→
0 ou 
¯
AA (a origem coincide com a
extremidade). O vetor zero é paralelo a qualquer vetor, pois não
possui direção e sentido definidos;
A cada vetor não nulo, →v corresponde a um vetor oposto -→v , que
possui mesmo módulo e mesma direção de →v, porém em sentido
contrário (Figura 5).
Figura 5: Vetores opostos (setas em branco) – a origem e a extremidade dos
vetores estão invertidas, assim, se →v = 
¯
AB = B - A, então - →v = 
¯
BA = A - B.

Atenção
Dois ou mais vetores são coplanares, se existir algum plano no qual
esses vetores estão representados.
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É importante observar que dois vetores →u e →v quaisquer são sempre
coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele,
traçar dois representantes de →u e →v pertencendo ao plano π que passa por
aquele ponto (Figura 6). Três vetores podem ser coplanares ou não (Figura 7).
Figura 6: Os vetores →u e →v são não paralelos e tem origem comum no ponto
P. Os vetores determinam “a direção” do plano π, que é a mesma de todos os
planos que lhe são paralelos.
Observe na Figura 7 que três vetores podem ser coplanares ou não:
Figura 7: Três vetores →w, →u e →v (setas em branco). Coplanares à esquerda e
não coplanares à direita.
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Módulo de um vetor
O módulo de um vetor →v é representado por |vˉ| ou ǁ→vǁ
Um vetor é unitário se |vˉ|=1.
A cada vetor →v, →u ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma
direção de →u: →u e -→u (Figura 8).
Figura 8: O vetor →v (seta em verde) tem módulo igual a 3. Os vetores →u e -→v
(setas em branco) têm módulo igual a 1. Os vetores →u e −→u são unitários do
vetor v e possuem a mesma direção.
Vetores no plano cartesiano
Em geral, todo vetor →v do plano cartesiano pode ser associado a um par
ordenado (a, b) do ℜ . Escrevemos: →v = (a, b).
Quando a e b são, nesta ordem, as medidas algébricas das projeções de →v nas
direções (orientadas) dos eixos x e y, dizemos que →v é o vetor de
componentes (ou coordenadas) a e b.
2
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Podemos também calcular as componentes de um vetor →v a partir das
coordenadas das extremidades de um segmento orientado que o representa.
Se →v = 
¯
AB, A = (x, y ) e B = (x , y ), então:
→v = (x , y - y ),
ou seja,
→v = 
¯
AB = B - A

Exemplo
Dado o vetor v = 
¯
AB, onde A = (2,1) e B = (3,-2):
a) Represente o vetor no plano cartesiano (Figura 9).
b) Calcule o módulo do vetor →v.
c) Calcule o versor de →v.
Figura 9: Representação do vetor →v através do segmento orientado 
¯
AB e
através do par ordenado (a,b) no plano cartesiano.
1 2 2
2 2 1
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Resolução:
Observe que o segmento orientado 
¯
AB tem início em A = (2,1) e
extremidade em B = (3,-2). O vetor →v na forma de par ordenado possui
origem em (0,0) e extremidade em (1,-3).
→v =(x − x , y − y ) = (3−2, − 2−1)
→v =(1, −3)
Módulo do vetor:
ǁ→vǁ= x2 - x1 )
2 + y2 - y1 )
2 = √ 1)2 + - 3)2
ǁ→vǁ= √10
Versor de →v:
→u = 
→v
|| →v ||
= 
( 1 , - 3 )
√10
 =
1
√10
, - 
3
√10
= 
√10
10 , - 
3√10
10
Para confirmar que →u é um vetor unitário, calculamos:
||→u|| = 
√10
10
2
 - 
3√10
10
2
= 
1
10 +
9
10 = √1 = 1
2 1 2 1
√( ( ( (
( ) ( )
√ ( ) ( ) √
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Atividade
1. Dado o vetor 
¯
AB, onde A(-1,2) e B(3,-2), o versor de 
¯
AB é dado por:
 a) 
1
2 , 
1
2
 b) 
√3
2 , 
√3
2
 c) 
√2
2 , 
√2
2
 d) 
√2
3 , 
√2
2
 e) 
√2
3 , 
√2
3
Vetores no espaço
A extensão da representação de vetores pode ser feita considerando, agora, o
espaço R3 determinado pelas dimensões x, y e z.
No sistema cartesiano ortogonal Oxyz, x é o eixo das abscissas, y é o eixo das
ordenadas e z é o eixo das cotas. A origem do sistema cartesiano será O =
(0,0,0).
Assim, dados A = (x , y z ) e B = (x , y , z ), ao vetor →v = 
¯
AB associamos:
→v = 
¯
AB = B - A = (x - x , y - y , z - z )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 2 2
21 2 1 2 1
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Ou seja, ao vetor →v associamos o terno ordenado (a,b,c). Então:
→v = (a,b,c).
O módulo do vetor →v e o versor de →v podem ser calculados de forma similar ao
apresentado no tópico sobre vetores no plano cartesiano.

Exemplo
Vamos ao exemplo a seguir para fixar essas ideias:
Figura 10: Representação do vetor v através do segmento orientado AB
e através do terno ordenado (a,b,c) no sistema cartesiano ortogonal
Oxyz.
Dado o vetor v = 
¯
AB, onde A = (1,-1,0) e B = (4,1,-6):
a) Represente o vetor no plano cartesiano (Figura 10).
b) Calcule o módulo do vetor →v.
c) Calcule o versor de →v.Processing math: 31%
Resolução:
Vamos primeiro associar o vetor v ao terno (a,b,c).
v=AB=B-A=4-1,1--1,-6-0=(3,2,-6)
Agora, representamos no espaço xyz.
Observe que o segmento orientado AB tem início em A = (1,-1,0) e
extremidade em B = (4,1,-6).
O vetor v, na forma de terno ordenado, possui origem em (0,0,0) e
extremidade em (3,2,-6).
Módulo do vetor:
||→v|| = x2 - x1
2 + y2 - y2
2 + z2 - z1
2
||→v|| = √(3)2 + (2)2 + (6)2 = √49 = 7
Versor de →v:
→u = 
→v
|| →v ||
= 
3 , 2 , - 6
7 = 
3
7 ,
2
7 , -
6
7
Para confirmar que u→ é um vetor unitário, calculamos:
u→=372+ 272+ -672= 949+449+3649= 1 = 1
√( ) ( ) ( )
( )
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Atividade
2. Dado o vetor v→= AB¯, onde A = (-1,5,0) e B = (-4, -2, 6), o valor do
módulo é:
 a) 110
 b) 70
 c) 86
 d) 104
 e) 94
Ângulo entre vetores
O ângulo θ (teta) entre dois vetores v→ e s→ não nulos varia desde 0 até
180 , ou seja, 0 ≤ θ ≤ 180 (0 ≤ θ ≤ π, com θ em radianos). Para
determinar o ângulo , sendo dados v→ = (x ,y ) e s→ = (x ,y ), partimos da
fórmula:
cos = v→. s→v→.s→
O produto v→.s→ é denominado produto escalar entre os vetores v→ e s→.
Chamamos de produto escalar (ou produto interno) de dois vetores v→ e
s→ do R ao número real x x + y y .
Assim, v→ escalar s→ será:
v→.s→ = x x + y y
0
0 0 0
1 1 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
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Estendendo a ideia do produto escalar, chamamos de produto escalar (ou
produto interno) de dois vetores v→ e s→ do R ao número real x x + y y +
z z .
Assim, v→ escalar s→ será:
v→.s→ = x x + y y + z z

Exemplo
Represente os vetores v→ =(1,2) e s→ =(−1,3) no plano cartesiano e
calcule o ângulo formado entre eles.
Figura 11: Representação dos vetores v→ (seta em laranja) e s→ (seta
em verde) no plano cartesiano segundo os pares ordenados
correspondentes.
Resolução:
Observe que há ângulo sendo formado entre eles.
O ângulo pode ser calculado conforme a fórmula proposta da seção sobre
ângulo entre vetores:
v→ . s→ = 1 . (−1) + 2 . 3 = 5
3
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
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v→=12 + 22 = 5
s→=-12+32 =10
cos θ= v→ . s→v→ . s→=55 . 10=550=22
θ = cos-122 .·. θ = 45∘
Atividade
3. O ângulo formado entre os vetores v→ =(3,5) e s→ =(−1,−5) no
plano cartesiano é, aproximadamente:
 a) 120∘
 b) 90∘
 c) 19∘
 d) 160∘
 e) 100∘
Casos particulares
Condições de paralelismo entre dois vetores:
Quando dois vetores v→ e s→ do ℜ são paralelos, suas representações
geométricas por segmentos orientados, a partir da origem O, ficam sobre uma
mesma reta.
Assim, dado um vetor não nulo v→, todo vetor s→ paralelo a v→ é um
“múltiplo” de v→, isto é:
s→= kv→⇔x2, y2 = kx1, y1⇔x1x2= y1y2
2
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Logo, a condição de paralelismo entre dois vetores v→ e s→ é que eles
apresentem componentes proporcionais.

Exemplo
Dado o vetor v→ =(3,1), encontre um vetor s→ que seja paralelo a v→.
Represente os vetores no plano e calcule o ângulo formado entre eles.
Figura 12: Representação dos vetores v→ e s→ no plano cartesiano,
segundo seus pares ordenados correspondentes. 
Observe que os vetores são paralelos e estão dispostos sobre uma
mesma reta. Dois vetores v→ e s→ são colineares se tiverem a mesma
direção.
Resolução:
Utilizando k = 2, por exemplo, teremos:
Em outras palavras: v→ e s→ são colineares se tiverem seus segmentos
orientados pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
s→= 2v→ = 2 . (3,1) = (2 . 3,2 . 1) = (6,2)
v→ . s→ = 3 . 6 + 1 . 2 = 20
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v→ = 32 + 12 = 10
s→ = 62 + 22 = 40
cos θ = v→ . s→v→ . s→ = 2010 . 40 = 20400 = 1
θ = cos11 .·. θ = 0∘
Condição de ortogonalidade
(perpendicularidade) entre dois vetores:
Dois vetores v→ e s→, não nulos, são ortogonais quando podem ser
representados por segmentos orientados perpendiculares.
A condição de ortogonalidade é:
v→ . s→ = 0 ⇔x1x2 + y1y2 = 0
Ou seja: se o produto escalar for igual à zero, os vetores são ortogonais:
v→ ⊥ s→ .

Exemplo
Dado o vetor v→ =(a,1), determine o valor de a para o vetor s→ = (3,-4)
seja ortogonal a v→.
Represente os vetores no plano.
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Figura 13: Representação dos vetores v→ (seta em verde) e s→ (seta
em laranja) no plano cartesiano, segundo seus pares ordenados
correspondentes.
Resolução:
Observe que os vetores v→ e s→ são ortogonais, ou seja, formam um
ângulo de 90∘ entre si.
v→ . s→ = 0⇔a . 3+1 . (-4) = 0 .·. 3a = 4 .·.
a=43
Logo: v→ = 4a, 1
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Atividade
4. Dado o vetor v→ =(a,5), o valor de a para que o vetor s→ =(−1,−8)
seja ortogonal a v→ é:
 a) 4
 b) -4
 c) 40
 d) -40
 e) 0
O tratamento algébrico para
vetores no plano e no espaço

Dica
Uma importante maneira de se representar e operar com vetores será
apresentada neste último tópico.
Você deve buscar familiarizar-se com tal representação, pois ela será
muito útil daqui para frente, inclusive em outras disciplinas do curso de
Engenharia.
De modo geral, dados dois vetores quaisquer v→1 e v→2 não paralelos, para
cada vetor v→ representado no mesmo plano de v→1 e v→2, existe uma só
dupla de números reais a e a tal que:1 2
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v→ = a1v→1 + a2v→2
Quando o vetor v→ é expresso dessa forma, diz-se que v→ é uma
combinação linear de v→1 e v→2
O conjunto B = {v1→, v2→ } é chamado base no plano. Aliás, qualquer
conjunto de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano.
Os números a e a da igualdade são chamados componentes ou
coordenadas de v→ na base B (a é a primeira componente, e a , a segunda).
O vetor v→ da igualdade pode ser representado também por:
v→= a1, a2B ou v→B = a1, a2
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base
{e→1,e→2} é dita ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários,
ou seja, se e→1 ⊥ e→2 e e→1 = e→2 = 1 .
Entre as infinitas bases ortonormais no plano, uma dela é particularmente
importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano
ortogonal xOy.
Os vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i→ e j→
ambos com origem em O e extremidades em (1,0) e (0,1), respectivamente
(Figura 14), sendo a base C = {i→ , j→} chamada canônica.
Portanto:
i→= 1,0 e j→ = 0,1
1 2
1 2
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Figura 14: Representação dos vetores i→ (seta em verde) e j→ (seta em
laranja) que constituem a base C (base canônica).
Os vetores i→ e j→ são ortogonais e unitários. Os números x e y são as
componentes do vetor v→ na base canônica.
v→ = xi→ + yj→

Atenção
A escolha proposital da base {i→ , j→} deve-se exclusivamente à
simplificação. A cada ponto P = (x,y) do plano xOy corresponde o vetor:
v→ = OP¯ = xi→+ yj→

Exemplo
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Represente o vetor v→ através da base canônica quando v→ for
equivalente ao par ordenado:
a) (0,1)
b) (-4,3)
c) (2,0)
Resolução:
Usando o conceito definido na Figura 14:
a) v→ = j→
b) v→ = -4i→ + 3j→
v→ = -2i→
No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica i→, j→, k→ }
como aquela que determinará o sistema cartesianoortogonal Oxyz, em que
estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com
origem no ponto O (Figura 15).
Esse ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três
eixos cartesianos:
O eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) correspondente ao vetor i→;
O eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) correspondente ao vetor j→;
O eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) correspondente ao vetor k→.
As setas na Figura 15 indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado
também de eixo coordenado.
Cada dupla de vetores da base e, consequentemente, cada dupla de eixos,
determina um plano coordenado.
 Portanto, temos três planos coordenados:
1) O plano xOy
2) O plano xOz
Processing math: 31%
3) O plano yOz
Figura 15: Representação do plano Oxyz com os vetores unitários e
ortogonais dois a dois: i→, j→ e k→.
A base canônica {i→, j→ , k→ } pode ser usada para representar qualquer
vetor no espaço.
A cada ponto P = (x,y,z) do plano xOy corresponde o vetor:
v→ = OP¯ = xi→ + yj→ + zk→
O vetor v→ = OP¯ corresponde à diagonal do paralelepípedo, cujas arestas
são definidas pelos vetores xi→, yj→ e zk→ (Figura 16).
Processing math: 31%
Figura 16: Representação do vetor v→ = OP¯, que corresponde à diagonal do
paralelepípedo desenhado no sistema cartesiano ortogonal Oxyz. (Fonte:
WINTERLE, 2014).

Exemplo
Represente o vetor v→ através da base canônica quando v→ for
equivalente ao terno ordenado:
a) (0,1,6)
b) (-4,3,-1)
c) (2,0,0)
Resolução:
Usando o conceito definido na Figura 15:
a) v→ = j→+ 6k→
b) v→ = 4i→ + 3j→ -k→
c) v→ = 2i→
Apenas para reforçar a ideia da projeção de um vetor no espaço, vamos
desenhar os diferentes vetores v→ do exemplo 7 no sistema ortogonal Oxyz.
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Figura 17: Representação no sistema ortogonal Oxyz dos diferentes vetores
citados no exemplo 7.
O vetor em vermelho corresponde ao terno (0,1,6);
O vetor em vermelho corresponde ao terno (-4,3,-1);
O vetor em verde corresponde ao terno (2,0,0).
Processing math: 31%
Atividade
5. Considere o triângulo formado pelos segmentos orientados AB¯, BC¯ e
CA¯, onde A = (-1,3), B = (2,2) e C = (-2,5).
O perímetro do triângulo ABC é, aproximadamente:
 a) 15,3
 b) 10,4
 c) 20,2
 d) 9,8
 e) 11,1
6. Dados os segmentos orientados AB¯ e CD¯, onde A = (-1,3), B = (a,
-3), C = (0,3) e D = (-2,4). Os valores de a para que os segmentos
orientados sejam (i) Ortogonais ou (ii) Paralelos, respectivamente, são:
 a) 4 e -11
 b) 11 e 4
 c) -4 e 11
 d) -4 e 0
 e) 0 e 0
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7. Dados os vetores , o ângulo formado entre eles será de
aproximadamente:
 a) 100,5°
 b) 45,8°
 c) 170,2°
 d) 122,5°
 e) 87,8°
8. O vetor v→ é representado pelo segmento orientado AB¯ onde A =
(1,-2,3) e B = (2,4,-2). O módulo de vetor v→ é igual a:
 a) 12
 b) 6
 c) 70
 d) 62
 e) 62
Processing math: 31%
9. O vetor valor de a que torna os vetores v→ = (-3,a) e s→ = (5,7)
ortogonais é:
 a) -15
 b) 15
 c) 157
 d) -157
 e) 0
10. O ângulo formado entre os vetores v→ = (2,3,5) e w→ = (−1,3,0) é
aproximadamente igual a:
 a) 35°
 b) 48°
 c) 69°
 d) 125°
 e) 180°
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11. O versor do vetor v→ = (-2,0,5) é corretamente representado por:
 a) (0,0,0)
 b) -25,0,1 
 c) -229, 0 , 529
 d) 29292, 0,-29295
 e) -29292, 0,29295
12. Um vetor w→ paralelo ao vetor v→ = (-2,0,5) é representado
corretamente por:
 a) (1,4,0)
 b) (2,0,0)
 c) (-4,0,10)
 d) (−2,2,2)
 e) (8,0,12)
Referências
DIAS, G.; SOUZA, A. L.; LIMA, M. A. Álgebra linear (livro proprietário). Rio de
Janeiro: SESES, 2015.
GUIMARÃES, L.G.S. et al. Bases Matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria Analítica – em espaços de duas e
três dimensões. Curitiba: Editora Intersaberes, 2017. Cap. 7, p. 131-148.
(Disponível na Biblioteca Virtual.) Processing math: 31%
MACHADO, A. S. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual Editora
Ltda., 1997, Cap.1, p.1-10.
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo
Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, Julho 2014. Cap. 3, p. 130-205.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2014. Cap. 1, p. 1-46.
Próximos Passos
Operações com vetores;
Produto escalar e vetorial;
Produto misto.
Explore mais
Pesquise na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto.
Em caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos
disponíveis no ambiente de aprendizagem.
O tópico vetores, objeto da nossa primeira aula, apresenta variadas aplicações
práticas. A fim de despertar o seu interesse e, ao mesmo tempo, demonstrar como é
importante no dia a dia do engenheiro, seguem duas sugestões de vídeos para você
assistir:
Como criar desenhos vetoriais? <https://youtu.be/lAnr-g29B3E>
Vetores e suas aplicações. <https://youtu.be/cZgDniTcJgI>
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