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Derivadas Parciais 
Prof.: Elias Arcanjo
Derivada Parcial
A derivada parcial de uma função de duas
ou mais variáveis é obtida pela derivação
de uma curva que represente um caminho
sobre a função e paralelo à variável
escolhida. Por consequência, as demais
variáveis de entrada não variam ao longo
desse caminho. Assim, uma derivada
parcial é obtida considerando-se apenas
uma variável de cada vez.
Ou seja:
• a derivada parcial de f em relação a x considera
apenas x como variável. Notações:
• a derivada parcial de f em relação a y considera
apenas y como variável. Notações:
• a derivada parcial de f em relação a z considera
apenas z como variável. Notações:
x
f
 


ouf x
y
f
 


ouf y
z
f
 


ouf z
Exemplo1
• Se f(x,y,z) = x³ +x²y³-2z², determine 
fx(2,1,1), fy(2,1,1) e fz(2,1,1) 
Exercício
1.º Se f(x,y,z) = xy – 5x²y³z4 , determine fx, fy
e fz. 
2.º Se f(x,y) = xe3y , determine fx e fy.
Interpretação geométrica
As derivadas parciais fx e fy podem ser
interpretadas como a inclinação das retas
tangentes em P(x0,y0,z0) nas direções
paralelas aos eixos x e y.
Exemplo
• Se f (x,y,z) = 4 – x² - 2y², encontre fx(1,1) e fy(1,1) e 
interprete esses números como inclinação.
SOLUÇÃO:
fx(x,y) = -2x fy(x,y) = -4y
fx(1,1) = -2 fy(1,1) = -4
Interpretação física
• Se z=f(x,y), então δz/δx representa a
taxa de variação de z com relação a x
quando y é mantido fixo. Da mesma
forma, δz/δy representa a taxa de
variação de z em relação a y quando
x é mantido constante.
Exercício de recapitulação 
1.º Determine as derivadas parciais de primeira 
ordem da função.
zt
xy
tzyxf
tytgxyztzyxfe
ttgxyztzyxfd
yxfc
yxyxfb
xxsenyxfa
2
³
),,,( f)
)(²),,,()
)(²),,,()
 xe),( )
²)²ln(),( )
cos ),( )
y/x







DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
• Se f é uma função de duas variáveis,
suas derivadas fx, fy são funções de
duas variáveis, de modo que
podemos considerar novamente suas
derivadas parciais (fx)x, (fy)y , (fx)y e
(fy)x, chamadas derivadas parciais
de segunda ordem de f.
Se z=f(x,y), usamos a seguinte
notação para as derivadas
parciais de segunda ordem :
xy
z
xy
f
x
f
y
fff
x
z
x
f
x
f
x
fff
xyyx
xxxx
































22
12
2
2
2
2
11
)(
)(
Exemplo2
1.º Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de f(x,y) = x³ +x²y³-2y²
Exercícios 
2.º Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de f(x,y) = x³y5 + 2x4y
3.º Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de f(x,y) = sen (2x+3y)
Exercícios 
4.º Calcule fxxyz se f(x,y,z) = sen(3x +yz)
Equações Diferenciais Parciais 
• As derivadas parciais ocorrem em equações
diferenciais parciais que exprimem certas leis
física. Por exemplo, a equação diferencial
parcial
é denominada equação de Laplace.
0
²
2
2
2






y
u
x
u
Exemplo3
• Mostre que a função u(x,y)=exsen y é 
solução da Equação de Laplace.
Equações Diferenciais Parciais 
0²
2
2
2
2






x
u
a
t
u
Um outro exemplo de equações diferenciais
parciais presente na física é a chamada
equação da onda:
Exemplo4
• Verifique que a função u(x,y)= sen(x - at)
satisfaz a equação da onda.
Exercícios
5.º Determine se cada uma das funções é
solução da equação de Laplace uxx+uyy=0
a) u = x² + y² b) u = x³ + 3xy²
6.º Determine se cada uma das funções é
solução da equação da onda utt-a²uxx=0
a) u = xeat b) u = sen(kx)sen(akt)
REGRA DA CADEIA
• (CASO 1) Suponha que z=f(x,y) seja
uma função diferenciável de x e y,
onde x=g(t) e y=h(t) são funções
diferenciáveis de t. Então z é uma
função diferenciável de t e
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz






Exemplo5
Se z = x²y + 3xy4, onde x= sen 2t e y = 
cos t, determine dz/dt.
SOLUÇÃO: A regra da cadeia fornece 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz






sentxyxtyxy
dt
dz
sentxyxtyxy
dt
dz
³)12²(2cos)32(2
)³)(12²()2)(2)(cos32(
4
4


REGRA DA CADEIA
• (CASO 2) Suponha que z=f(x,y) seja
uma função diferenciável de x e y,
onde x=g(s,t) e y=h(s,t) são funções
diferenciáveis de s e t.
Então
t
y
y
f
t
x
x
f
t
z
s
y
y
f
s
x
x
f
s
z
























 
REGRA DA CADEIA
- Diagrama em Árvore -
 
s
y
y
f



 


t
z
 
z
x y
s t s t
x
z


s
x


t
x


y
z


s
y


t
y





s
z 




t
x
x
f
 




s
x
x
f
t
y
y
f




Exemplo6
Se u = x4y+y²z³, onde x=rset , y=rs²e-t e 
z=r²s.sen t, determine δu/ δs
SOLUÇÃO: Com o auxílio do diagrama em 
árvore, obtemos
s
z
z
u
s
y
y
u
s
u
x
u
s
u

















 
)²²)(²3(...
...)2³)(2())(³4( 4
sentrzy
rseyzxreyx tt

 
u
x y z
r s t r s t r s t
Exercício 
1.º Use a regra da cadeia para determinar δz/ δt
 t y t, xy, cossen x z d)
 t tg w, t cos y sen t, xw),y²(x²ln z )
e y ,e x , y²x² z )
t-1 y , t 2 x xy²,x²y z )
2t-2t
34





c
b
a
Exercícios de recapitulação
1.º Determine as derivadas parciais indicadas
a) f(x,y)= xy; fx e fy
b) f(x,y)=3xy4+x³y² ; fxxy.
c) u=xaybzc; uxyz’
d) u=xyez; uxyz e uxxz e uzzx
2.º Verifique que a função z=ln(ex+ey) é uma
solução das equações diferenciais
0
1
2
2
2
2
2
2




















yx
z
y
z
x
z
y
z
x
z