Lista de exercicios Metrologia

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Universidade Federal do Paraná - Engenharia Mecânica – DEMEC 
Prof. Alessandro Marques 
Disciplina: Metrologia e Instrumentação (Exercícios) 
 
 1 
1. Cite as três classes de aplicações onde é importante medir. Dê exemplos de situações presentes na sua 
vida de cada uma das classes. 
 
2. Da definição de medir: "... é o procedimento experimental através do qual o valor momentâneo do 
mensurando é determinado como um múltiplo e/ou fração de uma unidade, estabelecida por um padrão, 
e reconhecida internacionalmente", por que é importante que a unidade de medição seja reconhecida 
internacionalmente? 
 
3. Dê um exemplo onde a indicação direta seja diferente da indicação propriamente dita. 
 
4. Quais são os principais fatores que afetam a incerteza da medição no resultado de uma medição? 
 
5. Dê dois exemplos de sistemas de medição com os quais você lida diariamente e identifique o 
transdutor, unidade de tratamento de sinais e o dispositivo mostrador. 
 
6. Em sua opinião indique os métodos básicos de medição mais adequados (comparação, indicação, 
diferencial) para as situações especificadas abaixo. Justifique sua resposta: 
(a) medição de diâmetros de peças seriadas em uma linha de produção; 
(b) medição de comprimentos em peças variadas (diferentes tipos, tamanhos, etc); 
(c) calibração de padrões de massa; 
(d) medição da pressão no interior de um cilindro de compressor em operação; 
(e) medição de diâmetros de esferas de rolamento e classificação dentro de tolerância. 
 
7. Identifique os termos e procedimentos errôneos no texto abaixo e proponha a forma correta, 
justificando, em cada caso, a sua resposta: 
O peso de um pistão automotivo de alumínio foi medido em uma balança de precisão com 
sensibilidade de 0,02 g. A indicação obtida foi 110,042 g. Sabendo que o erro máximo da balança é de 
0,05 Kg, não foi necessário compensar os erros sistemáticos para chegar ao resultado da medição de 
(0,110042 ± 0,00005) Kg. 
 
8. Calcule a sensibilidade de um medidor de pressão que funciona pelo princípio da indicação (ou 
deflexão) e que apresenta indicação 12,00V quando submetido à pressão de 6,000 MPa 
 
9. Compare as formas absoluta e fiducial (relativa) de representar parâmetros de sistemas de medição. 
Que vantagens e desvantagens você vê? 
 
10. Um torquímetro com faixa de medição de 0 a 200 N.m apresenta as seguintes características: 
Resolução: 0,2 N.m; Erro máximo: 0,8 N.m; Erro de histerese: ± 0,5 N.m 
(a) Exprima em termos fiduciais estes parâmetros em termos do valor final de escala 
(b) Exprima em termos fiduciais estes parâmetros em termos da indicação quando o torque 
medido é de 50 N.m. 
 
11. Descreva e de exemplos de: (a) resolução; b) sensibilidade; (c) erro máximo; (d) 
repetibilidade; (e) tendência; (f) correção. 
 
12. Qual a relação entre: (a) erro sistemático e tendência; (b) erro aleatório e repetibilidade. 
 
 
 
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13. Dê um exemplo de erro de retroação do sistema de medição sobre um mensurando. 
 
14. Explique, com suas palavras, em que consiste a calibração de um sistema de medição? 
 
15. Quais as diferenças entre ajuste e regulagem? Dê um exemplo de cada. 
 
16. Quais as diferenças entre calibração direta e calibração indireta? Dê um exemplo de cada. 
 
17. Quais as diferenças entre calibração e verificação? Dê um exemplo de cada. 
 
18. Qual a incerteza mínima necessária a um sistema de medição padrão para calibrar um sistema de 
medição cujos erros esperados são da ordem de 0,05 mm? 
 
19. Para fins de determinação do resultado da medição, indique, em cada uma das situações 
abaixo, se o mensurando deve ser tratado como variável ou invariável: 
(a) a altura de um muro medida com uma trena com valor da divisão de escala de 1 mm; 
(b) a altura de um muro medida com uma trena com valor da divisão de escala de 50 mm; 
(c) a salinidade da água do mar; 
(d) o diâmetro de uma moeda de um Real medida com uma escala cujo valor da divisão é 1 mm; 
(e) a temperatura no interior de uma chaminé de uma fábrica enquanto as máquinas estão ligadas; 
(f) a massa de uma pessoa durante cinco minutos, medida com uma balança com incerteza de ± 
0,2 kg; 
(g) o diâmetro de um eixo cilíndrico sobre o qual não se tem nenhuma informação. 
 
20. Ao ser calibrado em onze pontos de medição um instrumento apresentou os seguintes resultados, 
todos em mm: 
 
Ponto VC Ī td Re 
1 0,0 0,8 0,8 ±1,0 
2 500,0 504,2 4,2 ±1,3 
3 1000,0 1008,8 8,8 ±1,5 
4 1500,0 1511,2 11,2 ±1,8 
5 2000,0 2007,9 7,9 ±1,8 
6 2500,0 2504,1 4,1 ±2,0 
7 3000,0 3001,2 1,2 ±2,1 
8 3500,0 3498,7 -1,3 ±2,3 
9 4000,0 3995,7 -4,3 ±2,5 
10 4500,0 4491,0 -9,0 ±2,8 
11 5000,0 4987,2 -12,8 ±3,0 
 
(a) Construa a curva de erros deste sistema de medição nas condições de calibração; 
(b) Determine o erro máximo deste sistema de medição nas condições de calibração; 
(c) Estime a tendência, repetibilidade e correção para a indicação 2300,0 mm. 
 
21. Qual a diferença entre erro e incerteza? 
 
 
 
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22. Aponte, por ordem de importância, as cinco principais fontes de incertezas presentes na medição do 
diâmetro de um prego efetuada por um operário com um paquímetro usado em um dia de verão. 
 
23. A temperatura é sempre uma fonte de erros aleatórios ou sistemáticos? Justifique sua resposta com um 
exemplo. 
 
24. O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um micrômetro de aço em um dia frio, quando a 
temperatura era de 5 ºC, sendo encontrado a indicação de 20,112 mm. Sabendo que o coeficiente de 
dilatação térmica do alumínio é de 23,0 . 10
-6
 / K e do aço 11,5 . 10
-6
 / K, calcule e aplique o fator de 
correção necessário para compensar o erro devido à temperatura. 
 
25. A tensão elétrica de uma pilha foi repetidamente medida por meio de um voltímetro de origem 
duvidosa. Foram obtidas as indicações abaixo (todas em V). Determine o valor médio das indicações (Ī), 
o valor do erro aleatório para cada indicação, o desvio padrão experimental e a repetibilidade (Re) para 
95,45% de confiabilidade: 
1,47 1,43 1,40 1,44 1,44 
1,48 1,42 1,45 1,46 1,43 
 
 
26. A mesma pilha da questão anterior foi medida por um voltímetro de melhor qualidade, sendo 
encontrado o seguinte resultado da medição da pilha: (1,4977 ± 0,0005) V. Com este valor, determine a 
tendência do voltímetro da questão anterior. 
 
27. Para que tenha validade legal, que exigências devem ser atendidas para a entidade que emite o 
certificado de calibração? 
 
28. Um cidadão comprou dois micrômetros no mesmo dia, do mesmo modelo, do mesmo fornecedor. 
Estes micrômetros são empregados todos os dias por dois funcionários que são irmãos gêmeos, para 
medir peças que são produzidas e controladas aos pares. Chegou o dia da calibração dos micrômetros. 
Você acha que seria perda de tempo calibrar os dois micrômetros ou a calibração de apenas um seria 
suficiente? Defenda sua resposta. 
 
29. Descreva um procedimento que você julgue apropriado para calibrar uma lombada eletrônica 
(medidor de velocidade de automóveis) regulada para fotografar e multar veículos que se deslocam acima 
de 48 km/h (a velocidade limite é de 40 km/h). 
 
30. Uma balança analítica com faixa de medição de 200g foi empregada para medir a massa de um anel 
de rolamento. Esta balança possui a indicação de leitura de 0,001 g, feita de modo digital. Tal balança tem 
no seu certificado de calibração, que foi emitido há 8 meses, para a indicação de leitura de 80,000 g, a 
tendência de +0,005 g com incerteza expandida de ± 0,0033 g. A balança opera em uma sala não 
climatizada onde a temperatura oscila entre 22 e 28 ºC. A estabilidade térmica é de0,025 g/ºC e o desvio 
da deriva com o tempo é de ± 0,03 g/mês. Assumir ambos com distribuição de probabilidade triangular. 
Deve-se prever o erro de truncamento das indicações. 
Os valores das indicações são: 
 
79,995 79,998 80,002 79,989 79,992 
79,995 80,000 79,899 80,004 80,007 
 
 
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80,002 79,998 79,996 79,995 79,997 
79,990 80,019 79,997 80,008 79,994 
79,996 79,999 79,996 79,998 79,995 
 
a) Faça a tabela de balanço das incertezas e; 
b) Determine o resultado de medição considerando a grandeza invariável. 
 
31. Um micrometro digital externo com faixa de medição de 0-25 mm foi utilizado para a medição de um 
eixo retificado. Foram executadas nove medições: 
 
20,001 20,002 19,998 19,998 19,999 
20,000 20,001 20,000 19,998 
 
A resolução do micrometro é de 0,001 mm. O erro de paralelismo entre os batentes afeta a medição 
em ± 0,002 mm. O erro de planeza do batente fixo provoca uma incerteza de ± 0,4 m e do móvel 
uma incerteza de ± 0,5 m, assumir as incertezas anteriores com distribuição de probabilidade 
retangular. No certificado de calibração para o valor de 20,000 mm a correção é de 0,8 m e incerteza 
de 1,5 m. 
a) Faça a tabela de balanço das incertezas e; 
b) Determine o resultado de medição considerando a grandeza invariável. 
 
32. A Tabela representa um conjunto de dez medições repetidas para cinco grandezas de entrada (A, B, C, 
D e E). 
 
 a) Calcule o coeficiente de correlação entre cada par de variáveis e identifique o tipo de correlação 
existente entre cada par. 
 b) Construa gráficos para o melhor entendimento do fenômeno. 
 
Medida A B C D E 
1 12,211 7,895 4,042 7,412 2,789 
2 12,583 7,708 4,117 7,525 2,417 
3 11,556 8,222 3,911 7,448 3,444 
4 12,792 7,604 4,158 7,402 2,208 
5 12,654 7,673 4,131 7,477 2,346 
6 11,863 8,069 3,973 7,508 3,137 
7 12,082 7,959 4,016 7,482 2,918 
8 11,819 8,090 3,964 7,467 3,181 
9 12,070 7,965 4,014 7,486 2,930 
10 11,543 8,228 3,909 7,436 3,457 
 
 
 
 
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33. Na medição de uma pressão (
A
gm
P

 ) foram executadas 10 repetições para massa e encontrado o 
valor médio da massa de 10kg com desvio padrão de 0,03g. O certificado da balança utilizada mostra que 
está tem incerteza de 0,01g. A medição foi realizada em um laboratório de metrologia em Curitiba onde a 
aceleração da gravidade é de 9,7877762m/s
2
 e incerteza expandida de 0,0000001m/s
2
. Na medição da 
área foram feitas 30 medições repetidas e encontrado o valor de 80,6657x10
-06
 m² com incerteza 
expandida de 0,00002 x10
-06
 m². Determine o resultado de medição considerando a grandeza invariável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34. Para determinar a energia cinética (Ec = ½ m V
2
) de um veículo em um teste de impacto, dois 
sensores foram dispostos nos últimos 10m da pista de colisão. Após a compensação dos erros 
sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade 
para cada grandeza de entrada: massa do veículo: (1,53 ± 0,08)t e νm=10; distância entre sensores 
consecutivos: (10,00 ± 0,03)m e νdist=30; intervalo de tempo transcorrido entre a passagem pelos dois 
sensores: (2,635 ± 0,002)s e νm=∞. 
Responda: 
a) Qual o resultado da medição da energia cinética desse veículo? 
b) o que deve ser feito para reduzir a incerteza associada a energia cinética? 
 
35. Uma barra de cobre retangular, de massa M = (135 ± 1)g, possui comprimento a = (80 ± 1) mm, 
largura b = (10 ± 1) mm e altura h = (20 ± 1) mm; seu momento de inércia I em torno de um eixo central 
e perpendicular à face ab é: I =
M(a2+b2)
12
. Considerando os dados com distribuições normais. Determine: 
 
a) o valor do momento de inércia 
b) a densidade da barra. 
 
A 
m 
g 
certificado 
certificado 
repetições 
repetições 
P 
 
 
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36. Determine F e a respectiva incerteza combinada, sendo A = (25 ± 1), B = (10 ± 1) e C = (25 ± 5) 
unid. Resolva considerando 2 casos: A, B e C com distribuições normais e A, B e C possuindo 
distribuições retangulares e compare os resultados. 
 
a) 𝐹 = 𝐴𝐵1 2⁄ 
b) 𝐹 = 3𝐴3 2⁄ − 
1
𝐵
 
c) 𝐹 = ln(𝐴) + (𝐵𝐶)2 
37. Ao desenvolver um novo Sistema de Medição de força, através de variação de capacitância, o 
pesquisador se deparou com os seguintes resultados: 
 
 
Medida A (N) C (F) 
1 12,211 4,042 
2 12,583 4,117 
3 11,556 3,911 
4 12,792 4,158 
5 12,654 4,131 
6 11,863 3,973 
7 12,082 4,016 
8 11,819 3,964 
9 12,070 4,014 
10 11,543 3,909 
 
a) Através do Método de Mínimos Quadrados escreva a equação para a Curva Característica de 
Resposta (CCR). 
b) Se o valor mostrado for de 4 Farad qual será a força aplicada ? 
 
38. Para os dados da tabela trace os resultados usando uma escala retangular. Determine a sensibilidade 
do sistema em (a) X=5, (b) X=10 e (c) X=20. Para quais valores de entrada o sistema é mais sensível? 
Explique o que isso pode significar em termos de uma medição e em termos de erros de medição. 
 
X (mm) Y (V) 
0,5 0,4 
1 1 
2 2,3 
5 6,9 
10 15,8 
20 36,4 
50 110,1 
100 253,2 
 
 
 
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39. Considere os dados para calibração de um voltímetro. Trace um gráfico de ida e um de volta com os 
dados. Especifique a porcentagem máxima de histerese com base no gráfico. Calcule o erro de linearidade 
para os dados de ida. 
 
Ida (mV) Volta (mV) 
X Y X Y 
0,5 0,1 5,0 5,0 
1,0 1,1 4,0 4,2 
2,0 2,1 3,0 3,2 
3,0 3,0 2,0 2,2 
4,0 4,1 1,0 1,2 
5,0 5,0 0,0 0,2 
 
 
 
 
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RESPOSTAS: 
8. Sb = 2 V / MPa 
10. a) Resolução: 0,1% do VFE; Erro máximo: 0,4% do VFE; Erro de histerese: 0,25 % do VFE 
 b) Resolução: 0,4 % da indicação; Erro máximo: 1,6 % da indicação; Erro de histerese: 1 % da 
indicação. 
 
18. 0,005 mm, ou seja, 10 vezes melhor. 
 
24. Fator de correção: 0,003 mm / Dimensão a 20oC = 20,115 mm 
25. Ī = 1,442 V; 
Erro aleatório para cada indicação (em V) : 
0,028 -0,012 -0,042 -0,002 -0,002 
0,038 -0,022 0,008 0,018 -0,012 
Desvio padrão experimental: 0,023944 V 
Re = 0,055551 V 
 
26. td = -0,0557 V 
30. Cc = -0,13 g / uc = 0,102750585 g / vef = 8859356,714 / U = 0,20550117 g 
 RM = (79,864 ± 0,206) g 
 
31. Cc = 0,0008 mm / uc = 0,001538127 mm / vef = 716,4374222 / U = 0,003081637 mm 
 RM = (20,000 ± 0,003) g 
 
32. r(A,B) = r(A,E) = r(B,C) = r(C,E) = -1 (inversa) 
 r(A,C) = r(B,E) = 1 (direta) 
 r(A,D) = r(B,D) = r(C,D) = r(D,E) = 0 (não-correlacionadas) 
 
33. RM = (1,213375 ± 0,000003) Mpa (obs: massa em kg) 
34. Ec = (11017,9 ± 580,9) J ou Ec = (11,0 ± 0,6) kJ (obs: massa em kg) 
35. a) 2)189373125( gmmI  b) 3/)7,34,8( mmmgD 