Aulas T02 Erros, arredondamentos, Medições lineares - Prof. Luis Gomes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                              10/05/2011        p1 
 
 
TOPOGRAFIA (II) 
TIPOS DE ERROS: 
O erro de medição pode ser considerado como composto de três parcelas: 
E = Es + Ea + Eg 
1 - Erro Sistemático (Es): 
- Parcela de erro sempre presente nas medições realizadas em idênticas 
condições de operação. 
 Ex. Um indicador com seu ponteiro "torto“ – o erro se repetirá 
 enquanto o ponteiro estiver torto. 
Pode ser causado por: 
- problema de ajuste ou desgaste do sistema de medição; 
- fatores construtivos; 
- associado ao próprio princípio de medição empregado; 
- influenciado por fatores externos (as condições ambientais). 
2 - Erro Aleatório (Ea): 
- Quando uma medição é repetida diversas vezes, nas mesmas condições, observam-se 
variações nos valores obtidos. 
- Em relação ao valor médio, nota-se que estas variações ocorrem de forma imprevisível, tanto 
para valores acima do valor médio, quanto para valores abaixo do valor médio. 
Diversos fatores contribuem para o surgimento do erro aleatório: 
- existência de folgas, atrito, vibrações, flutuações de tensão elétrica, instabilidades internas ou 
das condições ambientais etc. 
3 - Erro Grosseiro (Eg) : 
- O erro grosseiro é na verdade um erro aleatório, porém sua ocorrência é perfeitamente 
detectável. 
 Ex. leitura errônea do instrumento, operação indevida ou dano no 
instrumento ou sistema de medição. 
Diversos fatores contribuem para o surgimento do erro aleatório: 
- existência de folgas, atrito, vibrações, flutuações de tensão elétrica, instabilidades internas ou das 
condições ambientais etc. 
Sabe-se que o erro grosseiro é um erro acidental que ultrapassa o erro máximo tolerável (EMT). 
IAD186 
 
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MEDIDAS 
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IAD186 
 
 
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2 - Erro da influência da temperatura (Et): 
- A variação linear é diretamente proporcional ao comprimento inicial do corpo e a variação da 
temperatura; 
- cada material possui um coeficiente de dilatação. 
 Et = L0 x α x (t – t0) Ct = - Et Lcr = L0 + Ct 
 
 
 
 
 
 
2.a – Exercícios sobre erros da influência da temperatura: 
1 - Foi medido o diâmetro de um tanque (L0) de 14,994m a temperatura (t) de 35°C. 
Sabe-se que a calibração da trena de aço comum cujo indice de dilatação (α) é de 0,000012/°C é 
realizada a temperatura (t0) de 20°C. 
Determine o diâmetro real do tanque. 
 
3 - Erro da influência da tração (ET): 
- a tração com uma força diferente da força de calibração alonga ou encurta depende da força 
aplicada na medição; 
ET = - L0 x [(F – F0) / (Sa x E)] CT = - ET Lcr = L0 + CT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Et = erro da influencia da temperatura; 
L0 = comprimento inicial da trena; 
α = coeficiente de dilatação da trena; 
Aço comum: α = 1,2 x 10-5/°C 
Aço invar: α = 1,0 x 10-6/°C 
t0 = temperatura de calibração da trena (20°C); 
t = temperatura da trena na medição; 
Ct = correção da influencia da temperatura; 
Lcr = comprimento corrigido. 
ET = error de influencia da tração; 
L0 = comprimento medido; 
F0 = força de calibração da trena em Kg; 
F = força aplicada no momento da medição; 
Sa = seção transversal da trena; 
E = módulo de elasticidade de Young; 
Aço comum: E = 2,1 x 106 Kg/cm2 
Aço invar: E = 1,5 x 106 Kg/cm2 
CT = correção da influencia de tração; 
Lcr= comprimento corrigido. 
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3.a – Exercícios sobre erros da influência da tração: 
1 – Uma trena de 20m, seção da fita de 2,5 mm², calibrada a 20 °C, tensão de 5 kg, foi empregada 
apoiada para medir uma peça onde aplicou-se uma tensão de 10 kg e a medição resultou em 18854 
mm, estando a peça e a trena a 20 °C. 
 Quanto mede essa peça? 
a) 18858 mm b) 18850 mm c) 18854 mm d) 18856 mm e) 18852 mm 
2 - Uma trena apresentou uma medida de 19,870 m, à 20 °C e tracionada com 5 kgf. 
 Qual o valor indicado se a trena fosse tracionada com 10 kgf? 
Seção da fita igual a 6 mm². 
a) 19,869 m b) 19,870 m c) 19,971 m d) 20,658 m e) 19,082 m 
5 – Uma trena de 20m, seção da fita de 3 mm², calibrada a 20 °C, tensão de 10 kg, foi empregada 
apoiada para medir uma peça onde aplicou-se uma tensão de 8 kg e a medição resultou em 20022 
mm, estando a peça e a trena a 20 °C. 
 Quanto mede essa peça? 
 
4 - Erro da catenária (Ec):  
 - a trena apoiada em seus extremos descreve, devido a seu peso, uma curva que introduz 
um erro positivo na medição de uma distância. 
 
 
 
 
 
Ec = (L0/24) x [(w x L0) /F]2 Cc = - Ec Lcr = L0 + Cc 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ec = erro da influência da catenária; 
W = peso da fita da trena por unidade de 
comprimento em g/m; 
L0 = comprimento medido; 
Lcr = comprimento corrigido; 
F = força aplicada na trena no momento da 
medição em gf; 
Cc = correção da influência da catenária. 
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4.a – Exercícios sobre erros de catenária: 
1 - Uma trena suspensa apresentou uma medida de 20,101 m, à 20 °C e tracionada com 10 kg, 
sabendo que o peso da fita é de 20 g/m. Qual a medida correta da trena? 
a) 20,101 m b) 20,102 m c) 20, 100 m d) 20,1043 m 
2 – Uma trena suspensa apresentou uma medida de 20,101 m, à 20 °C e tracionada com 50 N, 
sabendo que o peso da fita é de 20 g/m. Qual a medida correta da trena? 
20,096 m b) 20,101 m c) 20, 106 m d) 20,102 m e) 20,100 m 
 
5 - Erro de desnível ou de desvio vertical da trena (Ed): 
 - Se o terreno for irregular será necessário efetuar as medições escalonadas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 - Erro de alinhamento ou de desvio horizontal da trena (EA): 
 
 
 
 
EA = (ea + eb)2 / (2 x L2) CA = - EA Lcrab = L2 + CA 
 
 
 
 
Ed = h2 / 2L Cd = - Ed 
Lcr = L + Cd 
Dc = Dm - (NL x Ed) 
 
Ed = erro de desnível; 
h = desnível; 
L = comprimento do lance medido; 
Lcr = comprimento do lance corrigido; 
Cd = correção do errro de desnível; 
NL = numero de lances; 
Dc = distância corrigida; 
Dm = distância medida. 
 
EA = erro de alinhamento; 
ea e ab = afastamento; 
L2 : comprimento do lance medido; 
Lcrab : comprimento do lance corrigido (a’b’); 
CA: correção do erro de alinhamento;  
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7 - Erro de deslocamento da linha vertical da baliza (Ev): 
 
 
 
 
 
 
 
II - MEDIÇÃO INDIRETA DE DISTÂNCIA 
O processo de medida é indireto quando a distância é obtida em função da medida de outras 
grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrer a distância. 
II.a - Taqueometria - do grego takhys (rápido) e metren (medição). 
A taqueometria ou estadimetria fornecem os dados referentes às leituras processadas na mira com 
auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação do terreno lido no limbo vertical do 
aparelho. 
Os taqueômetros são classificados em normais (teodolitos providos de fios estadimétricos) e 
autoredutores. 
 Também podem ser usados os níveis óticos, mas estes não medem ângulos verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para facilitar os cálculos topográficos, os fabricantes dos instrumentos mais modernos fazem com 
que a relação entre a distância focal (f) da ocular e o afastamento dos fios do retículo (s) fosse igual 
a 100: 
 
 
No caso de efetuar a medição da distância entre dois pontos topográficos utilizando uma visada 
inclinada, a fórmula deve ser modificada em função do ângulo vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = diferença de leitura na régua 
f = distância focal; 
d = distância a determinar; 
s = afastamento dos fios estadimétricos. 
cos α = Dh / Di 
Dh = Di x cos α     (i) 
Di = AB x 100    (ii) 
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Se medido o ângulo zenital (Z) Dh = (Fs – Fi) x 100 x sen² Z (v) 
De onde: α = 90° - Z 
 
Exercícios: 
1 – Calcule a distancia entre os pontos: 
 - A e B (Fs-Fi= 1,250m) e o ângulo de inclinação (α) foi de 10° 15’ 30”. 
 - 10 e 12 (Fs = 3,456; Fm = 2,000m) e o α = -15° 15’ 20”. 
2 – Calcule a distancia: 
Ponto Fs (m) Fm (m) Fi (m) A. Zenital Dh 
1 2,632 2,000 1,368 86° 10’ 25” 
2 2,457 2,000 92° 35’ 10” 
3 2,000 1,762 90° 45’ 30” 
 
 
 
 
 
 
cos α = FmA / (Fs‐Fm) 
cos α = FmB / (Fm‐Fi) 
cos α = AB / (Fs‐Fi) 
AB= (Fs‐Fi) x cos α   (iii) 
Substituindo (iii) em (ii): 
Di = (Fs‐Fi) x 100 x cos α   (iv) 
Substituindo (iv) em (i): 
Dh = (Fs‐Fi) x 100 x cos α x cos α  
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II.b – Método Trigonométrico 
Este método se baseia em visar com o fio nivelador a parte inferior da mira falante (régua) e anotar o 
ângulo zenital correspondente (Z1), posteriormente visar a parte mais superior possível da régua e 
também anotar o ângulo zenital correspondente (Z2). 
 Obs: É recomendável mirar novamente a parte inferior da régua, porém sem repetir a mesma leitura, 
e anotar o ângulo zenital (z3). Com isso é possível medir duas vezes a mesma distância. Os valores 
devem ser muito próximos, e sendo assim, é recomendável que se use a média aritmética entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diferença de Nível (DN) e Distância Vertical (DV) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EstaçãoPonto Visado Limbo Vertical Mira | Dist. Distância D. Nível Cota 
 
α=-3°38’ 2,196 
 
100,0 
∆i=1,52 B 
 
1,500 
 
A 
 
0,804 
 
Cota= C Z=95°17’ Dh=71,4 
 
 
Fm=1,32 
 
 
C N=86°25 Di=96,9 
 
 
Fm=1,500 
 
∆i=1,49 
 
2,426 
 
D E α=5°16’ 1,500 
 
 
Não obs. 
 
 
F Z=81°29’ Dh=64,6 
 
 
Fm=1,6 
 
 
 
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III - Medição Eletrônica de Distância (MED) 
- Medição da distância em função da velocidade de propagação da onda e da contagem da metade 
do tempo que a onda emitida pelo gerador percorre a distância até o refletor (prisma) e retorna ao 
aparelho, sendo captada pelo receptor. 
 
 
 
 
 
 
 
A onda é escolhida em função das suas características de propagação e penetração no ambiente 
face ao tipo de utilização prevista para o MED. 
Segundo JELINEK (s.d.), as ondas eletromagnéticas portadoras utilizadas podem ser: 
• Microondas, com comprimento de onda entre 1 e 10cm; 
• Luz visível, com comprimento de onda médio de 0,5μm; 
• Infravermelho, com comprimento de onda entre 0,72 e 0,94μm. 
Os MED são classificados segundo o desvio-padrão que os caracteriza segundo NBR 13133/1994: 
Classes do MED Desvio‐padrão* 
1 – precisão baixa ± (10mm + 10ppm x D) 
1 – precisão média ± (5mm + 5ppm x D) 
1 – precisão baixa ± (3mm + 2ppm x D) 
(mm) erro instrumental fixo e constante - independe da distância medida. 
(ppm) erro de medição em partes por milhão - varia com distância medida. 
(D) distância medida. 
*Espera-se que 68,3% das medidas com MED apresentem erro igual ou inferior ao desvio-padrão. 
 
Exemplo: 
Para uma distancia medida de 100m (100m x 1000 = 100.000mm). 
Erro = ± {5mm + [(5 x 100.000mm)/106]} = ± (5mm + 0,5mm) = ± 5,5mm 
Precisão = 5,5mm / 100.000mm = 1 / 18.182 
 
V = 2D/t 
2D = V x t 
D = (V x t)/2  
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Fatores naturais que influenciam a medidas com MED: 
- Na atmosfera terrestre a velocidade de propagação das ondas é diminuída; 
- Condições ambientais como: temperatura, umidade relativa do ar e pressão atmosférica (grandezas 
que afetam o índice de refração do ar e conseguinte a velocidade de propagação do sinal). 
Os MED modernos, com microprocessadores incorporados, medem as condições atmosféricas e 
calculam automaticamente as correções necessárias para exibir no visor a medida de comprimento 
já corrigida. 
 “Os instrumentos eletrônicos apresentam inúmeras vantagens em relação aos tradicionais 
processos de medida, tais como, economia de tempo, facilidade de operação e, principalmente, 
precisão adequada aos vários tipos de trabalhos topográficos, cartográficos e geodésicos.”