Transformada de Fourier de Sinais Contínuos

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas
Transformada de Fourier de Sinais
Contínuos
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Sinais e Sistemas – p.1/33 Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Representação de sinais aperiódicos
Transformada de Fourier de sinais periódicos
Propriedades da transformada de Fourier
Sistemas caracterizados por equações diferenciais
Sinais e Sistemas – p.2/33
Luís Caldas de Oliveira
Objectivo
Problema: precisamos de uma representação em
frequência para sinais aperiódicos.
Solução: vamos pegar num sinal periódico e ver o que
acontece à sua representação em série de Fourier quando
o período tende para infinito.
Sinais e Sistemas – p.3/33 Luís Caldas de Oliveira
Onda Quadrada
0 T/2 T−T −T/2 −T
x(t)
1 1T
em que:
x(t) =
{
1, |t| < T1
0, T1 < |t| < T/2
Os coeficientes da série de Fourier podem ser vistos como
a amostragem de uma função em ω:
Tak =
2 sin(ωT1)
ω
∣∣∣∣∣
ω=kω0
Sinais e Sistemas – p.4/33
Luís Caldas de Oliveira
Sinal Aperiódico
Um sinal aperiódico de duração finita pode ser visto como
um período de um sinal com um período fundamental
maior do que a sua duração:
Tak =
∫ T/2
−T/2
x(t)e− jkω0tdt =
∫ +∞
−∞
x(t)e− jkω0tdt
Definindo como X( jω) a envolvente de Tak:
X( jω) =
∫ +∞
−∞
x(t)e− jωtdt
Podemos definir que X( jω) é a representação em frequên-
cia de um sinal aperiódico x(t).
Sinais e Sistemas – p.5/33 Luís Caldas de Oliveira
Equação Inversa
Usando a mesma abordagem, podemos obter x(t) a partir
de X( jω).
Usando a equação da série de Fourier:
x˜(t) =
+∞∑
k=−∞
1
T
X( jkω0)e jkω0t = 12pi
+∞∑
k=−∞
X( jkω0)e jkω0tω0
Uma vez que T → ∞ é o mesmo que ω0 → 0:
lim
T→∞
x˜(t) = x(t) = 1
2pi
∫ +∞
−∞
X( jω)e jωtdω
A partir da representação em frequência X( jω) podemos
reconstruir o sinal aperiódico x(t).
Sinais e Sistemas – p.6/33
Luís Caldas de Oliveira
Transformada de Fourier
As equações:
x(t) = 1
2pi
∫ +∞
−∞
X( jω)e jωtdω
X( jω) =
∫ +∞
−∞
x(t)e− jωtdt
são referidas como par da transformada de Fourier
Sinais e Sistemas – p.7/33 Luís Caldas de Oliveira
Condições de Convergência
Tal como na série de Fourier, as condições suficientes
para a a convergência dos integrais da transformada de
Fourier são as condições de Dirichlet:
x(t) tem de ser absolutamente integrável, ou seja,
∫ +∞
−∞
|x(t)|dt < ∞
x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em
qualquer intervalo finito,
x(t) tem um número finito de discontinuidades em
qualquer intervalo finito. Além disso essas
discontinuidades devem ser finitas.
Sinais e Sistemas – p.8/33
Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
x(t) = e−atu(t), a > 0
Solução:
X( jω) = 1
a + jω
Sinais e Sistemas – p.9/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
x(t) = δ(t)
Solução:
X( jω) = 1
Sinais e Sistemas – p.10/33
Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
x(t) = e−a|t|, a > 0
Solução:
X( jω) = 2a
a2 + ω2
Sinais e Sistemas – p.11/33 Luís Caldas de Oliveira
Sinais Periódicos
Qual é o sinal que tem apenas uma componente em
frequência?
X( jω) = 2piδ(ω − ω0)
x(t) = 1
2pi
∫ +∞
−∞
2piδ(ω − ω0)e jωtdω
= e jω0t
Sinais e Sistemas – p.12/33
Luís Caldas de Oliveira
Série e Transformada de Fourier
Um sinal periódico é representado por um trem de
impulsos na frequência:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0t −−−−−→
CTFT
X( jω) =
+∞∑
k=−∞
2piakδ(ω − kω0)
Os sinais periódicos têm uma transformada de Fourier con-
stituída por impulsos de Dirac localizados em frequências
kω0 com área igual a 2pi vezes o coeficiente de Fourier ak.
Sinais e Sistemas – p.13/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier dos sinais:
x1(t) = cos(ω0t), x2(t) = sin(ω0t)
Solução:
X1( jω) = pi[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
X2( jω) = − jpi[δ(ω − ω0) − δ(ω + ω0)]
Sinais e Sistemas – p.14/33
Luís Caldas de Oliveira
Linearidade
ax(t) + by(t) −−−−−→
CTFT
aX( jω) + baY( jω)
A transformada de Fourier é uma operação linear.
Sinais e Sistemas – p.15/33 Luís Caldas de Oliveira
Deslocamento Temporal
x(t − t0) −−−−−→
CTFT
e− jωt0X( jω)
O deslocamento temporal não afecta o módulo da transfor-
mada de Fourier, apenas a sua fase.
Sinais e Sistemas – p.16/33
Luís Caldas de Oliveira
Conjugado
x(t)∗ −−−−−→
CTFT
X∗(− jω)
A transformada de Fourier do sinal conjugado, é a transfor-
mada do sinal original conjugada e invertida na frequência.
Sinais e Sistemas – p.17/33 Luís Caldas de Oliveira
Sinais Reais
A propriedade do conjugado tem um resultado
interessante no caso particular do sinal x(t) ser real:
x(t) ∈ ’ −−−−−→
CTFT
X(− jω) = X∗( jω)
A transformada de Fourier de um sinal real é uma função
complexa par.
Sinais e Sistemas – p.18/33
Luís Caldas de Oliveira
Simetria
Par(x(t)) −−−−−→
CTFT
Real(X( jω))
Impar(x(t)) −−−−−→
CTFT
jImag(X( jω))
A componente par do sinal tem como transformada de
Fourier a parte real da transformada do sinal original.
Sinais e Sistemas – p.19/33 Luís Caldas de Oliveira
Diferenciação e Integração
dx(t)
dt −−−−−→CTFT jωX( jω)
∫ t
−∞
x(τ)dτ −−−−−→
CTFT
1
jωX( jω) + piX(0)δ(ω)
A transformada de Fourier converte a operação de diferen-
ciação no tempo na multiplicação por jω na frequência.
Sinais e Sistemas – p.20/33
Luís Caldas de Oliveira
Escalamento no Tempo
x(at) −−−−−→
CTFT
1
|a|
X
( jω
a
)
x(−t) −−−−−→
CTFT
X(− jω)
Uma expansão na escala temporal corresponde a uma
compressão no domínio da frequência.
Sinais e Sistemas – p.21/33 Luís Caldas de Oliveira
Dualidade
Se
x(t) −−−−−→
CTFT
X(ω)
então
X(t) −−−−−→
CTFT
2pix(−ω)
As equações no tempo e na frequência formam um par em
que a variável tempo e frequência podem ser trocadas.
Sinais e Sistemas – p.22/33
Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
g(t) = 2
1 + t2
Solução:
G( jω) = 2pie−|ω|
Sinais e Sistemas – p.23/33 Luís Caldas de Oliveira
Relação de Parseval
∫ +∞
−∞
|x(t)|2dt = 1
2pi
∫ +∞
−∞
|X( jω)|2dω
A energia do sinal total pode ser calculada pela energia da
sua transformada de Fourier.
Sinais e Sistemas – p.24/33
Luís Caldas de Oliveira
Convolução
y(t) = h(t) ∗ x(t) −−−−−→
CTFT
Y( jω) = H( jω)X( jω)
A transformada de Fourier da convolução de dois sinais é o
produto das transformadas desses sinais.
Sinais e Sistemas – p.25/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
y(t) = h(t) ∗ x(t)
em que
h(t) = δ(t − t0)
Solução:
y(t) = x(t − t0)
Sinais e Sistemas – p.26/33
Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Determine a resposta em frequência de um diferenciador:
y(t) = dx(t)dt
Solução:
H( jω) = jw
Sinais e Sistemas – p.27/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Determine a resposta do sistema linear e invariante no
tempo com resposta impulsiva:
h(t) = e−atu(t), a > 0
ao sinal de entrada:
x(t) = e−btu(t), b > 0
Solução:
y(t) = 1b − a [e
−at − e−bt]u(t)
Sinais e Sistemas – p.28/33
Luís Caldas de Oliveira
Multiplicação
r(t) = s(t)p(t) −−−−−→
CTFT
R( jω) = 1
2pi
[S ( jω) ∗ P( jω)]
A transformada do produto de dois sinais é a convolução
no domínio da frequência.
Sinais e Sistemas – p.29/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de:
r(t) = s(t)p(t)
em que s(t) é um sinal de banda limitada e:
p(t) = cos(ω0t)
Solução:
R( jω) = 1
2
[S ( j(ω − ω0)) + S ( j(ω + ω0))]
Sinais e Sistemas – p.30/33
Luís Caldas de Oliveira
Equações Diferenciais
Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma
equação
diferencial de coeficientes constantes:
N∑
k=0
ak
dky(t)
dtk =
M∑
k=0
bk
dkx(t)
dtk
Aplicando a propriedade da diferenciação:
H( jω) = Y( jω)
X( jω) =
∑M
k=0 bk( jω)k∑N
k=0 ak( jω)k
Sinais e Sistemas – p.31/33 Luís Caldas de Oliveira
Exemplo
Considere um SLIT estável caracterizado pela seguinte
equação diferencial:
d2y(t)
dt2 + 4
dy(t)
dt + 3y(t) =
dx(t)
dt + 2x(t)
Determine a resposta ao impulso deste sistema.
Solução:
h(t) = 1
2
[e−t + e−3t]u(t)
Sinais e Sistemas – p.32/33
Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
Desenvolvemos a representação em transformada de
Fourier para sinais aperiódicos tratando-os como
sinais periódicos de período infinito.
A transformada de Fourier de sinais periódicos é um
trem de impulsos localizados em frequências
harmónicas.
Estudámos as diversas propriedades da
transformada de Fourier
A transformada de Fourier converte a operação de
convolução no produto das transformadas.
A transformada de Fourier é particularmente
adequada ao estudo de SLITs caracterizados por
equações diferenciais.
Sinais e Sistemas – p.33/33
	Resumo
	Objectivo
	Onda Quadrada
	Sinal Aperiódico
	Equação Inversa
	Transformada de Fourier
	Condições de Convergência
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Sinais Periódicos
	Série e Transformada de Fourier
	Exemplo
	Linearidade
	Deslocamento Temporal
	Conjugado
	Sinais Reais
	Simetria
	Diferenciação e Integração
	Escalamento no Tempo
	Dualidade
	Exemplo
	Relação de Parseval
	Convolução
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Multiplicação
	Exemplo
	Equações Diferenciais
	Exemplo
	Conclusões