Analise dimensional

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Análise Dimensional
A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos e de ampla utilização. Não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos. A inclusão da página no grupo Fluidos deste site é apenas uma questão de conveniência, em razão do maior número de exemplos.
Grandezas básicas, unidades, dimensões
De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A1, A2 e A3:
Adição e subtração 
Se A1 + A2 = A3 , então  A1 = A3 − A2 
Comparação 
Se A1 + A2 = A3  e  A2 é finito e positivo, então  A3 > A1 
Multiplicação e divisão 
Se, por exemplo,  A2 = A1 + A1 + A1 , então  A2 = 3A1  ou  A1 = A2/3 
O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado. Exemplo: na Figura 01, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que
A = N u  #A.1#
Ou pode-se uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que
A = N' u'  #A.2#
	
	Figura 01
Se a unidade u' é n vezes maior que u, isto é, 
u' = n u  #A.3#
Então,
N' = n−1 N  #A.4# 
Isso significa que, se a unidade for multiplicada por um fator n, o valor numérico da grandeza observada deverá ser multiplicado por n−1.
Há então duas coisas distintas no caso:
• a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os pontos são fixos).
• o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.
As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.
Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:
G = α Aa Bb Cc...  #B.1#
Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas básicas.
	Tabela 01
	Grandeza física
	Símbolo da dimensão
	Unidade
SI
	Símbolo da unidade SI
	Comprimento
	L
	metro
	m
	Massa
	M
	quilograma
	kg
	Tempo
	T
	segundo
	s
	Corrente elétrica
	I
	ampère
	A
	Temperatura termodinâmica
	θ
	kelvin
	K
	Quantidade de matéria
	N
	mol
	mol
	Intensidade luminosa
	J
	candela
	cd
O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.
A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula anterior fica
[G] = [A]a [B]b [C]c...  #C.1#
Naturalmente, a dimensão de uma grandeza básica é a própria. A Tabela 01 dá as grandezas básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as respectivas unidades básicas. 
Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a #A.4#, pode-se facilmente deduzir:
Se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:
N' = n−1 N  onde  n = (nA)a (nB)b (nC)c...  #D.1#
Exemplos:
• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por  [A] = L
• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto,  [c] = L/T = L T−1
• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e  [a] = L T−1/T = L T−2
• Se F é força, F = massa × aceleração e  [F] = L M T−2
• Se S é área, S = comprimento × comprimento e  [S] = L2
• Se p é pressão, p = força / área e  [p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2
Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.
Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.
Algumas propriedades das grandezas e dimensões:
• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.
• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.
• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.
• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.
• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1
LISTA DE EXERCÍCIOS - Análise Dimensional
1-Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canal aberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume. Tais obstruções, projetadas e calibradas para medir a vazão em um canal aberto são chamadas de vertedores. 
Admita que a vazão em volume Q, sobre um vertedor é uma função da altura a montante, h,da gravidade, g, e da largura do canal, b. Use a Análise Dimensional para determinar a dependência funcional de Q em relação às outras variáveis
 2-Sabe-se que a capacidade de carga, W [força], de um mancal de deslizamento depende do diâmetro, D, do comprimento, L, da folga, c, da velocidade angular, w, e da viscosidade, µ,no mancal.Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema
3-Uma correia contínua, movendo-se verticalmente através de um banho de líquido viscoso,arrasta uma camada de líquido,de espessura h, ao longo dela. Admite-se que a vazão em volume do líquido, Q,análise dimensional para prever a forma de dependência de Q em relação às outras variáveis. 
4- Gotículas são formadas quando um jato de líquido é borrifado por spray em processos de injeção de combustível. Admite-se que o diâmetro da gotícula resultante, d, depende da massa específica, da viscosidade e da tensão superficial do líquido, bom como da velocidade, V, e do diâmetro, D, do jato. Quantas razões adimensionais são necessárias para caracterizar este processo? Determine estas razões.