Torção de Eixos Circulares

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DESCRIÇÃO
Aplicação das equações matemáticas e dos princípios físicos no estudo da torção de
eixos circulares (maciços ou tubulares) e de paredes finas não circulares.
PROPÓSITO
No dimensionamento de estruturas mecânicas, o fenômeno da torção é recorrente. Dessa
forma, o conhecimento das relações matemáticas é fundamental para o desenvolvimento
do aluno.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica
ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares
MÓDULO 2
Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção
MÓDULO 3
Calcular a transmissão de potência
MÓDULO 4
Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
INTRODUÇÃO
APRESENTAÇÃO DO EFEITO DE
TORÇÃO SOBRE EIXOS E SUAS
APLICAÇÕES
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE
MEDIDA
javascript:void(0)
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos
números e das unidades.
MÓDULO 1
 Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares
AS DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO PARA
SEÇÕES CIRCULARES OU TUBULARES
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da torção tomará duas premissas:
As estruturas são circulares (maciças ou tubulares).
O carregamento sobre a estrutura é tal que as deformações são elásticas, ou seja,
temporárias.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões
matemáticas aplicáveis.
TORQUE SOBRE EIXOS CIRCULARES
O torque é o momento que tende a fazer um elemento estrutural rotacionar em torno de
seu eixo longitudinal.
A figura 1 apresenta um eixo circular maciço em que um par de torques (de mesmo
módulo e sentidos opostos) atua em suas extremidades.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 195
 Figura 1 – Par de torques aplicado em eixo circular.
A atuação dos torques no eixo da figura 1 provoca o deslizamento entre as seções
vizinhas.
 DICA
Esse efeito, denominado de cisalhamento, está associado à deformação de cisalhamento
γ
.
Supondo uma malha desenhada sobre o eixo, com linhas longitudinais e circulares,
quando o par de torques atua sobre a estrutura, há uma deformação dessas linhas.
Linhas circulares
Mantêm a forma.

Linhas longitudinais
Apresentam-se na forma helicoidal (espiral).
Observe a figura 2:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 125
 Figura 2 – Deformação de um eixo sob torção.
A deformação por cisalhamento em cada seção reta do eixo varia linearmente ao longo
do raio, sendo seu valor máximo na periferia da seção. Matematicamente, a expressão da
deformação cisalhante a uma distância
ρ
do centro do círculo de raio c é dada pela equação 1.
\gamma=\frac{\rho}{c} \cdot \gamma_{m á x i m a}
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A equação 1 é válida para eixos circulares maciços ou tubulares. Para os tubos, a partir
da parede interna, ou seja, \rho\;\geq\;raio\;interno.
EXEMPLO
Seja um tubo maciço de seção circular e diâmetro 100mm. Suponha que esse eixo esteja
engastado e, na extremidade livre, atue um torque de intensidade 200kN.m. Considere
que, em consequência do torque, a deformação cisalhante máxima seja de 0,002rad. Em
uma seção reta do eixo, a um ponto situado a 20mm do centro, determine a deformação
cisalhante.
A deformação ao longo do raio tem variação linear, ou ainda, é proporcional à distância ao
centro, conforme a equação 1:
\gamma=\frac{\rho}{c} \cdot \gamma_{máxima}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro é de 100mm. Logo, o raio c vale 50mm. A distância \rho vale 20mm.
Substituindo na equação, tem-se:
\gamma=\frac{20}{50} \cdot 0,002=0,0008rad
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÃO DE CISALHAMENTO
ASSOCIADA AO TORQUE APLICADO
Um eixo circular, maciço ou tubular, está submetido a uma série de torques externos e em
equilíbrio estático.
Adotando a hipótese que as deformações sejam elásticas, a lei de Hooke para o
cisalhamento é válida, ou seja, a equação 2 pode ser aplicada:
\tau=G \cdot \gamma
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
\tau – Tensão cisalhante.
G – Módulo de elasticidade do material ao cisalhamento.
\gamma – Deformação cisalhante.
Por meio de manipulações algébricas entre as equações 1 e 2, é possível escrever a
equação 3, que mostra como a tensão cisalhante varia ao longo do raio, em uma dada
seção interna do eixo.
\tau=\frac{\rho}{c} . \tau_{máxima}
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
c – Raio da seção.
\rho – Distância do centro.
A partir da análise da equação 3, é possível inferir que a tensão cisalhante varia ao longo
do raio linearmente, sendo nula no centro da seção reta circular.
 DICA
A figura 3 mostra, esquematicamente, a atuação das tensões cisalhantes nas seções
retas de um eixo circular maciço e de um eixo tubular.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 - Distribuição da tensão cisalhante ao longo do raio.
Analisando a figura 3, é fato que:
Eixo circular
A tensão cisalhante no eixo circular maciço varia linearmente, desde zero (no centro) até
o valor máximo, na periferia.

Eixo tubular
A região “oca” apresenta tensão cisalhante nula e, a partir do raio interno (c_{int}), a
tensão varia linearmente até atingir seu valor máximo em c_{ext} (raio externo).
Assim, para o eixo tubular, as equações 2 e 3 são aplicáveis a partir do raio interno.
Também é possível observar na figura 3 a coincidência no sentido do torque (T) atuante
na seção e no sentido da representação das tensões cisalhantes.
 ATENÇÃO
Para a seção tubular de raio interno (c_{interno}) e raio externo (c_{externo}), a tensão
cisalhante atuante na seção de estudo varia segundo a função a seguir:
τ= 0, 0 ≤ ρ< cinternoρc.τmáxima, cinterno ≤ ρ≤ cexterno
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Considere um eixo circular maciço de raio 80mm, em equilíbrio sob a ação de torques
externos. Em uma dada seção de estudo, o torque atuante apresenta intensidade de
15kN.m. A tensão cisalhante máxima na seção é de 48MPa. Determine as tensões de
cisalhamento no centro da seção circular e em um ponto afastado 30mm do centro.
Admitindo que o regime plástico não tenha sido atingido, a tensão cisalhante varia, ao
longo do raio, segundo a equação 3, ou seja, \tau=\frac{\rho}{c} \cdot \tau_{m á x i m a}.
Assim, para \rho=0 e \rho=30 \mathrm{~mm}, tem-se que:
\tau=\frac{\rho}{c} \cdot \tau_{máxima} \rightarrow \tau=\frac{0}{80} \cdot 48=0
\tau=\frac{\rho}{c} \cdot \tau_{máxima} \rightarrow \tau=\frac{30}{80} \cdot 48=18 M P a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um eixo tubular é utilizado para transmitir potência de um motor para um sistema
mecânico. Considere que o eixo apresente raios interno e externo iguais a 50mm e
90mm. Na condição de potência igual a 60kW, em uma dada seção, a tensão cisalhante
máxima na seção é de 45MPa. Determine as tensões de cisalhamento:
a) No centro da seção tubular.
b) A 40mm do centro.
c) Na parede interna do tubo.
d) Na parede externa do tubo.
Inicialmente, será adotada a premissa que a transmissão de potência ocorra no regime
elástico. Dessa forma, a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, da seguinte maneira:
τ= 0, 0 ≤ ρ< cinternoρc.τmáxima,cinterno ≤ ρ≤ cexterno
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Logo, no centro (\rho=0) a tensão cisalhante é igual a zero.
b) Para \rho=40 \mathrm{~mm}(0 \leq \rho<50 \mathrm{~mm}), a tensão cisalhante é nula.
c) Na parede interna, \rho=50 \mathrm{~mm}(50 \mathrm{~mm} \leq \rho \leq 90
\mathrm{~mm}), a tensão cisalhante é \frac{\rho}{c} \cdot \tau_{máxima}=\frac{50}{90}
.45=25 M P a.
d) Na parede externa, a tensão cisalhante é a máxima, ou seja, 45 M P a.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. UM EIXO TUBULAR DE RAIOS 90 E 120MM ESTÁ SUBMETIDO À
TORÇÃO. EM UMA DADA SEÇÃO, O TORQUE ATUANTE É DE
20KN.M. CONSIDERE QUE O FENÔMENO OCORRA INTEIRAMENTE
NO REGIME ELÁSTICO. A RESPEITO DAS TENSÕES CISALHANTES
ATUANTES NA SEÇÃO, SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES: 
 
I – A RELAÇÃO Τ= ΡC.ΤMÁXIMA SEMPRE É VALIDA AO LONGO DO
RAIO; 
II – A RELAÇÃO Τ= ΡC.ΤMÁXIMA É VALIDA AO LONGO DO RAIO, NA
PAREDE DO TUBO; 
III – A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE SEGUE UMA RELAÇÃO
QUADRÁTICA, NA PAREDE DO TUBO. 
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa I e II.
D) Apenas a afirmativa I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
2. A FIGURA REPRESENTA A SEÇÃO CIRCULAR DE UM EIXO
MACIÇO DE DIÂMETRO 240MM, SOB A AÇÃO DE UM TORQUE. A
TENSÃO DE CISALHAMENTO ATUANTE A 40MM É DE 150MPA. A
TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA É IGUAL A: 
 
A) 50MPa
B) 150MPa
C) 200MPa
D) 300MPa
E) 450MPa
3. UM EIXO TUBULAR É PARTE DE UMA ESTRUTURA. O PRINCIPAL
EFEITO ATUANTE NO EIXO É A TORÇÃO. SUPONHA QUE O RAIO
EXTERNO SEJA IGUAL A 100MM E A PAREDE DO TUBO IGUAL A
60MM. SE A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ATUANTE EM
UMA DADA SEÇÃO É 80MPA, DETERMINE A TENSÃO ATUANTE A
20MM DO CENTRO.
A) 16MPa
B) 12MPa
C) 8MPa
D) 4MPa
E) 0MPa
4. CONSIDERE UMA ESTRUTURA NA FORMA TUBULAR SUJEITA À
TORÇÃO, TRABALHANDO EXCLUSIVAMENTE NO REGIME
ELÁSTICO. SUPONDO QUE A RELAÇÃO ENTRE A PAREDE DO TUBO
E SEU RAIO INTERNO VALHA 4, DETERMINE A RAZÃO ENTRE AS
DEFORMAÇÕES CISALHANTES NAS PAREDES EXTERNA E INTERNA
DO TUBO.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Faltam informações.
5. UM EIXO MACIÇO APRESENTA ALGUMAS INFORMAÇÕES,
DENTRE AS QUAIS UM GRÁFICO QUE RELACIONA A DEFORMAÇÃO
CISALHANTE, QUANDO AÇÃO DE UM TORQUE T, COM A DISTÂNCIA
AO CENTRO DO EIXO. A PARTIR DO GRÁFICO A SEGUIR, QUAL É A
DEFORMAÇÃO MÁXIMA EM UMA DADA SEÇÃO DE ESTUDO,
SABENDO QUE O DIÂMETRO DESSE EIXO É DE 120MM? 
 
A) 4·10-3rad
B) 6·10-3rad
C) 8·10-3rad
D) 9·10-3rad
E) 12·10-3rad
6. O GRÁFICO A SEGUIR MOSTRA A VARIAÇÃO DA TENSÃO
CISALHANTE NA SEÇÃO RETA DE UM TUBO CIRCULAR AO LONGO
DO RAIO, QUANDO SOB AÇÃO DE UM TORQUE T. SUPONDO QUE O
TUBO ESTEJA EM EQUILÍBRIO SOB TORÇÃO E NO REGIME
ELÁSTICO, DETERMINE A ESPESSURA DO TUBO EM ESTUDO. 
 
A) 10mm
B) 12mm
C) 15mm
D) 20mm
E) 30mm
GABARITO
1. Um eixo tubular de raios 90 e 120mm está submetido à torção. Em uma dada
seção, o torque atuante é de 20kN.m. Considere que o fenômeno ocorra
inteiramente no regime elástico. A respeito das tensões cisalhantes atuantes na
seção, são feitas as seguintes afirmações: 
 
I – A relação τ= ρc.τmáxima sempre é valida ao longo do raio;
II – A relação τ= ρc.τmáxima é valida ao longo do raio, na parede do tubo; 
III – A variação da tensão cisalhante segue uma relação quadrática, na parede do
tubo. 
A alternativa "B " está correta.
Considerando o regime elástico, a tensão cisalhante em um tubo devido à torção
apresenta variação linear a partir da parede interna. Na região “vazia”, a tensão cisalhante
é nula. Assim, as afirmativas I e III estão incorretas.
2. A figura representa a seção circular de um eixo maciço de diâmetro 240mm, sob
a ação de um torque. A tensão de cisalhamento atuante a 40mm é de 150MPa. A
tensão cisalhante máxima é igual a: 
 
A alternativa "E " está correta.
O diâmetro é de 240mm. Logo, o raio vale 120mm. A figura mostra uma variação linear da
tensão ao longo do raio. Assim, é possível utilizar a expressão da equação 3:
$$ \TAU=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{MÁXIMA}
\RIGHTARROW 150=\FRAC{40}{120} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA} \RIGHTARROW
\TAU_{MÁXIMA}=450 \MATHRM{MPA} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um eixo tubular é parte de uma estrutura. O principal efeito atuante no eixo é a
torção. Suponha que o raio externo seja igual a 100mm e a parede do tubo igual a
60mm. Se a tensão de cisalhamento máxima atuante em uma dada seção é 80MPa,
determine a tensão atuante a 20mm do centro.
A alternativa "E " está correta.
Para um tubo sujeito à torção, a relação τ= ρc.τmáxima é válida na parede do tubo, ou
seja, para distâncias ⍴ ≥cinterno. Para distância menores que o raio interno, a tensão
cisalhante é nula. Sendo o raio externo igual a 100mm e a parede do tubo de 60mm, o
raio interno vale 40mm. Logo, a tensão cisalhante a 20 mm do centro será igual a 0.
4. Considere uma estrutura na forma tubular sujeita à torção, trabalhando
exclusivamente no regime elástico. Supondo que a relação entre a parede do tubo e
seu raio interno valha 4, determine a razão entre as deformações cisalhantes nas
paredes externa e interna do tubo.
A alternativa "D " está correta.
A deformação cisalhante (no regime elástico), ao longo do raio de uma seção tubular, tem
variação linear quando sob ação de um torque, conforme a equação 1.
$$ \GAMMA=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \GAMMA_{M Á
X I M A} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando-se que essa relação é válida para toda a parede do tubo.
O problema apresenta que:
$$ \FRAC{T}{C_{I N T}}=4 \RIGHTARROW \TAU=4 .
C_{I N T} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, cext – cint = t. Denominando cint de x e t = 4x, cext = 5x.
Substituindo na equação 1 e, lembrando-se de que a deformação máxima ocorre na
parede externa, tem-se que:
$$ \GAMMA=\FRAC{X}{5 X} \CDOT
\GAMMA_{MÁXIMA} \RIGHTARROW
\FRAC{\GAMMA_{MÁXIMA}}
{\GAMMA}=\FRAC{\GAMMA_{\TEXT {PAREDE
EXTERNA }}}{\GAMMA_{\TEXT {PAREDE INTERNA
}}}=5 $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Um eixo maciço apresenta algumas informações, dentre as quais um gráfico que
relaciona a deformação cisalhante, quando ação de um torque T, com a distância ao
centro do eixo. A partir do gráfico a seguir, qual é a deformação máxima em uma
dada seção de estudo, sabendo que o diâmetro desse eixo é de 120mm? 
 
A alternativa "E " está correta.
O diâmetro apresentado é de 120mm. Logo, o raio c vale 60mm. O gráfico mostra que
$$\gamma$$ e $$\rho$$ são grandezas diretamente proporcionais. A partir da equação 1,
pode-se escrever que:
$$ \GAMMA=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT
\GAMMA_{MÁXIMA} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No gráfico, a uma distância $$\rho$$ = 20mm a deformação cisalhante $$\gamma$$ vale
4·10-3rad. Substituindo os valores na expressão anterior:
$$ \GAMMA=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT
\GAMMA_{MÁXIMA} \RIGHTARROW
4.10^{-3}=\FRAC{20}{60} \CDOT \GAMMA_{MÁXIMA}
\RIGHTARROW \GAMMA_{MÁXIMA}=12 \CDOT
10^{-3} \MATHRM{RAD} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão cisalhante na seção reta de um
tubo circular ao longo do raio, quando sob ação de um torque T. Supondo que o
tubo esteja em equilíbrio sob torção e no regime elástico, determine a espessura do
tubo em estudo. 
 
A alternativa "C " está correta.
CÁLCULO DA ESPESSURA DE UM TUBO SOB
TORÇÃO
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de engenharia, um projeto prevê que um eixo tubular será utilizado
como elemento estrutural submetido à torção de um torque T. Um estagiário ficou
designado a determinar uma função matemática para estabelecer a tensão de
cisalhamento atuante na parede do tubo, ao longo de OA, considerando o eixo x
mostrado no croqui da seção reta do tubo. Os valores de projeto sãoa tensão máxima
atuante \left(\tau_{máxima }\right), os raios interno (r) e externo (R).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE UMA FUNÇÃO QUE
DETERMINA A TENSÃO CISALHANTE AO
LONGO DA PAREDE DE UM TUBO SOB
TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UM EIXO MACIÇO, CUJA SEÇÃO RETA É REPRESENTADA
NA FIGURA. CONSIDERE QUE O REGIME É ELÁSTICO E QUE O EIXO
SE ENCONTRA SOB TORÇÃO. A VARIAÇÃO DA TENSÃO AO LONGO
DO RAIO É CRESCENTE LINEAR. SUPONDO DOIS PONTOS DA
SEÇÃO, AFASTADOS DO CENTRO DO CÍRCULO, 40MM E 70MM. A
RAZÃO ENTRE AS TENSÕES CISALHANTES ATUANTES NOS
PONTOS É: 
 
A) $$ \frac{4}{7} $$
B) $$ \frac{16}{49} $$
C) $$ 1 $$
D) $$ \frac{1}{7} $$
E) $$ \frac{1}{4} $$
2. CONSIDERE UM TUBO EM EQUILÍBRIO, NO REGIME ELÁSTICO,
SUBMETIDO A UM CONJUNTO DE TORQUES. UMA DADA SEÇÃO É
ESTUDADA. O TORQUE INTERNO ATUANTE TEM MÓDULO
TINTERNO. CONSIDERANDO QUE AS TENSÕES MÁXIMA E MÍNIMA
VALEM 60MPA E 20MPA, DETERMINE A RAZÃO ENTRE O RAIO
INTERNO E A ESPESSURA DA PAREDE.
A) $$ \frac{1}{3} $$
B) $$ \frac{1}{4} $$
C) $$ 1 $$
D) $$ \frac{1}{2} $$
E) $$ \frac{1}{9} $$
GABARITO
1. Seja um eixo maciço, cuja seção reta é representada na figura. Considere que o
regime é elástico e que o eixo se encontra sob torção. A variação da tensão ao
longo do raio é crescente linear. Supondo dois pontos da seção, afastados do
centro do círculo, 40mm e 70mm. A razão entre as tensões cisalhantes atuantes nos
pontos é: 
 
A alternativa "A " está correta.
 
A figura mostra que a variação da tensão cisalhante ao longo do raio é linear. A partir da
equação 3:
$$ \TAU=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{MÁXIMA}
\RIGHTARROW \TAU=\FRAC{40}{C} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA} $$
$$ \TAU=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{MÁXIMA}
\RIGHTARROW T^{\PRIME}=\FRAC{70}{C} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo as duas equações anteriores:
$$ \FRAC{\TAU}{\TAU^{\PRIME}}=\FRAC{\FRAC{40}
{C} \CDOT \TAU_{MÁXIMA}}{\FRAC{70}{C} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA}}=\FRAC{4}{7} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere um tubo em equilíbrio, no regime elástico, submetido a um conjunto
de torques. Uma dada seção é estudada. O torque interno atuante tem módulo
Tinterno. Considerando que as tensões máxima e mínima valem 60MPa e 20MPa,
determine a razão entre o raio interno e a espessura da parede.
A alternativa "D " está correta.
 
Sejam r e R os raios interno e externo do tubo e t a espessura da parede (t = R – r).
Considerando a equação 3, pode-se escrever que:
$$ \TAU=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{M Á X I M A}
$$
$$ \TAU_{MÍNIMA}=\FRAC{R}{R} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA} \RIGHTARROW
\FRAC{\TAU_{MÍNIMA}}{\TAU_{MÁXIMA}}=\FRAC{R}
{R} $$
$$ \FRAC{20}{60}=\FRAC{R}{R} \RIGHTARROW
\FRAC{R}{R}=\FRAC{1}{3} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível escrever que r = x e R = 3x. Assim, a espessura t será 3x – x = 2x. Portanto, a
razão pedida é $$\frac{1}{2}$$.
MÓDULO 2
 Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção
O DIMENSIONAMENTO DE BARRAS
SUJEITAS À TORÇÃO
INTRODUÇÃO
Uma das vertentes do engenheiro é o dimensionamento de projetos. Neste módulo, será
apresentado o dimensionamento de pequenas estruturas sujeitas à torção. Em particular,
será considerado o regime elástico e as seções circulares maciças ou tubulares.
TENSÃO MÁXIMA EM EIXOS
CIRCULARES NO REGIME ELÁSTICO
Considere um eixo maciço de raio c submetido a um carregamento externo de torques, tal
que se encontre em equilíbrio no regime elástico. Seccionando-se o eixo, uma área A
circular fica “exposta” e nela atua um torque de intensidade T, conforme a figura 4:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 125
 Figura 4 – Deformação de um eixo sob torção.
Na seção reta da figura 4, é possível identificar um pequeno elemento de área d A na qual
atua a tensão cisalhamento \tau. A partir da definição de tensão cisalhante média, é
possível escrever a equação 4:
\tau_{m}=\frac{F}{A}
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Adequando a equação 4 para a situação da figura 4, tem-se que:
\TAU_{M}=\FRAC{F}{A} \RIGHTARROW F=\TAU_{M
\CDOT} A \RIGHTARROW D F=\TAU . D A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A força infinitesimal d F provoca um torque d T, dado pela multiplicação \rho \cdot d F.
Assim, dT=\rho \cdot d F. Mas, d F=\tau \cdot dA. Manipulando-se algebricamente as
relações matemáticas anteriores, tem-se a equação 5:
D T=\RHO \CDOT \TAU \CDOT D A
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas a equação 3 afirma que: \tau=\frac{\rho}{c} \cdot \tau_{máxima}. Substituindo a
expressão de \tau na equação 5, temos que d T=\rho \cdot \frac{\rho}{c} \cdot
\tau_{máxima}, ou seja, o torque infinitesimal provocado por d F associada à tensão na
área infinitesimal d A. Considerando toda seção reta, deve-se integrar:
D T=\RHO \CDOT \FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{M Á
X I M A} \CDOT D A
\INT D T=\INT \RHO \CDOT \FRAC{\RHO}{C} \CDOT
\TAU_{M Á X I M A} \CDOT D A
T=\INT \FRAC{\RHO^{2}}{C} \CDOT \TAU_{M Á X I M
A} \CDOT D A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Como a tensão cisalhante e o raio c da seção são valores constantes para uma dada
situação, podem ser retirados do integrando.
Além disso, o momento polar de inércia da região circular, em relação ao centro (polo), é
definido por J_{0}=\int \rho^{2} \cdot d A. Assim, tem-se a equação 6:
T=\FRAC{\TAU_{MÁXIMA}}{C} \INT \RHO^{2} D A
T=\FRAC{\TAU_{MÁXIMA}}{C} \CDOT J_{0}
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}}
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 6, é possível determinar a tensão cisalhante máxima em uma dada
seção circular de raio c submetida a um torque T. Observe que J_{0} e \tau_{máxima} são
inversamente proporcionais.
 ATENÇÃO
A partir das equações 3 \left(\tau=\frac{\rho}{c} . \tau_{máxima}\right) e 6, é possível
escrever a equação 7, que determina a tensão cisalhante em qualquer ponto da seção
circular.
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}}
\RIGHTARROW \FRAC{\TAU \CDOT C}
{\RHO}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}} \RIGHTARROW
\TAU=\FRAC{T \CDOT \RHO}{J_{0}}
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
A peça de uma estrutura é um eixo maciço de seção circular. Supondo que, na seção de
estudo, o torque aplicado tenha intensidade 900kN.mm, determine a tensão de
cisalhamento máxima atuante nessa seção, considerando o raio c = 80mm.
Inicialmente as unidades serão apresentadas no S.I:
1 \mathrm{~mm}^{4}=\left(10^{-3}\right)^{4} \mathrm{~m}^{4} \rightarrow 1
\mathrm{~mm}^{4}=10^{-12} \mathrm{~m}^{4}
1\;kN.mm\;=\;10^3\;N.\;10^{-3}\;m\;=\;1N.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
J_{0}=\frac{\pi \cdot R^{4}}{2}=6,43.10^{7} \mathrm{~mm}^{4}=6,43.10^{7} \cdot
10^{-12} \mathrm{~m}^{4}=6,43 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4}
900kN.mm\;=\;900N.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando a equação 6, tem-se:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}}
\RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{900
\CDOT(0,08)}{6,43 \CDOT 10^{-5}}=1,12 M P A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
CIRCULARES SOB TORÇÃO
Considerando um eixo maciço ou tubular em regime elástico e equilíbrio, é possível
escrever expressões matemáticas para a determinação da tensão máxima como função
exclusiva do torque atuante na seção e dos parâmetros geométricos (raios interno e
externo).
 EXEMPLO
É possível dimensionar seções circulares a partir do conhecimento do torque atuante e do
material utilizado (tensão cisalhante admissível).
Para seções tubulares, também há necessidade de algum parâmetro geométrico. Dado o
raio interno, determina-seo raio externo e vice-versa.
Inicialmente, serão escritas as relações que determinam o momento polar de inércia de
seções circulares e tubulares. O círculo será caracterizado apenas pelo seu raio (c)
enquanto o tubo, pelos seus raios externo (c_{ext}) e interno (c_{int}). Observe as
expressões a seguir:
Momento de inércia da seção circular
J_{0}=\FRAC{\PI \CDOT C^{4}}{2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Momento de inércia da seção tubular
J_{0}=\FRAC{\PI \CDOT\LEFT(C_{E X T}^{4}-C_{I N
T}^{4}\RIGHT)}{2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a seção circular, utilizando a equação 6, demonstra-se a equação 8:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}}
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{T \CDOT C}{\FRAC{\PI
\CDOT C^{4}}{2}}
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T \CDOT C}{\PI \CDOT
C^{4}}
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já para a seção tubular, tem-se a equação 9:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{T \CDOT C}{J_{0}}
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{T \CDOT C_{E X T}}
{\FRAC{\PI \CDOT\LEFT(C_{E X T}^{4}-C_{I N
T}^{4}\RIGHT)}{2}}
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T \CDOT C_{E X T}}{\PI
\CDOT\LEFT(C_{E X T}^{4}-C_{I N T}^{4}\RIGHT)}
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as equações 8 e 9 auxiliarão no dimensionamento de eixos circulares/tubulares.
EXEMPLO
Considere um eixo circular maciço engastado em uma das extremidades e, na
extremidade livre um torque, no sentido horário. Supondo que o material que constitui o
eixo tenha tensão cisalhante admissível de 120MPa e a intensidade do torque seja de
3kN.m, determine o diâmetro mínimo, em mm, a ser utilizado no eixo.
Inicialmente, será feita uma adequação das unidades: 120MPa = 120·106 Pa e 3kN.m =
3.000N.m. A partir da equação 8, tem-se que:
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
120.10^{6}=\FRAC{2 .(3000)}{\PI \CDOT C^{3}}
\RIGHTARROW C^{3}=\FRAC{6000}{\PI .120 .10^{6}}
\RIGHTARROW C=\SQRT[3]{\FRAC{6000}{\PI \CDOT
120.10^{6}}}=0,02516 M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o diâmetro será dado por 2 · (0,02516) = 0,05032 m = 50,32mm
EXEMPLO
Em determinado projeto, um eixo apresenta uma série de engrenagens com torques
aplicados. Suponha que o regime elástico seja mantido, que a seção reta apresente raio
constante de 20mm e o eixo se encontre em equilíbrio. Um engenheiro precisa saber qual
é a tensão de cisalhamento máxima que ocorre no eixo. A figura a seguir representa o
eixo em estudo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A partir da análise da figura, o eixo encontra-se em equilíbrio. Fazendo-se cortes no eixo,
a partir da extremidade esquerda, tem-se:
1O CORTE
2O CORTE
3O CORTE
4O CORTE
1O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que Ta = 300N.m
2O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que Tb + 300 = 400. Logo, Tb = 100N.m
3O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que 300 + 200 = 400 + Tc. Logo, Tc = 100N.m
4O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que 300 + 200 + Td = 400 + 500. Logo, Td = 400N.m
A partir da equação 8, tem-se que:
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c é constante, o maior valor de T implicará em maior tensão cisalhante. Da análise
anterior, o maior valor de T é 400N.m. Substituindo os valores, tem-se:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 \CDOT(400)}{\PI
\CDOT(0,02)^{3}}=31,8 M P A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SEJA O EIXO DE TRANSMISSÃO DE UM MOTOR CIRCULAR
MACIÇO DE 50MM DE RAIO. SUPONDO QUE EM DADA SEÇÃO O
TORQUE TENHA INTENSIDADE DE 20KN.M, DETERMINE O A
TENSÃO MÁXIMA CISALHANTE.
A) 80MPa
B) 90MPa
C) 102MPa
D) 110MPa
E) 120MPa
2. UM EIXO TUBULAR APRESENTA RAIO EXTERNO IGUAL A 80MM E
PAREDE DE 50MM. EM DADA SEÇÃO, O TORQUE INTERNO
APRESENTA MÓDULO DE 2000KN.MM. DETERMINE A TENSÃO DE
CISALHAMENTO ATUANTE A 10MM DO CENTRO.
A) 0
B) 0,157MPa
C) 0,528MPa
D) 0,872MPa
E) 1,256MPa
3. UM ESTAGIÁRIO DESEJA FAZER O DIMENSIONAMENTO DE UM
PEQUENO EIXO MACIÇO QUE UTILIZARÁ EM UM SISTEMA
MECÂNICO. INICIALMENTE, ELE SELECIONA UM AÇO, CUJA
TENSÃO CISALHANTE ADMISSÍVEL É DE 90MPA. O TORQUE
MÁXIMO NAS SEÇÕES INTERNAS A QUE O EIXO FICARÁ
SUBMETIDO É DE 0,4KN.M. DETERMINE O DIÂMETRO MÍNIMO DO
EIXO.
A) 18,7mm
B) 21,8mm
C) 25,4mm
D) 28,3mm
E) 30,4mm
4. UMA ESTRUTURA É CONSTRUÍDA COM ELEMENTOS METÁLICOS
MACIÇOS E CIRCULARES. UMA DESSAS PEÇAS ESTÁ SUBMETIDA
À TORÇÃO, RESPEITADO O REGIME ELÁSTICO DO MATERIAL. O
ENGENHEIRO QUER FAZER UMA MODELAGEM DO SISTEMA E,
PARA ISSO, PRECISA ESCREVER UMA FUNÇÃO QUE DETERMINE A
TENSÃO DE CISALHAMENTO $$(\TAU)$$ EM UMA DADA SEÇÃO, A
PARTIR APENAS DA DISTÂNCIA $$(\RHO)$$ DO CENTRO.
CONSIDERE QUE, NA SEÇÃO DE ESTUDO, O TORQUE APLICADO
SEJA DE 900N.M E RAIO 50MM. DETERMINE A FUNÇÃO
$$\TAU(\RHO)$$, SENDO $$\RHO$$ APRESENTADO EM M E $$\TAU$$
EM MPA. UTILIZE $$\PI=3$$.
A) $$ \tau(\rho)=48 . \rho $$
B) $$ \tau(\rho)=96 \cdot \rho $$
C) $$ \tau(\rho)=48 . \rho^{2} $$
D) $$ \tau(\rho)=96 \cdot \rho^{2} $$
E) $$ \tau(\rho)=96 \cdot \rho^{3} $$
5. CONSIDERE QUE UM EIXO TUBULAR DE DIÂMETRO EXTERNO
IGUAL A 150MM E RAIO INTERNO 10MM ESTEJA SENDO UTILIZADO
PARA TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM MOTOR PARA UM
SISTEMA MECÂNICO DE PÁS. UMA SEÇÃO DO EIXO É ESCOLHIDA
PARA ESTUDO. CONSIDERE QUE O TORQUE INTERNO APRESENTA
MÓDULO DE 5 KN.M. DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO NA
PAREDE INTERNA DO TUBO, NESSA SEÇÃO.
A) 1,00MPa
B) 1,57MPa
C) 1,92MPa
D) 6,25MPa
E) 7,55MPa
6. (ANO: 2015 BANCA: CESGRANRIO ÓRGÃO: PETROBRAS PROVA:
CESGRANRIO ‒ 2015 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO DE MANUTENÇÃO
JÚNIOR ‒ MECÂNICA) NA TORÇÃO DE UM EIXO DE SEÇÃO
TRANSVERSAL CIRCULAR, A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA VALE
$$\TAU$$. SE O DIÂMETRO DESSE EIXO É DUPLICADO, O VALOR
DESSA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA É:
A) Multiplicado por dois.
B) Multiplicado por quatro.
C) Multiplicado por oito.
D) Dividido por quatro.
E) Dividido por oito.
GABARITO
1. Seja o eixo de transmissão de um motor circular maciço de 50mm de raio.
Supondo que em dada seção o torque tenha intensidade de 20kN.m, determine o a
tensão máxima cisalhante.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, as unidades apresentadas serão adequadas ao Sistema Internacional.
Dessa forma, o raio de 50mm será 0,05m e o torque de 20kN.m será 20.000N.m.
Substituindo os valores na equação 8, tem-se que:
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT
C^{3}}=\FRAC{2 \CDOT(20.000)}{\PI
\CDOT(0,05)^{3}}=102 M P A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um eixo tubular apresenta raio externo igual a 80mm e parede de 50mm. Em dada
seção, o torque interno apresenta módulo de 2000kN.mm. Determine a tensão de
cisalhamento atuante a 10mm do centro.
A alternativa "A " está correta.
Ajuste das unidades ao S.I.
Torque: 2.000N.m
Raio externo: 0,08m
Raio interno: 0,03m
A partir da equação 9:
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 \CDOT(2000)
\CDOT(0,08)}{\PI
\CDOT\LEFT(0,08^{4}-0,03^{4}\RIGHT)}=2,54 M P A
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na parede do tubo, a variação da tensão cisalhante é linear. Como a distância do centro
(10mm) está na região “vazia” do tubo, a tensão cisalhante é nula.
3. Um estagiário deseja fazer o dimensionamento de um pequeno eixo maciço que
utilizará em um sistema mecânico. Inicialmente, ele seleciona um aço, cuja tensão
cisalhante admissível é de 90MPa. O torque máximo nas seções internas a que o
eixo ficará submetido é de 0,4kN.m. Determine o diâmetro mínimo do eixo.
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque:400N.m;
τmáxima=90·106 Pa
O raio pode ser determinado a partir da equação 8:
$$ \TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
$$
$$ 90.10^{6}=\FRAC{2.400}{\PI \CDOT C^{3}}
\RIGHTARROW C=14,15 M M $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, o diâmetro mínimo será 2.(14,15) = 28,3mm.
4. Uma estrutura é construída com elementos metálicos maciços e circulares. Uma
dessas peças está submetida à torção, respeitado o regime elástico do material. O
engenheiro quer fazer uma modelagem do sistema e, para isso, precisa escrever
uma função que determine a tensão de cisalhamento $$(\tau)$$ em uma dada
seção, a partir apenas da distância $$(\rho)$$ do centro. Considere que, na seção
de estudo, o torque aplicado seja de 900N.m e raio 50mm. Determine a função
$$\tau(\rho)$$, sendo $$\rho$$ apresentado em m e $$\tau$$ em MPa. Utilize
$$\pi=3$$.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, será determinada a tensão de cisalhamento máxima atuante na seção, a
partir da equação 8:
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
\RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2
\CDOT(900)}{3 \CDOT(0,05)^{3}}=4,8 M P A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 3, tem-se:
$$ \TAU=\FRAC{\RHO}{C} \CDOT \TAU_{MÁXIMA}
\RIGHTARROW \TAU=\FRAC{\RHO}{0,05} \CDOT
4,8=96 \CDOT \RHO $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere que um eixo tubular de diâmetro externo igual a 150mm e raio interno
10mm esteja sendo utilizado para transmissão de potência de um motor para um
sistema mecânico de pás. Uma seção do eixo é escolhida para estudo. Considere
que o torque interno apresenta módulo de 5 kN.m. Determine a tensão de
cisalhamento na parede interna do tubo, nessa seção.
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO CISALHANTE NA
PAREDE INTERNA DE UM TUBO
6. (Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO ‒ 2015 ‒
Petrobras ‒ Técnico de Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Na torção de um eixo de
seção transversal circular, a tensão cisalhante máxima vale $$\tau$$. Se o diâmetro
desse eixo é duplicado, o valor dessa tensão cisalhante máxima é:
A alternativa "E " está correta.
Escrevendo a tensão de cisalhamento em função do diâmetro, tem-se:
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI
\CDOT\LEFT(\FRAC{D}{2}\RIGHT)^{3}}
\RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{16 T}{\PI
\CDOT D^{3}} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, se o diâmetro for multiplicado por 2, a tensão máxima ficará:
$$ \BEGIN{ALIGNED}
&\TAU_{MÁXIMA}^{\PRIME}=\FRAC{16 T}{\PI
\CDOT(2 D)^{3}}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT D^{3}}\\
&\TEXT { (OITO VEZES MENOR) } \END{ALIGNED}
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em um pequeno projeto de sistema mecânico, um engenheiro deverá dimensionar um
eixo para compor a estrutura. O eixo deverá ser tubular de um aço cuja tensão admissível
é 60MPa e resistir, sob torção, a um torque de 800N.m. A razão entre os raios externo e
interno deve ser igual a 1,10. Ele deve determinar as características geométricas do eixo,
ou seja, seus raios e sua parede. A figura a seguir mostra o tubo sob ação de um par de
torques.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS
GEOMÉTRICOS DE UM TUBO SOB TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE QUE O EIXO TUBULAR DE DIÂMETRO EXTERNO
IGUAL A 200MM E PAREDE DE 80MM ESTEJA SENDO UTILIZADO
PARA TRANSMISSÃO DE 20KW DE POTÊNCIA DE UM MOTOR. EM
DADA SEÇÃO, O TORQUE INTERNO APRESENTA MÓDULO DE
400N.M. DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA.
A) 0,112MPa
B) 0,157MPa
C) 0,180MPa
D) 0,255MPa
E) 0,347MPa
2. (ANO: 2014 BANCA: CESGRANRIO ÓRGÃO: LIQUIGÁS PROVA:
CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ LIQUIGÁS ‒ ENGENHEIRO JÚNIOR ‒
MECÂNICA) AO SE APLICAR UM TORQUE A UM EIXO DE SEÇÃO
CIRCULAR MACIÇA, O VALOR DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
QUE ATUA NOS PONTOS DA SUPERFÍCIE DO EIXO:
A) Independe do diâmetro do eixo.
B) Aumenta se o comprimento do eixo aumentar.
C) Diminui se o diâmetro do eixo aumentar.
D) Diminui se o diâmetro do eixo diminuir.
E) Diminui se o comprimento do eixo diminuir.
GABARITO
1. Considere que o eixo tubular de diâmetro externo igual a 200mm e parede de
80mm esteja sendo utilizado para transmissão de 20kW de potência de um motor.
Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de 400N.m. Determine a tensão
de cisalhamento máxima.
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m
Potência: 20.000W
Diâmetro externo: 0,2m. Logo, raio externo 0,1m
Parede: 0,08m. Assim, raio interno igual a 0,1 – 0,08 = 0,02m
A tensão cisalhante máxima pode ser determinada a partir da equação 9.
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 \CDOT(400)
\CDOT(0,1)}{\PI
\CDOT\LEFT(0,1^{4}-0,02^{4}\RIGHT)}=0,255 M P A
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: CESGRANRIO ‒ 2014
‒ LIQUIGÁS ‒ Engenheiro Júnior ‒ Mecânica) Ao se aplicar um torque a um eixo de
seção circular maciça, o valor da tensão cisalhante máxima que atua nos pontos da
superfície do eixo:
A alternativa "C " está correta.
 
A tensão cisalhante na seção reta de um eixo circular maciço é dada pela expressão
$$\tau_{máxima}=\frac{2 T}{\pi . c^{3}}$$. Escrevendo em função do diâmetro, tem-se:
$$ \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI
\CDOT\LEFT(\FRAC{D}{2}\RIGHT)^{3}}
\RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{16 T}{\PI
\CDOT D^{3}} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para T constante, a tensão cisalhante máxima aumenta com a diminuição do
diâmetro e vice-versa.
MÓDULO 3
 Calcular a transmissão de potência
A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
INTRODUÇÃO
Os elementos circulares metálicos podem ser utilizados com a função estrutural e, sob a
ação de torção, em suas seções internas ocorre o fenômeno do cisalhamento. Outra
possibilidade é a utilização dos eixos circulares (maciços ou tubulares) para a transmissão
da potência de um motor para um sistema mecânico.
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Considere um motor elétrico e um sistema mecânico, por exemplo, e um conjunto de pás
que devem girar em determinada frequência. A “união” desses dois elementos pode ser
feita por meio de um eixo circular, seja ele maciço ou tubular. Assim, será feita a
transmissão do movimento de rotação do motor às pás ou, de outra forma, será
transmitida a potência do motor ao conjunto mecânico.
A figura 5 mostra o acoplamento de um motor M a um sistema mecânico por meio de um
eixo AB, uma polia e sua correia.
 
Imagem: Imagem: Hibbeler, 2010, p. 133
 Figura 5 – Transmissão de potência.
Qualitativamente, na transmissão de potência por meio de eixos, estes ficam submetidos
a torques que dependem de dois parâmetros:
A POTÊNCIA DO MOTOR
A VELOCIDADE ANGULAR
 COMENTÁRIO
A seguir, demonstraremos a relação entre as grandezas potência, torque e velocidade
angular.
Considere um caso particular em que um sistema tenha velocidade v (módulo) e uma
força F (módulo) atuante, tal que as grandezas vetoriais envolvidas apresentam mesma
direção e mesmo sentido. A potência (Pot), em dado instante, é dada por:
P O T =F . V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Contudo, a velocidade linear v pode ser apresentada pelo produto da velocidade angular
(\omega) pelo raio R da trajetória circular. Substituindo na equação anterior, tem-se que:
P O T = F \CDOT W \CDOT R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, F \cdot R=T. Logo, a potência transmitida (Pot) será apresentada na equação a
seguir.
P O T =T \CDOT W
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, no Sistema Internacional (S.I.):
P o t – Expressa em watt (W)
T – Expresso em N.mw - Expresso em rad/s
 ATENÇÃO
A velocidade angular (w) pode ser expressa em função da frequência (número de voltas
por unidade do tempo), ou seja, \omega=2 \pi f. Assim, a equação 10 pode ser
apresentada como a equação 11.
P O T=2 \CDOT \PI \CDOT F \CDOT T
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A unidade para a frequência no S.I. é rotações por segundo (rps) ou Hertz (Hz). É usual a
sua apresentação em rotações por minuto (rpm). A conversão de rpm em Hz, e vice-
versa, é mostrada no esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
EXEMPLO
Um eixo circular está sendo utilizado para transmitir potência de um motor M para um
sistema mecânico. Considere que a potência do motor seja de 4kW e a frequência do
motor, de 180rpm. Determine:
a) A velocidade angular do eixo.
b) O torque aplicado ao eixo.
Inicialmente, as unidades serão ajustadas para o S.I. P o t=4.000 W e f\;=\;3Hz\;
(180\div60)
Velocidade angular w =2πf→ w =2π·3=18,84 rad/s
Pot=T·w →4.000=T·18,84→T=212,3N.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
O dimensionamento de eixos utilizados para transmissão de potência avalia alguns
parâmetros, como potência, torque, material utilizado etc. E, utilizando as equações
adequadas, é possível chegar a parâmetros geométricos dos eixos.
 EXEMPLO
O diâmetro mínimo em um eixo circular ou a espessura mínima da parede de um eixo
tubular.
Suponha uma situação em que um eixo circular maciço deva ter seu diâmetro
dimensionado. A potência a ser transmitida e a frequência de rotação são apresentadas.
Assim, esquematicamente, tem-se:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Ademais, escolhe-se o material a ser utilizado na fabricação do eixo circular maciço, ou
seja, o valor de tensão cisalhante admissível é conhecido, pois é tabelado (valor máximo).
Portanto, a partir do conhecimento da intensidade (T) do torque chega-se ao raio mínimo,
ou ao diâmetro mínimo (D = 2.c). Veja o esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 ATENÇÃO
O esquema apresentado foi para um eixo maciço. Para a situação de um eixo tubular,
algum parâmetro geométrico deve ser conhecido. Ou, então, a saída será uma relação
matemática entre os raios interno e externo que flexibiliza uma série de escolhas que
satisfazem à relação.
Agora, será vista a expressão que processa os dados do último esquema. Considere as
equações 8, 9 e 11:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI . C^{3}}
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
\TAU_{M Á X I M A}=\FRAC{2 T \CDOT C_{E X T}}{\PI
\CDOT\LEFT(C_{E X T}^{4}-C_{I N T}^{4}\RIGHT)}
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
P O T=2 \CDOT \PI \CDOT F \CDOT T
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o eixo circular maciço, será feita a manipulação algébrica entre as equações 8 e 11.
Assim:
P O T =2 \CDOT \PI \CDOT F \CDOT T \RIGHTARROW
\TAU=\FRAC{ POT }{2 \CDOT \PI \CDOT F}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 8:
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 T}{\PI \CDOT C^{3}}
\RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{2 \CDOT
\FRAC{ POT }{2 \CDOT \PI \CDOT F}}{\PI \CDOT
C^{3}} \RIGHTARROW \TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{ POT
}{\PI^{2} \CDOT F \CDOT C^{3}}
\TAU_{MÁXIMA}=\FRAC{ POT }{\PI^{2} \CDOT F
\CDOT C^{3}} \RIGHTARROW C=\SQRT[3]{\FRAC{
POT }{\PI^{2} \CDOT F \CDOT \TAU_{MÁXIMA}}}
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o eixo circular tubular, será feita a manipulação algébrica entre as equações 9 e 11.
Assim:
\TEXT { POT }=2 \CDOT \PI \CDOT F \CDOT T
\RIGHTARROW \TAU=\FRAC{ POT }{2 \CDOT \PI
\CDOT F}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 9:
\tau_{máxima}=\frac{2 T \cdot c_{e x t}}{\pi \cdot\left(c_{e x t}^{4}-c_{i n t}^{4}\right)}
\rightarrow \tau_{máxima}=\frac{2 \cdot \frac{ Pot }{2 \cdot \pi \cdot f} \cdot c_{e x t}}{\pi
\cdot\left(c_{\text {ext }}^{4}-c_{\text {int }}^{4}\right)} \rightarrow \tau_{máxima}=\frac{\text {
Pot } \cdot c_{\text {ext }}}{\pi^{2} \cdot f \cdot\left(c_{\text {ext }}^{4}-c_{\text {int
}}^{4}\right)}
\tau_{máxima}=\frac{\text { Pot. } c_{e x t}}{\pi^{2} \cdot f \cdot\left(c_{e x t}^{4}-c_{i n
t}^{4}\right)}
\frac{\left(c_{e x t}^{4}-c_{i n t}^{4}\right)}{c_{e x t}}=\frac{P o t}{\pi^{2} \cdot f \cdot \tau_{m
á x i m a}}
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Reafirmando o que já foi descrito, para o eixo tubular, uma relação matemática (equação
13) entre os raios interno e externo será apresentada.
Conhecendo um parâmetro geométrico do tubo (raio interno, por exemplo), o raio externo
pode ser calculado. Ou, no dimensionamento do eixo, pode-se arbitrar um valor para c
interno e determinar o c externo. Da última maneira, há um rol de possibilidades.
EXEMPLO
Um eixo maciço é utilizado para transmitir 4,5kW de potência a um conjunto de pás que
devem girar à frequência de 120rpm. O material a ser utilizado apresenta tensão
cisalhante admissível de 90MPa. Determine o raio mínimo a ser utilizado para o eixo,
considerando o regime elástico.
Adequação das unidades: Potência igual a 4.500W, frequência igual a 2Hz e tensão
admissível 90.106 Pa. A partir da equação 12, temos que:
C=\SQRT[3]{\FRAC{ POT }{\PI^{2} \CDOT F \CDOT
\TAU_{MÁXIMA}}} \RIGHTARROW C=\SQRT[3]
{\FRAC{4500}{\PI^{2} \CDOT 2.90 \CDOT
10^{6}}}=0,0136 M=13,6 \MATHRM{~MM}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um projeto acoplará um sistema mecânico a um motor por meio de um eixo tubular. A
potência transmitida é de 150kW e o material utilizado tem tensão cisalhante admissível
de 30MPa. O eixo deverá girar a uma frequência de 25Hz e seu diâmetro externo será
igual a 60mm. Determine a parede mínima para esse tubo.
Homogeneização das unidades: potência igual a 150.103W, tensão admissível 30.106Pa e
raio externo igual a 0,03m. A partir da equação 13, temos que:
\FRAC{\LEFT(C_{E X T}^{4}-C_{I N T}^{4}\RIGHT)}
{C_{E X T}}=\FRAC{ POT }{\PI^{2} \CDOT F \CDOT
\TAU_{M Á X I M A}}
\FRAC{\LEFT((0,03)^{4}-C_{I N T}^{4}\RIGHT)}
{0,03}=\FRAC{150.10^{3}}{\PI^{2} \CDOT 25 \CDOT
30 \CDOT 10^{6}}
(0,03)^{4}-C_{I N T}^{4}=0,61 \CDOT 10^{-6}
C_{I N T}^{4}=0,2 \CDOT 10^{-6} \RIGHTARROW C_{I
N T}=0,021 M=21 M M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a parede do tubo será t = 30mm – 21mm = 9mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE A FIGURA A SEGUIR EM QUE UM MOTOR DE
POTÊNCIA 3KW É ACOPLADO A UM EIXO CIRCULAR MACIÇO DE
AÇO. A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO É 1800RPM E O AÇO UTILIZADO
TEM TENSÃO CISALHANTE ADMISSÍVEL DE 60MPA. QUAL É O RAIO
MÍNIMO DA SEÇÃO DO EIXO? 
 
A) 4,73mm
B) 5,12mm
C) 5,53mm
D) 6,82mm
E) 7,91mm
2. UM PROJETO DE UM EIXO MACIÇO FOI DIMENSIONADO PARA OS
PARÂMETROS POTÊNCIA, FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO E O TIPO DE
MATERIAL. COM ISSO, CHEGOU-SE AO RAIO MÍNIMO DE 15MM.
PARA UM NOVO PROJETO EM QUE APENAS A POTÊNCIA É
MODIFICADA (PASSA A TER VALOR 8 VEZES MAIOR), QUAL É O
NOVO RAIO MÍNIMO?
A) 30mm
B) 25mm
C) 20mm
D) 15mm
E) 7,5mm
3. UM TUBO SERÁ UTILIZADO COMO EIXO DE TRANSMISSÃO DE
POTÊNCIA DE UM MOTOR. A GEOMETRIA DO TUBO APRESENTA OS
VALORES PARA RAIO EXTERNO DE 50MM E PAREDE IGUAL A
10MM. A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO É DE 1800RPM E A POTÊNCIA
A TRANSMITIR DE 120KW. QUAL É A TENSÃO DE CISALHAMENTO
MÁXIMA QUE ATUA NO EIXO?
A) 2,8MPa
B) 3,7MPa
C) 4,5MPa
D) 5,5MPa
E) 6,4MPa
4. UM EIXO MACIÇO TRANSMITE POTÊNCIA DE UM MOTOR
ELÉTRICO PARA UM SISTEMA DE ENGRENAGENS. A POTÊNCIA É
DE 4.000W E A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO40HZ. A TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA ATUANTE EM UMA DADA SEÇÃO DO EIXO É
DE 20MPA. QUAL É A TENSÃO CISALHANTE ATUANTE A 5MM DO
CENTRO DO CÍRCULO?
A) 4,00MPa
B) 10,86MPa
C) 12,53MPa
D) 15,50MPa
E) 18,30MPa
5. UM MOTOR DE UM EXAUSTOR TEM POTÊNCIA DE 1000W.
MANTENDO CONSTANTE A POTÊNCIA E VARIANDO A FREQUÊNCIA
DE ROTAÇÃO DE F1 = 1800RPM PARA F2 = 1200RPM, QUAL É A
RAZÃO $$\FRAC{\TAU_{1}}{\TAU_{2}}$$ DOS TORQUES (EM
INTENSIDADE) QUE ATUAM NO EIXO NOS INSTANTES EM QUE AS
FREQUÊNCIAS SÃO, RESPECTIVAMENTE, F1 = 1800RPM PARA F2 =
1200RPM?
A) $$ \frac{4}{9} $$
B) $$ \frac{8}{27} $$
C) $$ 1 $$
D) $$ \frac{1}{3} $$
E) $$ \frac{2}{3} $$
6. SEJA UM MOTOR $$M_1$$, CUJA POTÊNCIA É IGUAL A POT.
SUPONHA DOIS EIXOS 1 E 2, CIRCULARES MACIÇOS DE MESMO
MATERIAL, CUJOS RAIOS SEJAM, RESPECTIVAMENTE, $$C_1$$ =
100MM E $$C_2$$ = 200MM. O MOTOR $$M_1$$ SERÁ ACOPLADO
EM CADA UM DOS EIXOS, ALTERNADAMENTE. QUANDO
CONECTADO AO PRIMEIRO, A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO $$F_1$$
É 2400RPM. QUAL É A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO $$F_2$$,
SUPONDO QUE O REGIME SEJA ELÁSTICO E A TENSÃO
CISALHANTE ATUANTE SEJA A ADMISSÍVEL PARA O MATERIAL?
A) 300rpm
B) 1000rpm
C) 1200rpm
D) 2400rpm
E) 4800rpm
GABARITO
1. Considere a figura a seguir em que um motor de potência 3kW é acoplado a um
eixo circular maciço de aço. A frequência de rotação é 1800rpm e o aço utilizado
tem tensão cisalhante admissível de 60MPa. Qual é o raio mínimo da seção do eixo?
 
A alternativa "C " está correta.
Sendo o eixo maciço, pode-se utilizar a equação 12, ou seja,
$$ C=\SQRT[3]{\FRAC{ POT }{\PI^{2 \CDOT F \CDOT
\TAU_{MÁXIMA}}}} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ajustando as unidades, Pot = 3.000W, f = 30 Hz e tensão cisalhante = 60.106.
$$ C=\SQRT[3]{\FRAC{3.000}{\PI^{2} \CDOT 30
\CDOT 60 \CDOT 10^{6}}}=0,00553 M=5,53 M M $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um projeto de um eixo maciço foi dimensionado para os parâmetros potência,
frequência de rotação e o tipo de material. Com isso, chegou-se ao raio mínimo de
15mm. Para um novo projeto em que apenas a potência é modificada (passa a ter
valor 8 vezes maior), qual é o novo raio mínimo?
A alternativa "A " está correta.
Considerando para o projeto inicial os parâmetros: $$Pot$$, $$f$$ e $$\tau_{máxima}$$,
o raio mínimo é $$c_1\;=\;15mm$$. A partir da equação 12, $$c=\sqrt[3]{\frac { Pot }{\pi^{2
\cdot f \cdot \tau_{máxima }}}}$$ os parâmetros citados se relacionam. Utilizando a
mesma expressão para o segundo projeto alterando-se apenas a potência (Pot’ = 8.Pot),
o raio mínimo $$c_2$$ é determinado. Observe:
$$ C_{1}=\SQRT[3]{\FRAC{P O T}{\PI^{2} \CDOT F
\CDOT \TAU_{M Á X I M A}}} $$
$$ C_{2}=\SQRT[3]{\FRAC{8 . P O T}{\PI^{2} \CDOT F
\CDOT \TAU_{MÁXIMA}}}=2 \CDOT \SQRT[3]{\FRAC{
POT }{\PI^{2} \CDOT F \CDOT \TAU_{MÁXIMA}}}
\RIGHTARROW C_{2}=2 \CDOT C_{1} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o novo raio é igual a 30mm.
3. Um tubo será utilizado como eixo de transmissão de potência de um motor. A
geometria do tubo apresenta os valores para raio externo de 50mm e parede igual a
10mm. A frequência de rotação é de 1800rpm e a potência a transmitir de 120kW.
Qual é a tensão de cisalhamento máxima que atua no eixo?
A alternativa "D " está correta.
A parede do tubo circular é dada pela expressão $$t\;=\;c_{ext}\;–\;c_{int}$$ Assim, o raio
interno cint = 40mm = 0,04m. O raio externo (cext) vale 0,05m. Adequando as unidades
de potência e frequência, e substituindo na equação 13, temos que:
$$ \FRAC{\LEFT(0,05^{4}-0,04^{4}\RIGHT)}
{0,05}=\FRAC{120.000}{\PI^{2} \CDOT 30 \CDOT
\TAU_{M Á X I M A}} $$
$$ \LEFT(0,05^{4}-0,04^{4}\RIGHT) \CDOT \PI^{2}
\CDOT 30 \CDOT \TAU_{MÁXIMA}=120.000 .(0,05) $$
$$ \TAU_{MÁXIMA}=5,5 M P A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um eixo maciço transmite potência de um motor elétrico para um sistema de
engrenagens. A potência é de 4.000W e a frequência de rotação 40Hz. A tensão
cisalhante máxima atuante em uma dada seção do eixo é de 20MPa. Qual é a tensão
cisalhante atuante a 5mm do centro do círculo?
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente será determinado o raio do eixo, utilizando a equação 12:
$$ C=\SQRT[3]{\FRAC{ POT }{\PI^{2} \CDOT F \CDOT
\TAU_{MÁXIMA}}} $$
$$ C=\SQRT[3]{\FRAC{4.000}{\PI^{2} \CDOT 40.20
.10^{6}}} $$
$$ C=\SQRT[3]{\FRAC{4.000}{\PI^{2} \CDOT 40
\CDOT 20 \CDOT 10^{6}}}=7,98 M M $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a variação da tensão cisalhante é linear, ao longo do raio, temos que:
$$20 \mathrm{MPa}$$ ------- $$\text { 7,98mm }$$
$$\tau$$ ------- $$\text { 5,00mm }$$
Assim, $$\tau$$ = 12,53MPa
5. Um motor de um exaustor tem potência de 1000W. Mantendo constante a
potência e variando a frequência de rotação de f1 = 1800rpm para f2 = 1200rpm,
qual é a razão $$\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}}$$ dos torques (em intensidade) que atuam
no eixo nos instantes em que as frequências são, respectivamente, f1 = 1800rpm
para f2 = 1200rpm?
A alternativa "E " está correta.
A partir da equação 11 $$(Pot=2\cdot \pi \cdot f\cdot T)$$ e, pelo fato de a potência ser
constante, é possível escrever que:
$$POT=2\PI\CDOT F_1\CDOT \TAU_1=\PI\CDOT
F_2\CDOT \TAU_2$$
$$ F_{1} \CDOT \TAU_{1}=F_{2} \CDOT \TAU_{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
$$ 1800 \CDOT \TAU_{1}=1200 \CDOT \TAU_{2} $$
$$ \FRAC{\TAU_{1}}{\TAU_{2}}=\FRAC{1200}
{1800}=\FRAC{2}{3} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Seja um motor $$M_1$$, cuja potência é igual a Pot. Suponha dois eixos 1 e 2,
circulares maciços de mesmo material, cujos raios sejam, respectivamente,
$$c_1$$ = 100mm e $$c_2$$ = 200mm. O motor $$M_1$$ será acoplado em cada um
dos eixos, alternadamente. Quando conectado ao primeiro, a frequência de rotação
$$f_1$$ é 2400rpm. Qual é a frequência de rotação $$f_2$$, supondo que o regime
seja elástico e a tensão cisalhante atuante seja a admissível para o material?
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO NA
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um estagiário de Engenharia foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um eixo
tubular para um projeto que transmitirá potência de um motor para um sistema mecânico,
por meio desse eixo. A empresa possui em seu estoque o aço X, cuja tensão de
cisalhamento admissível é de 20MPa. Durante a transmissão de potência, o eixo fica
submetido a um torque de 680N.m e a frequência de rotação do eixo de 360rpm. Por
questões de projeto, o diâmetro externo deve ser de 60mm. Qual é a espessura mínima
da parede?
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DA ESPESSURA MÍNIMA DA
PAREDE DE UM TUBO SOB TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM MOTOR TRANSMITE POTÊNCIA DE 2.000W POR MEIO DE UM
EIXO QUE TEM FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO DE 3HZ. O TORQUE A
QUE FICA SUBMETIDO É IGUAL A:
A) 66,67N.m
B) 92,10N.m
C) 100,45N.m
D) 106,16N.m
E) 125,12N.m
2. A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM MOTOR POR MEIO DE UM
EIXO MACIÇO SE RELACIONA COM A FREQUÊNCIA (F) DE
ROTAÇÃO E O TORQUE ATUANTE (T). DESSE MODO, SÃO FEITAS
AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – PARA UM VALOR CONSTANTE DE T, A POTÊNCIA DEPENDE DO
QUADRADO DA FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO; 
II – PARA UM VALOR CONSTANTE DE F, A POTÊNCIA VARIA
INVERSAMENTE COM O MÓDULO DE T; 
III – PARA POTÊNCIA CONSTANTE, O TORQUE ATUANTE E A
FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO SÃO GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
GABARITO
1. Um motor transmite potência de 2.000W por meio de um eixo que tem frequência
de rotação de 3Hz. O torque a que fica submetido é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
A partir das equações $$\text { Pot }=T \cdot w$$ e$$w=2 \pi f$$, é possível escrever
que:
$$ \TEXT { POT }=T \CDOT 2 \PI F $$
$$ 2.000=T \CDOT 2 \PI \CDOT 25 $$
$$ \MATHRM{T}=106,16 \MATHRM{~N} \CDOT
\MATHRM{M} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A transmissão de potência de um motor por meio de um eixo maciço se relaciona
com a frequência (f) de rotação e o torque atuante (T). Desse modo, são feitas as
seguintes afirmativas: 
 
I – Para um valor constante de T, a potência depende do quadrado da frequência de
rotação; 
II – Para um valor constante de f, a potência varia inversamente com o módulo de T; 
III – Para potência constante, o torque atuante e a frequência de rotação são
grandezas inversamente proporcionais. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
 
A potência (Pot), o torque atuante no eixo (T) e a frequência de rotação (f) são
relacionadas matematicamente por:
$$ P O T =T . W \RIGHTARROW P O T=2 \PI . F . T $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da expressão anterior, podemos inferir que:
I – Quando T é constante, a potência depende diretamente da frequência; 
II – Quando f é constante, a potência depende diretamente de T; 
III – Para potência constante, T e f são inversamente proporcionais.
MÓDULO 4
 Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
A TORÇÃO DE TUBOS DE SEÇÃO
FECHADA NÃO CIRCULAR E PAREDE
FINA
INTRODUÇÃO
Como nos ensina Hibbeler (2010), tubos com paredes finas e seção reta não circular têm
grande utilização em estruturas leves.
 COMENTÁRIO
Neste módulo, será abordado o efeito da torção sobre tubos de paredes finas e seção
fechada.
Observe a figura 6, em que um torque T é aplicado a um elemento (com as características
descritas anteriormente) de uma estrutura.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 158
 Figura 6 – Tubo de paredes finas.
FLUXO DE CISALHAMENTO
Considere uma seção reta de um tubo fechado não circular de paredes finas, conforme
ilustrado na figura 7:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 7 – Seção reta de um tubo não circular de paredes finas.
 ATENÇÃO
Para o entendimento da tensão cisalhante atuante nas paredes finas, será abordada uma
nova grandeza denominada fluxo de cisalhamento (q).
Alguns autores, como Hibbeler (2010) e Beer & Johnston (1995), fazem analogia com o
fluxo de água em um canal de profundidade constante, mas de largura variável.
 SAIBA MAIS
A água apresenta velocidades diferentes para larguras distintas, contudo, o seu fluxo não
varia.
Observe a figura 8:
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 286
 Figura 8 – Fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas.
Do exposto anteriormente, é possível escrever a equação 14:
\TAU_{A} \CDOT \TAU_{A}=\TAU_{B} \CDOT
\TAU_{B}=\TAU_{C} \CDOT \TAU_{C}=\LDOTS
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
ti – espessura da parede em algum ponto da seção.
τi – tensão de cisalhamento média na parede, na região em que a espessura é ti.
Da análise da equação 14, percebe-se que o produto da espessura pela tensão
cisalhante é constante ao longo de uma seção reta do tubo. Esse produto é denominado
fluxo de cisalhamento (q), expresso pela equação 15:
Q=\TAU_{M É D I A} \CDOT T
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, como o fluxo q é constante, as grandezas tensão cisalhante
média e espessura são inversamente proporcionais.
 RESUMINDO
Quando uma aumenta, a outra diminui.
Logo, a maior tensão de cisalhamento média ocorre para a menor espessura e, a menor,
para a maior espessura.
 ATENÇÃO
Em termos de unidades, perceba que o fluxo q “mede” a força aplicada por unidade de
comprimento ao longo da área da seção reta do tubo.
Q=\FRAC{N}{M^{2}} \CDOT M=\FRAC{N}{M}
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EXEMPLO
Suponha uma seção de um tubo de paredes finas sujeito a um torque de intensidade T.
Uma dada seção reta será estudada. Duas regiões dessa seção (A e B) apresentam
espessuras \tau_A\;=\;5mm e \tau_B\;=\;8mm. O fluxo de cisalhamento na seção é igual a
80 \frac{N}{m m}. Determine as tensões cisalhantes médias em A e B.
Da equação 15,
Q=\TAU_{M É D I A} \CDOT T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão média em A:
80=\TAU_{MÉDIA} .5
\TAU_{A}=16 \FRAC{N}{M M^{2}}=16 M P A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluxo q é constante, temos que:
\TAU_{A} \CDOT \TAU_{A}=\TAU_{B} \CDOT
\TAU_{B} \RIGHTARROW 16.5=\TAU_{B} .8
\RIGHTARROW \TAU_{B}=10 M P A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que o aumento da espessura leva à diminuição da tensão cisalhante média.
TENSÃO CISALHANTE MÉDIA
{(\TAU}_{MÉDIA})
Nesse ponto, a pergunta a ser feita é: como o torque aplicado a um tubo de seção reta de
paredes finas se relaciona com a tensão cisalhante média?
 RESPOSTA
A partir do conceito de momento de uma força, é possível chegar-se a uma expressão
que responde à indagação.
Um pequeno elemento da seção reta em estudo é individualizado e determina-se o
elemento infinitesimal do torque d T. Integrando-se, chega-se à expressão do T dada pela
equação 16:
\TAU_{MÉDIA}=\FRAC{T}{\TEXT { 2.T. } A_{MÉDIA}}
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
T – Torque resultante na seção
t – Espessura do tubo onde a tensão será determinada
A_{média} – Área média (a ser definida)
A área média que aparece na equação 16 é definida conforme a figura 9.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 288
 Figura 9 – Área média num tubo de paredes finas.
Portanto, A_{média} é a área da seção limitada pela linha tracejada na figura 9.
EXEMPLO
Seja um tubo retangular engastado em uma estrutura e livre na outra extremidade. As
dimensões externas do tubo são 30mm e 60mm e as paredes têm espessura constante e
igual a 4mm. Quando na extremidade livre do tubo é aplicado um torque de 40N.m,
determine:
a) A tensão média nas paredes;
b) O fluxo de cisalhamento na seção em estudo.
Inicialmente, será feita uma representação esquemática da seção reta do tubo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
AMÉDIA = 56 · 26 = 1456MM2 = 1456·10-6M2
T = 4MM = 0,004M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Substituindo os valores de t, Amédia e T na equação 16, temos:
\TAU_{MÉDIA}=\FRAC{T}{2 \CDOT T \CDOT
A_{MÉDIA}}
\TAU_{MÉDIA}=\FRAC{40}{2 \CDOT(0,004)
\CDOT\LEFT(1456 \CDOT 10^{-6}\RIGHT)}=3,4 M P A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) A partir da equação que determina o fluxo de cisalhamento q, temos que:
Q=\TAU_{M É D I A} \CDOT T
Q=(3,4) \CDOT 5=\FRAC{17 N}{M M}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note as unidades utilizadas:
M P A=\FRAC{N}{M M^{2}}
\FRAC{N}{M M^{2}} \CDOT M M=\FRAC{N}{M M}
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MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM TUBO DE SEÇÃO QUADRANGULAR QUE ESTEJA
SUBMETIDO A UM PAR DE TORQUES (INTENSIDADE 144N.M). A
ÁREA MÉDIA DA SEÇÃO DO TUBO É IGUAL A 3.600MM2 E A
ESPESSURA DO TUBO É CONSTANTE, E BEM MENOR QUE AS
DIMENSÕES EXTERNA E INTERNA. NESSAS CONDIÇÕES, A
TENSÃO CISALHANTE MÉDIA ATUANTE NA PAREDE DO TUBO É
2MPA. DETERMINE A ESPESSURA DO TUBO.
A) 8mm.
B) 10mm.
C) 11mm.
D) 12mm.
E) 15mm
2. UM TUBO DE SEÇÃO FECHADA E PAREDES FINAS NÃO
CONSTANTES SOB TORÇÃO APRESENTA FLUXO DE
CISALHAMENTO $$Q=\FRAC{20 \MATHRM{~N}}{M M}$$. EM UMA
DADA SEÇÃO DE ESTUDO, AS ESPESSURAS MÁXIMA E MÍNIMA
VALEM 5MM E 4MM. DETERMINE AS TENSÕES CISALHANTES
MÉDIAS NESTA SEÇÃO DO TUBO.
A) 80MPa e 100MPa.
B) 20MPa e 100MPa.
C) 9MPa e 100MPa.
D) 2MPa e 2,5MPa.
E) 4MPa e 5MPa.
3. UM TUBO DE PAREDES FINAS E ESPESSURAVARIÁVEL
ENCONTRA-SE SOB TORÇÃO, EM UM REGIME ELÁSTICO. AS
SEGUINTES AFIRMATIVAS SÃO FEITAS: 
 
I – O FLUXO DE CISALHAMENTO É VARIÁVEL, AUMENTANDO À
MEDIDA QUE A ESPESSURA DA PAREDE AUMENTA. 
II – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA, AO LONGO DA PAREDE, VARIA
DE MANEIRA DIRETAMENTE PROPORCIONAL À ESPESSURA. 
III – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA MÁXIMA OCORRE NA REGIÃO
COM MENOR ESPESSURA DA PAREDE. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) Apenas as afirmativas I e III.
4. CONSIDERE UM TUBO RETANGULAR SUBMETIDO À TORÇÃO.
UMA SEÇÃO RETA DESSE TUBO É REPRESENTADA NA FIGURA.
SUPONHA QUE A ESPESSURA EM AB SEJA O DOBRO DA
ESPESSURA EM BC E QUE O FLUXO DE CISALHAMENTO SEJA Q. A
RAZÃO ENTRE AS TENSÕES DE CISALHAMENTO (MÉDIA) NOS
RAMOS AB E BC É: 
 
A) $$ \frac{q}{2} $$
B) $$ q $$
C) $$ \frac{q^{2}}{4} $$
D) $$ \frac{1}{2} $$
E) $$ \frac{1}{4} $$
5. UM TUBO DE SEÇÃO QUADRANGULAR ESTÁ EM EQUILÍBRIO
SOB A AÇÃO DE TRÊS TORQUES. AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA
SÃO: LADO EXTERNO DO QUADRADO 30MM E PAREDE 5MM.
CONSIDERANDO O REGIME ELÁSTICO, QUAL É A TENSÃO DE
CISALHAMENTO QUE ATUA NA PAREDE DA SEÇÃO ENTRE OS
PONTOS A E B? 
 
A) 4MPa
B) 8MPa
C) 16MPa
D) 32MPa
E) 64MPa
6. CONSIDERE UM TUBO DE SEÇÃO RETA TRIANGULAR
(TRIÂNGULO EQUILÁTERO), CONFORME FIGURA. SUPONHA QUE O
TUBO ESTEJA EM EQUILÍBRIO NO REGIME ELÁSTICO. A SEÇÃO EM
ESTUDO APRESENTA TORQUE INTERNO DE MÓDULO 1,5KN.M E A
PAREDE DO TUBO TEM 5MM DE ESPESSURA. DETERMINE A
TENSÃO CISALHANTE MÉDIA QUE AGE NAS PAREDES DO TUBO.
DESCONSIDERE O FATOR DE CONCENTRAÇÃO DOS VÉRTICES. 
 
A) 17,42MPa
B) 34,68MPa
C) 8,25MPa
D) 42,58MPa
E) 64,02MPa
GABARITO
1. Considere um tubo de seção quadrangular que esteja submetido a um par de
torques (intensidade 144N.m). A área média da seção do tubo é igual a 3.600mm2 e
a espessura do tubo é constante, e bem menor que as dimensões externa e interna.
Nessas condições, a tensão cisalhante média atuante na parede do tubo é 2MPa.
Determine a espessura do tubo.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, as unidades serão homogeneizadas (Amédia = 3600mm2 = 0,0036m2) e a
tensão cisalhante igual a 2.106Pa. A partir da equação 16, temos que:
$$ \TAU_{MÉDIA}=\FRAC{T}{2 \CDOT T \CDOT
A_{MÉDIA}} $$
$$2\CDOT10^6=\;\FRAC{144}{2\CDOT\MATHRM
T\CDOT(0,0036)}\RIGHTARROW\MATHRM
\TAU=\;\FRAC{144}
{2\CDOT(2.10^6)\CDOT(0,0036)}=0,01\MATHRM
M=10\MATHRM{MM}$$
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2. Um tubo de seção fechada e paredes finas não constantes sob torção apresenta
fluxo de cisalhamento $$q=\frac{20 \mathrm{~N}}{m m}$$. Em uma dada seção de
estudo, as espessuras máxima e mínima valem 5mm e 4mm. Determine as tensões
cisalhantes médias nesta seção do tubo.
A alternativa "E " está correta.
O fluxo de cisalhamento é constante e dado por:
$$ Q=\TAU_{MÉDIA} \CDOT T $$
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Para a parede de maior espessura, a tensão cisalhante será mínima, e para a parede de
menor espessura, a tensão cisalhante será máxima. Assim:
$$ 20=\TAU_{\TEXT {MÉDIA MÍNIMA }} \CDOT 5
\RIGHTARROW \TAU_{\TEXT {MÉDIA MÍNIMA }}=4 M
P A $$
$$ 20=\TAU_{\TEXT {MÉDIA MÁXIMA }} \CDOT 4
\RIGHTARROW \TAU_{\TEXT {MÉDIA MÁXIMA }}=5 M
P A $$
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3. Um tubo de paredes finas e espessura variável encontra-se sob torção, em um
regime elástico. As seguintes afirmativas são feitas: 
 
I – O fluxo de cisalhamento é variável, aumentando à medida que a espessura da
parede aumenta. 
II – A tensão cisalhante média, ao longo da parede, varia de maneira diretamente
proporcional à espessura. 
III – A tensão cisalhante média máxima ocorre na região com menor espessura da
parede. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
O fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas (regime elástico) é constante e dado
pela seguinte expressão:
$$ Q=\TAU_{MÉDIA} \CDOT T $$
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Assim, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são inversamente
proporcionais. Logo, a tensão cisalhante máxima ocorre para a espessura mínima.
4. Considere um tubo retangular submetido à torção. Uma seção reta desse tubo é
representada na figura. Suponha que a espessura em AB seja o dobro da espessura
em BC e que o fluxo de cisalhamento seja q. A razão entre as tensões de
cisalhamento (média) nos ramos AB e BC é: 
 
A alternativa "D " está correta.
O fluxo de cisalhamento q é constante, mesmo com variação da espessura da parede.
Assim, é possível escrever, a partir da equação 15, que:
$$ Q=\LEFT(\TAU_{M É D I A} \CDOT T\RIGHT)_{A
B}=\LEFT(\TAU_{M É D I A} \CDOT T\RIGHT)_{B C}
$$
$$ \TAU_{A B} \CDOT \TAU_{A B}=\TAU_{B C} \CDOT
\TAU_{B C} $$
$$ \TAU_{A B} \CDOT 2 \TAU=\TAU_{B C} . T
\RIGHTARROW \FRAC{\TAU_{A B}}{\TAU_{B
C}}=\FRAC{1}{2} $$
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5. Um tubo de seção quadrangular está em equilíbrio sob a ação de três torques. As
dimensões da seção reta são: lado externo do quadrado 30mm e parede 5mm.
Considerando o regime elástico, qual é a tensão de cisalhamento que atua na
parede da seção entre os pontos A e B? 
 
A alternativa "D " está correta.
O tubo encontra-se em equilíbrio sob a ação dos torques. Fazendo um corte entre os
pontos A e B, a parte do todo estará em equilíbrio, sendo representada a seguir:
Do equilíbrio: 100 + $$\tau_{interno}$$ = 300. Assim, = $$\tau_{interno}$$ = 200N.m
Área média = (30 - 5) x (30 - 5) = 625mm2 = 625 · 10-6m2.
t = 5mm = 0,005m
Substituindo na expressão 16, tem-se:
$$ \TAU_{M É D I A}=\FRAC{200}{2 \CDOT(0,005)
\CDOT\LEFT(625 \CDOT 10^{-6}\RIGHT)} $$
$$ \TAU_{M É D I A}=32 M P A $$
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6. Considere um tubo de seção reta triangular (triângulo equilátero), conforme
figura. Suponha que o tubo esteja em equilíbrio no regime elástico. A seção em
estudo apresenta torque interno de módulo 1,5kN.m e a parede do tubo tem 5mm de
espessura. Determine a tensão cisalhante média que age nas paredes do tubo.
Desconsidere o fator de concentração dos vértices. 
 
A alternativa "B " está correta.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE
MÉDIA EM TUBO DE SEÇÃO TRIANGULAR
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
(Questão 3.128 do livro Fonte: Resistência dos Materiais, BEER, F.P., JOHNSTON,
E.R.J., 1995, p. 298/299) 
Um eixo cilíndrico vazado foi projetado com a seção transversal mostrada na figura (1)
para resistir a um torque máximo T0. Um defeito na fabricação, no entanto, resultou em
uma pequena excentricidade e, entre as superfícies cilíndricas, interna e externa, como
mostrado na figura (2). Expressar o torque máximo T que pode ser aplicado com
segurança ao eixo defeituoso, em termos de T0, e e t.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 299
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DO TORQUE MÁXIMO EM EIXOS
TUBULARES COM EXCENTRICIDADE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TUBO É UTILIZADO PARA TRANSMITIR POTÊNCIA DE UM
MOTOR. EM DADO INSTANTE, FICA SUBMETIDO A UM TORQUE DE
INTENSIDADE T. CONSIDERE O REGIME ELÁSTICO E AS PAREDES
DO TUBO FINAS. AS PAREDES VARIAM SUA ESPESSURA AO
LONGO DA “VOLTA” DA SEÇÃO, DE ACORDO COM O GRÁFICO A
SEGUIR. 
 
A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES CISALHANTES MÉDIA MÍNIMA E
MÁXIMA É:
A) 0,500
B) 0,850
C) 0,900
D) 0,947
E) 0,950
2. PARA UM TUBO DE PAREDES FINAS SUJEITO AO ESFORÇO DE
TORÇÃO, SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA DEPENDE DIRETAMENTE DA
ÁREA MÉDIA DA SEÇÃO. 
II – A TENSÃO DE CISALHAMENTO AUMENTA COM A ESPESSURA
DA PAREDE. 
III – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA DEPENDE DIRETAMENTE DA
INTENSIDADE DO TORQUE T ATUANTE NA SEÇÃO. 
IV – O FLUXO DE CISALHAMENTO É CONSTANTE,
INDEPENDENTEMENTE DA ESPESSURA DA PAREDE. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas as afirmativas I e II.
B) Apenas as afirmativas IIe III.
C) Apenas as afirmativas III e IV.
D) Apenas as afirmativas II, III e IV.
E) Apenas as afirmativas I, II e III.
GABARITO
1. Um tubo é utilizado para transmitir potência de um motor. Em dado instante, fica
submetido a um torque de intensidade T. Considere o regime elástico e as paredes
do tubo finas. As paredes variam sua espessura ao longo da “volta” da seção, de
acordo com o gráfico a seguir. 
 
A razão entre as tensões cisalhantes média mínima e máxima é:
A alternativa "C " está correta.
 
A partir do gráfico, é possível inferir que a menor espessura da parede do tubo é igual a
90mm e a maior, 100mm. Como o fluxo de cisalhamento é constante, a tensão máxima
ocorre na parede com menor espessura e a tensão mínima, na parede com maior
espessura. Assim:
$$ \TAU_{MÁXIMA} \CDOT
\TAU_{MÍNIMA}=\TAU_{MÍNIMA} \CDOT
\TAU_{MÁXIMA} $$
$$ \TAU_{MÁXIMA} .90=\TAU_{MÍNIMA} .100 $$
$$ \FRAC{\TAU_{MÍNIMA}}
{\TAU_{MÁXIMA}}=\FRAC{90}{100}=0,90 $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para um tubo de paredes finas sujeito ao esforço de torção, são feitas as
seguintes afirmativas: 
 
I – A tensão cisalhante média depende diretamente da área média da seção. 
II – A tensão de cisalhamento aumenta com a espessura da parede. 
III – A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque T
atuante na seção. 
IV – O fluxo de cisalhamento é constante, independentemente da espessura da
parede. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
 
Em um tubo de paredes finas, sob torção, o fluxo de cisalhamento $$\left(q=\tau_{m é d i
a} \cdot t\right)$$ é constante.
Analisando a equação $$\tau_{m é d i a}=\frac{T}{2 . t \cdot A_{m é d i a}}$$:
A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque.
A tensão cisalhante média depende inversamente da área média.
A tensão cisalhante média depende inversamente da espessura da parede.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, foram abordados os principais aspectos da torção em elementos
estruturais. Inicialmente, foi feita uma abordagem geométrica da deformação cisalhante
devido à torção, em eixos circulares maciços ou tubulares, concluindo com a expressão
para a determinação da deformação. Posteriormente, foi feito o estudo do cálculo da
tensão cisalhante a partir do torque interno atuante na seção. Outro aspecto abordado foi
a transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico, utilizando-se eixos
circulares maciços ou tubulares. A partir dos aspectos estudados, foi possível apresentar
o dimensionamento de eixos circulares. No último tópico, o estudo ampliou a
determinação da tensão cisalhante para estruturas não circulares de paredes finas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2010.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos abordados, são sugeridas as seguintes fontes:
Complementar o estudo de deformações e tensões cisalhante em eixos circulares
(páginas 195 a 210) pela fonte BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos
materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
Complementar o estudo de torção em tubos de parede fina com seções transversais
fechadas (páginas 157 a 165) pela fonte HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7.
ed. São Paulo: Pearson, 2010.
Complementar o estudo de transmissão de potência (páginas 133 e 134) pela fonte
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior