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Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES 
 
CAPACITORES 
E INDUTORES 
 
CAPITULO 04 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE 
CIRCUITOS I 
 
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4.1 INTRODUÇÃO 
 
 Destina-se o presente capítulo a apresentar o comportamento dos indutores e capacitores 
como elementos essenciais da grande maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos. Procuraremos dar 
uma abordagem qualitativa desses elementos abordando os principais aspectos relativos ao 
armazenamento de energia para em seguida apresentar as principais relações matemáticas que definem 
o comportamento desses elementos e suas propriedades. 
 Veremos ainda o conceito de dualidade, a obtenção de circuitos duais, a obtenção das 
equações íntegro-diferenciais, de malha e de nó dos circuitos contendo indutores. 
 
 
4.2 O INDUTOR 
 
 O indutor é um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas de 
energia. Ao contrário de uma fonte ideal, eles não podem fornecer quantidades ilimitadas de energia 
ou manter o fornecimento de uma determinada potência média. 
 Vamos definir indutor e indutância estritamente do ponto de vista de circuitos, por sua relação 
tensão-corrente. 
 Quando a corrente que atravessa um condutor varia, o fluxo magnético que o envolve também 
varia. Esta variação de fluxo magnético ocasiona a indução de uma voltagem num circuito próximo ao 
condutor. Esta voltagem induzida é proporcional à razão de variação da corrente geradora do campo 
magnético com o tempo. 
 Essa constante de proporcionalidade é chamada indutância e é simbolizada pela letra L. 
 A relação é, portanto: 
 
(4.1) 
 
 A unidade de indutância é Henry (H). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – O indutor ideal. 
 
 O indutor cuja indutância é definida pela expressão (4.1), é um modelo matemático; é um 
elemento ideal que pode ser usado para aproximar o comportamento de um dispositivo real. 
Fisicamente, um indutor pode ser construído enrolando-se um pedaço de fio na forma de bobina. 
 
 Um indutor, ou bobina, com a forma de hélice de passo muito pequeno, possui uma 
indutância, em Henry (H) dada por, 
 
(((( )))) (((( ))))di tv t L
dt
====
v(t) 
i(t) 
L 
+ 
- 
 
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 (4.2) 
 
 Onde, A = área da seção reta; 
 N = número de espiras; 
 l = comprimento da hélice; 
 µ = permeabilidade magnética do material que está dentro da hélice. 
 
 Para o ar µ = µ0 = 4π x 10-7 H/m. 
 
 A equação (4.1) nos mostra que a tensão no indutor só existe se houver variação da corrente 
através do indutor. De modo mais objetivo ela nos mostra que não há tensão num indutor em que 
exista apenas uma corrente constante, independentemente da magnitude dessa corrente. Logo o 
indutor é um curto-circuito para corrente contínua. 
 Um outro fato, evidenciado pela equação (4.1), é relacionado a uma variação infinita da 
corrente no indutor, como, por exemplo, a corrente variando bruscamente de um valor a outro. A esta 
descontinuidade de corrente deve estar associada uma voltagem infinita. Em outras palavras, se 
desejarmos produzir uma variação brusca na corrente de um indutor, devemos aplicar uma voltagem 
infinita. Como uma voltagem infinita de excitação não pode ser gerada por um dispositivo físico real, 
não é possível variar bruscamente a corrente num indutor. 
 A equação (4.1) também pode ser interpretada por métodos gráficos. Pela figura 4.2 podemos 
verificar a tensão resultante sobre o indutor de 3H quando é aplicado sobre o mesmo a corrente i(t) 
dada pelos gráficos: 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2N AL
l
µµµµ
====
t(s) -1 0 1 2 3 t(s) 
1 
i(t) (A) 
-1 0 1 2 3 
v(t) (V) 
3 
t(s) -0,1 0 1 2 2,1 t(s) 
1 
i(t) (A) 
2 
v(t) (V) 
30 
-3 
-30 
2,1 -0,1 0 
 
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c) 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Efeito de variação da corrente sobre um indutor de 3H. 
 
4.3 RELAÇÃO PARA CORRENTE E ENERGIA NO INDUTOR 
 
 Da equação de definição do indutor podemos escrever: 
 
 
 
 Fazendo a integração de t0 a t: 
 
 
 
 
 
 
 Para t0 = 0-: 
 
(4.3) 
 
 
 A equação (4.3) nos fornece a corrente em função da voltagem e i(0-) pode ser considerada 
como a corrente existente no indutor em t = 0- antes da aplicação da voltagem v(t). 
 Para um problema real, a seleção de t0 = -∞ assegura a não existência de corrente ou energia 
inicial no indutor. Assim se i(t0) = i(-∞) = 0, então: 
 
(4.4) 
 
 
 O fluxo magnético num indutor atravessado por uma corrente i(t) é dado por: 
 
(4.5) 
 
 Vamos deter nossa atenção para potência e energia. A potência absorvida é dada pelo produto 
tensão-corrente. 
 
(4.6) 
 
 
(((( ))))ldi v t dt
L
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
0 0
0
i t t
i t t
t
0 t
ldi v t dt
L
li t i t v t dt
L
====
− =− =− =− =
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫
(((( )))) (((( )))) (((( ))))t
0
li t i 0 v t dt
L −−−−
−−−−
= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))tli t v t dt
L −∞−∞−∞−∞
==== ∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))t L i t Wbφ = ⋅φ = ⋅φ = ⋅φ = ⋅
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))di tp t v t i t L i t W
dt
= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅
t(s) 
-∞ 
0 1 2 t(s) 
1 
i(t) (A) 
2 
v(t) (V) 
∞ 
-0,1 0 
 
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 A energia ωL recebida pela indutância é armazenada pelo campo magnético no intervalo de 
tempo desejado. 
 
 
 
 Logo, 
 
 
(4.7) 
 
 
 
 Considerando que em t0 a energia seja zero: 
 
(4.8) 
 
 
 Vamos agora fazer uma lista das principais características de um indutor e que resultam da sua 
equação de definição. 
1. A voltagem num indutor é zero se a corrente que passa através dele for independente do 
tempo. Uma indutância é, portanto, um curto-circuito para corrente contínua. 
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num indutor, mesmo que a 
voltagem na indutância seja zero, caso em que a corrente é constante. 
3. É impossível alterar instantaneamente, de um valor finito a corrente num indutor, pois 
isto requer um valor infinito de voltagem. 
4. Um indutor ideal nunca dissipa energia, apenas armazena. 
 
 Exemplo: 
 
 Determine a corrente em um indutor de 5H se a tensão for de (((( ))))
230t , t 0v t
0, t < 0
 >>>>
==== 
. 
 Determine também, a energia armazenada em 0 < t < 5s. 
 
 Solução: 
 
 Como (((( )))) (((( ))))
0
 t
0 t
1i v t dt i t
L
= += += += +∫∫∫∫ e L = 5H, 
 
 
3 t 2 3
0
1 ti 30t .dt 0 6 2t A
5 3
= + = × == + = × == + = × == + = × =∫∫∫∫ 
 
 A potência é a 5p v.i 60t= == == == = e a energia armazenada é, portanto, 
 
56 5 5
 0
0
tw p.dt 60t .dt 60 156,25kJ
6
= = = == = = == = = == = = =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
0 0 0
t t i t
t t i t
dip dt L i dt L i di
dt
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 2L L 0 01t t L i t i t J2     ω −ω = ⋅ −ω −ω = ⋅ −ω −ω = ⋅ −ω −ω = ⋅ −    (((( )))) (((( ))))2L 1t L i t J2ω = ⋅ω = ⋅ω = ⋅ω = ⋅
 
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 Alternativamente, podemos obter a energia armazenada utilizando a Equação (4.7), dispondo 
 
 
 (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))25 2 30 1 1 1w L.i 5 L.i 0 5 2 5 0 156,25kJ2 2 2= − = × − == − = × − == − = × − == − = × − = 
 
 como obtido anteriormente. 
 
 
 
4.4 O CAPACITOR 
 
 O capacitor é também um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas 
de energia. 
 Através da relação corrente-tensão podemos definir capacitor e capacitância como sendo: 
 
(4.9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – O capacitor ideal. 
 
 O capacitor, cuja capacitância é definida pela equação (4.9) é, novamente, o modelo 
matemático de um dispositivo real. A construção do elemento físico é sugerida pelo símbolo do 
capacitor do mesmo modo que o símbolo em hélice usado para o indutor representa o fio enrolado 
desse elemento de circuito. Fisicamente um capacitor consiste de duas superfícies condutoras em que 
cargas podem ser armazenadas e essas superfícies são separadas por uma resistividade bastante 
elevada. 
 
 
 
 Um capacitor construído com duas placas condutoras em paralelo, com área A, separadas por 
uma distância d, possui uma capacitância: 
 
(4.10) 
 
 
 onde: ε = permissividade ou constante de isolação do material entre as placas. 
 
 
(((( )))) dvi t C
dt
====
AC
d
ε ⋅ε ⋅ε ⋅ε ⋅
====
+ 
- 
v(t) 
i(t) 
C 
 
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 Para o ar ou vácuo: 
 
 
 
 
 Várias características importantes do capacitor podem ser analisadas através da sua equação 
de definição. 
 Uma voltagem constante através de um capacitor requer que uma corrente nula passe por ele, 
logo o capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. É também evidente que uma 
mudança brusca de tensão implica numa corrente infinita. Como não existe dispositivo físico real 
que forneça uma corrente infinita, o capacitor não permite uma mudança instantânea da tensão 
sobre ele aplicada. Esta restrição será retirada quando admitirmos a existência de correntes 
impulsivas. 
 
 
4.5 RELAÇÕES PARA TENSÃO E ENERGIA NO CAPACITOR 
 
 A voltagem num capacitor pode ser obtida através da equação (4.9). 
 
 
 
 Integrando de t0 a t: 
 
 
 
 
 Quando t0 = 0-: 
 
(4.11) 
 
 
 Considerando o capacitor descarregado em t = 0-, isto é, v(0-) = 0 e como a integral da corrente 
é a carga armazenada sobre as placas do capacitor: 
 
 
 
 Logo: 
 
(4.12) 
 
 A similaridade entre as várias equações integrais introduzidas nesta seção e as que aparecem na 
discussão sobre indutância é enorme e sugere que a dualidade pode ser aplicada entre indutâncias e 
capacitâncias. 
 Considere o exemplo da figura 4.4 em que uma tensão v(t) é aplicada sobre um capacitor de 
5µF e observe a corrente resultante. 
 
 
 
9
12
0
F 10 F8,85 10
m 36 m
−−−−
−−−−ε = ε = × =ε = ε = × =ε = ε = × =ε = ε = × =
ππππ
(((( )))) (((( ))))1dv t i t dt
C
= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
(((( )))) (((( ))))
0
t
0t
1v t i t dt v(t )
C
= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +∫∫∫∫
(((( )))) (((( )))) (((( ))))t
0
1v t v 0 i t dt
C −−−−
−−−−
= += += += + ∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))q tv t
C
====
(((( )))) (((( ))))q t C v t= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
 
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Figura 4.4 – Efeito de variação da tensão sobre um capacitor de 5µF. 
 
 
 Para determinação da energia armazenada num capacitor ao qual é ligada uma fonte de tensão, 
consideremos a potência entregue ao capacitor. 
 
 
 
 
 A energia é a integral da potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a energia armazenada é nula em t0: 
 
(4.13) 
 
 Vamos fazer agora uma lista das principais características de um capacitor. 
 
1. Se a voltagem num capacitor não varia com o tempo, então a corrente será nula. Um 
capacitor é circuito aberto para corrente contínua. 
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num capacitor, mesmo quando a 
corrente através do capacitor é nula. 
3. É impossível alterar, instantaneamente, a voltagem em um capacitor, pois requer uma 
corrente infinita. 
4. Um capacitor nunca dissipa energia, apenas armazena. Embora isto seja verdadeiro para 
um modelo matemático, não é verdadeiro para um capacitor real. 
 
 
 
 
 
 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))dv tp t v t i t C v t
dt
= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
0 0 0
t t v t 2 2
0t t v t
2 2
C C 0 0
dv t 1p t dt C v t dt C v t dv t C v t v t
dt 2
1t t C v t v t
2
    = ⋅ = = −= ⋅ = = −= ⋅ = = −= ⋅ = = −    
    ω −ω = −ω −ω = −ω −ω = −ω −ω = −    
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
(((( )))) (((( ))))2C 1t C v t2ω = ⋅ω = ⋅ω = ⋅ω = ⋅
t(ms) 0 1 2 3 4 
8 
v(t) (V) i(t)(mA) 
20 
t(ms) 0 1 2 3 4 -1 
 
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 Exemplo: 
 
 Obtenha a energia armazenada em cada capacitor do circuito (a) abaixo em condições cc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 Em condições cc, substituímos cada capacitor por um circuito aberto, como mostrado no 
circuito (b). A corrente através da combinação série dos resistores de 2kΩ e 4kΩ é obtida pela divisão 
de corrente. 
 
 (((( ))))3i 6mA 2mA
3 2 4
= == == == =
+ ++ ++ ++ +
 
 
Logo, as tensões v1 e v2 dos capacitores são: 
 
 1 2v 2000i 4V v 4000i 8V= = = == = = == = = == = = = 
 
As energias armazenadas são: 
 
 
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
22 3
1 1 1
22 3
2 2 2
1 1w C v 2 10 4 16mJ
2 2
1 1w C v 4 10 8 128mJ
2 2
−−−−
−−−−
= = × == = × == = × == = × =
= = × == = × == = × == = × =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1 - + 
+ 
- 
v2 
6mA 6mA 3kΩ 3kΩ 
5kΩ 5kΩ 
2kΩ 2kΩ 
4kΩ 4kΩ 
4mF 
2mF 
 
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4.6 ASSOCIAÇÃO DE INDUTÂNCIAS E CAPACITÂNCIAS 
 
 Vários indutores em série são somados diretamente dando como resultado um indutor 
equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Associação de indutores em série. 
 
 
 
 
 
 
 
(4.14) 
 
 
 Indutores em paralelo são associados para formar um indutor equivalente da mesma forma que 
resistências em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Associação de indutores em paralelo. 
(((( ))))
N1 2
s 1 2 N 1 2 N
s 1 2 N
s eq eq 1 2 N
didi div v v ...... v L L ......L
dt dt dt
div L L ...... L
dt
div L ; L L L ...... L
dt
= + + + = + += + + + = + += + + + = + += + + + = + +
= + + += + + += + + += + + +
= = + + += = + + += = + + += = + + +
L1 L2 
LN Leq vs vs 
i i 
. . . 
v1 v2 
vN 
+ - - + 
+ 
- 
L1 L2 LN Leq v is 
+ 
- - 
+ 
v is 
i2 iN 
 
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(4.15) 
 
 
 
 
 Para dois indutores em paralelo: 
‘ 
(4.16) 
 
 
 Capacitores em série são associados para formar um capacitor equivalente de maneira similar a 
indutores em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 – Associação de capacitores em série. 
 
 
 
(4.17) 
 
 
 
 Capacitores em paralelo são associados para formar um capacitor equivalente somando-se 
diretamente os valores dos capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8 – Associação de capacitores em paralelo. 
eq
1 2 N
1L 1 1 1......
L L L
====
+ + ++ + ++ + ++ + +
1 2
eq
1 2
L LL
L L
⋅⋅⋅⋅
====
++++
eq
1 2 N
1C 1 1 1......
C C C
====
+ + ++ + ++ + ++ + +
v1 v2 
CN vs Ceq vs 
C1 C2 
+ - + - 
. . . 
. . . 
CN C1 C2 Ceq v is 
+ 
- - 
+ 
v 
i1 i2 iN 
is 
 
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(4.18) 
 
 Exemplos: 
 
 
 Calcule a indutância equivalente para o circuito indutivo em escada da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: 25mH 
 
 
 Calcule a capacitância equivalente vista nos terminais do circuito da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: 40µµµµF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eq 1 2 NC C C ...... C= + + += + + += + + += + + +
120µµµµF 20µµµµF 
 60µµµµF 50µµµµF 
70µµµµF Ceq 
20mH 100mH 
20mH 
40mH 
40mH 30mH 50mH Leq 
 
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4.7 EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS PARA CIRCUITOS COM INDUTORES E 
CAPACITORES 
 
Vamos escrever as equações nodais para o circuito da figura 4.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9 – Uma rede RLC com nós e voltagens identificadas. 
 
 Para o nó central: 
 
 
 
 
 Para o nó da direita: 
 
 
 
 
 Reescrevendo as duas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 Estas são as equações íntegro-diferenciais para o exemplo da figura 4.9. 
 
 
 
 
 
 
 
(((( )))) (((( ))))
0
t
1 2 1
1 s L 0 2t
v v dv1 v v dt i t C 0
L R dt
−−−−
− + + + =− + + + =− + + + =− + + + =∫∫∫∫
(((( ))))2 s 1 2
1 s
d v v v vC i 0
dt R
−−−−
−−−−
− − =− − =− − =− − =
(((( ))))
0 0
t t
1 1 2
2 1 s L 0t t
s1 2 2
1 1 s
v dv v1 1C v dt v dt i t
R dt L R L
dvv v dvC C i
R R dt dt
+ + − = −+ + − = −+ + − = −+ + − = −
− + + = +− + + = +− + + = +− + + = +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
C1 
C2 
R L 
vs 
vs 
v1 
v2 
is 
 
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4.8 DUALIDADE 
 
 Definiremos em termos de equações de circuitos. Dois circuitos são duais se a equação de 
malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza 
o outro. Eles serão chamados duais exatos se cada equação de malha de um for numericamente 
idêntica à correspondente equação nodal do outro. 
 Para o circuito da figura 4.10 vamos obter as equações de malha e depois escrever as duais e 
tentar obter o circuito dual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Exemplo para obtenção do dual. 
 
 
 
(((( ))))c
1 2
1
1 2
2 2
v 0 10V
di di3i 4 4 2cos 6t
dt dt
di di 14 4 i dt 5i 10
dt dt 8
====
+ − =+ − =+ − =+ − =
− + + + = −− + + + = −− + + + = −− + + + = −∫∫∫∫
 
 
 As equações duais são obtidas substituindo-se as correntes por tensões. 
 
 
 
1 2
1
1 2
2 2
dv dv3v 4 4 2cos 6t
dt dt
dv dv 14 4 v dt 5v 10
dt dt 8
+ − =+ − =+ − =+ − =
− + + + = −− + + + = −− + + + = −− + + + = −∫∫∫∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8F 3Ω 
5Ω 4H 2cos 6t V i1 i2 
vc + - 
 
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 Para a obtenção do circuito dual usa-se o método descrito pela seguinte seqüência de 
procedimentos: 
 
a) Traça-se uma linha de referência em volta do circuito que se deseja obter o dual; 
b) Numeram-se as malhas colocando-se um ponto no centro das mesmas; 
c) Obtêm-se os elementos duais desenhando-se estes elementos sobre o circuito original, a 
partir dos pontos locados no centro das malhas. Uma fonte de tensão é substituída por uma 
fonte de corrente de mesmo valor; um indutor por um capacitor, uma resistência por uma 
condutância e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.11 – O dual do circuito da figura 4.10 é construído 
diretamente a partir do diagrama do circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12– O dual exato. 
 
 
 
 
 
8F 3Ω 
5Ω 
4F 
2cos 6t V 
8H 
4H 
2cos 6t A 
3 
5 
REF. 
1 2 
5 
3 
4F 
8H 
2cos 6t A 
1 2 
 
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4.10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
 
1. A um indutor perfeito sem energia armazenada aplica-se em t = 0 uma tensão contínua de 10V. 
Sabe-se que ao fim de 1µs a energia armazenada é de 0,5µJ. Qual o valor da indutância? 
 
 
Solução: 
 
 (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) t
 0
1p t v t .i t v t v t dt
L
= = ⋅= = ⋅= = ⋅= = ⋅ ∫∫∫∫ 
 
 Como (((( ))))v t V 10 Volts= == == == = 
 
 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) 6
6
2 2 t
 0
2 t t
 0 0
10
 0
102
6
0
4
V Vp t dt t
L L
Vw t p t dt t.dt
L
100w t t.dt
L
100 t0,5 10
L 2
L 10 H
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
= == == == =
= == == == =
====

× =× =× =× = 
====
∫∫∫∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫ 
 
 
2. O circuito LC da figura que segue começou a operar em t = 0, quando a corrente era nula e o 
capacitor tinha uma carga de 5C. Sabendo-se que o valor máximo de corrente é igual a 3A, 
determinar a indutância L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (((( ))))i 0 0==== 
 
 
 
 
2,5F L 
i(t) 
 
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 Solução: 
 
 A tensão inicial no capacitor: 
 
 0
q 5v 2V
C 2,5
= = == = == = == = = 
 
 
 
 A corrente será máxima no instante em que a energia armazenada no capacitor for totalmente 
transferida ao indutor. 
 
 
2 2
2
2
1 1L.i C.v
2 2
C.v 2,5 4L
i 9
L 1,1H
====
××××
= == == == =
====
 
 
 
3. Para o circuito que segue determine o dual e escreva as equações íntegro-diferenciais de malha 
do circuito resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
L
C
i 0 2A
v 0 2V
====
====
 
 
 X 1i i==== 
 
 
 
0,01µF 30mH 
30mF 
0,01µH 
2k 
2kΩ 
10-3cos 104t A 
10-3vx 
10-3ix 
10-3cos 104t V 
1 2 3 
ix 
vx 
+ 
- 
 
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(((( )))) t3 4 1 21 0
3 82 1 2
1
i i110 cos10 t 2 i .dt
0,03 2000
i i di10 i 10
2000 dt
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
= + += + += + += + +
−−−−
= += += += +
∫∫∫∫
 
 
 
 
4. Os dois capacitores do CKT que segue são carregados por uma ligação momentânea dos dois 
terminais A e B a uma fonte de tensão constante de 50V. Os terminais A e B, então, reunidos, 
depois de retirada a fonte. Qual a carga final em cada capacitor? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 A carga total fornecida a cada um dos capacitores em série é: 
 
 
1 2 T
T
6
1 2
q q C .V
20 40 80C 13, 33 F
20 40 6
q q 13,33 10 .50 666,67 C−−−−
= == == == =
××××
= = = µ= = = µ= = = µ= = = µ
++++
= = × = µ= = × = µ= = × = µ= = × = µ
 
 
 
 Após serem ligados os terminais A e B os capacitores ficam em paralelo e após algum tempo 
a tensão sobre os capacitores é a mesma. 
 
 
 1 2
1 2
q qv v
C C
= == == == = 
 
 
 
2k 
0,01µH 30mF 
10-3cos 104t V 10-3ix i1 i2 
40µF 20µF 
A B 
ix 
 
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 A carga total com os capacitores em paralelo: 
 
 
(((( ))))
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
6
1
1
2
q q q 1333,34 C
q q
C C
Cq q
C
20q 666,67 10
40
q 444,33 C
q 888,67 C
−−−−
= + = µ= + = µ= + = µ= + = µ
====
= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
= ×= ×= ×= ×
= µ= µ= µ= µ
= µ= µ= µ= µ
 
 
 
5. A corrente através de uma capacitor de 0,2µF é (((( )))) (((( ))))4Ci t 60cos 10 t 36 mA= += += += + DDDD para todo t. A 
tensão média no capacitor é zero. 
 
a) Qual o valor máximo de energia armazenado no capacitor? 
b) Qual é o primeiro instante t, não negativo, em que a energia máxima é armazanada? 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( )))) (((( ))))4C
4
C 0,2 F i t 60cos 10 t 36 mA
2T período
10
= µ = += µ = += µ = += µ = +
ππππ
====
DDDD
 
 
 
 
 
C 
ic 
 
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(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
C
t
C C 0
t6 4 3
C C 0
4
C C
1w C.v t
2
1v t v 0 i t .dt
C
v t v 0 5 10 60cos 10 t 36 .dt 10
v t v 0 30sen 10 t 36 V
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
====
= += += += +
= + × + ×= + × + ×= + × + ×= + × + ×
= + += + += + += + +
∫∫∫∫
∫∫∫∫ DDDD
DDDD
 
 
 
 Como a tensão média deve ser zero. 
 
 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
4
4
2
410
C0
2 4 104
C 4
 0
1Vméd v 0 30.sen 10 t 36 dt
T
10 300 v 0 cos 10 t 36
2 10
ππππ
−−−−
ππππ
−−−−
    = + += + += + += + +    
    
= − += − += − += − +    ππππ     
∫∫∫∫ DDDD
DDDD 
 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
4
C 4 4 4 4
C
C
4
C
2 30 2 30v 0 cos 10 36 cos 36
10 10 10 10
30 30v 0 cos 360 36 cos 36
2 2
v 0 0V
v t 30sen 10 t 36 V
−−−−
−−−−
−−−−
π ππ ππ ππ π    
× = × + −× = × + −× = × + −× = × + −        
= + −= + −= + −= + −
π ππ ππ ππ π
====
= += += += +
D DD DD DD D
D D DD D DD D DD D D
DDDD
 
 
a) A energia máxima é obtida para (((( ))))C máxv t 30V==== . 
 (((( ))))26 6C 1W 0, 2 10 30 90 10 90 J2
− −− −− −− −
= × × × = × = µ= × × × = × = µ= × × × = × = µ= × × × = × = µ 
b) O instante em que a tensão é máxima corresponde ao arco em que 410 t 36
2
ππππ
+ =+ =+ =+ =DDDD . 
 
410 t 0,6283rad 1,5708rad
t 94, 3 s
+ =+ =+ =+ =
= µ= µ= µ= µ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Encontre a indutância oferecida nos terminais a – b do circuito que segue quando os terminais 
x – x’ estão: 
 
a) em aberto. 
b) em curto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
a) Com x – x’ em aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1H 4H 2H 
3H 
12H 
6H 9H 
10H 
a 
b 
x 
x' 
12H 12H 
6H 
10H 10H 
15H 
10H 
a a 
b b 
b 
a 
18H 10H 6,48H 
a 
b 
 
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Professor Silvio Lobo Rodr
 
b) Com x – x’ em curto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Cada capacitor no circuito que segue e de 1µF. Encontre a capacitância equivalente se: 
 
a) 1-2 e 1-3 estão curto circuitadas; 
b) 1-2 e 1-3 estão abertas; 
c) 1-2 abertos e 1-3 curto circuitadas; 
d) 1-2 em curto e 1-3 abertos; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15H 
12H 10H 
a 
5H 5H 
b 
60 H
17
 
15H 
50 H
15
 
b 
a a 
b b 
a 
18,53H 3,333H 2,82H 
a 
2 
1 
igues 22 
b 
1 
3 
 
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 Solução: 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Com 1-2 e 1-3 abertos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5µF 
1µF 
b 
a 
1µF 
1µF 
1,2,3 
a 
b 
1µF 
1µF 
b 
a 
1µF 
3µF 0,75µF 
a 
b 
Ceq Ceq 
0,5µF 
1µF 
1µF 1µF 1µF 
 1µF 
1µF 
 
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 c) Com 1-2 abertos e 1-3 em curto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) Com 1-2 em curto e 1-3 aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1µF 
1µF 0,5µF 
1µF 
1,5µF 0,6µF 
a 
b b 
a 
b 
a 
1µF 0,5µF 
2µF 2µF 
a 
b 
1µF 
2µF 0,4µF 
2,4µF 0,706µF Ceq 
1µF 
b 
a a 
b 
1µF 
1µF 
2µF 2µF 
1µF 1µF 0,5µF 
1µF 
b b 
a a 
 
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8. Seja ( )3tsi 4 1 e A−= − para t > 0 e ( )cv 0 20V− = no circuito que segue. Em t=0,5s, encontre os 
valores de energia. 
 
a) Armazenados no indutor; 
b) Armazenados no capacitor; 
c) Dissipados no resistor desde t = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b b 
a a 
1µF 
1,5µF 0,6µF Ceq 
vc 
2H 5Ω 
is 
1 F
9
 
- 
+ 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) [[[[ ]]]]
(((( ))))
2
L
L
3t
L
3t
L
t
L L0
0,5 0,53t 3t
00
L
1W 0,5 Li 0,5
2
i 0 0
div t L 2 4 3e t 0
dt
div t L 24 e t 0
dt
1i t i 0 v t dt
L
1i 0,5 24e dt 4e 4 0, 223 1 3,107A
2
1W 0,5 2 3,107 9,66J
2
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
====
====
= = × >= = × >= = × >= = × >
= = >= = >= = >= = >
= += += += +
    = = − = − − == = − = − − == = − = − − == = − = − − =    
= × × == ×× == × × == × × =
∫∫∫∫
∫∫∫∫
 
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Solução alternativa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
2
L
3t 6t
L t 0,5
L
L
1W t Li t
2
1W t 2 16 1 2e e
2
W 0,5 16 1 2 0,223 0,05
W 0,5 9,66J
− −− −− −− −
====
====
= × × − += × × − += × × − += × × − +
= − × += − × += − × += − × +
====
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
2 2
c
t
c 0
0,5 3t
0
0,5
3t
0
2 2
c
1W t C v t v 0
2
1v t v 0 i t dt
C
v 0,5 20 9 4 1 e dt
1v 0,5 20 36 t e
3
1v 0,5 20 36 0,5 0, 223 0,333 28,689V
3
1 1W 0,5 28,689 20 23,5J
2 9
−−−−
−−−−
−−−−
    = −= −= −= −    
= += += += +
= + −= + −= + −= + −
    
= + += + += + += + +        
    
= + + × − == + + × − == + + × − == + + × − =        
    = × − == × − == × − == × − =    
∫∫∫∫
∫∫∫∫
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
20,5 3t
R 0
0,5 3t 6t
R 0
0,5
3t 6t
R
0
R
R
R
W 0,5 5 4 1 e dt
W 0,5 80 1 2e e dt
2 1W 0,5 80 t e e
3 6
2 0,05 2 1W 0,5 80 0,5 0,233
3 6 3 6
W 0,5 80 0,5 0,149 0,008 0,666 0,166
W 0,5 80 0,141 11,28J
−−−−
− −− −− −− −
− −− −− −− −
    = × −= × −= × −= × −    
= − += − += − += − +
    
= ⋅ + −= ⋅ + −= ⋅ + −= ⋅ + −        
    
= ⋅ + × − − += ⋅ + × − − += ⋅ + × − − += ⋅ + × − − +        
= ⋅ + − − += ⋅ + − − += ⋅ + − − += ⋅ + − − +
= × == × == × == × =
∫∫∫∫
∫∫∫∫
 
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9. Para o circuito que segue faça ( ) ( )400ts 2i t 0,1e A com i 0 0,03A−= = : 
a) Encontre v(t) para todo t; 
b) Encontre i2(t) para todo t; 
c) Encontre i1(t) para todo t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100Ω 
12mH 8mH is 
i1 i2 100Ω 
Leq=4,8mH is 
+ 
- 
v(t) v 
+ 
- 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
3 400ts
eq
3 400t
400t
di dv t L 4,8 10 0,1e
dt dt
v t 4,8 10 40e V
v t 0,192e V
− −− −− −− −
− −− −− −− −
−−−−
= = ×= = ×= = ×= = ×
= × −= × −= × −= × −
====
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
3t t 400t
2 2 0 0
t
400t 400t
2
0
400t
2
1 10i t i 0 v t dt 0,03 0,192e dt
L 8
0,192i t 0,03 125 e 0,03 0,06e 0,06
400
i t 0,09 0,06e A
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
= + = + −= + = + −= + = + −= + = + −
         = + − = + += + − = + += + − = + += + − = + +         
−−−−    
= += += += +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1 s 2
400t 400t
1
400t
1
i t i t i t
i t 0,1e 0,09 0,06e
i t 0,09 0,04e A
− −− −− −− −
−−−−
= −= −= −= −
= − −= − −= − −= − −
= − += − += − += − +
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE 
CIRCUITOS I 
 
Professor Silvio Lobo Rodrigues 28 
 
10. Para o circuito abaixo sabe-se que: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c1 c2 c3 L1 L2v 0 5V, v 0 6V, v 0 7V, i 0 8A e i 0 8A. = = = = = − 
 Construa o dual e exato e indique os valores iniciais dos indutores e capacitores resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
L1 L2 L3
C1 C2
i 0 5A i 0 6A i 0 7A 
v 0 8V v 0 8V
= = == = == = == = =
= = −= = −= = −= = −
 
vc3 
40sen 20t A 
2 
3 
iL2 
+ 
- 
0,5F 
0,4F 
40sen 20t V 
0,5H 0,4H 
20Ω 
0,3H 
0,1F 
0,1H 
0,2F 
0,2H 
vc2 
- 
+ + 
vc1 
- 
1 
20 
 t > 0 
iL1 
40 sen 20t A 
t > 0 
20 
0,1H 0,2H 
0,3H 0,4F 0,5F 
+ 
vc1 
- - 
vc2 
+ 
1 2 3 
iL1 iL2 
iL3