Muro de Arrimo 01

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Muros de Arrimo – Exemplo numérico 
• Calcular e detalhar o muro de arrimo dado, considerando: 
solo = 18,0 kN/m3 , 
 = 300 
Aço CA-50 
fck = 40,0 MPa 
solo = 0,20 MPa 
Coef. de atrito solo/concreto = 0,577; 
Corte BB: 
 a 
b 
b 
c 
 e 
 f 
 
h
 
 
i 
j 
a 
Considerar para efeito de geometria, as cotas abaixo em metros; 
Geometria do Muro 
a (m) b (m) c (m) e (m) f (m) i (m) h (m) L (m) 
0,15 0,10 3,00 4,25 1,00 0,15 5,50 1,00 
Resolução: 
• A sequencia de resolução, uma vez que a geometria está 
definida é de: 
– a) verificação de tombamento; 
– b) Verificação de translação; 
– c) Verificação de tensão no solo; 
– d) Cálculo das armaduras; 
• Verificação de tombamento: 
– Inicialmente pode-se calcular o momento de tombamento que nada mais é 
que o momento do empuxo do solo aplicado no muro que o faz girar em 
torno do ponto x , conforme figura abaixo: 
Resolução: 
X 
L
 
L
/3
 
E 
S 
Resolução: 
• O valor da tensão no solo (no nível do ponto X) e da resultante do empuxo são 
dadas (para uma espessura unitária), por: 
  
 
2 
 E  ka  h  γs  h  
σs  ka  h  γs 
• No caso h é a profundidade considerada, que conforme anterior, para a 
determinação do tombamento é igual a ; 
• Assim, o momento de tombamento é dado por: 
6 
3 
 
2 
  
3 
 
    
Mt  ka h  γs h   h   ka  γs  h 
m 
kN.m 
6 6 
5,653 h3 
180,4  0,3318 Mt  ka  γs  
 
 
 
 
 
2  
k  tg 45  o 2 a 
 
Resolução: 
• O momento de restituição é dado por: 
MRest   Pi  zi 
• Sendo: 
• Pi – O peso de cada elemento considerado na tabela abaixo e mostrado 
na figura a seguir; 
• zi - a distância da resultante de força do peso de cada elemento no 
ponto X; 
• O ideal neste caso é se fazer uma tabela para se preencher os valores 
auxiliares para o cálculo do peso vertical do muro e o solo e obter ainda 
o momento de restituição; 
Resolução: 
Corte BB: 
a 
b 
 
i 
 
h
 
 
j 
a 
Cortina 1 
Solo 2 
 Solo 1 
Sapata 
X 
e 
4,25 m 
f 
1,00 m 
Cortina 2 
c 
3,00m 
0,15 
b 
0,10 
0
,1
5
 
5
,5
0
 m
 
Resolução: 
• Tabela – Determinação das ações verticais e respectivos momentos: 
a,h 
b,h 
e,j 
c,h 
b,h 
Ações Verticais 
Elemento b (m) h (m) 
espessur 
a (m) 
fator 
forma 
Volume 
(m3) 
mat. 
(kN/m3) 
Peso 
(kN) 
z (m) 
MRestit 
(kN.m) 
Cortina 01 0,15 5,50 1 1 0,8250 25 20,63 1,075 22,17 
Cortina 02 0,10 5,50 1 0,5 0,2750 25 6,88 1,183 8,14 
Laje 4,25 0,15 1 1 0,6375 25 15,94 2,125 33,87 
Terra 1 3,00 5,50 1 1 16,500 18,0 297,00 2,750 816,75 
Terra 2 0,10 5,50 1 0,5 0,2750 18 4,95 1,217 6,02 
Somatório 345,39 886,95 
Corte BB: 
b 
a 
j 
Cortina 1 
Solo 2 
Solo 1 
Sapata 
X 
e 
4,25 m 
Cortina 2 
c 
3,00m 
0,15 
f a 
b 
1,00 m 0,10 
i 0
,1
5
 
h
 
5
,5
0
 m
 
Desta maneira, obtém-se o valor do 
momento de restituição: 
MRest  886,95 kN.m 
γ  
MResist 
 
886,95 
 4,92 1,5 ok! 
Mtomb 180,4 
Resolução: 
• Verificação da translação: 
– Neste caso, é preciso (sem considerar inicialmente o dente indicado 
no desenho) que o atrito provocado pelo peso da estrutura e solo 
acima da sapata seja maior que o empuxo com coeficiente de 1,5. 
Como se trata de solo acima da sapata, h = 5,5 m; 
Assim, tem-se: 
2 2 
2 
E  ka.h.γs. h  0,333.18. 5,5  90,75 kN/m 
fatrito  μ.P  0,577.345,39 199,4 kN/m 
r  
fatrito 
 
199,4 
 2,2 1,5 
E 90,75 
Como r > 1,5, não é necessário 
executar o dente! 
• Determinação das tensões no solo: 
– Para a determinação das tensões de contato entre a sapata e o solo, 
faz-se inicialmente a redução dos esforços do ponto X, para o meio da 
sapata como indica a figura abaixo; 
Resolução: 
X 
 e/2 e/2 
X 
 e/2 e/2 
 
P 
Mrest 
Mtomb 
P 
M=P(e/2)+Mtomb-Mresis 
• Assim, o momento atuante no centro da sapata será de: 
Resolução: 
M  P. 
e 
 Mtomb  Mrestit 
2 
M  345,39. 
4,25 
 180,4 - 886,95  27,4 kN.m 
2 
 
Para que o funcionamento seja sem tração é necessário que e 
excentricidade do momento e carga vertical seja inferior ao valor da cota do 
núcleo central (neste caso igual a e/6); 
0,08 m  
4,25 
 0,71 m 
6 
e  
M 
 
27,4 
P 345,39 
Resolução: 
σs, máx/mín  
P 
 
6 M 
 e  e2 
m2 
m2 
1 4,25 1 4,252 
σs, mín  
345,39 
- 
6  27,4 
 72,17 
kN 
/m 
1 4,25 1 4,252 
σs, máx  
345,39 
 
6  27,4 
 90,37 
kN 
/m 
X 
P 
M=P(e/2)+Mtomb-Mresis 
S,max 
S,min 
Assim, não haverá tração no solo, podendo-se utilizar a fórmula da 
resistência dos materiais; 
Tensões no solo, na face da sapata 
m2 
σs, máx/mín  σsolo  200 
kN 
Resolução: 
X 
S,max 
S,min 
h
/3
 
E 
S 
h 
S1 
S2 S3 
• Determinação das armaduras: 
– Para a determinação das armaduras, é necessário calcular os 
momentos fletores nas seções S1, S2 e S3, conforme se mostra na 
figura abaixo; 
Seção S1: 
. 
2 3 
h3 
ka.γs. 
6 
ka.h.γs . 
166,38 kN.m/m 
1 5,53 
MS1  .18. 
3 6 
    
    
 h   h   MS1   
Seção S : 2 
Para se determinar o momento fletor 
na seção S2, é necessário se calcular 
a tensão no solo, na referida seção; 
Resolução: 
m2 2 1.4,25 1.4,253  
. 1 
 
 
345,39 
 
12.27,36  4,25    86,08 
kN σs2  
P 
 
12.M 
.yS2 
.e .e3 
6 2 
6 2 
  43,75 kN.m/m 
 
1,02  
 
 86,08.1,02 
 90,36  86,08. MS2 1. 
 
 
c2  
 
 σS2.c2 
 σS, máx - σS2. MS2  . 
2 
-18.5,5. 
2 
2 
3,02 
6 
  -101,45 kN.m/m 
 
3,02   72,18.3,02 
 85,01 72,18. MS3 1. 
 
c2 c2  
6 2  
 σSmín.c2 
 γ.h.  
 
 σS3 - σSmin . MS3  . 
Resolução: 
• Valores de d: 
– Na seção S1, considerando cobrimento de 3,0 cm e armadura com diâmetro 
de 20,0 mm, tem-se: d=25,0–3,0-1 = 21,0 cm; 
– Nas seções S2 e S3, cobrimento de 3,0 cm e armadura com diâmetro de 12,5 
mm, tem-se: d = 15,0 – 3,0 – 0,625 = 11,375; 
– Considerando ainda: fck = 40,0 MPa, Aço CA-50 e bw = 100 cm; 
Dimensionamento da Armadura Longitudinal - Aço CA-50 
Seção h0 (m) 
Espessura 
(cm) 
bw (cm) d' (cm) Md (kN.cm) Observação 
Parede - S0,2.h 1,10 17,0 
 
 
 
100,0 
 
 
 
4,0 
186,34 
Parede - S0,4.h 2,20 19,0 1490,72 
Parede - S0,6.h 3,30 21,0 5031,18 
Parede - S0,8.h 4,40 23,0 11925,76 
Parede - S1,0.h 5,50 25,0 23292,50 
Sapata - S2 x-x-x 15,0 
3,6 
6119,42 
Sapata - S3 x-x-x 15,0 14161,54 
Resolução: 
Dimensionamento da Armadura Longitudinal - Aço CA-50 
Seção kMd kx Verif. kx-limite kz As (cm
2) As-mín (cm2) 
Parede - S0,2.h 0,004 0,006 ok 0,998 0,33 2,55 
Parede - S0,4.h 0,023 0,035 ok 0,986 2,32 2,85 
Parede - S0,6.h 0,061 0,093 ok 0,963 7,07 3,15 
Parede - S0,8.h 0,116 0,184 ok 0,927 15,58 3,45 
Parede - S1,0.h 0,185 0,310 ok 0,876 29,13 3,75 
S2 0,166 0,273 ok 0,891 13,89 2,25 
S3 0,383 0,857 verificar 0,657 43,58 2,25