apostila estrutura atomica completa

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Universidade Federal do Maranhão - UFMA 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
Programa de Pós-Graduação em Química 
 
 
 
 
 
 
 
 
Química Inorgânica Avançada 
 
 
 
 
 
Profª. Dra. Ana Clécia S. de Alcântara 
 
 
 
 
Estrutura atômica 
 
2 
 
1. Modelos atômicos 
 
A partir do ano 400 a.C., a humanidade já experimentou pelo menos sete modelos ou 
alterações de modelos já existentes para explicar o átomo até a época atual. 
A idéia do átomo surge a partir dos modelos dos filósofos gregos Demócrito e Platão 
em 400 a.C pelo qual a matéria era constituída de partículas indivisíveis os átomos. Essa idéia 
perdura até o ano de 1803 (Dalton) onde um modelo para explicar a natureza da matéria é 
resgatado tendo como principal alicerce experimental as leis das combinações químicas. 
O modelo de Dalton considera que átomos não podem ser construídos ou destruídos. 
As suas principais contribuições para o entendimento da estrutura da matéria são: 
1) Cada elemento é composto de átomos; 
2) Todos os átomos de um elemento são idênticos; 
3) Nas reações químicas, os átomos não são alterados; 
4) Os compostos são formados quando átomos de mais de um elemento se combinam. 
 
Lei de Dalton das proporções múltiplas: Quando dois elementos formam diferentes compostos, 
a proporção da massa dos elementos em um composto está relacionada à proporção da massa do 
outro através de um número inteiro pequeno. 
No entanto, com os avanços em outras áreas as idéias de Dalton caem principalmente 
com os estudos de Faraday sobre a natureza elétrica da matéria. Esses estudos conjuntamente 
com os estudos dos raios catódicos de Thomson, onde concluiu-se que os raios catódicos se 
compunham de elétrons, ou seja, de pequenas partículas carregadas de eletricidade negativa 
associadas aos átomos constituintes do cátodo. A experiência da gota de óleo foi uma conduzida 
por Millikan para medir a carga elétrica do elétron, cujo valor atualmente aceito é 1,602 x 10−19 
C. E a descoberta das partículas subatômicas (estudos da radioatividade realizada por Rutheford 
), onde conclui-se que o átomo consistem de espécies neutras e carregadas positivamente e 
negativamente. 
 
A conclusão de todas essas experiências é e de muitas outra que viriam a seguir é que 
existiam partículas subatômicas, e que os tipos de partículas subatômicas são sempre os mesmos 
em todos os átomos. O que diferencia um átomo A de outro átomo B é o número dessas 
partículas. 
Surgem então novas tendências como o modelo de Thomson (1903), Rutherford (1911), 
Bohr (1913) e Bohr-Sommerfeld (1916) até o atual modelo quântico ou da mecânica 
ondulatória. 
 
3 
 
Modelo atômico de Thomson (Pudim de passas): 
Átomo é neutro como um todo, mas contendo cargas positivas e negativas. 
Vantagem: o modelo é energeticamente estável. 
Falha: prever um espectro de emissão contínuo para o átomo de hidrogênio. 
 
Modelo de Rutherford: Resultados observados 
 
Baseando-se nas observações sobre o espalhamento das “partículas α (He2+)” por finas 
folhas de metal, Rutherford propôs um modelo segundo o qual o átomo seria constituído de um 
núcleo pequeno, contendo toda carga positiva (os prótons) e praticamente toda massa do átomo, 
rodeado por um grande volume no qual os elétrons estariam distribuídos 
 
Observações experimentais: 
(a) Cerca de uma em cada 20.000 particular sofrem deflexão maior que 90
o
. 
(b) Poucas retornam a posição inicial. 
(c) A grande maioria passam direto. 
 
Conclusões 
(1) Quase toda a massa está concentrada numa pequena região 
(núcleo) → resultado (c). 
(2) O núcleo contém carga positiva → resultado (b). 
(3) Os elétrons circulam em torno do núcleo. 
 
 
Vantagem: descoberta do núcleo. 
Falha: modelo é instável (colapso clássico). 
 
Antes de continuarmos nossa discussão sobre os modelos atômicos, iremos discutir novos 
experimentos que mudaram o rumo do entendimento da matéria e conseqüentemente dos 
modelos atômicos. Entretanto, primeiramente faremos uma breve revisão sobre alguns 
conceitos, que nos auxiliaram no entendimento destes novos experimentos. 
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Conceitos fundamentais: 
 
a) A lei de Coulomb: a força de atração ou repulsão entre duas cargas puntiformes ( isto é, 
carregadas cujas dimensões são pequenas em comparação com a distância r entre eles), é 
inversamente proporcional ao quadrado desta distância e diretamente proporcional ao 
produto das cargas. 
 
Onde K é constante de proporcionalidade cuja grandeza depende das unidades em que F, 
q1, q2 e r são medidas. A lei é valida quaisqur que sejam os sinais das carga q1 e q2. Se as 
cargas tem o mesmo sinal há uma repulsão; se as cargas são de sinais opostos há uma 
atração. As forças que se exercem numa e noutra carga são de mesma intensidade mas de 
sentidos opostos. 
O valor de K vem dado por: 
 onde, ε0 = permissividade do vácuo. 
 
Para átomos hidrogenoides com uma carga nuclear +(Ze) teremos: 
 
Energia potencial, Ep: 
 
 
b) Radiação eletromagnética : Classicamente, considera-se a radiação eletromagnética como 
sendo composta de um campo elétrico acompanhado por um campo magnético que lhe é 
perpendicular , ambos viajando com a velocidade da luz c (Fig.1) 
 
 
Fig.1. Uma onda de radiação eletromagnética. A onda está viajando na direção X com a 
velocidade c. Os campos elétricos, E, e magnético, H, periodicamente variáveis, de onda são 
perpendiculares entre si e em relação à direção X. O período é o comprimento de onda, λ. 
 
Desde que toda a radiação eletromagnética viaja com a mesma velocidade, podemos 
caracteriza-la por seu comprimento de onda λ, por sua freqüência ν e pelo seu número de onda 
. 
 
λ = cT onde T é o período = , ν é a freqüência ⇨ (seg-1 = ciclos/seg) 
 
 cm
-1 
(representa o número de comprimento de onda em um cm
-1
 ) 
5 
 
 
 A energia de uma onda é proporcional a E², H² e a intensidade luminosa, E α (E² + H²) α 
intensidade luminosa. A energia de uma onda está, assim, localizada, nas regiões onde o campo 
elétrico e o magnético tem seu máximo e mínimo. 
 
 
c) Espectros contínuo e descontínuo 
 
A luz branca é constituída de uma mistura de radiações de todos os comprimentos de 
onda no espectro visível. Assim, um feixe de luz branca ao atravessar um prisma se decompõe 
em suas várias componentes, obtendo-se em um anteparo um “espectro contínuo”, cuja cor vai 
variando paulatinamente desde o violeta até o vermelho (cores do arco-íris). Este fenômeno é 
ilustrado na figura 2 
 
Fig. 2. Produção do espectro contínuo 
 
Por outro lado, se em lugar do feixe de luz branca for utilizado um feixe de luz emitida 
quando o gás hidrogênio é excitado em um tubo de descarga, o espectro produzido no anteparo 
consistirá em um conjunto de linhas separadas, caracterizando um espectro do tipo “descontínuo 
ou de linhas”. Como se pode observar na Fig. 3, a luz visível emitida pelo hidrogênio não 
contém radiação de todos os comprimentos de onda como a luz solar, mas somente alguns 
poucos comprimentos de onda. 
 
6 
 
 
Fig. 3 Espectro aômico ( ou de linhas ) do hidrogênio. 
 
Uma vez que o hidrogênio também emite luz nas regiões do infravermelho (IV) e 
ultravioleta (UV) (Fig. 4), os comprimentos de onda de todas as linhas podem ser obtidos 
através de uma expressão geral e empírica, conhecida como equação de Rydberg. 
 
onde λ = comprimento de onda (cm) 
- n1 e n2 = números inteiros (1, 2, 3, ..., ∞). 
- Com a condição de que n2 > n1. 
 
Dessa forma, temos: 
- quando n1 = 1, n2 = 2, 3, 4, ..., ∞ ⇒ série de Lyman; 
- quandon1 = 2, n2 = 3, 4, 5, ..., ∞ ⇒ série de Balmer; 
- quando n1 = 3, n2 = 4, 5, 6, ..., ∞ ⇒ série de Paschen; 
- quando n1 = 4, n2 = 5, 6, 7, ..., ∞ ⇒ série de Brackett; 
- quando n1 = 5, n2 = 6, 7, 8, ..., ∞ ⇒ série de Pfund. 
7 
 
 
Fig. 4 - Séries de linhas no espectro atômico do hidrogênio 
 
A RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO 
 
As curvas na figura 5 são as de um emissor ideal, denominado corpo negro, um corpo 
capaz de emitir e de absorver uniformemente todas as freqüências de radiação. Uma boa 
aproximação do comportamento de um corpo negro é obtida abrindo-se um pequenino orifício 
numa cavidade oca mantida à temperatura constante. A radiação eletromagnética que escapa 
pelo orifício foi absorvida e reemitida muitas vezes pelas paredes internas da cavidade e está em 
equilíbrio térmico com essas paredes. 
 
Figura 5: À medida que a temperatura diminui, o pico da curva da radiação de um corpo negro se desloca 
para menores intensidades e comprimentos de onda maiores. 
 
A figura 5 mostra que o máximo da emissão de energia se desloca para os 
comprimentos de onda curtos à medida que a temperatura se eleva. Por isso, a região dos 
comprimentos de onda curtos fica mais significativa na distribuição da energia na região do 
visível, e conseqüentemente, a cor dos corpos quentes se desloca do vermelho para o azul. 
8 
 
A explicação da radiação do corpo negro foi um dos desafios mais desafiadores para os 
físicos do século XIX. Verificou-se, com a evolução das análises, que era um problema cuja 
resolução estava além da física clássica. O físico Lorde Rayleigh a estudou teoricamente do 
ponto de vista clássico, considerando o campo eletromagnético como um conjunto de 
osciladores com todas as freqüências possíveis. Observou que a presença de radiação com todas 
as freqüência possíveis ν ( e portanto com o comprimento de onda λ = c/ν, onde c é a velocidade 
da luz) significa que o oscilador eletromagnético corresponde a esta frequencia seria excitado. A 
partir do princípio da eqüipartição, Rayleigh calculou a energia média de cada um dos 
osciladores como sendo kT e, depois, com a contribuição sugerida por James Jeans, chegou a lei 
de Rayleigh-jeans: 
dE = ρdλ 
na qual ρ é a constante de proporcionalidade entre d e a densidade de energia no intervalo 
correspondente de comprimentos de onda. A constante k é a constante de Boltzman (k= 1,381 x 
10
-23
 JK
-1
). 
 Embora a lei de Rayleigh, tenha bastante êxito nos comprimentos de onda grandes, 
ela fracassa fragarosamente para comprimentos de onda curtos. De acordo com a lei de 
Rayleigh-Jeans, quando λ diminui, ρ aumenta sem passar por um máximo. A equação prevê que 
osciladores com comprimento de onda muito curto estão fortemente excitados, mesmo a 
temperatura ambiente (ou seja, não haveria escuridão). Este resultado absurdo, que implica uma 
grande quantidade de energia ser irradia na região de alta freqüência do espectro 
eletromagnético, é conhecido como a catástrofe do ultravioleta. 
 
A DISTRIBUIÇÃO DE PLANCK 
 
O físico alemão Max Planck estudou a radiação do corpo negro a partir da 
termodinâmica. Em 1900 ele descobriu que poderia explicar os resultados das observações 
experimentais se admitisse que a energia de cada oscilador eletromagnético está limitada a 
certos valores discretos e não pode ser alterada arbitrariamente. Esta proposta colide 
frontalmente com o ponto de vista da física clássica (o qual está baseado no principio da 
eqüipartição, usado por Rayleigh), em que todas as energias possíveis são permitidas. A 
limitação da energia ter somente valores discretos é chamada de quantização da energia. Em 
especial, Planck descobriu que poderia reproduzir a distribuição de valores observada 
experimentalmente se admitisse que as energias permitidas do oscilador eletromagnético de 
freqüência ν eram múltiplos inteiros de hν. 
E = nhν n = 0, 1, 2,3,... 
Onde h é uma constante fundamental, chamada nos dias de hoje de constante de Plnck: 
9 
 
dE = ρdλ 
Esta expressão ajusta-se muito bem à curva experimental em todos os comprimentos de 
onda, e o valor de h, que é um parâmetro indeterminado na teoria, pode ser obtido pelo 
ajustamento da curva aos pontos experimentais. O valor aceito nos dias de hoje para h é 
6,62608x10
-34 
J s. 
Na hipótese de Planck os osciladores só se excitam quando podem adquirir energia 
pelo menos igual a hv. Esta energia é muito grande no caso dos osciladores de freqüência 
muito alta, que ficam então inativos. O efeito da quantização é o de reduzirem – se as 
contribuições dos osciladores de freqüência elevada, pois não podem ser significativamente 
excitados com a energia disponível para a excitação. 
 
EFEITO FOTOELÉTRICO 
 
A observação de que a partícula eletromagnética de freqüência ν possui somente 
energias 0, hν, 2 hν, ..., sugere que se pode imaginar esta radiação como consistindo em 0,1, 2, 
... partículas, cada qual com a energia hν. Atualmente, estas 
partículas da radiação eletromagnética são chamadas de fótons. 
Outros indícios do caráter corpuscular da radiação 
provêm da medida das energias dos elétrons emitidos no efeito 
fotoeletrico. Este efeito é o da emissão de elétrons por metais 
expostos à radiação ultravioleta. 
As características do efeito fotoelétrico observadas experimentalmente são as seguintes: 
a) Não há emissão de elétrons, qualquer que seja a intensidade da radiação, a menos 
que a freqüência desta radiação seja mais elevada que um certo valor, o limiar de 
freqüência, característico do metal. 
b) A energia cinética dos elétrons cresce lineamente com a freqüência de radiação 
incidente, mas é independente da intensidade desta radiação. 
c) Mesmo em intensidades muito baixas da luz incidente, os elétrons são emitidos 
imediatamente depois da iluminação, desde que a freqüência seja superior ao limiar 
de freqüência. 
Einstein admitiu que o efeito fotoelétrico, ou seja, a ejeção de um elétron do metal, 
ocorre quando este elétron está envolvido numa colisão com um projétil, uma partícula, que tem 
energia suficiente para arrancá-lo do metal. Se admitirmos que o projétil responsável pelo efeito 
seja um fóton de energia hv, em que v é a freqüência da radiação, a conservação da energia 
exige que a energia cinética do elétron emitido seja dada por 
10 
 
 
Nessa expressão, ϕ é um parâmetro característico do metal, chamado função 
trabalho, que é a energia necessária pra remover o elétron do interior do metal e levá-lo 
até o infinito. 
A conseqüência dessa interpretação do efeito fotoelétrico é considerar que a radiação 
eletromagnética se comporta como partícula. 
 
 
MODELO ATÔMICO DE BOHR 
 
Em 1913, o pesquisador Niels Bohr publicou um polêmico modelo de átomo de 
hidrogênio. A princípio, o seu modelo fazia uma analogia do sistema solar com o sistema 
atômico. Da mesma forma que planetas giram em torno do sol, atraídos pela força gravitacional, 
os elétrons girariam em torno do núcleo atômico, atraídos pela força eletrostática. Assim todas 
as equações da mecânica clássica, conhecidas para o sistema solar, poderiam ser aplicadas ao 
sistema atômico, ajustando a natureza da força de atração envolvida. 
 O sistema é considerado newtoniano, no entanto um grave problema surge quando esta 
analogia é feita nos seus detalhes. Nessa mecânica newtoniana, sabe-se que jamais um elétron 
(corpúsculo com carga elemetar de 1,6x10
-19
 Coulombs) poderá permanecer em órbita 
estacionária, em torno do núcleo, sem estar submetida a um processo de aceleração. Segundo os 
princípios da mecânica clássica, um elétron gira em torno de um núcleo positivo sem absorverenergia, irá obrigatoriamente emitir um arco-íris de cores, até finalmente colapsar com o núcleo. 
Niels Bohr (1913) observou o espectro de linhas de determinados elementos e admitiu 
que os elétrons estavam confinados em estados específicos de energia. Esses foram 
denominados órbitas. 
Os postulados de Bohr: 
 
i. O elétron, no átomo, só pode estar em certos estados estacionários com energias fixas e 
bem definidas; 
ii. Só há emissão de radiação eletromagnética quando da passagem de um estado de maior 
energia (Ej) para um de menor energia (Ei). Além disso, ΔE = Ej – Ei = hν. Não ocorre 
emissão nem absorção em um estado estacionário; 
iii. Em um estado estacionário, o elétron se move em uma órbita circular em torno do 
núcleo; 
iv. Os estados eletrônicos permitidos são aqueles no qual o momento angular do elétron é 
quantizado: l = nћ. 
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O principal triunfo da teoria de Bohr foi a precisão com que a teoria pode interpretar o 
espectro do átomo de hidrogênio. 
 
 Equação para as órbitas 
 
De acordo com os postulados (i) e (iii), o elétron movia-se em um átomo ao redor do 
núcleo em órbitas circulares de tamanho e energia fixos. 
 
Bohr deduziu uma equação para as órbitas do elétron, partindo do princípio de que para 
o elétron se manter estável em sua órbita é necessário que: 
Força coulômbica = força centrífuga 
 
 
Do postulado 4 temos: l = nћ 
 
 
 
 
Igualando 1 a 2, temos: 
 
 
 
Para n=1 e Z= 1 
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a0 é igual ao raios de Bohr 
Então podemos reescrever que para qualquer n temos, 
 
 Equação para as energias 
 
Pelo principio da conservação da energia, sabe-se que a energia total do elétron (E) é: 
 
Energia total = Energia cinética + Energia potencial 
 
 
 
 
 
Unidade atômica de energia (u.a) ou 1 Hartre 
 
A energia em unidade atômicas 
 
 
Algumas considerações acerca das energias de Bohr: 
 Somente certas energias são permitidas; 
 O átomo possui E < 0 com relação ao núcleo e elétrons separados; 
 Explica os níveis de energia do H e dos átomos hidrogenóides (He+, Li+2, ...) 
 
Virtudes e Limitações do Modelo de Bohr 
Conforme vimos, as equações de Bohr permitem: 
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♦ encontrar os valores consistentes das energias permitidas para o hidrogênio e sistemas 
atômicos hidrogenóides; 
♦ explicar os espectros dos sistemas hidrogenóides, sobretudo o do átomo de hidrogênio 
(concordante com a equação de Rydberg). 
Todavia, a teoria e as equações de Bohr: 
♦ não permitem explicar a tabela periódica de modo satisfatório; 
♦ não explicam o fato de, por exemplo, o elétron de valência do Li ter, segundo medidas 
magnéticas, momento angular orbital igual a ZERO, quando o valor postulado por Bohr seria 
igual a 2 x h/2π. Além disso, experimentos semelhantes realizados com o hidrogênio mostram 
que o valor do momento é ZERO (n = 1); 
 ♦ não explicam a formação das ligações químicas – somente a “mecânica quântica” foi 
capaz de explicar isso e o comportamento dos elétrons nas moléculas. 
 
Conclusão: 
Embora o modelo proposto por Bohr seja satisfatório para o caso do átomo de 
hidrogênio, ele é falho para átomos multieletrônicos. Assim, esse modelo foi substituído por 
uma teoria capaz de explicar não só a estrutura de todos os átomos, mas as propriedades dos 
elementos da tabela periódica e as ligações químicas. Com efeito, modelo de Bohr foi 
abandonado doze anos depois para dar lugar a uma teoria mais bem-sucedida denominada 
“mecânica ondulatória ou mecânica quântica”. 
Todavia, a introdução da noção de “número quântico” e de níveis de “energia quantizada” 
pelo modelo de Bohr desempenhou um papel importante para a nossa compreensão sobre a 
estrutura atômica. 
 
DUALIDADE PARTÍCULA-ONDA DO ELÉTRON 
 
A teoria de Bohr não poderia explicar satisfatoriamente a estrutura atômica, pois sua 
teoria ignora o fato da dualidade partícula-onda do elétron. Vimos a pouco que a radiação 
eletromagnética pode se comportar como partícula, e experimentos como a difração dos elétrons 
indica que estes podem se comportar como onda, o que contrária as leis da física clássica. Um 
físico francês sugeriu em 1924 que qualquer partícula, e não apenas fótons, deslocando-se com 
um “momento linear” p tem um comprimento de onda dado pela relação de Broglie. 
 
Ou seja, uma partícula com momento linear grande tem comprimento de onda curto. Os 
corpos macroscópicos têm momentos grandes (mesmo quando se deslocam com velocidades 
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pequenas) que os respectivos comprimentos de onda são imperceptivelmente pequenos, e as 
propriedades ondulatórias que possuem não podem ser observadas. 
 
O duplo caráter, da onda e da partícula, exibido pela matéria e pela radiação, é chamado 
de dualidade onda-partícula. A dualidade atinge o coração da física clássica, onde as ondas e as 
partículas são consideradas como entidades independentes. Vimos também que a energia da 
radiaçãoeletromagnética, e a da matéria, não podem variar continuamente, e que no caso de 
corpos muito pequenos a descontinuidade da energia é muito importante. Na mecânica clássica, 
em contraste, as energias podem variar continuamente. A falha completa da física clássica no 
tratamento de corpos pequenos indicava que os seus conceitos fundamentais eram falsos. Uma 
nova mecânica tinha que ser desenvolvida para substituí-la. 
Outro princípio ignorado por Bohr foi o princípio da Incerteza. O princípio da incerteza 
de Heisenberg é um dos resultados mais famosos e mais importantes da mecânica quântica: 
 
“É impossível especificar, simultaneamente e com a precisão que se quiser o momento e 
a posição de uma partícula.” 
 
Esta afirmativa tem tamanha importância na mecânica quântica, que ele é introduzido 
como uma distinção fundamental entre a mecânica clássica e a mecânica fundamental. 
 
MODELO QUÂNTICO DO ÁTOMO. 
 
Em 1926, o físico austríaco Schrödinger, inspirado na tese de Broglie e na teoria de 
Hamilton-Jacobi (uma versão da mecânica clássica), desenvolveu a equação de onda da 
mecânica ondulatória. Aplicou essa equação ao modelo do átomo de Bohr e demonstrou que os 
valores das energias assim quantizadas estavam de acordo com os resultados experimentais e 
eram exatamente iguais aos que tinham sido obtidos por um método mais abstrato desenvolvido 
um ano antes por Heisenberg. Essa equação, hoje chamada equação de Schrödinger, é a base 
dos cálculos das energias de átomos e moléculas, como um postulado fundamental da Mecânica 
Quântica. A equação de Schrödinger indica que um operador de energia total, denominado 
Hamiltoniano (Ĥ), operando sobre uma função de onda ( ), resgata essa função de onda e 
estabelece a energia do sistema ( ). 
 
Para clarear nossas idéias vamos ver o exemplo: 
Considere a função de onda (plana), 
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onde: 
A0 é a amplitude 
k é número de onda = 2π/λ 
 
 
 
 
 
 
Observe que resgatamos a função de onda, então temos: 
 
Quando um operador é aplicado à função de onda que descreve o sistema físico obtêm-se uma 
observável. Onde o operador no caso é e o auto valor da equação é P² . 
Então, podemos escrever os alguns dos postulados da mecânica quântica: 
Postulado 1: Para todo sistema mecânico quântico existe uma função de onda que contém uma 
descrição completa do sistema. 
Postulado 2: Para toda variável observada experimentalmente há um operador associado. 
 
Antes de continuarmos a discussão vamos observar a correlação entre o momento da 
partícula e o momento de uma onda. 
 
 
 
Para ondas: 
 
 
 
Para partículas: 
 
E = T + V 
 
 
16Onda = partícula 
 
 
 
 
 
 
 
 
O termo é colchetes é denominado de operador hamiltoniano Ĥ, que nada mais é que a energia 
total do sistema, ou seja, a soma energia cinética e potencial do sistema. 
Esta é a equação de Schrödinger a uma dimensão, independente do tempo, note que a 
variável tempo não aparece explicitamente. A equação independente do tempo é suficiente para 
resolver os chamados problemas estacionários (que não dependem do tempo) e que constituem 
muitos dos problemas da química. 
A equação pode ser generalizada às três dimensões do espaço: 
 
 
 Interpretação de Born para a função de onda 
 
A admissão fundamental da mecânica quântica é que a função de onda contém toda a 
informação sobre a dinâmica do sistema que ela descreve. Vamos focalizar a informação que ela 
proporciona sobre a localização da partícula. A interpretação da função de onda em termos de 
localização da partícula baseia-se numa sugestão exposta por Max Born, que se aproveitou de 
uma analogia com a teoria ondulatória da Luz. Nesta teoria, o quadrado da amplitude de um a 
onda eletromagnética da Luz (numa certa região do espaço) é interpretado como a intensidade 
da luz ou (em termos quânticos) como uma medida da probabilidade de se encontrar o fóton 
nesta região do espaço. 
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Então para uma função de onda para um caso unidimensional: 
Se a função de onda de uma partícula vale ψ num certo ponto x, a probabilidade de se 
encontrar a partícula entre x e x+dx é proporcional a |ψ|2dx. ( |ψ|2 = ψ* ψ; ψ* é o conjugado de 
ψ, se ψ for uma função complexa) 
 
De maneira mais simples temos que o quadrado da função de onda nos fornece uma 
medida de probabilidade de se encontrar o elétron em uma dada região. 
 
Obs. A interpretação de Born afasta qualquer dificuldade sobre o significado de valores 
negativos (ou complexos) de ψ, pois |ψ|2 é sempre real e nunca negativo, tendo assim 
significado físico. 
 
Quantização 
 
Restrições imposta pela interpretação de Born: 
 
A solução da equação de Schrödinger não pode levar a mais de um valor |ψ|2, num 
mesmo ponto. A interpretação de Born exclui esta solução, pois seria absurdo que a partícula 
tivesse mais de uma probabilidade para estar nas vizinhanças de um mesmo ponto. 
 
Essas restrições são tão severas que, em geral, as soluções aceitáveis da equação de 
Schrödinger não existem para valores arbitrários de energias, ou seja, são quantizadas. 
 
1.0 Rotação em três dimensões: a partícula em uma esfera. 
 
(a) A equação de Schrödinger. 
 
O hamiltoniano para o movimento em três dimensões é, em coordenadas cartesianas 
 Eq.15 
Para encontrar as funções de onda do elétron no átomo de hidrogênio, a Eq. 6 pode ser 
expressa em termos das coordenadas polares descritas polares. 
 
18 
 
Fig. 6 - As coordenadas esféricas polares: r é o raio, θ é a latitude e φ é o ângulo azimutal. 
 
A mudança de coordenadas de cartesianas (x,y e z) para coordenada polares (r, θ, ϕ) 
uma forma de facilitar os cálculos, podendo então a equação ser simplificada pelo procedimento 
da separação de variáveis, quando se exprime a função de onda na forma do produto. 
Ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Y(θ,ϕ) Eq. 16 
onde: 
R(r) ⇒ função de onda radial, pois depende apenas da distância elétron-núcleo (r);a 
função de onda radial nos fornece o número quântico principal. 
Y(θ, ϕ) ⇒ função de onda angular, pois depende apenas dos ângulos θ e φ; a 
função de onda angula nos fornece os números quânticos l e ml 
A resolução da Eq. 16 – realizada em cursos avançados de química – permite encontrar 
as funções de onda exatas que descrevem o comportamento do elétron no átomo de hidrogênio. 
Para átomos com mais de um elétron (átomos polieletrônicos) as soluções são obtidas de 
maneira aproximada, devido aos problemas de repulsão intereeletônica e correlação 
eletrônica. 
A função de onda obtida para o estado fundamental do hidrogênio é: 
 
Outras funções de onda do hidrogênio são mostradas na Tab. 4 
19 
 
 
 
 
Como ψ2 é a probabilidade por unidade de volume, ele é chamado de “densidade de 
probabilidade ou densidade eletrônica”. 
A distribuição da densidade de probabilidade no espaço gera o que se chama de 
nuvem eletrônica. A forma dessa nuvem eletrônica definirá a forma geométrica (não 
física ou material) de um orbital. Além disso, cada orbital corresponde a uma 
combinação particular de números quânticos n, l, m l e ms. 
Para o orbital 1s temos: 
 
Fig. 7 - Nuvem eletrônica do orbital 1s do hidrogênio 
20 
 
Nas Fig. 8, 9 e 10 mostra-se a superfície limite dos três orbitais 2p, dos cinco orbitais 3d e 
dos 7 orbitais f, respectivamente. Ao contrário dos orbitais s, os orbitais p, d e f não são 
esfericamente simétricos, porém têm a forma de “lóbulos esferoidais”. Nesses orbitais, a 
densidade eletrônica não segue uma simetria esférica, mas se concentra em uma determinada 
direção do espaço. Por exemplo, o orbital 2px (n = 2, l = l e m l = -1) apresenta uma maior 
densidade na direção do eixo x, o 2py no eixo y e assim por diante. Isto significa dizer que todos 
os orbitais p possuem propriedades direcionais definidas. As propriedades dos orbitais p nos 
permitem compreender o porquê das moléculas apresentarem geometrias também definidas. 
 
Fig. 8 - A superfície limite dos orbitais 2p do átomo de hidrogênio. 
 
Fig. 9- A superfície limite dos orbitais 3d do átomo de hidrogênio. 
 
 
Fig. 10 - A superfície limite dos sete orbitais f do átomo de hidrogênio. 
 
21 
 
A resolução da equação de Schrödinger mostra que as funções de onda aceitáveis são 
especificados por números quânticos l e ml, que estão restritos aos valores 
l = 1, 2, 3,... ml = l, l-1,..., -l 
O número quântico momento angular orbital l é não negativo e, para um dado valor de l, há 
2l+1 valores permitidos do número quântico, ml. As funções de onda normalizadas são 
simbolizadas por Yl.ml (θ,ϕ) e são chamadas de harmônicos esféricos, descrevem a forma dos 
orbitais. 
 
(b) Números Quânticos e o Átomo de Hidrogênio 
 
A resolução da equação de Schrödinger resultou no aparecimento dos números quânticos 
necessários para descrever o átomo de hidrogênio: três números quânticos orbitais e um 
relacionado com o spin do elétron. 
 
A seguir são descritos os quatro números quânticos: 
1. O número quântico principal, n. Este só pode ter valor inteiro positivo diferente de zero, 
ou seja, n = 1, 2, 3, ...., ∞. Tal como o próprio nome indica, este ele é o número quântico 
mais importante visto que define a energia (E) do átomo de hidrogênio (ou qualquer outro 
sistema monoeletrônico de carga nuclear igual a Z) através da equação: 
 
onde “m” (= 9,11 x 10-31 Kg) e “e” (= - 1,60 x 10-12 C) são a massa e a carga do elétron e ε0 é a 
constante de permissividade (= 8,85 x 10-12 C
2
 / N m
2
). Esta expressão – obtida a partir da 
aplicação da equação de Schrödinger – é idêntica à encontrada por Bohr (Eq. 13). 
2. O número quântico do momento angular orbital, l. Define o momento angular quantizado 
do elétron devido ao seu movimento angular em torno do núcleo. Associado ao movimento do 
elétron existe uma energia cinética que é limitada pela energia total definida por n, logo é 
natural que l também depende de n. De acordo com evidências teóricas e experimentais, l pode 
assumir qualquer valor inteiro na faixa de 0 a n – 1, isto é, 0, 1, ..., n-2, n – 1. 
3. O número quântico magnético orbital, m l. O movimento do elétron em torno do núcleo 
também gera um momento magnético quantizado (campo magnético) cujos valores permitidos 
são definidos por ml que, por sua vez, depende de l. Existem evidênciasde que m l pode assumir 
qualquer valor inteiro no intervalo de – l a + l, ou seja, m l = – l, – l + 1, ..., 0, ..., l – 1, l, 
perfazendo 2 l + l valores possíveis. 
22 
 
4. O número quântico magnético do spin do elétron, ms. O elétron também gera um 
momento magnético de spin (ms). O ms especifica o spin do elétron e pode ter somente dois 
valores: + ½ ou – ½. Algumas evidências experimentais suportam a hipótese para o spin do 
elétron, tais como: 
a) A estrutura fina, incluindo o efeito Zeeman anômalo, do espectro atômico; 
b) A experiência de Stern e Gerlach. 
 
Os números quânticos e seus significados são resumidos na Tab. 2. 
 
Desse modo, ms juntamente com n, l e ml, completa o conjunto dos quatro números 
quânticos necessários para uma descrição completa do átomo de hidrogênio. Portanto, a função 
de onda completa depende de três coordenadas espaciais (n, l, ml) e de uma coordenada de spin 
(ms): Ψn, l, ml, ms. 
 
Ao contrário da teoria de Bohr, a mecânica quântica não precisou postular a existência 
de números quânticos, pois estes surgiram naturalmente durante a resolução da equação de 
onda, como uma conseqüência natural do caráter ondulatório exibido pelo elétron. 
 
Efeitos de Penetração dos Orbitais e Blindagem da Carga Nuclear 
 
No átomo de hidrogênio, as subcamdas s, p, d e f de qualquer uma das camadas 
quânticas possuem a mesma energia, já que só há um elétron. Entretanto, em um átomo 
polieletrônico, os elétrons repelem-se e, assim, modificam o campo em torno de núcleo Fig 11. 
23 
 
 
Fig. 11 – Níveis de energias dos orbitais: a) no átomo de hidrogênio; b) no átomo de lítio. 
 
Os elétrons que passam a maior parte do tempo próximo ao núcleo protegem da carga 
do núcleo aqueles que passam, em média, a maior parte do tempo mais afastados. Este efeito é 
conhecido como efeito de blindagem, e leva a diminuição da carga nuclear sentida por um 
elétron na camada de valência de um átomo. 
A carga nuclear de fato sentida por um elétron é conhecida como carga nuclear 
efetiva, Zef. O grau de blindagem sofrida por um elétron em um dado orbital, devido aos 
elétrons de outros subníveis, depende do grau de penetração deste elétron na nuvem do cerne 
de elétrons em torno do núcleo. Quanto mais penetrante for o orbital, em média, mais próximos 
do núcleo se encontrarão seus elétrons, que sofreram o efeito de uma Zef maior. Os gráficos das 
funções de distribuição da carga radial ilustrados na figura 12 dos orbitais podem ser usados 
para ilustra estes efeitos. 
Vale salientar que o elétron de valência do Li (o elétron 2s), Fig. 11, não sente a atração 
da carga nuclear total (Z = 3) por causa dois elétrons internos (1s) que blindam (protegem) o 
núcleo. Isto significa que os elétrons 1s enfraquecem a força de atração do núcleo sobre o 
elétron 2s devido às forças de repulsão que operam entre eles. Contudo, é importante ter em 
mente que o efeito de blindagem é mais significativo quando produzido por elétrons internos. 
De fato, quando a interação repulsiva ocorre entre elétrons externos a componente da repulsão 
que enfraquece a força de atração nuclear sobre o(s) elétron(s) externo(s) é pequena. 
 
24 
 
 
Fig. 12 - Densidade de probabilidade radial para alguns orbitais do átomo de hidrogênio. 
 
Observa-se na Fig. 12 que: 
i. O elétron “1s” do hidrogênio passa a maior parte do tempo próximo ao núcleo; 
ii. Em média, um elétron “2s” passa a maior parte do tempo a uma distância maior do núcleo 
que o elétron “1s”; 
iii. Como conseqüência de (ii), o elétron “1s” tem uma energia menor que a energia do “2s” 
(constatado experimentalmente); 
iv. A probabilidade dos elétrons estarem mais próximos do núcleo segue a ordem: s > p > d > f. 
Isto implica que a energia: s < p < d < f para o mesmo valor de n (número quântico principal). 
 
O comportamento descrito no item (iv) pode ser observado em “átomos 
multieletrônicos ou polieletrônicos” e deve ser aplicado para explicar: 
i. juntamente com a “blindagem da carga nuclear”, o desdobramento das energias dos 
orbitais nos átomos multieletrônicos; 
ii. configuração eletrônica. 
E, conseqüentemente, permite explicar: 
i. a periodicidade química; 
ii. as propriedades dos elementos da tabela periódica; 
iii. a formação das ligações químicas, etc. 
 
O efeito de blindagem pode ser avaliado utilizando-se a “carga nuclear efetiva (Zef)” 
definida como: 
25 
 
Zef = Z - b (25) 
onde “b” é a constante (ou melhor, fator) de blindagem, a qual pode ser calculada usando as 
regras de Slater descritas a seguir. 
 
Regras de Slater para o Cálculo Aproximado de Constantes de Blindagem 
a) As regras para calcular a constante de blindagem (b) de elétrons “s” e “p” encontram-se 
descritas abaixo: 
a.1) Cada elétron “ns” ou “np” blinda outro no mesmo tipo de orbital com fator 0,35, exceto o 
elétron 1s que blinda o outro com constante 0,30; 
a.2) Elétrons em orbitais com (n-1) blindam com constante igual a 0,85; 
a.3) Elétrons mais internos (ou seja, em orbitais com n-2, n-3, etc) blindam com constante b = 1. 
 
b) Relativamente aos elétrons “d” e “f”, as seguintes regras podem ser consideradas: 
b.1) Elétrons “nd” e “nf” blindam com constante igual a 0,35; 
b.2) Elétrons em orbitais “nd” e “nf” são blindados pelos mais internos (n ou n-1 s e p) com b = 
1; 
b.3) A contribuição para b é “zero” para qualquer elétron em orbital exterior ao considerado. 
 
Exemplos: 
1) Calcule o valor de b e Zef para o elétron 2s do Li (Z = 3) 
Configuração eletrônica do Li: 1s
2
 2s
1
. Então, como só existe um elétron no orbital 2s do Li, 
logo não há blindagem produzida por outro elétron nesse orbital. Contudo, os dois elétrons 1s 
contribuem para a blindagem do 2s, de acordo com o cálculo a seguir: 
b2s (total) = 2 x 0,85 = 1,70 (regra a.2) 
Zef (2s) = Z - b2s (total) = 3 - 1,70 = 1,30. 
2) Calcule o valor de b e Zef para um elétron 2s e 2p do átomo de F (Z = 9) 
 
Configuração eletrônica completa do F: 1s
2
 2s
2
 2p
5
 
Os elétrons 2s e 2p blindam entre si com b = 0,35 para cada elétron (regra a1) e são 
blindados pelos elétrons internos 1s com b = 0,85 para cada elétron (regra a.2). Assim, a 
constante de blindagem total sobre um elétron 2s ou 2p é calculada como: 
b2s ou 2p (total) = 6 x 0,35 + 2 x 0,85 = 3,8. Então, 
Zef (2s ou 2p) = Z - b2s ou 2p (total) = 9 - 3,8 = 5,2 
2) Determine o valor de b e Zef para um elétron 3d e 4s do Mn (Z = 25). 
A configuração eletrônica completa do Mn é: 1s
2
 2s
2
 2p
6
3s
2
3p
6
3d
5
4s
2
 
♦ Elétron 3d: 
Como os elétrons 4s são externos, logo eles não blindam os elétrons 3d. Sendo assim, 
26 
 
b3d (total) = 4 x 0,35 + 18 x 1 = 19,4 
Zef (3d) = Z – b3d (total) = 25 - 19,4 = 5,6 
♦ Elétron 4s: 
b4s (total) = 1 x 0,35 + 13 x 0,85 + 10 x 1 = 21,4 
Zef (3d) = Z – b3d (total) = 25 - 21,4 = 3,6 
 
Princípio da exclusão de Pauli e a configuração eletrônica. 
 
Com se pode notar, a equação Schrödinger possibilitou realizar um tratamento 
matemático completo do átomo de hidrogênio o que levou a resultados bastante coerentes com 
os dados experimentais. Além do tratamento do átomo de hidrogênio ter sido um importante 
teste para a mecânica quântica, as informações obtidas para o sistema atômico mais simples (o 
átomo de hidrogênio) serviram para discutir e prever o comportamento dos elétrons em sistemas 
mais complicados (átomos multieletrônicos). 
O spin do elétron mostrou-se ter um papel fundamental para a compreensão da estrutura 
fina nos espectros de átomos monoeletrônicos. A presença do spin do elétron impõe uma regra 
especial na construção de estados estacionáriosde átomos multieletrônicos. Essa regra se deve a 
uma simetria intrínseca associada a sistema de partículas idênticas (observar informações 
extras), e se resume como segue: 
 
“Dois elétrons não podem ocupar um mesmo estado quântico especificado por números 
quânticos (n, l, ml, ms)”. 
 
Refere-se a essa regra como o principio de exclusão de Pauli, que deve ser utilizado 
como uma condição adicional nas soluções da equação de Schrödinger para átomos 
multieletrônicos. A energia de um dos elétrons deve estar relacionada, portanto quânticos n e l. 
Os níveis de energia Enl, denominado aqui de sub-camadas atômicas, estão relacionadas a um 
desdobramento dos níveis de energia de Bohr En, identificados neste contexto como as camadas 
atômicas. A energia Enl não dependem nem de ml e nem de ms. Existem, portanto, 2(2l+1) 
degenerescências de estados como a mesma energia Enl correspondentes aos dois possíveis 
valores de ms e 2l+1 possíveis valores de ml. Cada um desses 2(2l+1) estados é um orbital 
atômico que pode ser ocupado por somente um elétron. Por exemplo para a subcamda 2p temos 
três possibilidade de por um elétron no orbital p, como l =1 para o orbital p, temos valores de ml 
iguais a -1,0,+1, ou seja temos três orbitais para por este elétron (2l +1 = 3), como para cada ml 
o valor de ms varia em +1/2 e -1/2, temos então duas possibilidades de preenchimento para cada 
27 
 
orbital com ↑ ou ↓, se temos 3 orbitais para p então temos seis possibilidades de preenchimento 
que igual 2(2l+1). 
 
Tab. 3 - Números quânticos, orbitais e estados energéticos possíveis para o átomo de hidrogênio 
 
 
A energia Enl aumenta com n para l fixo e também aumenta com l para n fixo. As figuras 
11 e 14 que, às vezes, não é simples fazer uma ordenação correta de níveis de energia. Por 
exemplo, para alguns valores de Z, os subníveis 3d e 4s são tão próximos que podem competir 
como estado mais baixo de energia na alocação do último elétron atômico. Uma conclusão 
similar pode ser tirada para os subníveis 5s e 4d e outros de mais alta energia. 
Os efeitos de blindagem e de penetração ficam aparentes ao se analisar como as 
energias relativas dos orbitais variam com o aumento do número atômico (figura 12 e 13). Em 
qualquer subcamada s é mais penetrante do que a subcamda p, de modo que um elétron no 
orbital s sente um Zef maior e, portanto, tem menor energia. 
 
28 
 
 
Figura 13 Gráficos da densidade eletrônica
1
 em função da distância ao núcleo para (a) os 
orbitais 4f, 5s e 5p e (b) para os orbitais 5f, 6s e 6p. 
 
Agora observe com muita atenção a figura 14. À medida que o número atômico Z 
aumenta, os elétrons s e p do cerne blindam os elétrons mais externos, reduzindo, assim, a taxa 
do aumento Zef que atua nestes elétrons. Do hidrogênio ao cálcio, com Z = 20, a subcamda 3d 
vazia encontra-se bem blindada da carga nuclear crescente pelos elétrons de cerne [Ar] ( [Ar] = 
1s
2
 2s
2
 2p
6
 3s
2 
3p
6
). Conseqüentemente, a energia dos orbitais 3d permanecem razoavelmente 
constante. Em comparação, as energias 4s e 4p vão diminuindo, á medida que estes elétrons 
penetram o cerne de [Ar]. Porém os orbitais 3d penetram nas subcamdas 4s e 4p, de modo que , 
após o Ca, um elétron d não se encontram totalmente blindado da carga nuclear crescente pela 
subcamda 4s
2
. De fato ao se atingir o escândio (Z = 21), a energia da subcamada 3d já diminui e 
chega a estar próxima da energia da subcamda 4s. 
29 
 
 
Figura 14 - Energias dos orbitais dos átomos neutros em função de Z. 
 
Devido ao pequeno efeito de blindagem de um elétron de uma subcamada d sobre os 
demais elétrons desta subcamada, a energia dos orbitais 3d continua diminuindo com o aumento 
de Zef. Ao se chegar ao gálio (Z = 31), a camada 3d encontra-se totalmente preenchida e, como 
sua energia está muito abaixo das energias das subcamadas 4s e 4p, ela deixa de fazer parte da 
camada de valência para se tornar uma subcamada do cerne. 
 
INFORMAÇÕES EXTRAS 
 
2.0 Antissimetria eletrônica 
 
Considere que α e β denotam os estados spin-orbital para duas partículas 1 e 2 então, 
 
Admitindo-se o que estas partículas são indistinguíveis, temos então duas 
possibilidades: 
 
O estado das duas partículas podem assim satisfazer uma condição de troca simétrica. 
 Eq. I 
Ou, uma condição de troca antisimétrica 
 Eq II 
30 
 
Partículas idênticas que satisfazem a equação I são denominados de bósons (é 
observada em partículas com spin inteiro) e aquelas que satisfazem a II são denominados de 
férmions (é observada em partículas com spin fracionário). Essa nomenclatura se deve ao 
desenvolvimento de leis estatísticas de distribuições térmicas de dois tipos de partículas por 
S.N. Bose e E. Fermi. 
As eq. 1 e 2 são soluções degeneradas da equação de Schrödinger, uma vez que ambos 
os produtos tem mesmo autovalor de energia Eα + Eβ. Como se sabe, qualquer combinação 
linear das duas soluções também é solução com mesma energia. A partir disso, e da exigência 
de antisimetria para os elétrons (spin fracionário), pode-se construir a seguinte solução: 
 
Uma conseqüência imediata da antisimetria da eq. é que ψ anula-se quando α e β se 
referem aos mesmos conjuntos quânticos. Conclui-se disso que dois elétrons não podem ocupar 
o mesmo estado quântico, que é a essência do principio da exclusão de Pauli. 
Então, o princípio de exclusão de Pauli pode ser expresso: 
“ A função de onda para um sistema de elétrons deve ser antisimétrico na troca de 
quaisquer conjunto de variáveis de espaço e spin.” 
Nota – se que a eq 10 49 tem estrutura de um determinante escrito por: 
 
 
 
Tem-se uma generalização óbvia, 
 
 
Para o caso de átomos com Z elétrons. Essas expressões são conhecidas como 
determinantes de Slater. As propriedades gerais desses determinantes satisfazem, 
automaticamente, o princípio de Pauli, e fornecem soluções básicas para serem usadas junto 
com o procedimento auto-consistente de Hartree-Fock. 
Deve-se enfatizar que a simetria e a antisimetria das funções de onda ψ é uma 
propriedade quântica adicional que deve ser utilizada nas soluções da equação de Schrödinger. 
 
3.0 O modelo vetorial 
 
31 
 
Deve-se atentar que spin-orbitais e energia de elétrons individuais ocupando tais orbitais 
não tem significado real (não tem significado físico). Um átomo existe num estado real, cada 
estado com uma autofunção e energia definida. Estes estados resultam das interações 
magnéticas e eletrostáticas envolvendo todos elétrons e o núcleo do átomo e podem ser 
descritos pelo uso de certos números quânticos que coletivamente incluem todos os elétrons 
presentes no átomo. Os números quânticos em questão são conhecidos como “números 
quânticos de momento angular total”- L, ML, S, MS, J e MJ que são análogos aos números 
quânticos de angular orbital e de momento angular spin de elétrons individuais - l, ml, s, ms, j e 
mj. São diferentes conjuntos de números quânticos de momento angular total – (L, S, ML e MS) 
e (L,S, J e MJ) – que caracterizam o estado do átomo nos diferentes níveis de aproximação. A 
razão para isto ocorrer é que os operadores correspondentes ao momento angulares totais 
comutam com o operador de energia eletrônica total, Ĥ (halmitoniano). Isto significa que 
autofunções de quaisquer destes operadores também são autofunções de Ĥ. Uma vez que os 
estados eletrônicos permitidos de um átomo podem ser descritos pelos números quânticos de 
momento angular total, estes podem ser usados para interpretar os espectros de átomos. O 
modelo vetorial do átomo que usa as propriedades vetoriais do momento angular orbital e do 
momento angularde spin de elétron é bem adequado para esta finalidade. As combinações 
resultantes de todas as interações que ocorrem num átomo podem ser encontradas através de 
dois diferentes esquemas de acoplamento L-S (também conhecido como Russel-Saunders) e 
acoplamento j-j. Para a maioria dos elementos da tabela periódica, o primeiro esquema é 
adequado ou ao menos uma boa aproximação. O segundo é indicado apenas para átomos mais 
pesados, onde, a interação spin-orbita do elétron é mais acentuada do que interações 
intereletrônicas. Também, é mais fácil trabalhar com o acoplamento L-S do que o J-J.