capitulo1 ckt1

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Prof. SILVI
 
CAPITULO 01 
 
O LO
DEFINIÇÕES E 
PARÂMETROS 
DE CIRCUITOS 
BO RODRIGUES 
 
 
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FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE 
CIRCUITOS I 
 
Professor Silvio Lobo Rodrigues 2 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
 Destina-se o primeiro capítulo a fornecer os primeiros conceitos de “Circuitos” abordando 
inicialmente as unidades do sistema utilizado e as relações fundamentais de carga, corrente, voltagem, 
potência e energia nos circuitos resistivos. Ainda, neste capítulo serão apresentados os diversos tipos 
de fontes empregadas e alguns exemplos de aplicação, procurando salientar os aspectos teóricos mais 
importantes. 
 
 
1.2 UNIDADES MECÂNICAS 
 
 Ao começar o estudo de circuitos devemos primeiramente definir as grandezas importantes e 
adotar um conjunto padrão de unidades, símbolos e abreviações. Grande parte deste material é uma 
revisão da Física básica, mas merece cuidadosa atenção porque constitui a “linguagem” na qual as 
idéias são apresentadas, os conceitos formados e as conclusões estabelecidas. 
 A Engenharia Elétrica emprega o Sistema de Unidades MKS racionalizado, no qual o metro é 
a unidade de comprimento, o quilograma é a unidade de massa, o segundo é unidade de tempo, o 
Kelvin é a unidade de temperatura, o ampère é unidade de corrente e a candela é unidade de 
intensidade luminosa. Estas são as unidades básicas das quais podem ser derivadas todas as unidades 
utilizadas em circuitos. 
 As tabelas 1.1 e 1.2 fornecem as grandezas básicas e derivadas. 
 
 
 
 
GRANDEZA SÍMBOLO UNIDADE ABREVIAÇÃO 
Comprimento 
Massa 
Tempo 
Temperatura 
Corrente 
Intensidade Luminosa 
l 
m 
t 
τ 
i 
Ф 
metro 
quilograma 
segundo 
Kelvin 
ampère 
candela 
m 
kg 
s 
K 
A 
Cd 
TABELA 1.1 Grandezas Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 1.2 Grandezas Derivadas Importantes 
 
 
 
1.3 LEI DE COULOMB 
 
 “A força F entre duas cargas puntiformes q e q’ varia diretamente com a grandeza de cada 
carga e inversamente com a distância que as separam”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRANDEZA SÍMBOLO DEFINIÇÃO UNIDADE ABREVIATURA ALTERNATIVA 
Força 
 
 
Energia 
 
 
Potência 
 
 
Carga 
 
 
Corrente 
 
 
Tensão ou 
diferença de 
potencial 
 
Intensidade 
de campo 
elétrico 
 
Densidade de 
fluxo 
magnético 
 
 
Fluxo 
magnético 
f 
 
 
w ou W 
 
 
p ou P 
 
 
q ou Q 
 
 
i 
 
 
v 
 
 
 
ε 
 
 
 
B 
 
 
 
 
Ф 
tração ou 
compressão 
 
capacidade de 
produzir trabalho 
 
energia por 
unidade de tempo 
 
integral da 
corrente 
 
velocidade de 
fluxo de carga 
 
energia por 
unidade de carga 
 
 
força por unidade 
de carga 
 
 
força por unidade 
de quantidade de 
movimento da 
carga 
 
integral da 
densidade de 
fluxo magnético 
 
newton 
 
 
joule 
 
 
watt 
 
 
coulomb 
 
 
ampère 
 
 
volts 
 
 
 
volts/metro 
 
 
 
tesla 
 
 
 
 
weber 
N 
 
 
J 
 
 
W 
 
 
C 
 
 
A 
 
 
V 
 
 
 
V/m 
 
 
 
T 
 
 
 
 
Wb 
kg.m/s2 
 
 
N.m 
 
 
J/s 
 
 
A.s 
 
 
C/s 
 
 
W/A 
 
 
 
N/C 
 
 
 
Wb/m2 
 
 
 
 
T.m2 
 
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r 
F + + 
q q' 
F -- 
q q' 
F F 
r 
 
 
 Cargas desiguais se atraem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cargas iguais se repelem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Atração e repulsão entre cargas. 
 
 
 
(1.1) 
 
 k – constante de proporcionalidade 
 
 
 para o vácuo 
 
 
 
 
 
 
 ε0 – permissividade do vácuo 
 
 
 A equação (1.1) para o vácuo passa a ser: 
 
 
(1.2) 
 
 
r 
F 
- + 
q q' 
04
1k
πεπεπεπε
====
m
F ou 
Nm
C1085,8
63
10
2
2
12
-9
0
−−−−××××========
ππππ
εεεε
2
0 r
qq.
4
1F
′′′′
⋅⋅⋅⋅====
πεπεπεπε
2r
qq.kF
′′′′
⋅⋅⋅⋅====
F + + 
q q' 
F -- 
q q' 
F F 
r r 
 
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 Para um meio diferente do vácuo: 
 
(1.3) 
 
 onde εr=k permissividade relativa. 
 
 
(1.4) 
 
 
 Para o ar 
 
 Para a água destilada 
 
 Para o álcool 
 
 
 A unidade de carga é o Coulomb cujo símbolo é a letra C. 
 Os submúltiplos mais utilizados são: 
 
 milicoulomb - mC = 10-3C 
 microcoulomb - µC = 10-6C 
 nanocoulumb - nC = 10-9C 
 picocoulomb - pC = 10-12C 
 
 A tabela 1.3 fornece os múltiplos e submúltiplos desde 10-18 à 1018 . 
 
PREFIXO FATOR SÍMBOLO 
ato 
fento 
pico 
nano 
micro 
mili 
centi 
deci 
deca 
hecto 
kilo 
mega 
giga 
tera 
peta 
exa 
10-18 
10-15 
10-12 
10-9 
10-6 
10-3 
10-2 
10-1 
10 
102 
103 
106 
109 
1012 
1015 
1018 
a 
f 
p 
n 
µ 
m 
c 
d 
da 
h 
k 
M 
G 
T 
P 
E 
 
TABELA 1.3 Múltiplos e submúltiplos 
00r k ou εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ========
2r
qq.
4
1F
′′′′
⋅⋅⋅⋅====
πεπεπεπε
 0r εεεεεεεε ≈≈≈≈ 1,0006r ====εεεε
 08r ====εεεε
 25r ====εεεε
 
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 A carga de um elétron é igual à carga de um próton e seu valor é 1,602.10-19C sendo a carga do 
próton positiva e a do elétron negativa. 
 
 
1.4 CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA 
 
 Carga é propriedade das partículas atômicas que constituem a matéria, medida em Coulombs. 
 Um deslocamento de cargas elétricas através de uma superfície constitui uma corrente elétrica. 
 A intensidade de corrente através de uma superfície é dada por: 
 
 
(1.5) 
 
 
 dq Æ soma das cargas que atravessam a superfície considerada. 
 dt Æ intervalo de tempo. 
 
 A linha da figura 1.2a representa um condutor, enquanto que a seta de referência indica uma 
direção admitida como positiva para a corrente i1(t). A corrente é definida como positiva se as cargas 
positivas estiverem se movendo da direção da seta, ou se cargas negativas estiverem se movendo em 
direção contrária. 
 A corrente é negativa se cargas positivas estiverem se movendo em direção oposta à da seta 
ou se cargas negativas se moverem na sua direção. Veja a corrente i2(t) da figura 1.2a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 – Correntes positivas e negativas. 
(((( )))) Ampères
s
C 
dt
dqti ========
(((( ))))ti1
(((( ))))ti 2
1 
-1 
1 2 3 t 
i1(t) 
1 
-1 
1 2 3 
i2(t) 
t 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
 
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 Uma corrente é uma função do tempo e, em geral, é positiva durante alguns períodos de 
tempo e negativa durante outros (figura 1.2b). 
 Outra maneira de representarmosas correntes positivas e negativas é através das fontes de 
tensão ou corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Sentido convencional das correntes 
 
 
 A corrente através de um condutor é medida por um Amperímetro. Para se medir a corrente 
em um ramo de um circuito coloca-se o Amperímetro em série com o circuito. Ver figura 1.4. 
 
 
 
 
 
 
(Mede-se i3) 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Medição de corrente com o Amperímetro. 
 
 
 
 
 
+
-
i
+
-
i
Correntes negativas
Correntes positivas
R1
R2 R3
VA
i1 
i2 
i3 
A 
VA 
 
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 A unidade de corrente é o ampère (A), que corresponde ao movimento de carga à razão de 1 
C/s. Usa-se seguidamente alguns submúltiplos do ampère: 
 
 mili ampère - mA = 10-3A 
 micro ampère - µA = 10-6A 
 nano ampere - nA = 10-9A 
 pico ampere - pA = 10-12A 
 
 
(1.6) 
 
 
 Temos vários tipos de correntes, entre a contínua, alternada, exponencial, senoidal amortecida, 
etc.. Ver figura baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) 
 (d) 
 
 
Figura 1.5 – Vários tipos de correntes: 
(a) corrente contínua ou c.c. ; 
(b) corrente senoidal ou c.a. ; 
(c) corrente exponencial; 
(d) corrente senoidal amortecida. 
 
 
 
 
 
 
0
t
t
q= i.dt∫∫∫∫
i 
10 
t 
i 
Im 
t 
i 
Io 
t 
i 
t 
A10)t(i ====
) t cos( . Im ) t ( i φφφφ ++++ ωωωω ==== 
) t cos( . e . Io ) t ( i t φφφφ ++++ ωωωω ==== αααα −−−− 
t e . Io ) t ( i αααα −−−− ==== 
 
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 Definimos a seguir elemento de Circuito. Dispositivos elétricos tais como fusíveis, lâmpadas, 
resistores, baterias, capacitores e bobinas podem ser representados por uma combinação de elementos 
de circuitos muito simples. Começamos por mostrar um elemento de circuito bastante geral e vamos 
representá-los como um objeto sem forma definida, possuindo dois terminais através dos quais 
conexões com outros elementos podem ser feitos. (Ver figura 1.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 – Elementos do circuito. 
 
 
 Esta figura pode servir como definição de elemento de circuito. Há dois caminhos através dos 
quais a corrente pode entrar e sair do elemento. 
 
 
 
1.5 DIFERENÇA DE POTENCIAL v OU VOLTAGEM 
 
 A diferença de potencial v entre dois pontos é medido pelo trabalho necessário à transferência 
da carga unitária de um ponto a outro. 
 O VOLT é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário 1 JOULE de 
energia para transferir uma carga unitária (1C) de um ponto a outro. 
 
 
 
 
 
 
 Podemos então definir a diferença de potencial como: 
 
 
(1.8) 
 
 
 Para medir a tensão usa-se o VOLTÍMETRO colocando em paralelo com os pontos entre os 
quais deseja-se obter a tensão. 
 
 
 
A 
B 
1 JOULE 1 NEWTON.metro1 VOLT
1 COULOMB 1 COULOMB
= == == == =
volts 
dq
dw)t(v ====
 
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Figura 1.7 – Medida de voltagem sobre R2 e R3. 
 
 
 
1.6 POTÊNCIA 
 
 A potência instantânea p(t) (medida em Watts) fornecida ou consumida por um bipolo 
(elemento com dois terminais) relaciona-se com a energia em jogo por: 
 
 
 
(1.9) 
 
 
 Podemos então obter uma expressão para potência instantânea: 
 
 
 
(1.10) 
 
 
 Dimensionalmente o lado direito desta equação é o produto de Joules por Coulomb e 
Coulomb por segundo, o que produz a dimensão Joules por segundo, ou Watts. 
 
 Precisamos agora estabelecer a diferença entre potência fornecida e potência absorvida. 
 A convenção determina que, se a seta indicativa do sentido da corrente e o sinal de polaridade 
de voltagem são colocados nos terminais do elemento, de tal modo que a corrente entra no terminal 
marcado com sinal positivo, o elemento está absorvendo potência, ou seja, a fonte está fornecendo 
potência ao elemento. Se a corrente sai pelo terminal positivo o elemento está fornecendo potência e a 
fonte absorvendo. 
 
 
 
 
 
dt
dw)t(p ====
 dt).t(i).t(vdq).t(vdwdt).t(p ============
 )t(i).t(v)t(p ====
R2
R1
R3
VA 
V 
 
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 Potência fornecidade pela fonte = 
 Potência absorvida pelo elemento = 10W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Potência fornecida pela fonte = 
 Potência absorvida pelo elemento = - 10W 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 – Potência fornecida e potência absorvida. 
 
 
 Quando a corrente e a voltagem são funções periódicas no tempo é conveniente definir uma 
potência média. 
 
 
 
 
 ou ainda, 
 
 
(1.11) 
 
 
 T = período em segundos. 
 
 
 
 
 
2A
5V
+
-
5V2A
 T
 0
1P v(t).i(t)dt Watts
T
==== ∫∫∫∫
 T 2
 -T 2
1P= v(t).i(t)dt Watts
T ∫∫∫∫
 
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R
-
+
v(t)
i(t)
 
 A energia consumida ou fornecida a um certo bipolo durante um tempo t, é dada por: 
 
 
(1.12) 
 
 
 A energia é medida normalmente em kWh (kilowatt-hora) 
 
 
 
 
 As medidas de potência são geralmente executadas por um WATTIMETRO. 
 
 
1.7 ELEMENTOS DE CIRCUITOS 
 
 Os elementos mais empregados no circuitos elétricos, para os quais daremos atenção especial, 
são os resistores, os indutores e os capacitores. 
 Ao se fornecer energia elétrica a estes elementos, teremos uma das seguintes respostas: 
 
 - A energia é consumida – Resistor; 
 - A energia é armazenada num campo magnético – Indutor; 
 - A energia é armazenada num campo elétrico – Capacitores; 
 
 
1.8 LEI DE OHM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 – Resistor linear. 
 
 
 A lei de OHM estabelece a relação entre voltagem e corrente sobre um resistor linear. 
 
 
(1.13) 
 
 A resistência R é pois a constante de proporcionalidade entre a voltagem e a corrente sobre o 
resistor. 
 t t
 0 0
W = p(t).dt = v(t).i(t) Joules∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
J10x6,3kWh1 6====
(((( )))) (((( ))))ti.Rtv ====
 
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R
1G ====
 Ao se traçar um gráfico de v x i temos uma reta que passa pela origem e R representa a 
inclinação ou coeficiente angular da reta. 
 A unidade de resistência é o OHM e o símbolo utilizado é a letra ômega Ω. 
 O inverso de resistência é denominado condutância e é dado por: 
 
 
 ou S (siemens)A relação entre corrente e voltagem para condutância é dada por: 
 
 (1.14) 
 
 A potência consumida em um resistor pode ser determinada por: 
 
 
 
 logo, 
 
 
(1.15) 
 
 
 
1.9 FONTES 
 
 Além dos resistores, indutores e capacitores, os circuitos elétricos apresentam as fontes que 
geralmente são responsáveis pelo fornecimento da energia que ativa os mesmos. 
 Existem vários tipos de fontes e recebem várias denominações que definiremos a seguir. 
 
 1.9.1 Fontes independentes 
 
 São aquelas em que a voltagem é completamente independente da corrente ou a corrente 
independente da voltagem. 
 Os símbolos utilizados podem ser observados na fig. 1.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10 – Fontes de tensão e corrente independentes. 
 
)t(v.G)t(i ====
)t(i).t(i.R)t(i.v)t(p ========
2
2
2 )t(v.G
R
)t(v)t(i.R)t(p ============
IV
VA 
 
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 1.9.2 Fontes dependentes ou controladas. 
 
 São as fontes onde a voltagem ou a corrente são funções da voltagem ou da corrente em 
algum outro ponto do circuito. 
 A simbologia utilizada para estas fontes pode ser observada na figura 1.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.11 – Fontes controladas. 
 
 
 Como se observa as fontes controladas podem ser de voltagem ou corrente. 
 As fontes de voltagem podem ser controladas por voltagem (fig. 1.11a) ou por corrente 
(fig. 1.11b). Da mesma forma as fontes de corrente podem ser controladas por voltagem (fig. 1.11c) ou 
por corrente (fig. 1.11d). 
 
 
 1.9.3 Fonte de voltagem ideal. 
 
 É uma fonte que mantém a voltagem de saída constante qualquer que seja a corrente dela 
solicitada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita. 
 Possui resistência interna nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 – Fonte de voltagem ideal. 
 
 
 
 
αvx αix βvx βix 
(a) (b) (c) (d) 
Vs rs=0 
 
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rs
+
-
 1.9.4 Fonte de voltagem real. 
 
 Possui resistência interna não nula (rs≠0) e fornece um nível de voltagem constante nos seus 
terminais para determinados limites de corrente. Logo, a quantidade de energia fornecida é limitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 – Fonte de voltagem real. 
 
 
 
 1.9.5. Fonte de corrente ideal 
 
 É uma fonte que mantém a corrente de saída em seus terminais independente da voltagem a 
ela aplicada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita. A sua resistência interna 
é infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 – Fonte de corrente ideal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-
+
vs 
rs≠0 
is 
rs=∞ 
i 
rs 
 
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rs
 1.9.6. Fonte de corrente real 
 
 É uma fonte com resistência interna não infinita (rs≠∞) que fornece uma corrente de saída 
constante para determinados níveis de tensão. Logo, fornece uma quantidade de energia limitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 – Fonte de corrente real. 
 
 
 
 
1.10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1) Uma bateria de 12V é carregada fornecendo-se uma corrente que entra em seu terminal 
positivo e que, por 2 horas, é constante e igual a 3A, decrescendo, então, linearmente até 
zero, em 1hora. Admitindo que a voltagem da bateria seja constante: 
 
a) Qual a carga total fornecida à bateria? 
b) Após quanto tempo a potência fornecida é de 24W? 
c) Durante o intervalo de 3 horas, qual a potência média fornecida à bateria? 
d) Qual a energia total fornecida à bateria? 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is 
3 
3600 7200 10800
3 2 1 
i(t) 
(s) 
t(horas) 
rs 
 
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a) Nas primeiras duas horas: 
 
 
 
Após a 2ª hora: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
 
 
 
 
 
 b) Nas primeiras 
 
 Para chegar a 24W a queda é de 12W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t > após 2h e 20 min 
 
 
 
 
 
 
C216003600x2x3t.iq ============′′′′
dt.9t
3600
3dt.iq
10800
7200
10800
7200 ∫∫∫∫∫∫∫∫  ++++−−−−========′′′′′′′′
10800
7200
2
t9
7200
t3q 

++++−−−−====′′′′′′′′
720097200
7200
310800910800
7200
3q 22 ××××−−−−××××++++××××++++××××−−−−====′′′′′′′′
7200972003108009108005,4q ××××−−−−××××++++××××++++××××−−−−====′′′′′′′′
C5400q ====′′′′′′′′
C27000qqq ====′′′′′′′′++++′′′′====
W36312Ph2 f ====××××====→→→→
36W
24W
7200 t 10800
t
12
3600
36
====
t 1200s 20min= == == == =
s840072001200t ====++++====
 
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 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pméd = 30W 
 
 d) Em 3 horas : 
 
 
 
 
 
 
 W= 324 kJ 
 
 
 
2) Determine a potência absorvida em cada um dos elementos abaixo: 
 
 
 
 
0,1A 
12V 
+ 
- 
-0,4A 
-8V 
+ 
- 
1,2A + - 
60V 
0,3A 
- 
24V 
+ - 
0,12A 
+ 
- 
-8e-10t A 
12V 
(a) (b) 
(c) 
(d) (e) 
100V 
(f) 
∫∫∫∫==== dt.v.iT1P
(((( )))) (((( )))) 


 ++++−−−−++++××××==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ dt9t312dt31231P 3220
(((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] W301872
3
1t108t1872
3
1P 32
2
====++++====++++−−−−++++====
Wh90Pméd ====
WWh90
J106,3kWh1 6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
××××−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+ 
 
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 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3) Qual a potência média P em uma resistência pura de 10Ω onde circula uma corrente 
i(t)=14,14cos(ωt) A? 
 
 Solução: 
 
 
 
 O período de p(t) é T=π 
 
 
 
 
 
4) A carga total que passou para a direita de um ponto A, de um certo condutor entre t=0 e t é 
identificada como: 
 
 
 
a) Qual a quantidade de carga que flui pelo ponto A entre t=1ms e t=2ms? 
b) Qual a corrente para a direita de A em t=1ms? 
c) Agora suponha que a corrente dirigida à direita de A seja (((( ))))5000t 8000ti(t) 2 e e A− −− −− −− −= −= −= −= − 
 e determine a carga fluindo para a direita entre t=10µs e t=8µs. 
 
 Solução: 
 a) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
(((( )))) We96e812P)f
W1212,0100P)e
W2,73,024P)d
W61,060P)c
W6,92,18P)b
W8,44,012P)a
t10t10
a
a
a
a
a
a
−−−−−−−−
====−−−−××××−−−−====
====××××====
====××××====
−−−−====××××−−−−====
====××××====
−−−−====××××−−−−====
(((( )))) (((( ))))tcos2000tcos20010i.R)t(i).t(v)t(p 222 ωωωω====ωωωω××××============
(((( )))) W1000dttcos20001P
0
2
====ωωωω
ππππ
==== ∫∫∫∫ππππ
(((( ))))mCt500cose100)t(q t200A −−−−====
(((( ))))
(((( ))))
mC64,35mC85,71mC21,36)ms1(q)ms2(q
mC21,36mC1cose100)ms2(q
mC85,71mC5,0cose100)ms1(q
aA
102200
A
10200
A
3
3
−−−−====−−−−====−−−−
================
−−−−
−−−−
××××××××−−−−
××××−−−−
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] mA34mA7,14326,196100)ms1(i
mA5,0cose2005,0sen500e100)ms1(i
mAt500cose200t500sen500e100
dt
dq)t(i
2,02,0
t200t200
−−−−====−−−−−−−−====
××××−−−−××××−−−−====
××××−−−−××××−−−−========
−−−−−−−−
−−−−−−−−
 
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 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sendo e para o elemento de circuito abaixo, 
determine : 
 
a) Qual a potência absorvida pelo elemento em t=10ms? 
b) Qual a energia liberada ao elemento no intervalo 0 ≤ t ≤ ∞? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 a) 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
5
5
0
5
5
5000t 8000t
A
t 8 10 5000t 8000t
t 10
8 10
5000t 8000t
10
i (t) 2 e e A
q(t) i(t)dt 2 e e dt
1 1q 2 e e
5000 8000
0,67 0,527 0,951 0,923q 2
5000 8000 5000 8000
q 2 56,2 49,5 C 13,4 C
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
××××
− −− −− −− −
××××
− −− −− −− −
= −= −= −= −
= = −= = −= = −= = −
    
= − += − += − += − +        
    
= − + + −= − + + −= − + + −= − + + −        
= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
Ae4)t(i t50−−−−==== Ve3020)t(v t50−−−−−−−−====
+ 
- 
v(t) i(t) 
(((( ))))
W38,414,4452,48)01,0(p
e4e3020)01,0(p
)t(i).t(v)t(p
01,05001,050
====−−−−====
××××−−−−====
====
××××−−−−××××−−−−
(((( ))))
0
50t 100t
0
50t 100t
0
E p(t)dt
E 80e 120e dt
80 120E e e 1,6 1,2 0,4J
50 100
∞∞∞∞
∞∞∞∞
− −− −− −− −
∞∞∞∞
− −− −− −− −
====
= −= −= −= −
    
= − + = − == − + = − == − + = − == − + = − =        
∫∫∫∫
∫∫∫∫
 
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Professor S
+
+
-
-
-
+
 
6) Determine quais das cinco fontes na figura abaixo estão sendo carregadas (absorvendo 
potência) e mostre que a soma algébrica das cinco potências absorvidas é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7)
in
 
 
 
 
20V
-5V 
3A 
9A 
-8A 
4A 
15V
15V
01601513560Pa
W120815Pa
W60154Pa
W1553Pa
W135915Pa
W60320Pa
A8
A4
A3
V15
V20
−−−−−−−−−−−−++++====∑∑∑∑
−−−−====××××−−−−====
−−−−====××××−−−−====
−−−−====××××−−−−====
====××××====
====××××====
ilvio Lobo Rodrigues 
 A corrente i(t) mostrada abaixo
dicado a seguir. Onde v(t) sobre o
a) Qual a máxima potência fo
b) Qual a máxima potência fo
ocorre? 
c) Quanta energia é fornecida
d) Qual a potência média abso
20 ====
 
 entra pelo terminal + do eleme de circuito conforme 
 elemento é 
rnecida ao elemento para 0 < t ≤ 
rnecida pelo elemento para 0 ≤ t ≤
 ao elemento no intervalo 0 < t < 
rvida pelo elemento no mesmo in
(((( ))))t400sen20)t(v ππππ====
 nto . V
21 
2s e quando isto ocorre? 
 2s e quando isto 
5ms? 
tervalo? 
 
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 Solução: 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 1,25ms; 6,25ms; 11,25ms; etc.. 
 0 ≤ t ≤ 2 
 
 
 b) 
 
 
 
 Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 3,75ms; 8,75ms; 13,75ms; etc.. 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 
 
10 
-6 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
i(t) A 
t(ms) 
+ 
- 
v 
i(t) 
(((( )))) (((( ))))
ms25,1
800
1t
2
t400
ou
1t400sent
W2001020p
máx
máx
máxf
========→→→→
ππππ
====ππππ
====ππππ→→→→
====××××====
(((( ))))
máxf
máx
p 20 6 120W
3 3sen 400 t t 3,75ms
2 800
′′′′
= × == × == × == × =
ππππ
π = → = =π = → = =π = → = =π = → = =
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
3 3 3
3
3 3
3
5 10 2 10 5 10
0 0 2 10
2 10 5 10
0 2 10
E p t dt 10 20sen 400 t dt 6 20sen 400 t dt
200 120E cos 400 t cos 400 t
400 400
1 3E cos 0,8 1 cos 2 cos 0,8
2 10
1 0,6E 1 cos 0,8 1 cos 0,8
2 2
− − −− − −− − −− − −
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
× × ×× × ×× × ×× × ×
××××
× ×× ×× ×× ×
××××
= = × π − × π= = × π − × π= = × π − × π= = × π − × π
    
= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π    π ππ ππ ππ π    
            = − π − + π − π= − π − + π − π= − π − + π − π= − π − + π − π            π ππ ππ ππ π
        = − π + − π= − π + − π= − π + − π= − π + − π    π ππ ππ ππ π
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
(((( ))))
(((( ))))
1 0,6 1 cos 0,8
2
0,8E 1 cos 0,8 0,46J
++++        = − π= − π= − π= − π            ππππ
    = − π == − π == − π == − π =    ππππ
W92
5
460
105
J46,0
t
EP 3 ========××××
========
−−−−
 
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8) As formas de onda v(t) e i(t) sobre um determinado elemento são mostradas abaixo. 
 
a) Represente o gráfico da potência fornecida ao elemento para 0 ≤ t ≤ 1s. 
b) Qual a energia total fornecida ao elemento neste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
i(t)A 
v(t)V 
10 
5 
0,5 1 t(s) 
v 
p(t)W 
50 
 
0,5 1 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

++++−−−−====++++−−−−××××
====××××
====××××====
W100t10010t1010
Wt200t10t20titvtp
2
1t5,0
5,0t0
<<<<<<<<
<<<<<<<<
(((( )))) (((( ))))0,5 12
0 0,5
0,5
 13 2
 0,5
0
E p t dt 200t dt 100t 100 dt
200E t 50t 100t
3
E 8,333 50 100 12,5 50 20,833J
= = + − += = + − += = + − += = + − +
         = + − += + − += + − += + − +             
= − + + − == − + + − == − + + − == − + + − =
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
 
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9) O motor de arranque de um moderno automóvel solicita uma corrente inicial de 200A. 
 
a) Calcular a potência inicial fornecida ao motor de arranque. 
b) Se a corrente cai uniformemente a zero em 2s, calcular a energia fornecida ao 
motor de arranque desde a partida até a corrente chegar a zero. 
 
 Solução: 
 
 Considerando bateria de 12V. 
 
 a) 
 
 
 b) Considerando a corrente em função do tempo: 
 
 
 
 
 para 0 < t ≤ 2s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) O consumo de energia de uma determinada residência por dia é mostrada na figura abaixo. 
Determine: 
 
a) A energia total consumida em kWh. 
b) A potência média por hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( )))) t100200ti −−−−====
t(s) 
200 
i(t)A 
1 2 
(((( ))))
J2400W
t
2
1200t2400dtt10020012dt.i.vW
2
0
22
0
t
0
====


−−−−====−−−−======== ∫∫∫∫∫∫∫∫
(((( )))) (((( )))) (((( )))) W240020012titvtp ====××××====××××====PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
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 a) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
400W 
2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 
p(t) 
10 12 12 
400W 
1000W 
1200W 
200W 
↑ meio dia 
(((( ))))
J1040016002400200020002400
44002120010200210006400
t.tp
====++++++++++++++++====εεεε
××××++++××××++++××××++++××××++++××××====εεεε
====εεεε
(((( ))))
h
kW433,0
h
Watt33,433
24
10400
t
tP ============εεεε====