DESENHO TECNICO - Pratini

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CAPÍTULO 1 
Os instrumentos de desenho na prancheta e no papel 
Um material de desenho de boa qualidade poderá durar e manter-se preciso por anos, às vezes uma vida 
inteira. 
Material básico de desenho para um curso de Desenho Técnico: 
 lapiseiras 0,3 e 0,7 (sugestão: colocar a unidade - 0,3 e 0,7 mm), com grafite HB: os melhores 
grafites (que quebram menos) são da marca Pentel; 
 compasso de 100 a 150 mm; 
 esquadros lisos, de acrílico, de 30º e 45º, sem graduação, 
com o lado da hipotenusa maior do que 30 cm; 
 escalímetro (régua graduada de perfil triangular) número 1; 
 borracha plástica para desenho ou lapiseira-porta-borracha; 
 100 folhas de papel sulfite (comum) tamanho A4; 
 fita adesiva transparente ou invisível (opaca). 
NÃO USE FITA CREPE. 
Aprendendo a usar os esquadros 
(veja animação no CD-ROM) 
A correta utilização dos esquadros supõe sempre um apoio para o traçado, seja sobre uma régua "T", 
uma régua paralela ou sobre outro esquadro. A utilização de um esquadro sobre o outro requer uma 
certa prática que, uma vez dominada, irá permitir traçados de perpendiculares, paralelas, ângulos de 
45º, 30º, 60º, 90º e seus complementares com precisão e rapidez. 
Usando os seus esquadros em conjunto para traçar: 
 prenda as 4 pontas da folha de papel na prancheta com fita adesiva; 
 posicione e fixe um dos esquadros por fora da folha, encostando e pressionando suave (sugestão: 
colocar vírgula antes do mas) mas firmemente contra a borda do papel; 
 apoie o outro esquadro sobre o primeiro e trabalhe deslizando um sobre o outro como mostrado 
na animação “O uso dos esquadros e os traçados de precisão” no CD-ROM. 
 todo e qualquer traçado (com raras exceções) deve seguir os dois passos anteriores. 
Esse procedimento ajuda a garantir maior precisão e rapidez de traçado do que a utilização dos 
esquadros soltos. 
 
 
 
E lembre-se: o escalímetro é usado para medir, e não traçar. 
 
Fig. 1 - Veja no CD (item Animações) a animação 
“O uso dos esquadros e os traçados de precisão” que contém a imagem acima 
Ângulo de 45º 
Ângulo de 30º 
Ângulo de 90º 
Ângulo de 60º 
Ângulo de 90º 
Ângulo de 45º 
Fig. 1 - Escalímetro número 1 
 2 
CAPÍTULO 2 
Princípios do desenho técnico ( CD-ROM, “Aula 1” ) 
 
A base do desenho técnico é um método de representação por projeções que tem origem na Geometria 
Descritiva, criada por Gaspar Monge, séc. XVIII. Essas projeções são desenhos que descrevem os objetos 
de uma forma precisa e inequívoca e que, acrescidos de anotações de dimensão, posição, material, etc., 
são os documentos-base para uma vasta gama de atividades humanas como arquitetura, engenharias, 
desenho industrial, etc. 
 
Entenda as projeções 
Entre os significados do verbo projetar, interessam os seguintes: 
pro.je.tar vtd 3 Lançar, fazer cair ou incidir sobre: Os faróis projetam longe os raios luminosos. 
Projeta a Lua no lago o seu clarão. vtd 4 Fazer aparecer sobre uma superfície ou um anteparo: Projetar 
um filme, uma fotografia etc. vpr 5 Delinear-se, incidir, prolongar-se: "A sombra do campanário 
projetava-se sobre a praça.” vtd 6 > Geom Figurar ou representar por meio de projeções: Projetar um 
ponto. Projetar uma linha sobre um plano. 
Michaelis - Moderno Dicionário da Língua Portuguesa 
http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=projetar) 
 
Em desenho, projetar significa representar graficamente – sobre um plano, uma tela, um 
anteparo ou papel - uma figura ou um objeto real ou concebido, situado no espaço 
tridimensional. 
 
Uma projeção pode ser obtida das seguintes formas: 
 por projeção de uma "sombra" sobre um plano de projeção além do objeto (fig. 2); 
 por registro sobre um plano de projeção transparente que está entre o observador e o objeto 
(fig.3). 
 
 
 
Fig. 2 - no primeiro caso, o plano de projeção 
funciona como uma tela que recebe a "sombra" ou 
a imagem por meio de "raios" que passam pelo 
objeto 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 - no segundo caso, o plano de projeção 
funciona como um suporte transparente onde é 
desenhada ou registrada a imagem do objeto tal 
como é vista pelo observador 
 3 
Projeções Cônicas 
Quando a fonte de luz que projeta a imagem do objeto está a uma distância finita (Fig.2) o caminho dos 
raios luminosos é divergente formando um cone a partir da fonte até plano de projeção. Essa divergência 
dá origem ao nome projeção cônica. 
No caso da Fig. 2, em que o plano do quadro está além do objeto, o tamanho da imagem projetada 
depende da posição do objeto entre a fonte de luz (ponto focal) e o plano: quanto mais próximo o objeto 
estiver da fonte, maior a imagem sobre o plano de projeção; quanto mais próximo o objeto do plano de 
projeção, menor a imagem. 
Da mesma forma, se o observador encontra-se a uma distância finita, os raios de luz refletidos do 
objeto convergem para o olho, formando, no seu caminho, uma imagem sobre o plano do quadro (fig. 3 
e 4 / 4a) e o tamanho da imagem depende da posição do plano entre o observador e o objeto. Pode-se 
dizer que é uma imagem formada por transparência do plano do quadro. 
Essa forma de obter a imagem com raios não paralelos é chamada projeção cônica e produz as imagens 
perspectivas mais realistas que se pode obter. No entanto, essas imagens não são adequadas para o 
desenho técnico porque contém deformações e variam em tamanho dependendo da relação de distância 
entre os constituintes da cena, o que dificulta a precisão e a colocação de medidas (cotagem ou 
colocação de cotas, isto é, medidas). 
 
 
Fig. 4 – Plano do quadro próximo do observador 
 
Em ambos os casos - por projeção ou por transparência - o tamanho da imagem depende da posição 
relativa entre o plano de projeção (do quadro) em relação ao observador (ou fonte de luz para projeção) 
e o objeto. Na Fig. 4, note que o plano do quadro mais próximo do observador resulta numa imagem 
menor do que aquela formada com o plano do quadro mais próximo do objeto como na Fig. 4a . 
Fig. 4a - Plano do quadro afastado do observador e 
próximo do objeto. 
 4 
Projeções ortográficas (também chamadas ortogonais) 
Se o observador estiver no infinito (Fig. 5), os raios de luz refletida que atingem seu olho serão paralelos 
entre si. Colocando o plano de projeção entre o observador e o objeto, pode-se obter imagens cuja forma 
e tamanho independem da distância do objeto em relação ao plano de projeções. 
Se o plano de projeções for colocado ortogonalmente (perpendicular em todas as direções) aos raios 
refletidos do objeto, as imagens resultantes serão chamadas projeções ortogonais ou projeções 
ortográficas. Nessas projeções, as dimensões e proporções da imagem são as mesmas do objeto real e 
não variam com a relação de distâncias entre plano de projeção, objeto, observador ou fonte de luz. 
Esta técnica de projeção é chamada cilíndrico-ortogonal e é a mais usada em desenho técnico. 
 
O sistema Mongeano de projeções e a Geometria 
Descritiva 
Gaspar Monge criou um sistema de representação que utiliza dois planos de projeção perpendiculares 
entre si (um plano vertical e um horizontal) e projeções ortogonais dos objetos sobre esses planos. 
 
 
Fig. 7 – projeção vertical ou vista de frente 
 
Os quatro quadrantes definidos pela interseção desses planos no mundo tridimensional são chamados 
diedros. Os objetos a ser representados podem estar situados no espaço de qualquer um desses diedros, 
mas o observador (ou a fonte dos raios de projeção) está aquém do plano vertical (nos quadrantes do 1º 
e 4º diedros) para as vistas de frente e acima do plano horizontal (nos quadrantes do 1º e 2º diedros) 
para as vistas de cima. 
Observe nas Figs. 7 e 8 que as imagensdo objeto sobre os planos vertical e horizontal (vistas 
ortográficas de frente e de cima) no 1º diedro são resultado de projeção sobre eles. No 2º diedro (Fig. 9) 
a vista de frente é formada por transparência sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por 
projeção do objeto sobre o plano horizontal. 
Fig.5 - observador no infinito 
 
 
 
Fig.8 – projeção horizontal ou vista de cima 
 
Veja a animação 3D interativa das imagens abaixo no CD-ROM 
Fig.6 – fonte de projeção no infinito 
 5 
 
Fig. 9 e Fig. 10 – posição do objeto e suas projeções horizontal (vista de cima) e vertical (vista de frente) no 1º e 2º diedros. No 2º 
diedro (Fig. 10), a vista de frente é formada por transparência sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por projeção do objeto 
sobre o plano horizontal. 
 
Fig. 11 e Fig. 12 – posição do objeto e suas projeções horizontal (vista de cima) e vertical (vista de frente) em cada um dos quatro 
diedros. No 3º diedro (Fig.11), ambas as vistas são formadas por transparência sobre os planos de projeção. No 4º diedro (Fig. 12), a 
vista de frente é formada por projeção sobre o plano vertical e a vista de cima é formada por transparência sobre o plano horizontal de 
projeções. 
Obtidas as vistas, Gaspar Monge entendeu que seria necessário planificar o sistema de projeções para 
que fosse possível mostrar ordenadamente em um só plano - o do papel - as diferentes faces de um 
mesmo sólido. Essa planificação – cujo resultado se chama épura - foi feita articulando os planos na sua 
linha de interseção e fazendo o rebatimento de um plano sobre o outro. 
 
 
Veja no CD-ROM estas e outras imagens dos rebatimentos de 
planos da Geometria Mongeana em animações 3D 
( item Animações> Aula 1 ) 
Veja no CD-ROM ( item Animações> Aula 1 ) como é executada e o resultado da 
articulação dos planos de projeção em cada diedro 
 6 
 
Fig. 13 – posição do objeto nos diedros e rebatimento das suas projeções na planificação do sistema mongeano. 
Note que no 2º e no 4º diedros ambas as projeções (vistas ortográficas de frente e de cima) coincidem e 
confundem-se em função do rebatimento de um plano sobre o outro. Essa coincidência de imagens faz 
com que não se use colocar o objeto no 2º ou no 4º diedros. 
 
 
 
 
 
No sistema Mongeano, a distância resultante entre os desenhos das duas projeções (vistas de frente e de 
cima) depende do afastamento do objeto no espaço em relação ao plano vertical de projeções e da cota 
(altura) do objeto no espaço em relação ao plano horizontal de projeções (Fig. 14). 
 
No Brasil, a Norma Brasileira NBR – 10067 recomenda que o objeto seja colocado no 1º diedro. 
 
Fig.14 – Elementos do sistema Mongeano. 
 Objeto no 1º diedro. 
Fig. 15 – Épura: desenho resultante das duas projeções do sistema 
Mongeano: projeção vertical ou vista de frente e projeção horizontal 
ou vista superior. 
 
 7 
Um objeto colocado no 1º diedro é projetado de tal forma que, em épura, após o rebatimento do plano, 
a vista de frente (ou “frontal”) fica representada acima da Linha de Terra e a vista superior ("de cima" ou 
"de topo") abaixo da Linha de Terra (Fig. 15). 
Para diferenciar as arestas que estão voltadas para a fonte de luz (arestas visíveis) daquelas que estão 
escondidas pelas faces do objeto (arestas invisíveis), usa-se desenhar as invisíveis com linhas 
tracejadas. 
 
Vistas ortográficas ou ortogonais 
Com o desenvolvimento dos métodos de representação, foram adicionados mais planos de projeção 
auxiliares no sistema básico da Geometria Descritiva. A adição de um plano vertical, perpendicular aos 
dois planos básicos de projeção, forma um triedro, espaço delimitado pelos três planos. 
 
 
Fig. 16 – um plano auxiliar, perpendicular aos dois planos 
básicos de projeção, forma um triedro. Colocado à direita do 
objeto no 1º diedro, esse plano recebe a projeção da face 
esquerda do objeto, ou seja, a sua vista lateral esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: no 1º diedro, a vista lateral esquerda é projetada em um plano 
de projeção à direita do objeto e a vista de cima é projetada no plano 
horizontal que fica abaixo do objeto. 
 
Girando 180º em torno do eixo vertical o 
modelo 3D interativo da fig. 16 contido no 
CD-ROM, pode-se simular a colocação do 
objeto no 3º diedro e obter, por 
transparência, três das suas vistas 
ortográficas. Se o objeto for considerado no 
3º diedro, a imagem que está no plano 
horizontal será a vista inferior, e a vista 
lateral esquerda estará situada no plano de 
projeção à esquerda do objeto 
 8 
Igualmente, as vistas não podem ser desenhadas em qualquer lugar, independentes 
umas das outras. Pela planificação do cubo, elas devem obedecer, obrigatoriamente, 
as posições descritas na Norma Brasileira NBR - 10067, pág. 2 - disponível no CD-ROM 
(veja fig. 19 abaixo). 
 
 
 
 
 
 
Fig. 17 - Para entender a formação de todas as vistas ortográficas - frontal, laterais, superior, inferior e posterior - veja a figura ao lado: 
pode-se dizer que o objeto (uma pirâmide de arame) está no centro de um cubo formado por 6 planos de projeção. Veja no CD-ROM 
este modelo animado. 
 
Se a pirâmide da Fig. 17 estiver no 1º diedro, as vistas serão obtidas por projeção das suas faces nas 
paredes internas do cubo, considerando que ela (pirâmide) está situada entre a fonte de projeção e os 
planos de projeção (faces do cubo). 
Se a pirâmide estiver no 3º diedro, considera-se que as faces do cubo são planos transparentes e que 
estão entre o observador e o objeto. As vistas serão obtidas por transparência sobre elas (as faces do 
cubo), ou seja, serão desenhos daquilo que um observador vê, estando situado no infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 18 - Pela própria construção do sistema de 
projeção, existe uma rígida relação de forma, 
posicionamento e dimensões entre as vistas 
ortográficas de um mesmo objeto e entre o objeto no 
espaço e suas projeções (vistas ortográficas). 
 
 
Se o objeto muda de posição no espaço, 
todas as vistas, conseqüentemente 
(sugestão: sem trema pela nova 
gramática 2009), mudarão a forma e 
dimensões. 
 
 
Pelo que se pode ver na Fig. 18, no desenho em papel, a vista de cima, por exemplo, é, 
necessariamente, alinhada na vertical com a vista frontal, de forma que a sua largura é obrigatoriamente 
a mesma. 
 
Da mesma forma, as vistas laterais são necessariamente alinhadas na horizontal com a vista frontal, de 
forma que as alturas de todos os vértices são as mesmas, e assim por diante. 
 
 
 
 
A NBR - 10067 recomenda que os objetos sejam colocados no 1º diedro e mostra como é feita a 
planificação dos planos de projeção. Devido a essa planificação, as vistas têm uma posição definida no 
papel ou seja, segundo o desenho abaixo: 
 9 
 
Fig. 19 - NBR - 10067 
• “A" é a vista frontal do objeto; 
• "B" é a vista superior; 
• "C" é a vista lateral esquerda; 
• "D" é a vista lateral direita; 
• "E" é a vista inferior; 
• "F" é a vista posterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.20 - Veja na Aula 1 (item Aulas & Animações do CD-ROM) este modelo 
3D interativo e animado que mostra a planificação do cubo que envolve um 
objeto 
 10 
As vistas são desenhadas umas em relação às outras por um processo claro e preciso de transferência de 
pontos por meio de linhas auxiliares de construção como nos desenhos abaixo (Fig. 21 e 22) 
As linhas de construção devem ser finas, claramente diferenciadas das linhas que representam as arestas 
dos objetos, as quais devem ser mais marcadas. 
 
 
Fig. 21– Exemplo de desenho de vistas de um objeto 
 
 
Desenho: Gabriel Queiróz Silva 
 
Fig. 22– Exemplode desenho de vistas de um objeto 
 
 
O processo de desenho das vistas ortográficas será abordado em detalhe no 
Capítulo 4 e no passo-a-passo visualização_do_objeto.pps presente no 
CD-ROM 
 11 
CAPÍTULO 3 
O que são perspectivas 
Perspectivas são desenhos ou imagens que procuram representar, em duas dimensões, os objetos na sua 
tridimensionalidade, como nós os vemos. 
Assim como as vistas ortográficas, uma perspectiva é o resultado de uma projeção - cônica ou paralela -, 
na qual se posiciona o objeto de forma que a imagem final se aproxime da realidade, normalmente 
buscando a maior riqueza de detalhes possível. 
 
Fig. 23 - A seqüência de imagens acima (veja animação na aula de perspectivas do CD-ROM) resulta uma perspectiva pela rotação do 
objeto em torno dos eixos coordenados, a partir da vista de frente. A primeira rotação é feita em torno do eixo X e a segunda, em torno 
do eixo Y. Note que as arestas paralelas do objeto real continuam paralelas na perspectiva porque foi utilizada a projeção cilíndrica 
que tem os raios de projeção paralelos entre si. 
 
As perspectivas podem, então, ser formadas pela mudança de posição do objeto em relação ao 
observador ou pela mudança de posição do observador em relação ao objeto. 
 
Elas podem ser cônicas ou paralelas (também chamadas cilíndricas). 
A perspectiva cônica (resultado de projeções cônicas) produz a imagem mais real que podemos ter, com 
um, dois ou três pontos de fuga1, ou seja, os pontos para onde as retas que contém as arestas 
convergem. É dessa forma que nós enxergamos. As perspectivas artísticas geralmente são perspectivas 
cônicas. 
 
 
 
 
 
 
Perspectiva cônica com um ponto de fuga 
 
1 Ponto de fuga são pontos virtuais no espaço para onde as linhas ou arestas de largura, altura e profundidade dos 
objetos parecem convergir. 
Fig. 25 – A perspectiva cilíndrica ou paralela resulta de 
uma projeção que tem os raios refletidos paralelos entre 
si (convergência no infinito. Nesta perspectiva, 
considera-se que o observador - e o ponto de fuga - 
encontram-se no infinito. 
Fig. 24 – A perspectiva cônica resulta de uma projeção 
cônica, na qual há uma convergência dos raios refletidos 
para um ponto chamado de fuga (nesta figura, o ponto de 
fuga é o olho do observador que se encontra a uma 
distância finita do objeto). 
 
Para saber mais sobre projeções cônicas e paralelas, veja o Capítulo 2 
e as animações e modelos 3D na Aula 1 do CD-ROM 
 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
Perspectivas cônicas com dois e três pontos de fuga – nestas 
perspectivas, as linhas de fuga convergem para pontos de fugas pré-estabelecidos no desenho. Na 
perspectiva com dois pontos de fuga, são as linhas de profundidade que vão para esses pontos, enquanto 
as alturas se mantém verticais. Na perspectiva com três pontos de fuga, as linhas de altura também 
convergem para um ponto de fuga que fica abaixo ou acima do desenho, para pontos de vista (olho do 
observador) acima ou abaixo do objeto, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 27 e Fig. 28 – Imagens das animações que mostram, no CD-ROM, como são desenhadas as perspectivas artísticas com dois e 
três pontos de fuga, respectivamente. 
 
Embora as perspectivas artísticas – produzidas por projeções cônicas - resultem em desenhos realísticos, 
mais aproximados daquilo que o olho humano vê, não servem para o Desenho Técnico porque contém 
deformações perspectivas que dificultam o registro e transmissão das medidas e proporções exatas de 
um objeto. 
Dependendo do ponto de vista (posição e proximidade do olho do observador em relação ao objeto), 
essas deformações são mais ou menos aparentes. 
 
Fig. 29 – Nas perspectivas artísticas – neste caso, com três pontos de fuga – quanto mais próximo estiver o olho do observador, maior 
será a deformação perspectiva. A figura mostra o mesmo objeto visto de diferentes distâncias: muito próximo (imagem esquerda), 
próximo e média distância (imagem direita). 
As projeções cilíndricas – ou paralelas – usadas em Desenho Técnico produzem perspectivas que são 
facilmente desenhadas e mantém uma relação precisa nas medidas de altura, largura e profundidade. 
 
Fig. 30 – As perspectivas Cavaleira e Isométrica usadas em Desenho Técnico resultam de projeções paralelas que não contém 
deformações nas relações de largura, altura e profundidade. A rigor pode-se dizer que seus Pontos de Fuga estão no infinito. 
 
 
Fig. 26 - Na perspectiva desenhada com um ponto de fuga, as linhas de 
profundidade convergem (fogem) para um ponto que representa a posição do olho 
do observador nos eixos X e Y. Veja uma animação de como desenhar esta 
perspectiva no CD-ROM. 
Pode-se dizer que a perspectiva Cavaleira é uma perspectiva com um ponto de fuga localizado no 
infinito. Da mesma forma, a perspectiva Isométrica é desenhada como uma perspectiva com três 
pontos de fuga também localizados no infinito. 
 13 
Tipos de perspectivas 
As perspectivas podem ser produto de projeções cônicas ou cilíndricas (também chamadas paralelas). 
 
Projeção 
cônica 
Usadas para 
desenhos 
artísticos ou 
ilustrativos. 
Observador ou 
fonte de projeção 
a uma distância 
finita. 
Arestas dos eixos de largura, altura e profundidade 
convergentes, entre si, para pontos de fuga que se situam a 
uma distância finita. 
Dependendo da projeção, podem ter um, dois ou três 
pontos de fuga (veja as animações no CD) 
Quanto mais próximos estiverem observador ou centro de 
projeção, mais próximos se situam os pontos de fuga e, 
portanto, maior a deformação perspectiva. 
 
 
Projeção 
cilíndrica ou 
paralela 
Observador ou 
fonte de projeção 
no infinito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oblíqua 
Projeção oblíqua 
em relação ao 
plano do quadro 
Cavaleira 
Eixo das larguras 
horizontal; eixo 
das alturas 
vertical; eixo da 
profundidade a 
30º, 45º ou 60º 
com a horizontal. 
Neste livro 
usamos uma 
inclinação de 45º 
com a horizontal. 
Geralmente é 
desenhada a partir 
de uma das vistas 
ortográficas do 
objeto. 
Arestas dos eixos 
de largura, altura 
e profundidade 
paralelas entre si. 
Linhas de 
profundidade a 
30º, 45º ou 60º 
com a horizontal 
(ponto de fuga no 
infinito). 
As medidas de 
profundidade 
sofrem uma 
redução, cujo 
valor depende da 
inclinação das 
linhas de 
profundidade: são 
desenhadas com 
1/3, 50% 
(sugestão: colocar 
1/2) ou 2/3 da 
medida real, 
respectivamente, 
para as 
inclinações de 
30º, 45º e 60º, na 
escala escolhida. 
As larguras e 
alturas 
permanecem em 
verdadeira 
grandeza, ou seja, 
são desenhadas 
com as medidas 
reais, na escala 
escolhida. 
 
 
 
X 
Y 
Z 
 14 
 
 
 
 
 
 
Projeção 
cilíndrica ou 
paralela 
Observador ou 
fonte de projeção 
no infinito 
 
 
 
 
 
 
 
Axonométrica 
(medida ao longo 
dos eixos) 
ortogonal. 
Projeção ortogonal 
em relação ao 
plano do quadro 
 
 
 
 
 
 
Isométrica 
Os eixos X, Y e Z 
mantém uma 
distância angular 
de 120º entre si, 
o que equivale a 
que, como o eixo 
das alturas (Y) é 
vertical, os outros 
dois fazem 30º 
com a horizontal. 
Veja animação no 
CD ou no site 
Arestas dos eixos 
de largura, altura 
e profundidade 
paralelos entre si. 
Pontos de fuga no 
infinito. 
As larguras, 
alturas e 
profundidades são 
desenhadas com 
as medidas reais 
(na escala 
escolhida) nas 
direções dos 
eixos. 
 
 
 
 
 
Dimétrica 
O eixo Y é vertical 
e dois dos eixosmantém 
distâncias 
angulares iguais. 
 
 
Trimétrica 
O eixo Y é vertical 
e nenhum dos 
eixos mantém 
distâncias 
angulares iguais. 
 
 
 
As projeções cônicas produzem as perspectivas mais aproximadas daquilo que o olho humano vê (com 1, 
2 ou 3 pontos de fuga) e são utilizadas geralmente no desenho artístico ou ilustrativo. As projeções 
cilíndricas – ou paralelas – produzem perspectivas que são facilmente desenhadas e mantém uma relação 
precisa nas medidas de altura, largura e profundidade (Fig. 31). 
 
 Perspectiva Cavaleira Perspectiva Isométrica Três perspectivas artísticas com três pontos de fuga 
Fig. 31 – As duas perspectivas mais usadas em Desenho Técnico (Cavaleira e Isométrica) e três imagens perspectivas com três 
pontos de fuga. 
 
120º 120º 
30º 30º 
 15 
Fig. 32 - A perspectiva Isométrica (medidas iguais sobre os eixos) é desenhada sobre um sistema de eixos que mantém, no papel, uma 
distância de 120º entre si. Esses eixos podem ser desenhados de diferentes formas, desde que mantenham a inclinação. 
 
 
 
 
 
Fig. 33 – Em qualquer dos tipos de perspectiva, a origem do sistema de eixos pode estar em qualquer lugar mas, preferencialmente, 
em um dos vértices do objeto. 
 
 
A construção de uma perspectiva Isométrica é feita pelo lançamento das medidas exatas de largura, altura e 
profundidade sobre o sistema de eixos XYZ ou linhas paralelas a eles. 
A construção de uma perspectiva Cavaleira parte de uma das vistas ortográficas do objeto (normalmente a vista de 
frente). As medidas de profundidade são lançadas com um fator de redução, a 30º, 45º ou 60º com a horizontal, em 
linhas paralelas entre si. Este livro adota a inclinação de 45º, com redução de 50% da medida real de profundidade. 
Fig.34 – Algumas origens do sistema de eixos na perspectiva isométrica 
 16 
 
 
 
 
 
Vista ortográfica Projeção oblíqua Perspectiva Cavaleira 
sem redução na 
profundidade (não 
Perspectiva Cavaleira 
com profundidade 
reduzida em 1/3 
Perspectiva Cavaleira 
com profundidade 
reduzida em 50% 
 
Vista ortográfica 
 
Projeção oblíqua Perspectiva Cavaleira 
sem redução na 
profundidade 
Perspectiva Cavaleira 
com profundidade 
reduzida em 1/3 
Perspectiva Cavaleira 
com profundidade 
reduzida em 50% 
 
Fig.36 – Perspectivas Cavaleiras e suas reduções 
Fig.37– Perspectivas Cavaleiras e suas reduções 
Fig.35 – A perspectiva Cavaleira é desenhada sobre um sistema de eixos que tem, no papel, o eixo de profundidade (eixo Z) inclinado a 30º, 
45º ou 60º com a horizontal. Esses eixos podem ser desenhados de diferentes formas, desde que mantenham a inclinação do eixo Z. 
Este livro adota a inclinação de 45º, com redução de 50% da medida de profundidade 
 17 
 
 
Fig. 38 – Diferentes aplicações das perspectivas técnicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perspectiva isométrica 
Fonte: NASA 
Perspectiva Axonométrica 
Fonte: NASA 
Perspectiva cavaleira 
Fonte: http://www.guiadomarceneiro.com 
 
Veja os passo-a-passos Desenhando uma perspectiva isométrica e Como 
desenhar uma perspectiva cavaleira no item Apoio Didático no CD-ROM 
Fig. 39 – 
Épura: 
desenho 
resultante das 
duas projeções 
do sistema 
Mongeano: 
projeção 
vertical ou vista 
de frente e 
projeção 
horizontal ou 
vista superior. 
 
O 
processo 
de 
desenho 
das 
vistas 
ortográfi
cas será 
abordado 
em 
detalhe 
no 
Capítulo 
4 e no 
passo-a-
passo 
visualiz
ação_do
_objeto.
pps 
presente 
no CD-
ROM 
 
Fig.40 - Veja 
em Aulas & 
Animações do 
CD – Aula 1 - 
este modelo 3D 
interativo e 
animado que 
mostra esta 
planificação do 
cubo que 
envolve um 
objeto 
Igualment
e, as vistas 
não podem 
ser 
desenhada
s em 
qualquer 
lugar, 
independe
ntes umas 
das outras. 
Pela 
planificaçã
o do cubo, 
elas 
devem 
obedecer, 
obrigatoria
mente, as 
posições 
descritas 
na Norma 
Brasileira 
NBR - 
10067, 
pág. 2 - 
disponível 
no CD 
(veja fig. 
19 
abaixo). 
 
Portanto
: no 1º 
diedro, a 
vista 
lateral 
esquerd
a é 
projetad
a em um 
plano de 
projeção 
à direita 
do 
objeto e 
a vista 
de cima 
é 
projetad
a no 
plano 
horizont
al que 
fica 
abaixo 
do 
objeto. 
 
Girando 
180º em 
torno do 
eixo vertical 
o modelo 
3D da fig. 
16 contido 
no CD, 
pode-se 
simular a 
colocação 
do objeto 
no 3º diedro 
e obter, por 
transparênci
a, três das 
suas vistas 
ortográficas
. Se o 
objeto for 
considerado 
no 3º 
diedro, a 
imagem que 
está no 
plano 
horizontal 
será a vista 
inferior, e a 
vista lateral 
esquerda 
estará 
situada no 
plano de 
projeção à 
esquerda do 
objeto 
Fig.41 – 
Elementos do 
sistema 
Mongeano. 
Objeto no 1º 
diedro. 
 No Brasil, a 
Norma 
Brasileira 
NBR – 
10067 
recomenda 
que o 
objeto seja 
colocado no 
1º diedro. 
 
Veja no CD 
ou no site 
( item 
Animações
> Aula 1 ) 
como é 
executada 
e o 
resultado 
da 
articulação 
dos planos 
de 
projeção 
em cada 
diedro 
Fig. 4a - Plano 
do quadro 
afastado do 
observador e 
próximo do 
objeto. 
Veja no 
site ou 
CD 
estas e 
outras 
imagens 
dos 
rebatim
entos 
de 
planos 
da 
Geomet
ria 
Mongea
na em 
animaçõ
es 3D 
( item 
Animaç
ões> 
Aula 1 ) 
Fig.42 – 
projeção 
horizontal ou 
vista de cima 
 
Veja a 
animaçã
o 3D das 
imagens 
abaixo 
no site 
ou CD 
Fig.43 - 
observador no 
infinito 
 
 
 
 
Fig.44 – fonte 
de projeção no 
infinito 
Fig.45 - 
Veja no CD 
(item 
Animações) 
a animação 
“O uso dos 
esquadros 
e os 
traçados de 
precisão” 
que contém 
a imagem 
acima 
E lembre-
se: o 
escalímetro 
é usado 
para medir, 
e não 
traçar. 
 
Fig. 46 – a vista 
superior já 
rotacionada em 
torno da aresta 
AB (ou eixo Y) 
foi deslocada 
para longe dos 
desenhos 
originais para 
evitar a 
confusão de 
traçados. Para 
encontrar a 
nova vista de 
frente 
rotacionada, 
basta puxar e 
cruzar linhas de 
chamada de 
todos os 
vértices de 
duas vistas – 
neste caso, a 
frontal e a 
superior. 
 
 18 
CAPÍTULO 4 
A prática do desenho técnico 
A prática do desenho técnico envolve uma série de técnicas, regras e processos de desenho que, neste 
livro terão a seguinte seqüência (sugestão: sem trema segundo a nova gramática 2009), mescladas com 
técnicas e processos em computador: 
• desenho de uma perspectiva exata pela plotagem das coordenadas dos vértices de um objeto sobre 
um sistema de eixos cartesianos desenhado no papel; 
• desenho manual, com instrumentos, das vistas ortográficas do objeto representado pela perspectiva; 
• desenho manual de uma perspectiva do objeto a partir de suas vistas ortográficas; 
• processos auxiliares da visualização e de seu desenvolvimento: cortes; 
• plotagem das mesmas coordenadas em um sistema CAD, o que resulta um modelo 3D; 
• introdução à visualização do modelo 3D em suas várias vistas ortográficas e possibilidades 
perspectivas em computador; 
• introdução à modelagem 3D 
Essa sequência de aprendizado serve de introdução aos processos do desenho técnico e ao entendimento 
das bases dos sistemas gráficos 2D e 3D em computador. 
Desenho de uma perspectiva, conhecendo as 
coordenadas dos vértices de um objeto 
Este é um importante exercício introdutório ao desenho técnico e à visualização. Neste processo, a 
imagem perspectiva obtida pela plotagem no papelé idêntica à imagem obtida do modelo 3D em um 
CAD com os mesmos parâmetros de projeção. 
 
Veja o desenho e a plotagem de um paralelepípedo e do mesmo objeto em CAD no Capítulo 7 
 
 
Execute o arquivo coordenadas.pps no CD para ver um passo-a-passo do processo de desenho de uma perspectiva 
a partir das coordenadas dos vértices de um objeto – a figura acima mostra a primeira página da apresentação. 
Fig.47 – Tela inicial do passo-a-passo coordenadas.pps presente no CD-ROM 
 19 
Como lançar as coordenadas de um ponto 
 
 
 
 
O arquivo coordenadas.pps no CD exibe um passo-a-passo do processo de desenho de uma 
perspectiva por lançamento - ou plotagem - de coordenadas sobre um sistema de eixos 
cartesianos desenhado no papel. 
 
 
Fig. 50 – Tela do passo-a-passo coordenadas.pps contido no CD-ROM, que detalha o processo de desenho de uma perspectiva 
exata por lançamento ou plotagem de coordenadas de um poliedro sobre um sistema de eixos cartesianos desenhado no papel. 
Fig.48 - É importante lembrar que o desenho dos eixos desta 
figura é uma simplificação do triedro formado pelos planos 
definidos pelos eixos X, Y e Z (planos XY, YZ e XZ). 
Fig.49 - Com a grade, vê-se mais claramente o triedro e o ponto A 
(2; 3; 0) pertencendo ao plano XY. 
A yz e A xz são as projeções do ponto A nos planos YZ e XZ, 
respectivamente. 
 20 
A prática do lançamento de coordenadas em um 
sistema cartesiano no papel 
 
Dadas as coordenadas de vértices e definição de faces abaixo, desenhar uma perspectiva ISOMÉTRICA exata 
do objeto. O eixo Y recebe as alturas e o eixo Z positivo fica para a frente e para a esquerda. 
 
VÉRTICES 
A (0;0;0) D (0;8;0) G (6;8;2) J (4;0;3) M (4;0;5) P (4;3;5) S (2;2;6) 
B (6;0;0) E (0;6;2) H (0;8;2) K (4;5;3) N (6;0;5) Q (0;0;6) T (0;2;6) 
C (6;8;0) F (6;6;2) I (2;0;3) L (2;5;3) O (6;3;5) R (2;0;6) 
 
 
 
FACES 
ABCD, EFGH, IJKL, MNOP, QRST 
ABNMJIRQ, DCGH 
BCGFON, ADHETQ, ILSR, JKPM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 52 - Experimente ligar agora os 
vértices de acordo com a tabela de faces 
abaixo para ver o objeto resultante. 
FACES 
ABCD, EFGH, IJKL, MNOP, QRST, ABNMJIRQ, 
DCGH, BCGFON, ADHETQ, ILSR, JKPM 
 
 
 
ATENÇÃO: Note que os pontos M, I, P e L parecem pertencer a uma mesma aresta, uma vez que resultam sobre a mesma linha 
vertical. Essa é uma ilusão visual provocada pela posição do observador: As arestas MP e IL estão em posições diferentes no espaço 
- como pode-se (sugestão: o como atrai o se, se pode) ver pelas coordenadas dos vértices – mas sobrepõem-se visualmente, uma na 
frente da outra, no desenho. 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
J 
K 
L 
M 
N 
O 
P 
Q 
R 
S 
T 
A (0;0;0) 
B (6;0;0) 
C (6;8;0) 
D (0;8;0) 
E (0;6;2) 
F (6;6;2) 
G (6;8;2) 
H (0;8;2) 
I (2;0;3) 
J (4;0;3) 
K (4;5;3) 
L (2;5;3) 
M (4;0;5) 
N (6;0;5) 
O (6;3;5) 
P (4;3;5) 
Q (0;0;6) 
R (2;0;6) 
S (2;2;6) 
T (0;2;6) 
Fig.51 - Plotando os pontos sobre os eixos desenhados no papel, obtêm-se 
(sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 2009) a posição dos 
vértices do objeto. Unindo os vértices de acordo com a tabela de arestas ou 
faces, obtêm-se (sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 
2009) uma visão perspectiva de um modelo “aramado” do objeto (Fig. 44 e 
45) 
 21 
O próximo passo é verificar a visibilidade do objeto, ou seja, determinar quais arestas são visíveis, quais 
são ocultas, ou ditas invisíveis. Caso seja necessário mostrar as arestas ou trechos de arestas invisíveis 
usa-se representá-las com linhas tracejadas (Fig. 46 e 47). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.53 - Unindo os vértices de acordo com a tabela de arestas ou 
faces, obtêm-se (sugestão: não se acentua conforme a nova gramática 
2009) uma visão perspectiva de um modelo “aramado” do objeto. 
Fig.54 - O próximo passo é verificar a visibilidade do objeto, ou 
seja, determinar quais arestas são visíveis, quais são ocultas, ou 
ditas invisíveis. As arestas invisíveis são representadas com 
linhas tracejadas 
Fig.55 – Verificada a visibilidade, o objeto pode ser mostrado 
com suas linhas invisíveis ou como um sólido, como na figura 48. 
Fig.56 – Objeto representado como sólido, sem os eixos e as 
arestas invisíveis tracejadas. 
 22 
Exercício de plotagem 
Dadas as coordenadas de vértices e arestas abaixo, desenhar uma perspectiva ISOMÉTRICA exata do objeto. 
O eixo Y recebe as alturas e o eixo Z positivo fica para a frente e para a esquerda. 
 
VÉRTICES 
 
A (0; 0; 0) G (8; 0; 6) M (8; 3; 2) S (4; 2; 6) 
B (8; 0; 0) H (0; 0; 6) N (6; 3; 2) T (2; 2; 6) 
C (8; 0; 2) I (2; 2; 0) O (6; 3; 4) U (2; 4; 6) 
D (6; 0; 2) J (4; 2; 0) P (8; 3; 4) V (0; 4; 6) 
E (6; 0; 4) K (6; 3; 0) Q (8; 3; 6) W (0; 7; 0) 
F (8; 0; 4) L (8; 3; 0) R (6; 3; 6) X (2; 7; 0) 
 
 
 
ARESTAS 
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA 
IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OP, PQ, QR, RS, ST, TU, UV, VW, WX, XI 
XU, IT, JS, KN, OR 
WA, LB, MC, ND, OE, PF, QG, VH 
 
 
Exemplo de descrição de um sólido 
A figura abaixo mostra um poliedro descrito por meio de coordenadas de alguns de seus vértices e por 
medidas mostradas em um sistema de grade de referência. 
 
 
Fig.57 – Resultado da plotagem 
Fig.58 – Exemplos de coordenadas dos 
vértices de um sólido. 
O sólido pode ser descrito pelo 
conjunto de coordenadas de todos os 
seus vértices e desenhado em 
perspectiva pela plotagem em um 
sistema cartesiano no papel. 
(0; 6; 0) 
(2; ... ; ... ) 
(4; ... ; 6) 
(6; 0; 6) (0; 0; 6) 
X Z 
Y 
Veja na página 28 a proposta de 
um exercício com este objeto 
 23 
O desenho e a interpretação das vistas 
ortográficas 
As vistas ortográficas são representações que mostram o objeto como é visto de frente, de lado, de cima, 
etc. em projeção cilíndrica, e ortogonal aos planos de projeção, de acordo com a teoria das projeções da 
Geometria Descritiva discutida no Capítulo 2. 
Essas vistas são desenhadas usando as regras do desenho técnico – conforme a norma da ABNT - que 
resultam da planificação de um cubo cujas faces recebem as projeções do objeto (Fig. 52 e animações do 
CD-ROM). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.60 – A norma técnica da ABNT recomenda que se utilize o 
primeiro diedro para projeção. Desta forma, as vistas resultam 
da planificação de um cubo cujas faces recebem as projeções 
do objeto. 
Fig.59 – Perspectiva isométrica do objeto a ser representado 
pelas vistas ortográficas. 
Fig.61 – pela própria construção do sistema e planificação do cubo 
no processo de projeção, as vistas resultam, obrigatoriamente, 
eqüidistantes (sugestão: sem trema segundo a nova gramática 
2009) umas das outras, na forma de uma cruz deitada, com a vista 
de frente ao centro. A disposição das vistas na figura corresponde 
ao objeto colocado no 1º diedro. 
 24 
 
O processo de desenho das vistas ortográficas 
A maior parte dos desenhos de objetos e peças exige apenas três ou quatro vistas para que o objeto 
possa ser completa e corretamente 
descrito. 
Para obter as vistas da forma correta, 
nas posições corretas, usa-se um 
processo de localização e transferência 
da posição dos vértices de uma vista 
para outra como nas Fig. 56a e 56b. 
Em alguns casos, pode-se desenhar 
cada uma das vistas completaspara 
depois passar para a outra. Em outros 
casos (veja o exercício adiante e os 
passo-a-passos de desenho de vistas 
do CD), é necessário trabalhar em 
todas as vistas simultaneamente para 
conseguir completar o desenho. 
 
 
Fig. 64a e 56b – As três vistas, de frente, lateral esquerda e superior foram desenhadas usando técnicas equivalentes de localização e 
transferência dos vértices, com emprego de linhas de transferência a 45º. No caso da Fig. 56b, as linhas a 45º podem ser substituídas 
por arcos de circunferência com centro no ponto O. 
 
Nestes desenhos ilustrativos não foram desenhadas as janelas e porta nas vistas onde elas são invisíveis, ou seja, onde deveriam 
aparecer como linhas tracejadas. Nos desenhos de vistas “reais”, as arestas invisíveis devem aparecer como linhas tracejadas. 
Fig.62 - É importante notar que os objetos são 
posicionados no sistema triédrico ou no cubo 
preferencialmente de forma que suas faces 
fiquem paralelas aos planos de projeção. 
 
Este posicionamento visa que as faces sejam 
projetadas em verdadeira grandeza, ou seja, 
sem alterações nas suas medidas em função de 
inclinações. 
 
Na imagem à direita, o objeto foi colocado 
inclinado em relação ao plano vertical de 
projeções. Note-se que, na vista de frente, as 
faces inclinadas mostram-se reduzidas em 
relação ao seu tamanho real (verdadeira 
grandeza da imagem à esquerda). 
Fig.63 
 25 
 
Fig. 65 – Primeiro slide (sugestão: colocar em itálico, pois a palavra é de origem inglesa) do passo-a-passo sobre desenho de vistas no 
CD. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 66 - As posições de vértices podem ser encontradas relacionando o objeto com um 
paralelepípedo envolvente. 
 
 
Desenhando as vistas ortográficas 
Alguns dos exercícios mais interessantes de desenho técnico básico podem ser formulados descrevendo a 
formação de um objeto por cortes com e em planos inclinados. Não se trata aqui de exercícios de cortes 
(veja o Capítulo 5), mas do entendimento de como um objeto foi gerado, da criação de arestas pela 
interseção de planos ou da definição de faces em rampas apenas pela sua inclinação. 
Este tipo de problema e objetos é dos que mais demandam conhecimento e entendimento do processo de 
desenho das vistas. 
 
 
 26 
 
• A primeira operação foi um corte feito a 45º com a vertical, ao longo e até a metade do comprimento 
da aresta KK (ponto I), o que determinou a aresta EH (não importa saber a altura dos vértices E e H, 
eles são produto do corte e são encontrados por meio do desenho). Um corte vertical entre I e H, define 
o ponto O, cria a aresta IH e a primeira face inclinada IHEK (Fig. 60), e completa a operação de definição 
do primeiro volume a ser retirado (Fig. 59) 
• a segunda operação foi um corte por um plano inclinado que contém a aresta IO e passou pelo ponto 
G (na metade da aresta KD). O plano de corte é perpendicular ao plano de projeção YZ e produziu uma 
aresta GF, paralela a IO e a DC (Fig. 60). Essa operação resultou no sólido da Fig. 61 ; 
• a terceira operação foi um corte inclinado entre os vértices I, J e H (Fig. 61) que retirou uma 
pirâmide que tinha o vértice O como seu ápice (Fig. 61 e 62). 
 
Atenção: a grade é horizontal e, portanto, só contém as medidas da base, 4 x 8 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
A sequência de operações a seguir deu origem a um objeto, partindo de um bloco paralelepípedo de 4 x 5 x 8 cm 
(largura x altura x profundidade). Leia a descrição, e veja o enunciado do exercício ao pé da página. 
 
Exercício criado com base em sólido do livro Manual Básico de Desenho Técnico, 2ª ed. Speck & Peixoto, Editora da UFSC, 2001. 
 
 
 
45º 
K 
K 
E 
H 
I 
K 
I 
D 
G 
F 
I 
G 
F 
C 
O O 
O 
H 
H 
H 
J J 
I 
vista frontal 
EXERCÍCIO 
Tendo por base a descrição de operações acima, desenhe as vistas de frente, lateral esquerda e 
superior do objeto final. 
 
Fig.67 Fig.68 
Fig.69 Fig.70 
E 
 27 
 
Fig. 71 – começando pela vista de frente: com os 
dados fornecidos, pode-se traçar apenas o contorno 
do objeto 
Fig. 72 – também não é possível completar a vista 
superior, somente com os dados fornecidos 
 
Fig. 73 – a partir das vistas frontal e superior, 
pode-se traçar a vista lateral esquerda completa 
Fig. 74 – a partir do desenho completo da vista 
lateral esquerda, pode-se trazer as posições dos 
vértices ausentes para as outras vistas. 
 
Fig. 75 - Resultado: as três vistas vistas ortográficas 
Acompanhe o desenvolvimento do desenho 
 
 28 
A interpretação das vistas ortográficas: desenhando 
perspectivas 
Mais do que o desenho, a interpretação das vistas ortográficas para o desenho de perspectivas é uma 
atividade que exige uma série de conhecimentos e habilidades: 
• conhecimento e entendimento do processo de desenho de vistas; 
• entendimento do processo de projeções ortográficas; 
• conhecimento e habilidade na técnica de desenho das perspectivas; 
• conhecimento das normas do desenho técnico; 
• capacidade de abstração e; 
• capacidade de visualização. 
Não há uma forma correta (sugestão: retirar o itálico) de ler e interpretar as vistas ortográficas. Cada 
indivíduo tem um processo de raciocínio e visualização diferente, mas a demanda da capacidade de 
abstração e visualização é grande. 
Uma das formas menos abstratas de auxílio à interpretação das vistas ortográficas é por meio do 
desenho – em perspectiva - de cada uma das vistas nas faces de um paralelepípedo que envolve o objeto 
a ser visualizado (Fig. 68). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Fig. 76 - dadas as vistas de um 
objeto, desenhar uma perspectiva 
isométrica, sem as arestas invisíveis. 
 
Com essa montagem inicial do objeto, pode-se verificar, por exclusão, algumas características da sua 
estrutura geométrica: 
• quais - entre as figuras geométricas que representam as faces – pertencem aos planos das faces dos 
paralelepípedos, ou seja, são faces externas do objeto final; 
• quais das figuras geométricas representam faces recuadas; 
• quais representam faces inclinadas; 
• qual a posição real dessas faces recuadas e inclinadas; 
• onde cada par de faces se encontra para formar vértices e arestas. 
 29 
 
Para deixar mais clara a leitura, ao longo dos anos ficou provado que é preciso lembrar alguns aspectos fundamentais e 
aparentemente óbvios do desenho técnico e da geometria: 
• para efeito dessa leitura, em desenho técnico básico, as vistas e perspectivas mostram os objetos somente através de linhas 
que representam suas arestas; 
• por consequência, toda linha presente nas vistas e perspectivas – com exceção das linhas de construção ou indicativas de 
corte, simetria, etc. - é a representação de uma aresta. 
Onde há uma linha no desenho, há uma aresta no objeto; 
• uma aresta só existe na interseção de dois planos, ou, nos sólidos, no encontro de duas faces adjacentes e não coplanares; 
• no término de uma face sempre há outra face e, consequentemente, uma aresta; 
• nos sólidos, um vértice existe no encontro de três ou mais arestas; 
• como consequência, todo encontro de três ou mais arestas forma um vértice; 
• em desenho técnico, trabalhamos com objetos reais, sólidos; não existem aqui faces sem espessura, que terminam em 
arestas sem uma outra face em continuação. Toda aresta é produto do encontro de duas faces e, portanto, implica uma face em 
continuação. 
 
 30 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Dada a perspectiva abaixo, desenhe as vistas de frente, superior e as duas laterais, considerando a 
FRENTE 1 do objeto, e encontradas as medidas dos vértices faltantes, uma perspectiva Cavaleira . (os 
módulos maiores da grade valem 1 cm). 
2. Como continuaçãodo exercício, desenhe uma perspectiva Isométrica e outro conjunto de vistas, agora 
considerando a FRENTE 2. 
 
 
Fig. 77 – vistas ortográficas Fig. 78 – vistas desenhadas nas faces de um 
paralelepípedo envolvente do objeto 
Fig. 79 – perspectiva isométrica 
 
Veja em Aulas & animações no CD um passo-a-passo para a visualização da montagem da Fig. 62 e 
conseqüente desenho da perspectiva da Fig. 63. 
(0; 6; 0) 
(2; ---; ---) 
(4; ---; 6) 
(6; 0; 6) (0; 0; 6) 
X Z 
Y 
FRENTE 
2 
FRENTE 
1 
Atenção: todas as medidas e 
vértices faltantes são encontrados 
pela transferência de pontos no 
processo de desenho. 
NADA DEVE SER CALCULADO 
 
 31 
CAPÍTULO 5 
Cortes e representações de cortes 
 
Fig. 80 – vistas de uma vagoneta, com a inclusão de um corte (AA) que mostra a estrutura dos eixos, assentos, etc. 
 (http://www2.arts.ubc.ca/TheatreDesign/crslib/drft_1/pencil/wag1a.htm) 
 
Cortes são os nomes genéricos usados para vistas ortográficas de objetos dos quais é retirada uma parte 
em função de um corte (secção (sugestão: pela nova gramática 2009, deve-se tirar o “c”) ou seção) por 
um plano. Uma planta-baixa, por exemplo, é o resultado do corte de uma edificação por um plano 
horizontal. 
 
Fig.81 – Corte de uma edificação por um 
plano horizontal, o que resulta na chamada 
planta-baixa 
 32 
Os cortes são, portanto, operações geométricas normalmente utilizadas para mostrar aspectos internos ou 
características estruturais ou de composição não visíveis do objeto de estudo, como, por exemplo: 
• perfil de relevo, características ou composição das 
camadas geológicas de um terreno; 
• mecanismos, estruturas ou montagem de 
dispositivos, instrumentos, máquinas, motores, etc.; 
• estruturas de edificações; 
• características geométricas de objetos; 
• formação ou estrutura vegetal ou biológica; 
estrutura óssea; 
• etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 84 – Seções do corpo humano em uma 
tomografia computadorizada. Cada uma das 
quatro imagens à esquerda corresponde a uma 
fatia horizontal, na altura marcada pela linha 
horizontal na radiografia. 
Fig.82 – corte perspectivado de 
um módulo espacial. 
Fonte: NASA 
Fig.83 - Corte de um terreno em profundidade, mostrando o percurso 
do abastecimento subterrâneo de água. Fonte: SmartDraw. 
Pode-se fazer analogia dos contornos fechados dessas fatias com as curvas de nível de uma elevação 
ou depressão em topografia. As linhas que definem os níveis também são cortes em diferentes alturas 
produzidos por planos horizontais. Fonte das imagens: Clínica Villas Boas, Brasília. 
 33 
O cortes são normalmente executados com a utilização 
de planos verticais ou horizontais que seccionam 
(sugestão: pela nova gramática 2009, deve-se tirar o 
“c”) os objetos no seu todo ou em parte. Cortes 
parciais que mostram parte do objeto ou peça cortada 
e parte inteira chamam-se meios-cortes (veja 
animações e um passo-a-passo no CD) 
 
 
 
 
Fig. 85 – esta imagem de um sistema gerador fictício mostra 
determinados componentes cortados, outros não. 
 
 
 
Fig. 86 – meio-corte de uma tubulação. 
Fonte: http://www.ider.herts.ac.uk/school/courseware/graphics/engineering_drawing/types_of_sectioning.html 
 
Retirada(s) a(s) parte(s) que não interessa(m) mostrar, o resultado do corte é um desenho que contém uma 
ou mais faces planas chamadas seções de corte. 
 
 
Fig. 87 – imagens de algumas das animações e modelos 3D relativos a cortes no CD 
 34 
Determinação dos cortes 
Para os exercícios deste livro e do CD utilizamos apenas sólidos simples cuja seção de corte costuma ser 
uma única face plana. 
Essa face é definida pelas arestas resultantes do corte (interseção do plano de corte com as faces originais 
do objeto) que, por sua vez, são definidas por vértices nas suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 88 – objeto a ser cortado por um 
plano de corte vetical. 
Fig. 89 – no item Aulas e animações do CD, veja um 
passo-a-passo do processo de corte nas vistas e na 
perspectiva, simultaneamente. 
Fig. 90 – Resultado do corte 
em perspectiva. 
ATENÇÃO 
Em desenho técnico costuma-se fazer a distinção entre os desenhos que são chamados genericamente 
CORTES e os desenhos chamados SEÇÃO DE CORTE. 
Um CORTE é uma vista ortográfica de frente para a nova face chamada “Seção de corte”, incluindo as 
partes do objeto que se encontram adiante do plano de corte. A SEÇÃO DE CORTE é um desenho da 
mesma vista ortográfica de frente para a nova face, SEM incluir o restante do objeto, ou seja, mostra-se 
somente a(s) face(s) resultante(s) do corte. 
(desenho de um corte e de uma seção de corte do mesmo objeto) 
Cortes em edificações 
O corte de uma edificação por um plano horizontal na altura de 1,50 m tem um nome próprio: planta-
baixa. 
Cortes da edificação por planos verticais (normalmente paralelos a uma parede), são chamados 
simplesmente de CORTE. Os cortes mais comuns nas edificações são os transversais (na direção da 
largura ou menor medida) e longitudinais (na direção do comprimento, ou maior medida). 
 
 
 
 Fig. 91 – um corte de uma edificação por um plano 
horizontal na altura de 1,50 m 
leva o nome de planta-baixa. No 
caso desta imagem, o plano 
passando mais acima produziu 
uma planta-alta, menos usada do 
que a planta-baixa. 
Fig. 92a e 84b – planos verticais 
produzem cortes chamados tranversais 
(sugestão: faltou o “s”) (na largura) e 
longitudinais (ao longo do comprimento) 
de uma edificação. 
 
A determinação da face resultante (seção de corte) é, portanto, essencialmente, a determinação desses 
vértices que são os pontos de interseção do plano de corte com as arestas originais do objeto. 
 
 
 35 
CAPÍTULO 6 
Rotação 
Rotação é um método derivado da Geometria Descritiva que serve para encontrar vistas ortográficas 
auxiliares não padronizadas, além das seis vistas clássicas do Desenho Técnico. 
 
 
 
 
Fig. 93 - As imagens acima fazem parte de uma animação presente no CD-ROM (item Aulas & Animações > Perspectivas) que mostra 
a transformação de uma vista ortográfica de frente em uma perspectiva por meio da rotação do objeto - primeiro para a frente, em torno 
do eixo X e, a seguir, no sentido horário, em torno do eixo Y. Note que as arestas paralelas dos cubinhos continuam paralelas entre si 
nas três etapas da rotação porque foi utilizada a projeção cilíndrica que tem os raios de projeção paralelos entre si. 
 
Neste livro, o método da Geometria Descritiva foi adaptado e simplificada para uma melhor visualização 
do processo de rotação de um objeto em torno de um ponto ou uma aresta qualquer, tendo por base um 
dos eixos coordenados. 
O exercício da rotação 
Veja o objeto sólido representado pela perspectiva e pelas vistas abaixo. A seta e as vistas deixam claro 
o ponto de vista na frente do poliedro, e considera-se que o eixo Y é coincidente com a aresta AB. 
 
Fig. 94 - Veja um passo-a-passo com este objeto no item Aulas & Animações do CD-ROM 
 
Se o objeto girar – ou for rotacionado – 30º no sentido horário em torno da aresta AB (Fig. 87): 
 a sua vista superior sofrerá um giro equivalente, na horizontal, sem mudar de forma, 
proporções ou dimensões. A Fig. 87 mostra, em negrito, a vista superior rotacionada 
horizontalmente em torno da aresta AB – ou eixo Y; 
V.F. 
A=B 
A A 
B B 
A 
Y 
 36 
 as vistas de frente e lateral sofrerão uma mudança de forma, proporções e medidas nas 
dimensões horizontaise inclinadas, mas não nas alturas. 
Para facilitar o entendimento, a Fig. 88 mostra, em negrito, a vista superior rotacionada, (sem mudança 
de forma, proporções ou dimensões ) e a vista de frente resultante da rotação. 
 
 
 
No método da Geometria Descritiva, os traçados da rotação são executados sobre os desenhos originais, 
como nas figuras 87 e 88. Para poliedros mais complexos, se os desenhos não forem executadas 
(sugestão: executados) com espessuras bem diferenciadas como nas figuras acima, essa prática resulta 
em um amontoado de linhas que pode confundir o leitor ou mesmo o desenhista. 
A adaptação deste livro procura simplificar e limpar o método, deslocando a vista rotacionada que não se 
irá alterar – neste caso, a vista superior – para longe das vistas originais (Fig. 89). As Fig. 89 e 90 
mostram que, para encontrar a nova vista frontal (rotacionada) como neste caso, basta traçar e cruzar 
linhas de chamada vindas a partir de todos os vértices de duas vistas – neste caso, frontal e superior 
rotacionada -, como no método de transferência de pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 96 - Em negrito, a vista superior rotacionada e a vista 
de frente resultante da rotação. 
Fig. 95 - Em negrito, a vista superior rotacionada 
horizontalmente em torno da aresta AB, sem nenhuma 
mudança de forma, proporções ou dimensões. 
Fig. 97 – a vista superior já 
rotacionada em torno da aresta AB 
(ou eixo Y) foi deslocada para longe 
dos desenhos originais para evitar a 
confusão de traçados. Para encontrar 
a nova vista de frente rotacionada, 
basta puxar e cruzar linhas de 
chamada de todos os vértices de 
duas vistas – neste caso, a frontal e a 
superior. 
 
Fig. 98 – traçando linhas a partir de todos os vértices das duas vistas 
– frontal e superior – encontram-se os vértices e o traçado da vista 
frontal resultante da rotação. Este método equivale a uma mudança 
do ponto de vista principal (frente do objeto). 
 
 37 
 
Fig. 99 – esta figura mostra como ficaria a vista de frente de um objeto sólido rotacionado e desenhado sobre as vistas originais e a 
mesma vista deslocada juntamente com sua vista superior. 
Na prática 
O sólido representado pela perspectiva abaixo é derivado de um cubo de 6 cm de aresta. De um dos seus 
cantos inferiores foi extraído um outro cubo de 3 cm de aresta e, a seguir, foi executado um recorte que 
produziu a face inclinada a 60º com a horizontal. Para as três opções de frente indicadas pelas setas 1, 2 
e 3, responda os itens a seguir. 
a) Para a posição 1 de frente, em torno de qual eixo o objeto deverá ser rotacionado para a 
obtenção da verdadeira grandeza da face inclinada? 
b) Nesse caso, que nova(s) vista(s) poderá(ão) mostrar a face em VG? 
c) Qual o ângulo de rotação necessário (ou quais os ângulos, caso haja mais de uma solução)? 
d) Das vistas originais, qual deverá sofrer a rotação para depois obter a vista resultante do item b) ? 
e) Em uma mesma folha, desenhe as vistas originais do objeto (sem rotação) e a(s) nova(s) vista(s) 
rotacionada(s), conforme o item b). 
f) Responda os itens a) a e) para as posições de frente 2 e 3. 
 
 
frente 1 
frente 2 
ângulo de 60º 
frente 3 
base para 
a frente 3 
 
 38 
CAPÍTULO 7 
Para entender escalas e escalímetros 
Escala é a relação da dimensão linear de um objeto ou elemento representada no desenho para a 
dimensão real deste objeto ou elemento. (NBR 8196, 2.1) 
A escala é sempre uma proporção entre o tamanho real de um objeto e o de seu desenho 
(representação), e uma das formas de indicá-la é como uma fração... 
 
 
A notação mais comum para as escalas é na forma 1:50 o que, na linguagem corrente, é lido como 
“um para cinqüenta (sugestão: tirar o trema, conforme nova gramática 2009)” (outras escalas: 
1:2 - um para dois; 1:20 - um para vinte; 1:1000 - um para mil; 1:12500 - um para doze mil e 
quinhentos; etc.). 
 
 
Escalas que diminuem, no desenho, o tamanho do objeto ou elemento representado, são ditas "escalas 
de redução". São exemplos de escalas de redução: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:100, 1:1000. Note que um 
mesmo objeto representado nas escalas 1:2 e 1:20 terá como resultado desenhos de dimensões 
completamente diferentes: na escala 1:2 o desenho terá metade do tamanho do objeto, e na escala 
1:20, o desenho terá um vigésimo de seu tamanho real. O desenho em 1:2 será, portanto, menor do que 
o objeto real, mas muito maior que o desenho na escala 1:20. Os desenhos maiores, como na escala 1:2, 
permitem mostrar mais detalhes do que os menores, como aquele na escala 1:20. 
 
 
As escalas são utilizadas para desenhar os objetos ou elementos com suas medidas 
reduzidas ou aumentadas no papel. 
Quanto menor o denominador da fração, maior o desenho. 
Quanto maior o desenho, maior o nível de detalhamento possível e usual. 
 
A escala 1:1 é chamada "escala natural", com a qual o objeto ou elemento é desenhado do tamanho real. 
As escalas "de ampliação" - como 2:1, 5:1, 10:1, etc. – dão como resultado desenhos que têm 
(sugestão: não se acentua segundo a nova gramática 2009) as dimensões maiores do que as do objeto 
real. Essas escalas de ampliação aplicam-se ao desenho de peças de pequenas dimensões, nas quais o 
nível de detalhamento precisa ser grande. 
 
Observação importante: pode parecer óbvio, mas é necessário chamar a atenção para que o 
desenho pode mudar de escala, aumentar, diminuir, mas a cota (medida do objeto 
anotada no desenho) não se altera, é sempre a medida real do objeto representado. 
 39 
Entendendo os escalímetros 
Na prática do desenho, as escalas são linhas graduadas – gravadas em uma régua - que indicam a 
relação entre distâncias ou medidas marcadas em um desenho e suas correspondentes distâncias ou 
medidas reais. 
As réguas onde são marcadas as escalas geralmente são chamadas escalímetros; são os instrumentos 
que servem para medir ou marcar medidas em um desenho utilizando 
uma das suas escalas. 
Os escalímetros permitem passar as medidas de uma escala para outra 
sem a necessidade de qualquer cálculo matemático. Basta utilizar uma 
ou outra das suas graduações (escalas). 
As escalas mais utilizadas para desenhos de arquitetura no Brasil são 
de redução e geralmente vêm gravadas no escalímetro com os 
números 20, 25, 50, 75, 100 e 125. Esses números significam que as 
medidas reais são reduzidas 20, 25, 50, 75, 100 e 125 vezes, 
respectivamente. Indica-se as escalas utilizadas com as notações 1:20, 
1:25, 1:50, 1:75, etc. 
 
O que as escalas representam 
Uma unidade, na graduação das escalas do escalímetro usado, representa uma dimensão real de 100 
centímetros (um metro) 
Na escala 1:75, uma unidade na graduação do escalímetro representa 100 centímetros reais; um valor 
de 1,7 unidades representa 170 centímetros (1,70 metros) reais. Da mesma forma, na escala 1:25 uma 
unidade representa 100 centímetros reais. Portanto, o valor de 1,7 unidades nessa escala representa os 
mesmos 1,70 metros na realidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 101 - exemplo: tanto na escala de 1:100 quanto na escala de 
1:50, um valor de 2,3 unidades na escala graduada representa 
230 centímetros (ou 2,3 metros) reais, embora as dimensões no 
escalímetro não sejam as mesmas. Como se vê, os escalímetros 
permitem passar as medidas de uma escala para outra sem a 
necessidade de qualquer cálculo matemático, basta girar a régua 
para utilizar qualquer das suas graduações (escalas). 
 
Fig. 100 - o escalímetro triangular é uma régua de perfil triangular que possui gravadas seis diferentes escalas nos seus lados e que 
permite passar de uma escala para outra apenas com um giro da régua. 
 
Os escalímetros permitem passar as medidas de uma escala para outra sem a necessidadede qualquer 
cálculo matemático. No caso dos escalímetros de perfil triangular, basta girar a régua para utilizar uma ou 
outra das suas graduações (escalas). 
Ou seja, para mudar o tamanho do desenho de um mesmo objeto ou elemento dentro das escalas disponíveis 
no escalímetro, não é necessário qualquer cálculo matemático de proporcionalidade, regra de três ou 
qualquer outro. 
 40 
 
 
 
 
Em resumo: 
• unidades iguais gravadas nas escalas do escalímetro, 1:20, 1:25, 
1:50, 1:75, 1:100 e 1:125 representam as mesmas dimensões 
reais, ou seja, essas escalas são equivalentes nos números que 
mostram, embora as dimensões na régua sejam diferentes. 
• uma unidade, na graduação de qualquer escala, representa uma 
dimensão real de 100 centímetros (um metro). 
• o desenho pode mudar de escala, aumentar, diminuir, mas a cota 
(medida do objeto anotada no desenho) não se altera, é sempre a 
medida real do objeto representado. 
 
 41 
ESCALA 
MEDIDA NO ESCALÍMETRO 
(unidades) 
MEDIDA DO DESENHO NO PAPEL 
(em centímetros) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA 
(centímetros) 
REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
1:20 1 5 100 20 vezes 
1:25 1 4 100 25 vezes 
1:50 1 2 100 50 vezes 
1:75 1 1,33333 100 75 vezes 
1:100 1 1 100 100 vezes 
1:125 1 0,8 100 125 vezes 
A tabela abaixo mostra, para cada escala, quanto representa um centímetro de desenho no papel. 
Escala 
1:1 um centímetro no desenho representa um centímetro real. É a chamada Escala Natural 
1:2 um centímetro no desenho representa dois centímetros reais. É uma escala que reduz pela metade as 
medidas reais 
1:5 um centímetro no desenho representa cinco centímetros reais. É uma escala que reduz cinco vezes as 
medidas reais 
1:10 um centímetro no desenho representa dez centímetros reais 
1:20 um centímetro no desenho representa vinte centímetros reais 
1:25 um centímetro no desenho representa vinte e cinco centímetros reais 
1:50 um centímetro no desenho representa cinqüenta centímetros reais 
1:75 um centímetro no desenho representa setenta e cinco centímetros reais 
1:100 um centímetro no desenho representa cem centímetros reais 
1:125 um centímetro no desenho representa cento e vinte e cinco centímetros reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 103 - a aresta da base deste objeto desenhado na 
escala 1:5 mede, no objeto real, 30 centímetros (na 
escala 1:5, cada unidade do escalímetro vale 10 
centímetros reais). 
Fig. 102 no mesmo desenho a aresta medida com 
uma régua comum (escala 1:1) tem 6 centímetros 
de comprimento. Essa medida não representa a 
medida real da aresta por não estar na escala 
original do desenho. No entanto, a medida de 6 cm 
da aresta no desenho comprova que na escala 1:5 
cada centímetro desenhado vale 5 centímetros na 
realidade. 
As réguas comuns usam a Escala Natural (escala 1:1), ou seja, cada unidade na régua vale 
um centímetro na realidade. 
 
 
As réguas comuns usam a Escala Natural (escala 1:1), ou seja, cada unidade na régua vale 
um centímetro na realidade. 
Veja no CD-ROM exercícios a respeito de escalas e cotagem 
 42 
Descobrindo a escala e dimensões de um desenho 
Muitos dos folhetos de propaganda de venda de apartamentos mostram uma planta-baixa decorada de 
forma a impressionar o possível comprador com as possibilidades e espaços do imóvel. O leigo, no 
entanto, raramente se dá conta das verdadeiras dimensões e do espaço disponível, a não ser quando 
ocupa efetivamente nesse espaço. 
Como agravante, muitos desses desenhos enganam o leitor desonesta e propositalmente: desenham a 
planta baixa em uma escala e o mobiliário em uma escala diferente, mais reduzida. Freqüentemente 
(sugestão: tirar o trema, conforme nova gramática 2009) acontece de uma sala de jantar, por exemplo, 
mostrar dois ambiente, folgados com uma mesa com oito cadeiras, quando, na verdade, não permite dois 
ambientes e mal dá para uma mesa pequena de quatro cadeiras. 
 
Fig. 104 – Desenho de folheto de propaganda. Fonte: 
Antares Engenharia, Brasília. 
 
 
A Fig. 89 acima servirá de base para a 
descoberta da escala e das dimensões do 
imóvel. 
Para isso, parte-se da premissa que algumas 
medidas que fazem parte da planta-baixa 
original - vãos de portas, profundidade de 
balcão de pia e de vasos sanitários - costumam 
ser desenhados na escala correta. 
Medindo a planta-baixa, procure a escala mais 
aproximada para que os seguintes valores 
sejam verdadeiros: 
• profundidade de balcão de pia: 55 a 60 cm 
• profundidade de vaso: 60 cm 
• vão da porta de entrada: 80 a 90 cm 
• vão de portas dos quartos: 80 cm 
• vão de portas de banheiro: 70 a 80 cm 
 
Fig. 105 – checando os valores de profundidade dos vasos sanitários, dos 
balcões das pias e dos vãos das portas, descobre-se que a escala mais 
aproximada para esta planta-baixa é a de 1:75 
 
 43 
 
 
 
 
 
 
 
Descoberta a escala da planta, pode-se verificar e avaliar as reais dimensões do que foi desenhado. 
O primeiro passo é verificar se os móveis estão desenhados na mesma escala. Para isso, é preciso ter 
uma idéia clara das dimensões reais médias do mobiliário - qual a profundidade de um sofá, as 
dimensões de uma televisão, de uma cadeira e de uma mesa para quatro pessoas, fogão, geladeira, 
cama de casal, cama de solteiro, guarda-roupa, etc. 
Aperfeiçoe sua capacidade de avaliação das dimensões com alguns exercícios simples: 
▪ calibre seu passo - faça várias vezes um percurso de dez dos seus passos normais, marcando o 
ponto inicial e final do percurso. Dividindo por dez a média da distância percorrida, você saberá o 
tamanho do seu passo. Essa passada serve para medir distâncias quando não há um instrumento de 
medição à mão; 
▪ meça seu palmo - a medida do seu palmo bem aberto também serve como instrumento de medida 
de precisão aceitável em muitas situações; 
▪ meça seu mobiliário caseiro – meça a largura, altura e profundidade e avalie o conforto dos vários 
tipos de móveis de uma casa: mesas, cadeiras, poltronas, sofás, camas, guarda-roupas, etc. 
▪ meça os espaços caseiros – também é útil saber as dimensões e avaliar o conforto dos espaços 
caseiros, circulação entre camas, na frente de armários e guarda-roupas, para a abertura de portas, 
ao redor de mesas para afastamento de cadeiras, circulação na cozinha, etc. 
 
 
 
 
Fig. 106 - as profundidades das pias da cozinha e banheiro nesta planta-baixa correspondem aproximadamente à escala 1:75. 
 
Fig. 107 - Pela medida na escala da planta-baixa (1:75), a varanda 
do apartamento tem 90 cm de profundidade. 
 
É um bom exercício de dimensionamento avaliar, na realidade, 
quanto espaço isso significa. É uma varanda ampla ou apertada? 
É realmente viável colocar nessa varanda a mesa com duas 
cadeiras que está desenhada na planta decorada? Se é viável, 
será uma mesa utilizável, grande o suficiente para fazer uma 
refeição, por exemplo? Quantas pessoas cabem, 
confortavelmente, nessa varanda? 
 
Nesta planta-baixa, verifica-se que os móveis estão desenhados 
na escala correta. No entanto, vale como exercício avaliar os 
espaços livres existentes entre as camas de solteiro, o tamanho do 
guarda-roupas considerando que são duas pessoas, as dimensões 
da televisão no quarto de casal, o espaço livre de circulação e 
trabalho na cozinha, a abertura da porta da geladeira e as 
dimensões da mesa de jantar. 
Exercício: desenhe na escala de 1:50 a planta-baixa da Fig. 89 
 44 
Como as escalas são feitas 
A graduação das escalas é feita tendo por base o 
resultado das relações matemáticas de cada uma. 
Para exemplificar, as unidades da escala de 1:75 
resultam da divisão de 1 metro (100 centímetros) por 
75, ou seja, 100/75=1,333333 centímetros. Essaescala, portanto, tem graduações unitárias a cada 
1,333333 centímetros. 
Da mesma forma, a escala de 1:25 tem graduações 
unitárias a cada 4 cm (100/25=4), e assim por diante 
para todas as escalas. 
 
 
 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO (unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) 
REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
 
1:20 0,2 1 20 20 vezes 
1:25 0,25 1 25 25 vezes 
1:50 0,5 1 50 50 vezes 
1:75 0,75 1 75 75 vezes 
1:100 1 1 100 100 vezes 
1:125 1,25 1 125 125 vezes 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de ampliação usadas para detalhamento de peças minúsculas 
10:1 1 10 vezes 
5:1 1 5 vezes 
2:1 1 2 vezes 
Escala natural 
1:1 1 1 1 NENHUMA - ESCALA NATURAL 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de redução usadas para pequenos objetos e detalhamento 
1:2 1 5 10 2 vezes 
1:2,5 1 4 10 2,5 vezes 
1:5 1 2 10 5 vezes 
1:7,5 1 1,33333 10 7,5 vezes 
1:10 1 1 10 10 vezes 
 
Fig. 108 - a escala de 1:25 tem graduações unitárias marcadas a 
cada 4 centímetros. 
 
 45 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de redução usadas para desenhos de objetos em escala arquitetônica e similares 
1:20 1 5 100 20 vezes 
1:25 1 4 100 25 vezes 
1:50 1 2 100 50 vezes 
1:75 1 1,33333 100 75 vezes 
1:100 1 1 100 100 vezes 
1:125 1 0,8 100 125 vezes 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de redução usadas para desenhos de objetos e áreas em escala urbana e similares 
1:200 1 5 1000 200 vezes 
1:250 1 4 1000 250 vezes 
1:500 1 2 1000 500 vezes 
1:750 1 1,33333 1000 750 vezes 
1:1000 1 1 1000 1000 vezes 
1:1250 1 0,8 1000 1250 vezes 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de redução usadas para desenhos de áreas urbanas e regionais – plantas urbanas, mapas, etc. 
1:2000 1 5 10000 2000 vezes 
1:2500 1 4 10000 2500 vezes 
1:5000 1 2 10000 5000 vezes 
1:7500 1 1,33333 10000 7500 vezes 
1:10000 1 1 10000 10000 vezes 
 46 
Escalas gráficas 
 
 
 
Fig. 109 - escala numérica e gráfica 
Para dar uma idéia (sugestão: não é acentuado segundo a nova gramática 2009) das distâncias nos seus mapas, o 
Guia 4 Rodas do Brasil usa um misto de escala gráfica e numérica. Neste caso, cada centímetro da escala gráfica do 
mapa vale 93 metros na realidade, ou seja, 9.300 centímetros. A escala do mapa seria, portanto, de 1:9300 se na 
impressão do Guia o desenho da escala gráfica medisse 1 centímetro realmente. Esta é a escala numérica. 
Exatamente porque muitas vezes nas impressões os mapas precisam ser reduzidos ou aumentados em 
relação às suas escalas reais, usa-se imprimir escalas gráficas com eles para serem usadas como unidade 
de medida. Essas escalas são reduzidas ou aumentadas juntamente com o mapa e por isso mantém as 
relações de distâncias correspondentes. As medidas das escalas gráficas podem, portanto, ser tomadas 
como referência confiável para calcular aproximadamente as dimensões ou as distâncias nos mapas. 
Usando-se a escala gráfica do mapa de Mariana pode-se descobrir, por exemplo, que a rua Br. de 
Camargo (veja dentro do círculo) tem aproximadamente 465 m de comprimento (5 vezes a medida da 
escala gráfica). 
 
ESCALA 
MEDIDA NO 
ESCALÍMETRO 
(unidade) 
MEDIDA DO DESENHO 
NO PAPEL (cm) 
DIMENSÃO REAL 
REPRESENTADA (cm) REDUÇÃO AMPLIAÇÃO 
Escalas de redução usadas para desenhos de áreas urbanas e regionais – mapas, etc. 
1:20000 1 5 100000 20000 vezes 
1:25000 1 4 100000 25000 vezes 
1:50000 1 2 100000 50000 vezes 
1:75000 1 1,33333 100000 75000 vezes 
1:100000 1 1 100000 100000 vezes 
1:125000 1 0,8 100000 125000 vezes 
etc. 
Escala gráfica 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala gráfica 
Fig. 110 - escala numérica e gráfica 
No Guia 4 Rodas, cada centímetro da escala 
gráfica do mapa da ilha de Fernando de Noronha 
vale 2 kilômetros na realidade, ou seja, 200.000 
centímetros. A escala numérica do mapa original 
é, portanto, de 1:200.000. 
O comprimento da ilha de Fernando de 
Noronha no mapa é de aproximadamente 
13 vezes o comprimento da escala gráfica. 
Segundo a escala gráfica ou numérica do 
Guia, portanto, o seu comprimento real é 
de aproximadamente 26 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 111– o mapa da América do Sul foi impresso na escala 1:27 500 000 em 
um Atlas geográfico com página de dimensões 27x36,5 cm. 
Fig. 112 – 
Épura: 
desenho 
resultante das 
duas projeções 
do sistema 
Mongeano: 
projeção 
vertical ou vista 
de frente e 
projeção 
horizontal ou 
vista superior. 
 
 
 48 
Fig. 114a e 98b – a imagem mostra lado-a-lado 
o traço da lapiseira escaneado na resolução da 
tela e um traço feito com o ponteiro do mouse 
no programa Paint. 
A imagem escaneada tem as bordas do traço 
serrilhadas (baixa resolução) mas (sugestão: 
colocar a vírgula antes de mas) há uma 
gradação de cinza para suavizar o traçado. 
O traçado no Paint não tem suavização e 
mostra claramente os pixels da tela. O traço é 
preto porque o pixel está apagado. 
 
 
 
 
 
Fig. 113– rastro de uma lapiseira sobre o papel 
CAPÍTULO 8 
Não é do escopo deste livro ensinar AutoCAD ou qualquer outro programa comercial, além da introdução 
a um editor de linguagem VRML chamado Hiperion e a um modelador 3D muito simples chamado 
CosmoWorlds, ambos com versão temporária incluídos no CD-ROM. 
Pretende-se, isto sim, introduzir as bases da computação gráfica 3D, CADs e modeladores 3D, mostrando 
como os métodos e técnicas da Geometria Descritiva e do Desenho Técnico – projeções, vistas 
ortográficas, perspectivas, etc. – estão presentes e são o fundamento operacional dos mais modernos e 
avançados programas da área. 
Conhecendo as bases operacionais comuns a todos os programas, pode-se ter uma visão mais clara da 
área e desmistificar as ferramentas de desenho e modelagem. Com ferramentas simples, este livro 
percorre o terreno da construção e visualização de sólidos 3D com tecnologia de Realidade Virtual. 
Desenhos, imagens e modelos 3D; editores de 
imagens, CADs e modeladores 3D. 
O equivalente, em computador, ao traço feito pelo lápis em um pedaço de papel é o traço em qualquer 
programa editor de desenhos do tipo “Paint” do Windows. 
No papel, a lapiseira deixa um rastro de grafite (Fig. 97) que é tanto mais irregular quanto mais rugoso 
for o papel e mais macio o grafite. 
 Na tela do computador, o equivalente à 
irregularidade do papel é a grade de pixels que 
forma a imagem (pixel é menor área da tela à 
qual é possível atribuir uma cor, ou seja, 
iluminar ou não com determinada cor). 
Nos monitores analógicos, essa grade tem 
tipicamente uma “rugosidade” – chamada 
resolução - de 72 desses pixels por polegada 
(usa-se a notação 72 dpi, ou dots per inch - 
pontos por polegada). 
O traço de lapiseira, escaneado na mesma 
resolução da tela do computador, 72 dpi, 
apresenta as bordas serrilhadas, com pixelsem 
degradê de cinza (fig. 98a). 
Um traço feito no editor Paint com o ponteiro 
do mouse não tem a mesma suavização e 
mostra exatamente o caminho do ponteiro na 
grade de pixels da tela (fig. 98b) 
 
 
 
No traçado feito com o programa Paint, 
pode-se ver claramente a área quadrada 
dos pixels (menor área quadrada da tela) 
apagadas, portanto da cor preta 
Programas como o Paint, Photoshop, Paintshop, etc. – são chamados editores de imagens e geram ou 
trabalham com imagens chamadas raster ou bitmap (mapeamento de bits). Os arquivos das imagens 
bitmap contém, basicamente, uma descrição – ou um mapa – dos pontos que a formam, cada um 
com sua coordenada XY e sua cor. 
 
 49 
Pode-se fazer uma analogia entre o detalhe de uma foto digital em duas resoluções diferentes na tela do 
computador (fig. 99) e o mesmo detalhe ampliado de uma revista (Fig. 100). O processo de impressão 
de imagens em revistas também é feito por pontos de cores diferentes (usa-se 4 cores ao invés das três 
cores da tela) para simular imagens suaves. Quanto maior a resolução (número de pontos por unidade 
de área), menor o tamanho dos pontos e maior perfeição da imagem. 
 
 
Fig. 115 – detalhe de uma foto digital com resolução de 50 dpi e 150 dpi (Dot Per Inch, ou Pontos Por Polegada). 
 
 
Fig. 116 – detalhe da mesma foto impressa em uma revista. Ao invés dos pixels, vê-se a formação da imagem pela impressão de 
pontos de cor diferente para dar, à distância, a sensação de continuidade e suavidade. 
 
 50 
 
 
Fig. 117 – Detalhe de um desenho em uma revista em quadrinhos. Vistos à distância normal de leitura ou em tamanho reduzido, os 
pontos misturam-se e dão os meios-tons desejados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 118 – Detalhe de uma foto digital de alta resolução. Fonte: Banco de imagens do Windows XP 
 
Fig. 119 – Detalhes em alta e baixa resolução de uma imagem escaneada. 
 51 
Programas vetoriais de desenho 
Programas como o AutoCAD ou CorelDraw descrevem suas imagens matematicamente por meio de 
arranjos vetoriais, e não por mapas de bits. Os programas vetoriais são mais adequados para imagens 
compostas de manchas ou traçados. Por esse motivo, embora programas como o CorelDraw ou Illustrator 
sejam adequados para a execução de ilustrações, não são usados para produção ou tratamento de 
imagens com variações tonais como fotografias. 
Os traçados e construções vetoriais trabalham com a idéia (sugestão: sem acento, conforme nova 
gramática 2009) de objetos e permitem atribuição de propriedades a cada objeto, manipulações e 
visualização não possíveis nos editores de imagens e seus bitmaps. Por exemplo. uma linha (ou 
segmento) é um objeto definido pelas coordenadas das suas extremidades e que pode ser esticado 
(alterando a posição das extremidades), alargado, colorido, receber atribuições de funções, etc. Os 
objetos podem ser agrupados ou somados para formar um objeto maior e mais complexo, podem ser 
cortados, deformados, editados, subtraídos uns dos outros ou podem ser posicionados e manipulados de 
forma que o resultado seja a interseção entre eles. São inúmeras as operações possíveis com objetos. 
O programa AutoCAD e todos os outros CADs foram criados para desenhar as linhas do desenho técnico. 
Por serem baseados no sistema de coordenadas cartesianas utilizado em desenho técnico, os CADs têm 
(sugestão: sem acento, conforme nova gramática 2009) uma componente tridimensional, além dos eixos 
X e Y mostrados na tela. Dentro desse sistema tridimensional, os CAD e todos os modeladores 3D 
permitem construir objetos tridimensionais e visualizá-los de uma infinidade de pontos de vista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fig. 104 mostra uma tela do AutoCAD com duas imagens que, embora sejam iguais, têm estrutura 
diferente: a imagem da esquerda é um desenho de uma perspectiva cavaleira de um cubo na metáfora 
da folha de papel, e a da direita é produto da projeção, na tela, de um paralelepípedo (efetivamente 
tridimensional) que tem as arestas de profundidade (eixo Z das alturas, no AutoCAD) oblíquas ao plano 
XY. Girando o sistema de eixos em relação à tela do computador (Fig. 105), pode-se ver claramente a 
diferença entre os dois objetos, um desenho bidimensional e uma construção tridimensional. 
 
Fig. 121 – Rotacionando o sistema de eixos para ver as alturas, descobre-se que os dois objetos têm (sugestão: sem acento, conforme 
nova gramática 2009) estruturas de dados diferentes: o desenho tem apenas coordenadas X e Y e a construção 3D tem coordenadas 
X, Y e Z. 
 
No AutoCAD e programas similares, o processo de plotagem no sistema coordenado – ao contrário da 
plotagem no papel - não simula a tridimensionalidade, é, efetivamente, tridimensional. 
Fig. 120 - Tela do AutoCAD com duas imagens iguais de construções diferentes: um desenho de um cubo 
em perspectiva, e um modelo 3D de um paralelepípedo que tem as arestas de profundidade (alturas, no 
AutoCAD) oblíquas ao plano XY 
Busque no item Apoio do CD-ROM o arquivo acad1.dwg que deu origem a estas imagens. 
 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 122 – As janelas do AutoCAD podem mostrar até quatro vistas ao mesmo tempo. Neste caso, são mostradas a partir da imagem 
superior esquerda: vista de frente (plano XZ); vista lateral esquerda (plano YZ); vista superior (plano XY); e uma perspectiva isométrica. 
Além da plotagem de coordenadas, objetos 3D podem ser criados no AutoCAD de diversas formas. A 
primeira técnica a ser lançada no início da demanda por modelos 3D foi a extrusão ou elevação das linhas 
de um desenho, isto é, levanta-se uma face vertical pela elevação de uma linha desenhada no papel. 
Além do pioneiro AutoCAD, surgiram no mercado muitos outros programas CAD e de modelagem 3D – 
também chamada modelagem sólida. Alguns deles conservaram, desde o início, a técnica do desenho e 
extrusão para geração de modelos 3D. 
O programa Form-Z, por exemplo, até hoje tem essa técnica como uma das principais, uma vez que é 
voltado para o mercado de arquitetura e faz a extrusão a partir dos desenhos de plantas-baixas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 123 – Telas do programa Form-Z com uma cena 3D gerada a partir de desenhos na metáfora da folha de papel. 
 
A maioria dos modernos programas CAD e de modelagem 3D permite a criação de objetos 3D das mais 
diferentes formas, desde a montagem e construção com somatório de sólidos primitivos – esfera, cone, 
paralelepípedo e cilindro, para citar os mais básicos – até a modelagem por metaballs que é uma 
tecnologia que tem células passíveis de se agregar e multiplicar para a modelagem de objetos orgânicos. 
 
 53 
A linguagem VRML – Virtual Reality Modeling Language – é uma das que permite, muito facilmente por 
meio de scripts, gerar objetos com sólidos primitivos que vão-se compondo para resultar objetos mais 
complexos. Todos os modelos 3D do CD que acompanha este livro foram gerados com modeladores 3D 
que trabalham em VRML. Daí os modelos serem VRML. 
 
Um dos modeladores 3D mais simples e didáticos de utilizar é o CosmoWorlds, que trabalha basicamente 
com uma linguagem VRML clara e enxuta. 
 
 
 
Fig. 124 – Interface do modelador CosmoWorlds que permitiu gerar os modelos e as animações 3D do CD-ROM que acompanha este 
livro.
 54 
O exercício da computação gráfica e da 
modelagem 3D 
Plotagem de coordenadas e visualização do modelo 
em um sistema CAD 
• plotagem das mesmas coordenadas em um sistema CAD, o que resulta um modelo 3D 
• visualização do modelo 3D em suas várias vistas ortográficas e possibilidades perspectivas em 
computador 
Os primeiros programas Computer Aided Design (CAD)procuraram mimetizar e melhorar a prancheta de 
desenho para os projetos e desenhos de engenharia mecânica. Com os recursos de programação e 
processamento limitados da época, os programas adotaram a metáfora do desenho a lápis sobre papel, 
mas, por serem vetoriais, desde o início podiam conter informações tridimensionais. Ainda hoje os CADs 
possuem um referencial cartesiano que usa o plano XY para definir a folha de papel virtual na tela vertical 
do computador, com o eixo Z ortogonal à tela. 
As primeiras versões do AutoCAD foram criadas visando os desenhos de engenharia mecânica. Para os 
desenhos bidimensionais e as vistas ortográficas de peças mecânicas e similares, a posição dos eixos 
cartesianos parece não ter tido maior importância. No entanto, quando arquitetos e outros profissionais 
começaram a desenhar plantas-baixas ou objetos tridimensionais com a base assentada nessa folha 
virtual de papel, as larguras ficaram corretamente sobre o eixo X, mas as profundidades ficaram sobre o 
eixo cartesiano das alturas, Y. Sobrou para o eixo Z a função de receber as alturas desses objetos que 
têm uma componente tridimensional explícita. Numa edificação, por exemplo, as alturas das paredes 
para a geração da maquete eletrônica são plotadas na direção do eixo Z, o que é uma inversão do 
sistema cartesiano convencional. 
Programas mais recentes de modelagem 3D e as linguagens VRML (Virtual Reality Modeling Language) 
ou X3D também usam os eixos coordenados na mesma posição, mas, pelo fato de usarem metáforas de 
ambientes tridimensionais - ao invés da folha de papel na posição vertical – têm (sugestão: sem acento, 
conforme nova gramática 2009) a base dos seus mundos virtuais assentada corretamente no plano 
definido pelos eixos largura-profundidade XZ. 
A inversão do referencial cartesiano, em si, se usada no contexto dos programas CAD, pode não resultar 
em problemas. Porém, profissionais como pedreiros, serralheiros ou marceneiros usam e entendem o 
sistema cartesiano convencional XYZ como sendo largura-altura-profundidade, respectivamente. 
Qualquer marceneiro entende que as medidas de 3,00 x 2,50 x 60 para um armário referem-se à largura, 
altura e profundidade. A inversão do sistema, para eles, pode resultar desastrosa. 
Para exemplificar como acontece a inversão no AutoCAD, veja o abaixo resultado de três plotagens do 
objeto da Fig. 49: com as coordenadas originais (Fig.109); com as coordenadas alteradas para que o 
objeto resulte na posição original (Fig.110); com as coordenadas originais e o sistema de eixos invertido 
no programa (Fig.111). Note que, nos dois primeiros casos, está sendo usado o sistema de eixos padrão 
do AutoCAD, isto é, as alturas resultam no eixo Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 125 – Perspectiva NE Isometric 
 Coordenadas dos vértices originais 
 
Fig. 126 – Perspectiva NE Isometric 
 Coordenadas dos vértices alteradas 
 55 
Coordenadas dos vértices originais 
usadas nas Figs. 49, 109 e 111 
Perspectiva NE Isometric 
 Coordenadas dos vértices alteradas 
usadas na Fig. 110 
Perspectiva NE Isometric 
A (0; 0; 0) M (8; 3; 2) A (0; 0; 0) M (2; 8; 3) 
B (8; 0; 0) N (6; 3; 2) B (0; 8; 0) N (2; 6; 3) 
C (8; 0; 2) O (6; 3; 4) C (2; 8; 0) O (4; 6; 3) 
D (6; 0; 2) P (8; 3; 4) D (2; 6; 0) P (4; 8; 3) 
E (6; 0; 4) Q (8; 3; 6) E (4; 6; 0) Q (6; 8; 3) 
F (8; 0; 4) R (6; 3; 6) F (4; 8; 0) R (6; 6; 3) 
G (8; 0; 6) S (4; 2; 6) G (6; 8; 0) S (6; 4; 2) 
H (0; 0; 6) T (2; 2; 6) H (6; 0; 0) T (6; 2; 2) 
I (2; 2; 0) U (2; 4; 6) I (0; 2; 2) U (6; 2; 4) 
J (4; 2; 0) V (0; 4; 6) J (0; 4; 2) V (6; 0; 4) 
K (6; 3; 0) W (0; 7; 0) K (0; 6; 3) W (0; 0; 7) 
L (8; 3; 0) X (2; 7; 0) L (0; 8; 3) X (0; 2; 7) 
ARESTAS 
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA 
IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OP, PQ, QR, RS, ST, TU, UV, VW, WX, XI 
XU, IT, JS, KN, OR 
WA, LB, MC, ND, OE, PF, QG, VH 
 
 
 
Fig. 127- Perspectiva SW Isometric - Coordenadas dos 
vértices originais e eixos rotacionados 
 
Plotagem das coordenadas originais com os eixos 
rotacionados pelo comando New UCS: rotação de 90º em 
torno de X e –90º em torno de Y. 
 
No AutoCAD e programas similares, o processo de plotagem no sistema coordenado – ao contrário da 
plotagem no papel - não simula a tridimensionalidade, é, efetivamente, tridimensional. 
Ao invés de lançar pontos que serão unidos para representar as arestas, nos CADs as arestas são 
criadas automaticamente com a entrada das coordenadas das extremidades de um segmento em um 
comando como Line, por exemplo. 
Nessa plotagem de extremidades dos segmentos que serão as arestas de um objeto, é necessário estar 
atento para a ordem de entrada dos pontos e para a ligação entre eles ou não no momento da entrada 
de dados. 
 
 56 
Visualização do modelo 3D 
A plotagem das coordenadas tridimensionais no AutoCAD gerou um modelo aramado 3D, e não apenas 
uma perspectiva desenhada na metáfora da folha de papel. 
A existência de um modelo 3D permite a visualização do objeto com imagens a partir de uma infinidade 
de pontos de vista. Uma das aplicações mais comuns desse recurso é a geração automática de vistas 
ortográficas do objeto, tendo-se dividido a área de trabalho do AutoCAD em quatro outras menores. 
 
 
Fig. 128 – a janela do AutoCAD foi dividida em quatro e, além da perspectiva isométrica, cada uma recebeu uma vista – de frente, 
lateral esquerda e superior – por meio do menu View > 3D views. 
Todos o (sugestão: colocar “s”) programas mais conhecidos de CAD e modelagem 3D permitem a 
obtenção de uma infinidade de desenhos, imagens perspectivas, desenhos necessários para manufatura, 
vistas ortográficas, rotações, cortes, deformações, etc. a partir de um único objeto, modelo ou cena 3D 
original. 
Os recursos de manipulação e visualização de um objeto, modelo ou cena 3D reduzem enormemente os 
gastos de tempo e trabalho normalmente dispendidos (sugestão: despendidos) para o desenho 
convencional – mesmo em CAD - de toda a documentação de um projeto. 
 
A plotagem das coordenadas no AutoCAD por meio de comandos como Line, Polyline, 3D Polyline, etc. não cria um objeto 
formado por faces, ou um modelo sólido 3D. Cria apenas um aramado que, embora tridimensional, não possui superfícies para 
serem renderizadas, ou volume para ser cortado, etc. 
 
No AutoCAD e outros programas para desenho, objetos 3D formados por superfícies podem ser definidos 
com comandos como 2D solid, 3D faces ou 3D surface. 
Nos CADs e nos modeladores 3D, sólidos 3D podem ser construídos com operações de adição, subtração 
ou modificação de sólidos primitivos como esfera, cone, cilindro, paralelepípedo e outros. 
 
 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
 
 
 58 
Modelando em VRML 
(por que VRML? ) 
 
Por que misturar Desenho Técnico e Geometria Descritiva com VRML? 
Porque o exercício de modelagem com uma linguagem descritiva como o VRML, em um programa 
didático como o Hiperion, auxilia no desenvolvimento do raciocínio espacial necessário para essas 
disciplinas. 
 
Além disso, esses exercícios iniciam o aluno no que está por trás, nas bases, dos programas de 
computação gráfica. 
O que é VRML? 
 
É a sigla de "Virtual Reality Modeling Language" - Linguagem de Modelamento em Realidade Virtual - 
uma linguagem que permite descrever, ou seja, modelar, muito facilmente, objetos e "mundos" 
tridimensionais interativos e/ou animados para a Web ou para serem vistos e manipulados em qualquer 
computador ou sistema. 
Clique aqui para ver como é fácil a montagem do objeto (veja, também, o arquivo fonte na linguagem 
VRML). 
O QUE É VRML? 
VRML (Virtual Reality Modeling Language) é, comoo nome diz, uma linguagem de modelamento de 
objetos com tecnologia de Realidade Virtual. 
 
Por "modelamento de objetos" entende-se a descrição, para o computador, das características de forma 
(geometria, tamanho, posição, orientação, etc.) dos objetos, como se o estivéssemos montando, 
esculpindo ou, efetivamente, modelando uma "massa" virtual no espaço e em três dimensões. 
 
A tecnologia de Realidade Virtual permite interagir com o objeto modelado em "tempo real", ou seja, os 
movimentos do dispositivo de entrada (mouse, joystick, etc.) são acompanhados simultaneamente de 
movimentos do objeto (rotação, translação, etc.) na tela do computador. 
 
Em outras palavras, a Realidade Virtual permite-nos observar (visualizar) o objeto como se o 
estivéssemos manipulando à distância por meio de um braço mecânico ou qualquer outro mecanismo e 
essa manipulação fosse transmitida ao vivo para um monitor de televisão1 (sugestão: tirar o 1). 
A linguagem VRML 
VRML é simplesmente uma linguagem de descrição de uma cena que padroniza a maneira de como os 
meios tridimensionais são representados na Web. Diferentemente de linguagens de programação como 
C++, o VRML não tem que ser compilado e rodar. Melhor, arquivos de VRML são gramaticalmente 
analisados e então mostrados. Já que isso é um processo muito mais rápido, a criação de arquivos de 
VRML é muito mais simples do que uma programação. VRML permite mais interatividade e facilidades de 
melhoramentos incrementais. 
Um arquivo VRML é carregado da mesma maneira que se acessa (sugestão: colocar “m”) arquivos HTML 
(páginas da Web): clicando num link ou escrevendo um endereço e pressionando <ENTER>. Dependendo 
da velocidade de sua conexão e do tamanho do arquivo, o tempo de carregamento pode ser de poucos 
segundos ou muitos minutos. 
 59 
 
 
A 
ESTRU
TURA E SINTAXE DO VRML 
Nós, folhas e campos 
A rigor, VRML é somente um formato de arquivo que descreve objetos. Teoricamente, os objetos podem 
conter qualquer coisa, geometria 3D, dados de som MIDI ou WAV, imagens JPEG, e assim por diante. 
 
VRML define um conjunto de objetos aproveitados para fazer gráficos 3D. 
Esses objetos são chamados NÓS. Um arquivo VRML consiste de um grupo de nós e de nós-folha que vão 
se ramificando. Os nós contém atributos e dados, os quais são armazenados em campos. 
 
Basicamente, pode-se dizer que um nó é um conjunto de especificações que determina as características 
dos objetos contidos na cena gráfica como tipo, forma, geometria, aparência, cor, textura, pontos de 
vista, luzes, sons, etc. Os nós definem a hierarquia e as características individuais de cada objeto dentro 
do contexto geral. 
#VRML V2.0 utf8 
 
# Criação de um cone sem cor, textura ou sombra 
 
Shape { 
 geometry Cone { 
 height 4 
 bottomRadius 2 
 } 
} 
# Fim do arquivo 
(clique na janela ao lado e arraste o mouse para interagir com o modelo 3D) 
 
 
O exemplo acima mostra a criação de um objeto cone com 4 unidades de altura e 2 unidades de raio da 
base, sem características de cor, textura ou sombra. O arquivo começa com o nó Shape, seguido do 
atributo geometry e do nome do objeto – Cone – com os seus campos de dados (fields), altura e raio da 
base (height e bottomRadius). 
 
Note que os dados do cone estão nos campos height e bottomRadius que, por sua vez, estão entre as 
chaves do objeto Cone. Toda essa descrição geométrica está entre as chaves do nó Shape. Dá-se o nome 
de ninho a essa estrutura que tem umas declarações dentro das outras. 
 
 A descrição de uma forma qualquer começa com o nó Shape, seguido do atributo geometry e do 
nome da figura desejada, com seus respectivos campos de dados (fields). 
 Na estrutura de ninho, é preciso cuidado para que nenhuma chave e/ou colchete fique sem o seu 
correspondente fechamento, no seu devido lugar. A primeira chave aberta será a última a ser 
fechada dentro de um ninho. 
 Em um arquivo VRML, o símbolo # indica que o que vem a seguir é um comentário que não tem 
valor de comando. 
 Todos os arquivos da versão VRML 2.0 devem começar com os seguintes caracteres: 
 #VRML V2.0 utf8 
 VRML é sensível a letras maiúsculas e minúsculas; "Sphere" é diferente de "sphere" e "BEGIN" é 
diferente de "begin". 
Um arquivo VRML é um arquivo-texto que pode ser escrito em qualquer editor de 
texto, bastando que seja salvo no formato txt, trocando a extensão .txt por .wrl. 
 60 
A descrição de um objeto com determinadas características de cor, textura, transparência, etc. deve 
incluir os nós appearance e material e seus atributos Appearance e Material dentro do nó Shape. 
No arquivo que segue, além da definição de aparência e material, aparece a definição do tipo de 
navegação por meio do nó NavigationInfo. 
#VRML V2.0 utf8 
# Definição do tipo de navegação no browser 
# (girar o objeto como padrão inicial) 
NavigationInfo { 
 type "EXAMINE" 
} 
# Criação de um cilindro vermelho opaco 
Shape { 
 appearance Appearance { 
 material Material { 
 diffuseColor 1 0 0 
 ambientIntensity 0.2 
 specularColor 0 0 0 
 emissiveColor 0 0 0 
 shininess 0.2 
 transparency 0 
 } 
 } 
 geometry Cylinder { 
 radius 2 
 height 4 
 } 
} 
 
 
Características gerais dos nós 
Um nó tem as seguintes características: 
 Um Nome (Box, Sphere, Sound, SpotLight , etc.); 
 Os parâmetros, chamados campos (fields), que distinguirão este nó dos demais com o mesmo 
nome. Por exemplo, cada nó Sphere pode ter um raio diferente, e diferentes spotLights tem 
diferentes intensidades, cores e posicionamento. 
A maioria dos nós pode ser classificada dentro de uma de duas categorias: nós de grupo ou nós folhas, 
embora o VRML defina várias classes diferentes de nós. 
Os nós de grupo juntam vários nós simultaneamente, permitindo uma coleção de nós (especificada em 
um campo chamado children) que será tratada como um único objeto. 
 61 
 
#VRML V2.0 utf8 
# Definição do tipo de navegação no visualizador 
NavigationInfo { 
type "EXAMINE" 
} 
# Nó Transform, de grupo do mundo - agrupa os vários filhos 
Transform { 
 children [ 
 #Primeiro filho - cilindro verde 
 Transform { 
 children [ 
 #Descrição do cilindro 
 Shape { 
 appearance Appearance { #aparência do cilindro: verde 
 material Material { 
 diffuseColor 0 1 0 
 } 
 } 
 geometry Cylinder { 
 radius 1 
 height 2 
 } 
 62 
 } 
 ] 
 # transformação da situação original 
 translation -0.7 -1 3.5 
 } #fim do primeiro filho 
 
 #Segundo filho - esfera vermelha 
 Transform { 
 children [# descrição da esfera 
 Shape { 
 appearance Appearance { # aparência da esfera: vermelha 
 material Material { 
 diffuseColor 1 0 0 
 } 
 } 
 geometry Sphere { 
 radius 2.5 
 } 
 } 
 ] 
 # transformação da situação original 
 translation 2 0 1 
 } # fim do segundo filho 
 
 #Terceiro filho - cubo azul 
 Transform { 
 children [ 
 Shape { 
 appearance Appearance { #aparência do cubo: azul 
 material Material { 
 diffuseColor 0 0 1 
 } 
 } 
 geometry Box { 
 size 1.5 1.5 1.5 
 } 
 } 
 ] 
 # transformação da situação original (translação e rotação) 
 translation -2.4 .2 1 
 rotation 0 1 1 .9 
 } # fim do terceiro filho 
 63 
 
 ] #fim do children do mundo 
} # fim do nó de grupo 
SISTEMA DE COORDENADAS 
O VRML usa o sistema de coordenadas Cartesiano tridimensional. A seqüência (sugestão: sem trema, 
segundo nova gramática 2009) dos eixos é X,Y,Z, com a coordenada 0;0;0 (origem) no centro da tela. 
Configuração inicial do sistema de eixos: 
 Eixo X - eixo das larguras - é um eixo horizontal, contido no plano da tela do monitor, com sua 
parte positiva à direita da origem; 
 Eixo Y - eixo das alturas - é um eixo vertical, contido no plano da tela, com sua parte positiva 
da origem para cima; 
 Eixo Z - eixo das profundidades - é um eixo horizontal, perpendicular ao plano da tela, com 
sua parte positiva aquém da origem, ou seja, para fora do monitor. 
O VRML usa o sistema de coordenadas Cartesiano tridimensional. A seqüência (sugestão: sem trema, 
segundo nova gramática 2009) dos eixos é X,Y,Z, com a coordenada 0;0;0 (origem) no centro da tela. 
Os objetos são mostrados na tela bidimensional por projeção na direção positiva do eixo Z, com a parte 
positiva do X do lado direito e a positiva do Y para cima. 
 
Os objetos são gerados na origem do sistema coordenado, uns sobre os outros. 
 
Por default, todos os objetos são gerados centrados na origem do sistema coordenado padrão, uns sobre 
os outros. Para se obter uma "montagem" de objetos é necessário deslocar e/ou rotacionar cada um dos 
Shapes com a utilização do nó Transform. 
Todos os objetos têm um centro de geração, de translação e de rotação, que normalmente está no centro 
geométrico do objeto. Os eixos coordenados próprios de cada objeto têm a origem nesse centro. 
Por default, todos os objetos são gerados centrados na origem do sistema coordenado padrão, uns sobre 
os outros. Uma transformação por meio de um nó Transform pode ser usada para alterar o 
posicionamento default, transladando ou rotacionando o sistema cartesiano padrão de cada objeto. 
 
A unidade de medida para a distância é o metro e para ângulos, radianos. 
TRANSFORMAÇÕES (TRANSLAÇÃO, ROTAÇÃO, ETC.) 
Transformações são armazenados em nós Transform. Esses nós Transform definem as coordenadas 
espaciais para seus filhos (children). 
As coordenadas espaciais dos nós filhos são relativas às coordenadas espaciais dos nós pais, isto é, as 
transformações acumulam-se conforme se desce na hierarquia da cena gráfica. Em outras palavras, 
dentro de um mesmo nó, uma transformação filha atua sobre a transformação anterior, e não sobre a 
posição original do(s) objeto(s). 
O nó Rotation é usado para rotacionar objetos no espaço. Como exemplo, vamos rever o node Cone. Por 
default, todo cone é criado na posição vertical. Se quisermos um cone na horizontal, basta utilizar o node 
Rotation cuja sintaxe é a seguinte: 
rotation X Y Z ângulo de rotação em RADIANOS 
 
#VRML V2.0 utf8 
Transform { 
 children [ 
Shape { 
 64 
 appearance Appearance { 
 material Material { 
 diffuseColor 0.8 0.8 0.8 
 ambientIntensity 0.2 
 specularColor 0 0 0 
 emissiveColor 0 0 0 
 shininess 0.2 
 transparency 0 
 } 
 } 
 geometry Cone { 
 height 2 
 bottomRadius 1 
 side TRUE 
 bottom TRUE 
} ] 
 rotation 0 0 1 1.57 
} 
 
No exemplo acima, o cone é rotacionado 90 graus (1.57 rad) sobre o eixo Z (0 0 1). 
APARÊNCIA 
O nó Material define características dos objetos como cor e brilho. Os parâmetros que são usados 
determinam a forma coma a luz irá refletir sobre os objetos: 
diffuseColor - Reflexão da cor que estiver incidindo sobre um objeto. Quanto mais diretamente a luz 
incidir sobre a superfície do objeto, mais luz será refletida. É usado para dar cor aos objetos. 
ambientIntensity - Especifica quanto da luz ambiente um objeto deve refletir. 
shininess e specularColor - Determinam a luminosidade de pontos de reflexão com maior quantidade de 
luz . Se o ângulo que a luz incidir for próximo do ângulo de observação, o valor de specularColor é 
adicionado ao cálculo de diffuseColor e ambientIntesity. Shininess determina o brilho do objeto. Quanto 
maior seu valor, maior o brilho. 
emissiveColor - Usado para representar objetos incandescentes. Usado quando todas as outras cores são 
preta (0,0,0). 
transparency - Determina o grau de transparência do objeto, que varia de 0.0 (totalmente opaco) a 1.0 
(totalmente transparente). 
Exemplo: 
Material { 
 diffuseColor 0.8 0.8 0.8 
 ambientIntensity 0.2 
 specularColor 0 0 0 
 emissiveColor 0 0 0 
 shininess 0.2 
 transparency 0 
 } 
 65 
Hiperion 
Editor de VRML 
Diferentemente dos programas CAD, as ferramentas de modelagem 3D não são projetadas para 
desenhar um objeto, mas sim para construí-lo. 
Os CAD´s - ou outros programas de desenho - trabalham com linhas que correspondem aos traços de 
um lápis sobre uma folha de papel. As representações resultantes desse traçado correspondem às 
imagens dos objetos obtidas a partir de um determinado ponto de vista, sistema projetivo, técnica de 
desenho, etc... 
As ferramentas de modelagem 3D, ao contrário, permitem que se gere uma descrição geométrica 
tridimensional de um objeto, de forma que ele pode ser manipulado e visto como se existisse nas suas 
três dimensões reais. 
IMPORTANTE: COMO INSTALAR O HIPERION NO SEU COMPUTADOR 
Para que o programa Hiperion rode no seu computador, basta copiar os arquivos para uma pasta 
vazia e criar um atalho para lá. 
NÃO INSTALE OU RODE SETUP, apenas copie os arquivos descompactados. Uma instalação por 
meio do Setup fará com que o Hiperion tenha tempo de uso limitado que não será suficiente para 
as tarefas da disciplina. 
 
O QUE É VRML? 
VRML (Virtual Reality Modeling Language)é, como o nome diz, uma linguagem de modelamento de 
objetos com tecnologia de Realidade Virtual. 
 
Por "modelamento de objetos" entende-se a descrição, para o computador, das características de forma 
(geometria, tamanho, posição, orientação, etc.) dos objetos, como se o estivéssemos montando, 
esculpindo ou, efetivamente, modelando uma "massa" virtual no espaço e em três dimensões. 
 
A tecnologia de Realidade Virtual permite interagir com o objeto modelado em "tempo real", ou seja, os 
movimentos do dispositivo de entrada (mouse, joystick, etc.) são acompanhados simultaneamente de 
movimentos do objeto (rotação, translação, etc.) na tela do computador. 
 
Em outras palavras, a Realidade Virtual permite-nos observar (visualizar) o objeto como se o 
estivéssemos manipulando à distância por meio de um braço mecânico ou qualquer outro mecanismo e 
essa manipulação fosse transmitida ao vivo para um monitor de televisão. 
 
A rigor, VRML é somente um formato de arquivo que descreve objetos. 
 
Teoricamente, os objetos podem conter qualquer coisa, geometria 3D, dados de som 
MIDI ou WAV, imagens JPEG, e assim por diante 
Um arquivo VRML é um arquivo-texto que pode ser escrito em qualquer editor de texto, 
bastando que seja salvo no formato txt, trocando-se depois a extensão para .wrl ao invés 
de .txt. (sugestão: isso já foi descrito anteriormente) 
 66 
O QUE É HIPERION 
Segundo seus criadores, Hiperion é um "Editor de VRML". 
Tendo em vista que um arquivo VRML é um arquivo-texto que será lido e interpretado por um 
visualizador, o Hiperion apresenta dois programas lado-a-lado: um editor de textos e um programa ou 
"plugin" visualizador que irá mostrar o modelo interativo acabado. Esse visualizador não faz parte do 
Hiperion, apenas utiliza a sua janela direita. O visualizador - Cosmo Player, Cortona, etc. - deve ser 
instalado aparte para que o programa Hiperion funcione adequadamente. 
 
Figura 1 - tela do Hiperion. À esquerda o editor de texto e à direita o visualizador. 
Um arquivo VRML é composto de palavras que descrevem o que se deseja obter ou fazer. Essas palavras 
– como em toda linguagem – têm (sugestão: sem acento, conforme nova gramática 2009) uma ordem e 
uma sintaxe corretas. O programa Hiperion auxilia a montagem dessa descrição, disponibilizando menus 
e botões com ícones para as funções descritivas que, quando apertados, inserem no texto as palavras ou 
blocos de palavras na sintaxe correta. Além disso, o programa facilita o fornecimento dos parâmetros 
físicos e das propriedades dos objetos (altura, largura, comprimento, posição, cor, reflexão, rugosidade, 
etc.) por meio do preenchimento de “fichas” adequadas. 
 
 
A descrição de um cone verde, por exemplo, resulta no seguinte arquivo-texto VRML 
 #VRML V2.0 utf8 
 Shape { 
 appearance Appearance { 
 material Material { 
 diffuseColor 0 1 0 
 67 
 } 
 } 
 geometry Cone { 
 height 2 
 bottomRadius 1 
 } 
 } 
No Hiperion, esse texto é inserido na janela do editor, simplesmente colocando-se o 
cursor nos lugares adequados e apertando, sucessivamente, os botões “Shape”, 
“Appearance”, “Material” e “Cone”. 
Veja o passo-a-passo logo adiante. 
 
PASSO-A-PASSO 
PARA GERAR UM SÓLIDO EM VRML COM AUXÍLIO DO 
HIPERION 
Na linguagem VRML, toda a descrição da geometria de um sólido está ligada à função, ou melhor, ao “nó” 
Shape. 
 
Num modelo VRML simples, a palavra - ou "declaração" - Shape é a primeira, logo depois do cabeçalho 
do arquivo. 
1. Abra o programa Hiperion – aparecerá uma tela como na fig. 1 acima; 
2. clique em Arquivos -> Editar -> VRML 2.0 ( ou tecle F12) para 
trocar para a linguagem versão 2.0; 
3. clique em Arquivos -> Novo para abrir um novo arquivo-texto (ou aperte F10, ou ainda clique no 
botão N ) – abre-se uma janela como na fig. 3; 
4. na janela de texto, coloque o cursor em uma linha abaixo da identificação da linguagem 
#(VRML V2.0 utf8); 
 
 
Figura 3 - No editor de textos, Shape é o primeiro comando a ser escrito para um modelo 
simples. 
 68 
5. clique na etiqueta “Figuras” e no ícone “Shape” (primeiro 
ícone à esquerda); 
6. na janela de atributos, marque a palavra 
“appearance” e clique OK; 
7. no editor de textos, coloque o cursor à 
direita da palavra “appearance”, clique na etiqueta “Propriedades” e no ícone “Appearance” 
(primeiro ícone à esquerda); 
8. na janela Appearance, marque a palavra 
“material” e clique OK; 
9. no editor de textos, coloque o cursor à direita da palavra 
“material” e clique no ícone “Material” (penúltimo à direita); 
 69 
10. na janela de 
características dos materiais, ajuste os valores de cor (RGB – Red / Green / Blue) com números 
entre 0 e 1, acompanhe a cor resultante e clique OK; 
11. no editor de textos, coloque o cursor à direita da palavra 
“geometry”, clique na etiqueta “Figuras” e clique no ícone “Cone”; 
12. ajuste os valores de raio da base e altura do cone e clique OK; 
13. aperte o botão “Visualizar”, dê um nome para salvar o arquivo e 
aperte o botão salvar. 
Nesse momento, você verá o sólido gerado na janela da direita. Qualquer modificação no arquivo texto 
pode ser visualizada instantaneamente simplesmente apertando o botão “Visualizar”. Como se trata de 
um texto em um editor de textos, as modificações podem ser feitas diretamente na janela do editor, isto 
é, pode-se apagar palavras, corrigir valores, inserir novas funções, etc., escrevendo-as como um texto 
qualquer. 
 70 
Para obter mais (sugestão: tirar a palavra mais) melhores resultados e utilizar mais facilmente o editor 
Hiperion, é aconselhável entender um pouco mais da linguagem VRML. Veja aqui um pequeno texto 
interativo. 
 
 
 
 71 
Iniciando o Cosmo Worlds 
 72 
 
 73 
 
Para importar um objeto para dentro da cena, usa-se o nó 
“InLine” a partir do menu “File”. 
 
Escolhe-se o arquivo 
por meio da janela 
“Import As InLine” e 
o objeto virá grudado 
ao cursor nas janelas 
das vistas 
ortográficas ou da 
perspectiva. Esse 
arquivo (e todos os 
outros usados como 
InLine, textura, etc.) deve acompanhar o arquivo principal para 
poder ser visto em qualquer outro computador. Veja como 
colocar o endereço (URL) na figura abaixo. 
 
ESCALA DOS OBJETOS 
 
Os objetos importados podem não estar na mesma escala da cena. Nesse caso, deve-se ajustar o 
tamanho, lembrando que o VRML e o Cosmo Worlds usam metro como medida padrão. Pode-se 
dimensionar interativamente o objeto movendo os pontos laranja do Bbox, ou parametricamente 
mudando os valores do nó “Scale” no texto VRML. A grade (Grid) é um auxiliar valioso para um 
dimensionamento interativo. 
 
 
Apertando a tecla 
Shift pode-se puxar os 
pontos e alterar a 
escala em cada uma 
das direções dos 
eixos, 
individualmente. 
Fig. 129 – 
Épura: 
desenho 
resultante das 
duas projeções 
do sistema 
Mongeano: 
projeção 
vertical ou vista 
de frente e 
projeção 
horizontal ou 
vista superior.