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Cap29

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rificar que tal derivada e´ negativa para Z•�§
5‘,8 . Na˜o
deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que
nos problemas de ma´ximo e mı´nimo, e´ sempre impres-
cindı´vel o ca´lculo da segunda derivada antes de se poder
afirmar a natureza das soluc¸o˜es.
(b) A taxa ma´xima de dissipac¸a˜o de energia e´ obtida
substituindo-se Zv��
5‘,8 na expressa˜o da poteˆncia:
< max �
�
G
,‘,8
 g8l
5$
G
�
�
G
J5
P 29-46.
Na Fig. 29-33, �DEv��f V, �HGd�©. V, ZffEK����` ,
Z#GS�„8”` , Z
Ł
�Cª` e as duas baterias sa˜o ideiais.
(a) Qual e´ a taxa de dissipac¸a˜o de energia em ZffE ? Em
Z#G ? Em Z
Ł
? (b) Qual e´ a poteˆncia da bateria . ? e da
bateria 8 ?
� (a) Usando a lei das malhas e a lei dos no´s obtemos o
sistema de treˆs equac¸o˜es envolvendo as treˆs inco´gnitas
�
E , � G e �
Ł
:
�7E_���
Ł
Z
Ł
���fiE(Z1Eˆ� +
T
�hG
Q
�‡G&Z#GU���fiE(Z1Eˆ� +
T
�
Ł
� �
EAQ
�
G
Resolvendo estas equac¸o˜es, encontramos:
�
E
�
�DE(Z%G
Q
�HG&Z
Ł
ZffE{Z#G
Q
Z1E(Z
Ł
Q
Z#G&Z
Ł
�
�
.3Œ
A T
�‡Gœ�
�
E
Z
E
�2�
G
 'Z
E�Q
Z
Ł
$
ZffE{Z#G
Q
Z1E(Z
Ł
Q
Z#G&Z
Ł
�
f
.3Œ
A
T
�
Ł
�
�DEl 'ZffE
Q
Z%G3$^���hG:Z1E
Z
E
Z
G_Q
Z
E
Z
Ł
Q
Z
G
Z
Ł
�
J
.3Œ
A 
A poteˆncia dissipada em cada resistor e´
<
E
���
G
E
Z
E
� +D
 f,C;� W T
<
G
���
G
G
Z
G
� +D
 +*�5+ W T
<
Ł
���
G
Ł
Z
Ł
� +D
b«5+,Œ W 
(b) As poteˆncias fornecidas sa˜o:
<AEˆ�
Q
�
Ł
�DEU�K.;
 8,�,f W
<ŽGœ� �X�‡G(�HG]�K�N+D
¬.��5J W 
O resultado para a segunda fonte e´ negativo pois a cor-
rente �‡G percorre-a no sentido contra´rio ao sentido de
sua fem.
Observe que .;
 8,�,fff��+D
 f,C;� Q +7
 +;�5+ Q +7
/.3�,J , como de-
veria ser.
P 29-50.
� (a) O fio de cobre e a capa de alumı´nio esta˜o conec-
tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles e´ a
mesma e, portanto,
�‡­�Z#­q���‡O^Z%O T
onde o subı´ndice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao
alumı´nio. Para cada um dos fios sabemos que Z®�
 h¯
‘(" , ou seja,
Z
­
�° 
­
¯
¢iš
G
T
Z
O
�  
O
¯
¢� !›
G
�Sš
G
$
T
que substituidas em �‡­�Z#­q���‡O^Z%O fornecem
�‡­
 
­
š
G
�
�‡O
 
O
›
G
�Sš
G
Resolvendo esta equac¸a˜o juntamente com a equac¸a˜o
�^���
­ƒQ
�
O , onde � e´ a corrente total, obtem-se
�fl­ �
š
G
 
­��
 !›
G
�Sš
G
$
 
­wQ
š
G
 
O
�‡O �
 g›
G
�Sš
G
$
 
­��
 !›
G
�Sš
G
$
 
­wQ
š
G
 
O
Numericamente, encontramos para o denominador o va-
lor de f7
/.:+�0�.:+
‰
E
}
`q9:¥
Ł
, e
�fl­?��.,
/.,. A
T
�‡OS��+D
 J;Œ,f A 
(b) Considere o fio de cobre. Sendo �±�±.�8 Volts a
ddp, usamos a expressa˜o
�����‡­AZ%­q�
�
­
 
­
¯
¢iš
G
T
de onde obtemos
¯
�
¢iš
G
�
�
­
Z
­
�d.38,� metros 
P 29-51.
� Primeiro, devemos obter uma func¸a˜o Z1E, c²‹$ que
fornec¸a o valor da resisteˆncia do pedac¸o de Z ~ que esta´
em paralelo com Z , bem como Z#G, c²‹$ , que fornec¸a a
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 12
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m.
resisteˆncia do pedac¸o restante de Z ~ , de modo que te-
nhamos sempre Z ~ p³ZffEl '²†$ Q Z#G, c²‹$ , qualquer que
seja o valor de ² .
O enunciado do problema informa que a resisteˆncia Z ~
e´ uniforme, isto e´, varia linearmente de + a Z ~ . Portanto,
ZffEl c²‹$´�
²
¯
Z
~
T
Z#G, c²‹$´� Z
~
�SZ1E, c²‹$a�§);.U�
²
¯
-
Z
~
T
onde ² deve ser medido na mesma unidade que
¯
, por
exemplo, em centı´metros.
Chamando-se de ZNµ o paralelo de Z com Z E temos
ZNµ�¶Z#Z E ‘7 'Z Q Z E $ e, consequentemente, a re-
sisteˆncia equivalente total Z]· do circuito e´
Z · ��Z µ
Q Z#G]��Z
µ
Q�¸ .U�
²
¯ffi¹
Z
~
Como a corrente fornecida pela bateria e´ a mesma cor-
rente que passa tanto atrave´s de Z#G quanto do paralelo
Z
µ , vemos facilmente que a diferenc¸a de potencial �Mº
sobre Z (que obviamente coincide com �‹E sobre ZffE )
pode ser obtida da relac¸a˜o
�Ž�
�
Z
·
�
�
º
Z
µ
 fl�
�
E
Z
µ
$
T
ou seja,
�
º
�
Z
µ
Z
·
��
A poteˆncia pedida e´ enta˜o:
<eº �
�
G
º
Z
�
.
ZK»
�eZ#ZffE&‘7 'Z
Q
ZffE($
 fi.U��²‹‘
¯
$BZ
~
Q
Z1Z1E:‘H !Z
Q
Z1E&$�¼
G
T
que, simplificada, fornece o resultado final
<
º
�
.3+,+;Z� '�i²‹‘5Z
~
$
G
 B.:+;+,ZI‘lZ
~
Q
.3+5²–��²
G
$
G
T
onde ² deve ser medido em centı´metros.
P 29-52.
A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra .38 resistores, cada um de
resisteˆncia Z , formando um cubo. (a) Determine Z1E
Ł
,
a resisteˆncia equivalente entre as extremidades da dia-
gonal de uma face. (b) Determine Z1EB½ , a resisteˆncia
equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo.
(Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.)
� (a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e f , o
‘truque’ e´ perceber que temos os pontos 8 e C no mes-
mo potencial, bem como os pontos � e J esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: Z E
Ł
��f,ZI‘�C .
(b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e « , o ‘tru-
que’ e´ perceber que temos os pontos C e � no mesmo
potencial, bem como os pontos f e � esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: Z Efi½ �@�5ZI‘l� .
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas
P 29-56.
Qual e´ a corrente, em termos de � e Z , indicada pe-
lo amperı´metro " na Fig. 29-41? Suponha que a re-
sisteˆncia do amperı´metro seja nula e a bateria seja ideal.
� Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o
terminal negativo, de c o terminal do amperı´metro que
esta´ ligado entre 85Z e Z e, finalmente, de d o terminal
do amperı´metro que esta´ ligado entre Z e Z .
Chamemos de �fiE a corrente que flui atrave´s de 8,Z de
a para c. Analogamente, de �flG a corrente fluindo de a
para d. Finalmente, chamemos de �‡O a corrente que flui
atrave´s do amperı´metro, indo de d para c. Assim, a cor-
rente de c para b sera´ �BE
Q
�‡O , enquanto que a corrente
de d para b sera´ �‡G%�q�‡O . Estas informac¸o˜es devem ser
colocadas sobre a Figura do problema, para simplificar
o uso da lei das malhas.
Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi-
nais da bateria tem o mesmo valor, � EUQ � G , como na˜o
poderia deixar de ser.
Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb
obtemos duas equac¸o˜es independentes:
�†…

��� � 8,Z%�BE
Q
Z� '�BE
Q
�‡OA$
� Z#�‡G
Q
ZW '�flG\���‡OA${
Ale´m disto, temos que
�M…(¾©� 8,Z#�fiE
�M…(¿À� Z#�‡G5
Pore´m, como a resisteˆncia do amperı´metro (suposto
ideal aqui) e´ nula, sabemos que �DO¨pÁ�†¾‡¿��Â+ , ou
seja, que
�M…(¾[p@�†…(¿;
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m.
Estas treˆs u´ltimas equac¸o˜es implicam termos
�flGN�n8l�BE
que, substituido na expressa˜o acima para �M…  nos permi-
te determinar que � E �n8l�Ž‘7 g«5Z1$ e que, finalmente,
�‡O2�
�
«5Z
P 29-58.
� A corrente em Z G e´ � . Seja � E a corrente em Z E e
suponha-a para baixo. De acordo com a lei dos no´s, a
corrente no voltı´metro e´ �s�w� E , para baixo. Aplicando a
lei das malhas no lac¸o da esquerda
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