Mecânica Geral Equilíbrio do Ponto Material e Momento de Uma Força

Prévia do material em texto

Mecânica Geral 
 
 
M A T E R I A L T E Ó R I C O
Unidade III: 
Equilíbrio do Ponto Material
e Momento de uma Força 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. João Pacheco B. C. de Melo 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
Revisão Técnica:
Prof. Ms. Victor Barbosa Felix
Revisão Textual: 
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da 
disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom 
aproveitamento. 
Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização 
e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o 
Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força. 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
Olá, Caros Alunos: 
Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio do Ponto 
Material, a fim de introduzir o primeiro tipo de condição para 
ocorrência de um equilíbrio estático: o equilíbrio de forças 
externas. Além disso, para estabelecer o equilíbrio estático de 
corpos extensos, além do equilíbrio de forças, é necessário haver 
um equilíbrio de momentos. A segunda parte desta unidade visa 
apenas a introduzir o conceito de momento e como determiná-lo 
em alguns casos. Nesta unidade, não será estabelecida a condição 
de equilíbrio rotacional para corpos extensos, pois um tratamento 
mais detalhado será feito na próxima unidade. 
A Estrutura do Parágrafo , conhecendo mais os 
tópicos frasais, seu desenvolvimento e os tipos existentes, e 
Os Tipos de Desenvolvimento de Parágrafos, que 
mostrará como melhorar sua redação. 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Contextualização 
 
Nesta unidade III, iremos estudar o equilíbrio estático em pontos materiais, 
objetos que podem ser considerados, dentro de certa aproximação, com 
dimensões desprezíveis. 
O ponto fundamental para o equilíbrio entre as forças agindo em um corpo é 
que estas forças devem resultar em uma força total – a força resultante – nula. 
Em outras palavras, para que um corpo fique parado, a soma total de todas as 
forças agindo sobre o corpo deve ser zero. 
Devemos ficar atentos para a utilização, neste capítulo, de várias ferramentas 
matemáticas vistas na unidade I e II, principalmente, vetores e suas operações, 
somatórios de forças etc., uma vez que forças que são adicionadas para se 
alcançar a condição de equilíbrio são grandezas vetoriais. 
Mais do que isto, para o cálculo do momento de uma força, na segunda parte 
desta unidade, há a utilização do produto vetorial na definição do momento, 
assim como do produto escalar, para a decomposição desse momento em uma 
componente na direção de um eixo de rotação. 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
 
 
 
Introdução: Condição de Equilíbrio 
 
 
 
Nesta parte do curso, tratamos do equilíbrio de uma partícula ou ponto 
material. Temos de descrever quais são as condições necessárias e suficientes 
para manter um ponto material na situação de equilíbrio sob a ação de um 
conjunto de forças. Entende-se aqui por força como sendo o agente capaz de 
levar a modificações no estado de movimento do ponto material ou ainda a 
deformações em um corpo semirrígido. Notamos que estes efeitos, tem uma 
grande dependência não somente da intensidade da força aplicada, mas 
também em relação à direção e sentido, o que caracteriza uma força como uma 
grandeza vetorial. 
Um ponto material é um corpo cujas dimensões são desprezíveis quando 
comparadas às outras dimensões envolvidas. Um corpo material (doravante 
ponto material) se encontra em equilíbrio, se está em repouso ou tenha uma 
velocidade constante, o que implica uma aceleração igual a zero. Os fatos acima 
estão baseados na 1ª Lei de Newton: 
Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de 
repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma 
força resultante externa altere seu estad0 de movimento. 
Estas condições também podem ser expressas pela equação abaixo: 
 
 
 
 
em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto material 
em questão. 
Notamos que a 1ª Lei de Newton é decorrência da 2ª Lei de Newton, que pode 
ser escrita, para massa constante, conforme é apresentada a seguir: 
 
o que equivale a ter uma aceleração resultante igual a zero. 
Logo, o ponto material ou está em repouso ou tem uma velocidade constante. A 
fim de isolar as forças que atuam sobre um corpo ou sobre um ponto material, 
utilizamos a noção de diagrama de corpo livre, que consiste em isolar o corpo 
material que queremos estudar, livre de todos os outros corpos materiais e 
apenas com as forças que agem neste. 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Sistema de Forças 
 
Dados um sistema de forças atuando em um ponto material P, a 
resultante do sistema de forças é a força , dada pela soma vetorial: 
 
Podemos escrever essa equação como: 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Vetores de forças concorrentes e coplanares. 
 
Se conhecermos as expressões cartesianas para as forças, teremos que: 
 
 
 
 
 
Fazendo-se a soma de cada componente na equação acima, obtemos: 
 
Assim, podemos escrever a força resultante como: 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
O módulo para a força resultante é dado por: 
 
 
 
Podemos determinar a direção da força resultante a partir das equações abaixo: 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
Exemplo 1: Dada um conjunto de forças aplicadas ao ponto P, como mostra a 
figura abaixo. Determinar a força resultante e sua direção. 
 
Figura 2: Três forças coplanares com suas respectivas intensidades e direções. 
 
Solução: O primeiro procedimento em problemas deste tipo é fazer a 
decomposição das forças que estão agindo no corpo, que na figura é denotado 
por P. Dessa forma, teremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momentode uma Força 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo-se a adição de cada componente em separado, teremos que a força 
resultante é dada por: 
 
e a direção é dada pelo ângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Logo temos que o ângulo 
 
Teorema de Lamy 
 
Para um sistema de forças em equilíbrio, se no caso termos somente três forças 
que atuam sobre um ponto P, pode-se expressar o seguinte teorema (conhecido 
como teorema de Lamy): 
 
Se um ponto material sujeito a ação de três forças está em equilíbrio, os 
módulos das forças serão proporcionais aos senos dos ângulos determinados 
pelas outras duas forças: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Esquematização de três forças coplanares para o Teorema de Lamy. 
Exemplo 2 - (aplicação do teorema de Lamy) Seja um sistema de forças 
conforme descrito pela figura abaixo, Fig. 4. O peso do corpo é de 60 N. Ache o 
valor da tensão nos fios sabendo que o sistema está em equilíbrio. 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
Figura 4: Um corpo é mantido suspenso por duas forças de tração. Os respectivos ângulos são 
mostrados. 
Solução: Note que o valor do ângulo não foi fornecido. Este é encontrado 
facilmente, sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo plano é 
igual a 180°. Logo, . 
Agora, o isolamento do ponto P a fim de podermos aplicar o teorema de Lamy 
será mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 5: O mesmo problema da figura anterior com os valores dos ângulos dados. 
 
Os ângulos e são iguais, uma vez que na figura original. Como a 
soma dos ângulos do círculo completo é igual a 360°, resultam os valores para 
 e . Consequentemente, pelo 
Teorema de Lamy, agora podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
resulta que 
Também temos que: 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que e que obtemos: 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
 
 
 
Logo, é necessário que para manter o sistema em equilíbrio 
estático. 
Note que poderíamos ter resolvido este exemplo pelo método da decomposição 
das forças no plano cartesiano (x, y) com as resultantes da soma das forças 
sendo igualadas a zero, a saber: 
 
Plano Cartesiano 
 
Ao trabalhar no plano estamos na verdade trabalhando no plano 
cartesiano. Este foi o caso dos dois exemplos resolvidos anteriormente. Por 
conseguinte, no plano de forças coplanares, temos que: 
 
Para que este conjunto de equações vetoriais seja verdadeiro, temos a seguir um 
sistema de equações: 
 
Daremos um exemplo de como utilizar este conjunto de equações de equilíbrio 
de forças na resolução de problemas de pontos materiais estáticos. 
Exemplo 3: Seja uma situação conforme a apresentada na figura abaixo, em 
que uma máquina de 500 kg (representada por um bloco na figura) está em 
equilíbrio estático. Ache a tensão nos respectivos cabos necessária para a 
sustentação da máquina em equilíbrio. 
 
Figura 6: Uma massa é suspensa por dois fios presos a duas paaredes. 
Solução: Podemos resolver este problema de dois modos: Aplicando-se o 
teorema de Lamy ou utilizando as equações para forças coplanares conforme 
exposto anteriormente. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Primeiro método - A máquina pesa 
 
 . 
Decompondo as forças que atuam no equilíbrio da máquina, teremos que: 
 
e 
 
Para , obtemos o valor de : 
 
 
 
 
 
 
 
Com o valor de em mãos, pode ser calculado: 
 
 
 
 
Segundo Método - Teorema de Lamy: Isolando-se o ponto onde todas as 
forças em questão são aplicadas, temos a situação representada na figura a 
seguir: 
 
Figura 7: Esquema de forças e seus respectivos para aplicação do Teorema de Lamy. 
A soma dos ângulos é . Logo, pelo teorema de Lamy, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo esse sistema, resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, com o Teorema de Lamy, chegamos ao mesmo resultado. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Exemplo 4: Um corpo de peso de é mantido em equilíbrio por 
intermédio de um fio e pela aplicação de uma força horizontal. A distância 
AB é de e a distância entre a parede e o corpo AC é de . Calcule o 
valor da força e a tensão na corda. Note que não são dados os ângulos e . 
 
Figura 8: Problema semelhante ao anterior, mas sem fornecer diretamente os ângulos. 
Solução: O ângulo pode ser determinado calculando-se sua tangente a partir 
da figura com respeito ao triângulo retângulo ABC. Para tanto, utilizamos o 
teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do cateto oposto: 
 
logo Assim, podemos encontrar o valor do ângulo 
 
 
 
 
Agora, a partir das componentes horizontal e vertical da força de tensão 
juntamente com a força (balanço de forças), temos as seguintes equações 
para o equilíbrio de forças estáticas: 
 
 
Isolando a tensão nas duas equações e dividindo a de baixo pela de cima, a 
tensão é eliminada, recaindo na equação: 
 
 
 
 
 
 
Da segunda equação é possível fazer a determinação do valor da tensão na 
corda: 
 
 
 
 
 
 
 
Fica como sugestão para o leitor resolver este problema aplicando o teorema de 
Lamy. 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
Momento de uma Força 
 
Quando aplicamos uma força a certo corpo, o qual tem um eixo fixo, pode-se 
provocar um movimento de rotação no corpo em questão. De um modo geral, o 
sentido do movimento de rotação que é produzido pela força aplicada ao corpo 
depende do sentido da força e também da posição a qual é aplicada a força em 
relação ao eixo fixo do corpo. A intensidade do momento de uma força é dada 
pelo produto do módulo da força pela distância do eixo de rotação à linha de 
ação da mesma, ou seja, 
 
Algumas vezes, o d na equação acima é denominado de braço de alavanca, 
apesar de este conceito poder ser aplicado a pontos materiais que estão em um 
movimentoem torno da origem de um sistema de referência como, por 
exemplo, o movimento de planetas em torno do Sol. Para pontos materiais, não 
há qualquer alavanca, mas a terminologia se refere ao uso do momento de uma 
força em máquinas simples, como as alavancas. O braço de alavanca é 
caracterizado como sendo a distância do ponto O (ponto este em torno do qual o 
corpo pode girar quando a força é aplicada) ao ponto de aplicação da força. A 
distância d é sempre medida na perpendicular a partir do ponto O à linha de 
ação da força. Note que o produto acima pode ser positivo ou negativo; no caso 
de ser positivo, temos o movimento de rotação no sentido anti-horário, e 
negativo no sentido oposto, o horário. No entanto, o momento de uma força não 
é somente caracterizado pela sua intensidade; devemos também dar a sua 
direção e sentido. Deste modo, para tanto, utilizamos a regra da mão direita: 
Os dedos da mão direita devem ser curvados para acompanhar o sentido de 
rotação da força aplicada. O dedo polegar da mão direita dará o sentido e a 
direção do momento da força. 
A figura a seguir serve para dar uma ideia do que foi discutido, onde uma força 
 é aplicada em um corpo qualquer e o braço de alavanca d, perpendicular à 
direção de aplicação da força: 
 
Figura 9: Força aplicada para girar o objeto em torno do ponto P. Observe o braço de alavanca d. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
O momento de uma força também é conhecido com torque ou binário de forças 
(este último é aplicado em corpos rígidos). 
Podemos perceber que o momento de uma força é proporcional à intensidade da 
força e à distância que essa força é aplicada do eixo de rotação. Além disso, ela é 
máxima sempre que essa distância e a força formem um ângulo reto entre si. 
A fórmula para o momento de uma força pode ser generalizada para situações 
em que a força não se encontra em uma direção perpendicular à distância do 
eixo de rotação, mas formando um ângulo qualquer entre os vetores, 
conforme a figura a seguir: 
 
Figura 10: Várias formas de decompor os vetores para o cálculo do momento. 
Se os vetores força e a posição da força, , esta com módulo igual a d, podemos 
escrever o vetor momento como: 
 
Na figura anterior, todas as três possibilidades de decomposição resultam no 
mesmo valor do momento. Podemos notar que o momento aponta para fora do 
plano definido pelos dois vetores, 
O vetor momento em três dimensões é dado pelo produto vetorial abaixo 
(percebemos que a componente z é o valor do momento para a força e o braço 
de alavanca, situados no plano Oxy): 
 
Uma forma prática de calcular o momento , já que ele constitui um produto 
vetorial, é pelo determinante: 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
 
 
 
 
Resultando no mesmo vetor da expressão anterior. 
Exemplo 1: (Momento em torno de um eixo) Dada uma força: 
 
atuando em um ponto P cuja posição é dada por , qual é o 
momento em torno de um eixo passando através da origem O com direção 
 
 
 
 
 
 
 ? 
Solução: A componente do momento na direção do vetor é dada pelo produto 
escalar: 
 
O vetor é dado por: 
 
Assim, 
 
O momento procurado é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formas Especiais de Denotar o Vetor Momento 
 
Nenhuma das notações especiais para rotações é necessária porque o momento 
é um vetor como outro qualquer. Todavia, é muito comum encontrar em livros 
ou em outros textos uma notação que sugere a natureza rotacional dessas 
quantidades. A Figura 11 apresenta formas de representar o momento em duas 
dimensões (a) e três dimensões (b e c). 
Exemplo 2: (Momento de uma força) A força atua em um ponto A 
de um objeto que possui um eixo de rotação passando por O, conforme 
mostrado na Figura 12. A distância OA mede 2 m. Determine o momento da 
força em torno do eixo no ponto O. 
 
Solução: O momento é dado por (o símbolo entre dois vetores indica um 
produto vetorial): 
 
 
41
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
Figura 11: Formas de se representar o momento em 2D (a) e 3D (b e c). 
Lembrando que 
 
 e 
 
, podemos escrever: 
 
 
 
Figura 12: Corpo capaz de girar em torno do ponto O com uma força aplicada em A. 
Exemplo 3: Uma placa quadrada de 2m x 2m é pendurada por um de seus 
vértices. No vértice diagonalmente oposto, uma força de 50 N é aplicada por 
uma corda AB que o está puxando. Determine o momento da força aplicada em 
torno do centro C utilizando: 
a) A componente da força perpendicular a 
b) O braço de alavanca (a distância a partir de C perpendicular à força); 
c) Os vetores 
 
Figura 13: Uma placa quadrada pendurada pelo vértice O e puxada por uma corda presa ao vértice A. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Solução: a) Para encontrar o momento em torno do ponto C, precisamos 
encontrar a componente de perpendicular a AC. Pela figura, vemos que a 
componente desejada é , com Daí, 
 
 
 
 
A direção e o sentido do momento são dados pela regra da mão direita, girando 
os dedos de na direção de , o que dará isto é, o vetor está entrando na 
página. Assim, 
 
b) O braço de alavanca é a distância perpendicular a linha de ação da força a 
partir do ponto C. Esta distância perpendicular é dada por 
 
 
 
 
Veja a figura para uma melhor orientação: 
 
Figura 14: Diagrama esquemático dos vetores, ângulo e braço de alavanca d. 
Portanto, o momento de em torno de C é 
 
c) O vetor 2
 
 
 , pois a diagonal de um quadrado é igual ao 
comprimento do lado multiplicado por 
o vetor é dado por 
 
Perceba que o vetor momento poderia ser calculado pelo produto vetorial: 
 
 
 
 
 
Portanto, há várias formas equivalentes de se calcular o momento de uma força. 
Exemplo 4: (Só para ir preparando o caminho para a próxima 
unidade!) Um peso de 445 N é pendurado por duas cordas, conforme a Figura 
15. Determine as forças , as respectivas tensões nas cordas. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 
Figura15: Um corpo de peso W está preso por duas cordas no ponto P. As forças de tensão aparecem 
no diagrama de baixo. 
Solução: Método 1: Fazendo a decomposição das forças nas componentes 
horizontal e vertical, temos: 
 
Isto significa que cada um dos somatórios deve se anular: 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
A solução do sistema é 
 
Método 2: Construindo o vetor 
 
 
 
 
 
 e fazendo o produto vetorial 
com o vetor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que nos dois parênteses aparecem somas, o que poderia sugerir a 
existência de um somatório. Podemos notar também que cada termo da soma 
possui unidade de momento (N.m), o que nos leva a concluir que o somatório é 
para cada momento das duas forças que são escritas como A e B. E se o valores 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
somatório dos momentos for nulo para situações estáticas (tal qual para as 
forças), recaímos no mesmo par de equações para e , resultando nos 
mesmos valores 
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Material Complementar 
 
 
Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio do 
Ponto Material e Momento de uma Força. A seguir, listaremos alguns que 
julgamos interessantes: 
 
http://www.estudefisica.com.br/etrb/1_ano/problemas_proposto
s/TP_V1_CAP_18.pdf 
http://www.infoescola.com/fisica/equilibrio-estatico/ 
 
E para complementar seus conhecimentos, visite também: 
 
http://www.brasilescola.com/fisica/equilibrio-um-ponto-material.htm 
http://www.mecanicavetorial.com/menu_estrela.swf 
 
http://rived.mec.gov.br/atividades/concurso2006/pontos/inde
x.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e se informar 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
 Anotações 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 
Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força 
Referências 
 
 
BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do 
Brasil, 2005. 
 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª 
edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book). 
 
MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, 
LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997. 
 
GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, 
Nobel, 1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.cruzeirodosul.edu.br 
Campus Liberdade 
Rua Galvão Bueno, 868 
01506-000 
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br