193751167 Caderno de Exercicios Parte 2

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TORÇÃO 
AULA 17 
1. (Beer – 3.7) O sistema da figura é constituído 
por um eixo de seção transversal cheia AB e com 
uma tensão de cisalhamento admissível de 82,7 
MPa e por um tubo CD feito de latão com uma 
tensão de cisalhamento admissível de 48,3 MPa. 
Determine (a) o maior torque T que pode ser 
aplicado em A sem que a tensão de cisalhamento 
admissível do material do tubo CD seja excedida 
e (b) o valor correspondente necessário para o 
diâmetro d do eixo AB 
 
2. (Beer – 3.11) O motor elétrico aplica um 
torque de 2,8kN.m no eixo AB. Sabendo que cada 
um dos eixos tem seção transversal cheia, 
determine a tensão de cisalhamento máxima no 
(a) eixo AB, (b) eixo BC e (c) eixo CD. 
 
 
 
 
 
 
 
3. (Beer – 3.27) Um torque de T=120 N.m é 
aplicado ao eixo Ab do trem de engrenagem 
mostrado. Sabendo que a tensão de 
cisalhamento é de 75 MPa em cada um dos três 
eixos sólidos, determine o diâmetro necessário 
para o eixo AB, AC e EF. 
 
4. (Hibbeler– 5.7) O eixo tem diâmetro externo 
de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm. Se for 
submetido aos torques aplicados mostrados na 
figura, determine a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta desenvolvida no eixo. Os 
mancais lisos em A e B não resistem a torque. 
 
 
 
 
 
 
 
5. (Hibbeler– 5.10) O elo funciona como parte do 
controle do elevador de um pequeno avião. Se o 
tubo de alumínio conectado tiver 25 mm de 
diâmetro interno e parede de 5 mm de 
espessura, determine a tensão de cisalhamento 
máxima no tubo quando a força de 600 N for 
aplicada aos cabos. Além disso, trace um 
rascunho da distribuição da tensão de 
cisalhamento na seção transversal.
 
AULA 18 
6. (Hibbeler – 5.64) O conjunto é feito de aço A-
36 e é composto por uma haste maciça de 15 mm 
de diâmetro conectada ao interior de um tubo 
por meio de um disco rígido em B. Determine o 
ângulo de torção em A. O tubo tem diâmetro 
externo de 30 mm e espessura de parede de 
3mm. 
 
7. (Hibbeler – 5.66) O dispositivo serve como uma 
mola de torção compacta. É feito em aço A-36 e 
composto por um eixo interno maciço CB 
embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo 
por um anel rígido em B. Podemos considerar 
que o anel em A também é rígido e está preso de 
modo que não pode girar. Se a tensão de 
cisalhamento admissível para o material for 
= 84 Mpa e o ângulo de torção em C estiver 
limitado a = 3 , determine o torque 
máximo T que pode ser aplicado na extremidade 
C. 
 
8. (Hibbeler – 5.68) O parafuso de aço A-36 é 
apertado dentro de um furo de modo que o 
torque de reação na haste AB pode ser expresso 
pela equação t = kx² N m/m, onde x é dado em 
metros. Se um torque T = 50 N m for aplicado à 
cabeça do parafuso, determine a constante K e a 
quantidade de torção nos 50 mm de 
comprimento da haste. Considere que a haste 
tem um raio constante de 4mm. 
9. 
(Hibbeler – 5.72) Uma mola cilíndrica é composta 
por um anel de borracha preso a um anel e eixo 
rígidos. Se o anel for mantido fixo e um torque T 
for aplicado ao eixo rígido, determine o ângulo de 
torção do eixo. O módulo de cisalhamento da 
borracha é G. Dica: Como mostrado na figura, a 
deformação do elemento no raio r pode ser 
determinada por rd =dr . Use essa expressão 
juntamente com para obter o 
resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 19 
10. (Beer - 3.59) O tubo de aço CD foi fixado ao 
eixo AE de 40mm de diâmetro por meio de 
flanges rígidas soldadas ao tubo e a barra. O 
diâmetro externo do tubo é de 80mm e a 
espessura de 4mm. Se forem aplicados torques 
de 500Nm, determine tensão de cisalhamento 
máxima no tubo. 
 
11. (Gere 3.8-16) Um tubo circular vazado A 
(diâmetro externo dA, espessura da parede tA) se 
encaixa na extremidade de um tubo circular B (dB, 
tB), como mostra a figura. As extremidades 
opostas à junção dos dois tubos estão fixas. 
Inicialmente, um furo através do tubo B forma 
um ângulo com uma linha que através de dois 
furos no tubo A. Então, o tubo B é torcido até que 
os furos se alinhem, e um pino com diâmetro dP é 
colocado através dos furos. Quando o tubo B é 
liberado, o sistema volta ao equilíbrio. Assuma 
que G seja constante. 
(a) Utilize a sobreposição para achar os torques 
de reação TA e TB nos suportes. 
(b) Encontre uma expressão para o valor 
máximo de se a tensão máxima de 
cisalhamento do pino, , não pode exceder 
 . 
(c) Encontre uma expressão para o valor 
máximo de se a tensão máxima de 
cisalhamento nos tubos, , não pode 
exceder . 
(d) Encontre uma expressão para o valor 
máximo de se a tensão cortante no pino 
em C, , não pode exceder . 
 
12. (Hibbeler – 5.78) O eixo composto tem uma 
seção média que inclui o eixo maciço de 20 mm 
de diâmetro e um tubo soldado a flanges rígidas 
em A e B. Despreze a espessura das flanges e 
determine o ângulo de torção da extremidade C 
do eixo em relação à extremidade D. O eixo é 
submetido a um torque de 800 N m. O material é 
aço A-36. 
 
13. (Hibbeler – 5.84) O eixo cônico está confinado 
pelos apoios fixos em A e B. Se for aplicado um 
torque T em seu ponto médio, determine as 
reações nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 20 
14. (Beer – 3.76) Dois eixos de seção cheia e as 
engrenagens mostradas são utilizados para 
transmitir 16hp do motor em A operando a uma 
rotação de 1260rpm, para uma máquina-
ferramenta em D. Sabendo que a tensão de 
cisalhamento máxima admissível é de 55,2MPa, 
determine o diametro necessário para o eixo AB 
e CD. 
 
 
15. (Beer – 3.79) Um eixo de seçao transversal 
cheia feita de aço com 1524mm de comprimento 
e 22,2mm de diametro deve transmitir 18hp. 
Determine a velocidade mínima na qual o eixo 
pode girar, sabendo que G=77,2GPa, que a 
tensão admissível é de 31MPa e que o ângulo de 
torção não deve exceder 3,5°. 
16. (Beer – 3.80) um eixo de aço de 2,5m de 
comprimento e 30mm de diametro gira a 
uma freqüência de 30Hz. Determine a 
potência máxima que o eixo pode transmitir 
sabendo que G=77,2GPa, que a tensão de 
cisalhamento admissível é de 50MPa e que o 
ângulo de torção não deve exceder7,5°. 
17. (Beer – 3.85) O eixo de seção variável 
mostrado gira a 450rpm. Sabendo que o raio 
é de 12,7mm, determine a potência máxima 
que pode ser transmitida sem exceder a 
tensão de cisalhamento admissível de 
51,7MPa. 
 
 
AULA 21 
18. (Beer – 3.84) Para a questão 17, determine a 
potência máxima para o raio igual a 5,08mm. 
19. (Beer – 3.87) Sabendo que o eixo de seção 
variável mostrado na figura deve transmitir 45kW 
na velocidade de 2100rpm, determine o raio r 
mínimo do adoçamento para que a tensão de 
cisalhamento admissível de 50MPa não seja 
excedida. 
 
20. (Beer – 3.91) Um torque de T=22,6N.m é 
aplicado ao eixo de seção variável mostrado na 
figura, que tem um adoçamento de um quarto de 
circunferência completa. Sabendo que D = 
25,4mm, determine a tensão de cisalhamento 
máxima do eixo quando d = 20,3mm e quando d 
= 22,9mm. 
 
 
 
AULA 22 
21. (Beer – 3.104) Uma barra de seção circular 
com 914,4mm de comprimento tem um diametro 
de 63,5mm e é feita de aço doce considerado 
elastoplástico com e G = 
77,2GPa. Determine o torque necessário para 
produzir um ângulo de torção de 2,5º e outro de 
5º 
22. (Beer – 3.107) Um eixo de seção vazada tem 
0,9m de comprimento com D=70mm e d=30mm. 
O aço é considerado elastoplástico com 
 e G=77,2GPa. Determine o ângulo 
de giro quando a seção se torna inteiramente 
plástica e a correspondente intensidade do 
torque aplicado. 
23. (Hibbeler – 5.125) O tubo tem comprimento 
de 2 m e é feito de um material elástico-plástico 
como mostra a figura. Determine o torque 
necessáriosó para tornar o material totalmente 
plástico. Qual é o ângulo de torção permanente 
do tubo quando esse torque é removido? 
 
 
24. (Hibbeler – 5.127) O tubo de 2 m de 
comprimento é feito de um material elástico 
perfeitamente plástico como mostra a figura. 
Determine o torque aplicado T que submete o 
material da borda externa do tubo à deformação 
por cisalhamento = 0,006 rad. Qual será o 
ângulo de torção permanente do tubo quando 
esse torque for removido? Faça um rascunho da 
distribuição de tensão residual no tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
AULAS 24 – 29 
25. (Gere 4.3 - 3) Determine a força cortante V e 
o momento fletor M no ponto médio de uma viga 
com balanços (veja figura). 
26. 
(Gere 4.3 – 11) Uma viga ABCD, com um braço 
vertical CE, está apoiada como uma viga simples 
em A e D (veja a figura). Um cabo passa por uma 
pequena roldana que está presa ao braço E. Um 
extremo do cabo está fixo à viga no ponto B. 
Qual é a força P no cabo se o momento fletor na 
viga logo à esquerda de C é numericamente igual 
a 7,5 kNm? (Observação: Desconsidere a 
espessura da viga e do braço vertical e use as 
dimensões das linhas que passam pelos centros 
para fazer os cálculos.) 
 
(Gere 4.5 – 5 e 4.5 – 30) Desenhe os diagramas 
de força cortante e momento fletor para as vigas. 
(Observação: Na questão 28 a articulação em D 
pode transmitir força cortante, mas não 
transmite momento fletor.) 
27. 
 
28. 
 
29. (Hibbeler – 6.8) Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor 
para o tubo. A extremidade rosqueada está 
sujeita a uma força horizontal de 5kN. Dica: As 
reações no pino C devem ser substituídas por 
cargas equivalentes no ponto B no eixo do tubo. 
 
30. (Hibbeler – 6.11) Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor 
para a viga composta. Ela é formada por uma 
chapa lisa em A, que desliza no interior de uma 
ranhura e, por isso, não pode suportar uma força 
vertical, embora possa suportar momento e carga 
axial. 
 
2,25 m 2,25 m 2,25 m 
3,0 m 
31. (Hibbeler – 6.19) Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor 
para a viga. 
 
32. (Hibbeler – 6.25) Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor 
para a viga. Os dois segmentos estão interligados 
em B. 
 
33. (Hibbeler – 6.35) O pino liso está apoiado em 
duas chapas A e B e sujeito a uma carga de 
compressão de 0,4 kN/m provocada pela barra C. 
Determine a intensidade da carga distribuída 
das chapas agindo sobre o pino e represente 
graficamente os diagramas de força cortante e 
momento fletor. 
 
 
AULAS 30-33 
34. (Beer – 4.51) Sabendo que o momento fletor 
em uma viga de concreto reforçado é de 
+203,4kNm e que o módulo de elasticidade é de 
25,9GPa para o concreto e 206,9GPa para o aço, 
determine a tensão no aço e a tensão máxima no 
concreto 
 
35. (Beer – 4.57) Um tubo de aço e um tubo de 
alumínio são unidos para formar uma viga com 
módulos elasticidade 207GPa para o aço e 69GPa 
para o alumínio. Sabendo que a viga composta é 
flexionada por um momento de 565Nm, 
determine a tensão máxima em cada um dos 
materiais. 
 
36. (Beer – 5.89) As vigas são unidas por pinos em 
B e C. Sabendo que a tensão normal admissível é 
de +110MPa em tração e de -150MPa em 
compressão, determine o maior valor permitido 
para w para que a viga BC não seja 
sobrecarregada e a distância “a” máxima 
correspondente para a qual as vigas em balanço 
AB e CD não sejam sobrecarregadas. 
 
37. (Beer – 5.91) Uma força de 240kN deve ser 
suportada no centro de uma vão de 5m. Sabendo 
que a tensão normal admissível para o aço 
utilizado é de 165MPa, determine o menor 
comprimento admissível “L” da viga CD para que 
o perfil W310 X 74 da viga AB não seja 
sobrecarregado e determine também o perfil W 
mais econômico que pode ser utilizado para a 
viga CD. Despreze o peso de ambas as vigas. 
 
 
38. (Beer – 5.156) Verifique se a viga abaixo está 
em equilíbrio e mostre que a tensão máxima 
provocado pelo momento fletor ocorre em C e é 
igual a .
 
39. (Beer – 6.32) A viga mostrada abaixo foi feita 
pregando-se várias tábuas e esta sujeita a uma 
força cortante de 8kN. Sabendo que os pregos 
estão espaçados longitudinalmente a cada 60mm 
em A e a cada 25mm em B, determine a tensão 
de cisalhamento nos pregos em A e em 
B(Ix=1,504 x 10^9 mm^4) 
 
40. (Gere 5.5-10) Um dormente está submetido a 
dois carregamentos dos trilhos, cada um com 
intensidade P = 175kN, atuando da forma 
mostrada na figura. Assume-se que a reação q do 
lastro esteja uniformemente distribuída sobre o 
comprimento do dormente, que tem seção 
transversal com dimensões b = 300mm e h = 
250mm. 
Calcule a tensão de flexão máxima no 
dormente assumindo L = 1500 mm e a = 500 mm. 
 
(Gere 5.5 – 16 e 5.5 – 21) Determine as tensões 
máximas de tração e compressão para as vigas 
com os carregamentos mostrados. 
41. (Gere 5.5 – 16) Dados: P = 6,2 kN, L = 3,2 m, d 
= 1,25 m, b = 80 mm, t = 25 mm, h = 120 mm, h1 = 
90mm. 
 
42. (Gere 5.5 – 21) 
 
43. (Hibbeler – 6.60) A peça fundida cônica 
suporta a carga mostrada. Determine a tensão de 
flexão nos pontos A e B. A seção transversal na 
seção a-a é dada na figura. 
 
44. (Hibbeler – 6.124) Os lados da viga de abeto 
Douglas são reforçados com tiras de aço A-36. 
Determine a tensão máxima desenvolvida na 
madeira e no aço se a viga for submetida a um 
momento fletor . Faça um 
rascunho da distribuição de tensão que age na 
seção transversal. 
 
45. (Hibbeler – 6.183) A viga é composta por três 
tábuas unidas por pregos, como mostra a figura. 
Determine as tensões de tração e compressão 
máximas na viga. 
 
46. (Hibbeler – 7.29) A viga é composta por três 
peças de plástico coladas nas linhas de junção A e 
B. Se for submetida ao carregamento mostrado 
na figura, determine a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nas juntas coladas na seção crítica. 
Os apoios em C e D exercem somente reações 
verticais sobre a viga. 
 
47. (Hibbeler – 7.42) A viga é fabricada com dois 
T estruturais equivalentes e duas chapas. Cada 
chapa tem altura de 150 mm e espessura de 12 
mm. Se os parafusos estiverem espaçados de s = 
200 mm, determine a força de cisalhamento 
máxima V que pode ser aplicada à seção 
transversal. Cada parafuso pode resistir a uma 
força de cisalhamento de 75 kN. 
 
48. (Hibbeler – 7.62) A escora de alumínio tem 10 
mm de espessura e a seção transversal mostrada 
na figura. Se for submetida a um cisalhamento V 
= 150 N, determine o fluxo de cisalhamento na 
escora.