Transformada de Fourier - propriedade da dualidade

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Aluno: Mateus Heinen Feltrin – Instituto Federal de Mato Grosso – 19/05/2018 
Sinais e Sistemas Lineares – Prof. Dr. Walterley Araújo Moura 
 
1 
 
Utilizando a propriedade da dualidade para encontrar a transformada de Fourier de: 
𝑣(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) =
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡
 
Primeiro demonstrarei a propriedade da simetria ou dualidade e a sua definição. Partindo do 
pressuposto que sabemos a transformada inversa de Fourier: 
𝑓(𝑡) = 
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
∞
−∞
 
Começarei substituindo 𝜔 ↔ 𝑡 : 
𝑓(𝜔) = 
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝑡) ∙ 𝑒𝑗𝑡𝜔 𝑑𝑡
∞
−∞
 
Agora fazendo 𝜔 ↔ −𝜔 : 
𝑓(−𝜔) = 
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝑡) ∙ 𝑒−𝑗𝑡𝜔 𝑑𝑡
∞
−∞
 
Pode-se observar que a integral da equação obtida é a transformada de Fourier. Portanto, a 
equação resultante é a definição da propriedade da dualidade: 
𝑓(−𝜔) = 
1
2𝜋
𝐹{𝐹(𝑡)} 
Agora, sabendo a definição da propriedade da dualidade, começarei a transformada de 𝑣(𝑡). É 
preciso verificar qual é a transformada de Fourier que gera a função: 
𝑣(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔) =
𝑠𝑒𝑛(𝜔)
𝜔
 
Por definição, a transformada que gera a função acima é a transformada da função retangular. 
E a transformada da função retangular é: 
𝐹 {𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡
𝜏
)} = 𝜏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔 ∙ 𝜏
2
) 
Então farei: 
𝐹 {
1
2
𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡
2
)} = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔) =
𝑠𝑒𝑛(𝜔)
𝜔
 
Ou seja: 
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡
2
) e 𝐹(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔) 
Sabendo a função 𝑓(𝑡) que gera a função 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔), onde tem t substituirei por −𝜔, e onde 
tem 𝜔 substituirei por t. As funções ficarão: 
𝑓(−𝜔) =
1
2
𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) e 𝐹(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) 
Repare que: 
𝐹(𝑡) = 𝑣(𝑡) 
(continua no verso) 
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2 
 
𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝜔
𝜏
) =
{
 
 
 
 0, |𝜔| >
𝜏
2
1
2
, |𝜔| =
𝜏
2
1, |𝜔| <
𝜏
2
 
Substituindo as funções na equação da propriedade da dualidade: 
𝑓(−𝜔) = 
1
2𝜋
𝐹{𝐹(𝑡)} 
𝑓(−𝜔) = 
1
2𝜋
𝐹{𝑣(𝑡)} 
1
2
𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) = 
1
2𝜋
𝐹{𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)} 
Multiplicando ambos os lados por 2𝜋: 
2𝜋
1
2
𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) = 2𝜋
1
2𝜋
𝐹{𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)} 
Obtenho: 
𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) = 𝐹{𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)} 
𝐹{𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)} = 𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) 
Ou seja: 
𝐹{𝑣(𝑡)} = 𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (−
𝜔
2
) 
Mas a função retangular é par, então: 
𝐹{𝑣(𝑡)} = 𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝜔
2
) 
E o gráfico da transformada é: 
0 1-1
π
 
Agora farei a transformada inversa de 𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝜔
2
) para provar que ela é a transformada de 
𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡): 
𝑣(𝑡) = 
1
2𝜋
∫ 𝜋 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝜔
2
) ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
∞
−∞
 
De acordo com o gráfico acima, só há integral entre -1 e 1: 
𝑣(𝑡) = 
1
2𝜋
∫ 𝜋 ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
1
−1
 
(continua na próxima página) 
 
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Os pi’s se cancelam e a integral é realizada: 
𝑣(𝑡) = 
𝜋
𝑗2𝜋𝑡
[
𝑒𝑗𝜔𝑡
1
]
1
−1
 
Aplica-se os limites da integral: 
𝑣(𝑡) = 
1
𝑗2𝑡
[
𝑒𝑗𝑡−𝑒−𝑗𝑡
1
] 
Passa o j2 para o denominador das exponenciais: 
𝑣(𝑡) = 
1
𝑡
[
𝑒𝑗𝑡−𝑒−𝑗𝑡
𝑗2
] 
Sabe-se que a expressão dentro dos colchetes é o seno em exponenciais complexas: 
𝑣(𝑡) = 
1
𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
Sabe-se que seno divido pelo seu parâmetro é a sinc desse parâmetro: 
𝑣(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)