Funções de três variáveis e Derivadas Parciais _ Cálculo Vetorial 2020_2

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Cálculo Vetorial
Funções de Três ou Mais Variáveis
Uma função com três variáveis, 𝑓, é
uma regra que associa a cada tripla
ordenada (𝑥, 𝑦, 𝑧) em um domínio D ∈ ℝ³ um
único número real, denotado por 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Por exemplo, a temperatura T em um ponto
da superfície terrestre depende da latitude x
e da longitude y do ponto e do tempo t, de
modo que podemos escrever 𝑇 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑡).
EXEMPLOS
EXEMPLO7: Encontre o domínio de f se 
f (x, y, z) ln(z-y)+ xysen z
EXEMPLOS
EXEMPLO8: Encontre as superfícies de nível da função.
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
Resposta: 
Derivadas
Definição: A derivada de uma função f
em um número a, denotado por f´(a), é 
h
afhaf
af
h
)()(
lim)´(
0
−+
=
→
se o limite existir.
Interpretação física
Exemplo: Se r(t) representar a função
posição de uma partícula, a deriva dessa
função será a velocidade instantânea da
partícula, ou seja,
r´(t)Vou 
)( 
==
dt
trd
V
Suponha que a posição do móvel em
movimento sobre uma reta s seja dado por r(t)
= t²+6t, onde r(t) é medido em metros e t em
segundos.
a) Determine a velocidade da partícula em t=3s.
b) Determine a aceleração da partícula em t=2s
62
)(
)( +== t
dt
tdr
tV
12m/s62.3V(3) =+=
²/2
)62(
a 
dt
dV(t)
a sm
dt
td
=
+
==
Interpretação geométrica
A derivada de uma função f em um ponto a
fornece o coeficiente angular (inclinação) da
reta tangente ao gráfico de f no ponto (a,
f(a)).
Determine a equação da reta tangente a 
função f(x)=x², no ponto P(2,4).
Solução: A equação da reta é dado por: y-y0=mr(x-x0).
Onde: mr é o coeficiente angular da reta
(x0,y0) é um ponto pertencente a reta
4m
 temos2, xPara
2
²)(
dx
df(x)
m
r
r
=
=
=== x
dx
xd
Calculando mr dela 
derivada da função:
4-4xy
8-4x4-y
2)-4(x4-y
=
=
=
Assim a equação da reta 
no ponto (2,4) será:
Regras de Derivação 
x
x
dx
d
ee
dx
d
nxx
dx
d
xcfxcf
dx
d
c
dx
d
xx
nn
1
)ln(
)´())((
0)(
1
=
=
=
=
=
−
ax
x
dx
d
ee
dx
d
aaa
dx
d
xsenx
dx
d
xxsen
dx
d
a
xx
xx
ln
1
log
ln
)()cos(
)cos()(
=
=
=
−=
=
Regras de Derivações
)²(
)´()()()´(
)(
)(
)()´()´()()]()([
)´()´()]()([
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d
xgxfxgxfxgxf
dx
d
xgxfxgxf
dx
d
−
=





+=
=
Derivada da Função Composta
Regra da Cadeia
)´())(´())(( xgxgfxgf
dx
d
=
)2()(
:
xsenxf
Exemplo
=
)2cos(2)´( xxf =
)2).(2cos()´( xxf =
Exercícios 
1.Derive as funções:
xxf
xfe
a
3
x
3-
x
log)( f)
3 )()
x- 5x³- f(x) d)
5sen x f(x) c)
ln x e f(x) b)
43x4x²f(x) )
=
=
=
=
+=
++=
))2ln(cos()
²³
1
)( )g
43²)( )f
lnxe)( e)
)tg(x(x) d)
1)-5)(3x(2x(x) c)
1)²-(2x(x) b)
1)-2xcos(x²(x) a)
funções das derivada a Determine 2.
x
2
xh
xx
xf
xxxf
xf
f
f
f
f
−
=
−+=
=
=
+=
=
+=
3. Encontre uma equação da reta tangente à
parábola y=x²-8x+9 no ponto (3,-6)
4. Se uma bola for atirada ao ar com uma
velocidade de 10m/s, sua altura (em metros)
após t segundos é dado por H=10t-5t². Encontre
a velocidade quanto t = 2s.
Derivada Parcial
A derivada parcial de uma função de duas ou
mais variáveis é obtida pela derivação de uma
curva que represente um caminho sobre a
função e paralelo à variável escolhida. Por
consequência, as demais variáveis de entrada
não variam ao longo desse caminho. Assim,
uma derivada parcial é obtida considerando-
se apenas uma variável de cada vez.
Ou seja:
• a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥 considera
apenas 𝑥 como variável. Notações:
• a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑦 considera
apenas 𝑦 como variável. Notações:
• a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑧 considera
apenas 𝑧 como variável. Notações:
x
f
 


ouf x
y
f
 


ouf y
z
f
 


ouf z
Exemplo 1
• Se f(x,y,z) = x³ +x²y³-2z², determine fx(2,1,1), 
fy(2,1,1) e fz(2,1,1) 
Exercício
1.º Se f(x,y,z) = xy – 5x²y³z4 , determine fx, fy e fz. 
Exercício
2.º Se f(x,y) = xe3y , determine fx e fy.
Interpretação geométrica
As derivadas parciais 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 podem ser
interpretadas como a inclinação das retas
tangentes em 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) nas direções
paralelas aos eixos 𝑥 e 𝑦.
Exemplo
• Se f (x,y,z) = 4 – x² - 2y², encontre fx(1,1) e fy(1,1) e 
interprete esses números como inclinação.
SOLUÇÃO:
fx(x,y) = -2x fy(x,y) = -4y
fx(1,1) = -2 fy(1,1) = -4
Interpretação física
• Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), então
𝜕𝑧
𝜕𝑥
representa a
taxa de variação de 𝑧 com relação a 𝑥
quando 𝑦 é mantido fixo. Da mesma
forma,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
representa a taxa de variação
de 𝑧 em relação a 𝑦 quando 𝑥 é mantido
constante.
Exercício de recapitulação 
1.º Determine as derivadas parciais de primeira ordem 
da função.
zt
xy
tzyxf
tytgxyztzyxfe
ttgxyztzyxfd
yxfc
yxyxfb
xxsenyxfa
2
³
),,,( f)
)(²),,,()
)(²),,,()
 xe),( )
²)²ln(),( )
cos ),( )
y/x
+
=
=
=
=
+=
=
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
• Se f é uma função de duas variáveis, suas
derivadas fx, fy são funções de duas
variáveis, de modo que podemos
considerar novamente suas derivadas
parciais (fx)x, (fy)y , (fx)y e (fy)x, chamadas
derivadas parciais de segunda ordem de
f.
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , usamos a seguinte
notação para as derivadas parciais
de segunda ordem :
(𝑓𝑥)𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
(𝑓𝑥)𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
Exemplo2
1.º Determine as derivadas parciais de segunda 
ordem de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 𝑥²𝑦³ − 2𝑦²
Exercícios 
2.º Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³𝑦5 + 2𝑥4𝑦
Exercícios 
3.º Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de f(x,y) = sen (2x+3y)
Exercícios 
4.º Calcule fxxyz se f(x,y,z) = sen(3x +yz)
Equações Diferenciais Parciais 
• As derivadas parciais ocorrem em equações
diferenciais parciais que exprimem certas leis física.
Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace.
0
²
2
2
2
=


+


y
u
x
u
Exemplo3
• Mostre que a função u(x,y)=exsen y é solução 
da Equação de Laplace.
Equações Diferenciais Parciais 
0²
2
2
2
2
=


−


x
u
a
t
u
Um outro exemplo de equações diferenciais
parciais presente na física é a chamada
equação da onda:
Exemplo4
• Verifique que a função u(x,y)= sen(x - at)
satisfaz a equação da onda.
Exercícios
5.º Determine se cada uma das funções é
solução da equação de Laplace uxx+uyy=0
a) u = x² + y² b) u = x³ + 3xy²
6.º Determine se cada uma das funções é
solução da equação da onda utt-a²uxx=0
a) u = xeat b) u = sen(kx)sen(akt)
REGRA DA CADEIA
• (CASO 1) Suponha que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) seja uma
função diferenciável de 𝑥 e 𝑦, onde 𝑥 = 𝑔(𝑡)
e 𝑦 = ℎ(𝑡) são funções diferenciáveis de t.
Então 𝑧 é uma função diferenciável de 𝑡 e
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz


+


=
Exemplo5
Se 𝑧 = 𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦4, onde 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒 𝑦 = cos 𝑡, determine 𝑑𝑧/𝑑𝑡.
SOLUÇÃO: A regra da cadeia fornece 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz


+


=
Exemplo5
Se z = x²y + 3xy4, onde x= sen 2t e y = cos t, 
determine dz/dt.
SOLUÇÃO: A regra da cadeia fornece 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz


+


=
sentxyxtyxy
dt
dz
sentxyxtyxy
dt
dz
³)12²(2cos)32(2
)³)(12²()2)(2)(cos32(
4
4
+−+=
−+++=
REGRA DA CADEIA
• (CASO 2) Suponha que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) seja uma
função diferenciável de x e y, onde 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) e
𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡) são funções diferenciáveis de s e t.
Então
t
y
y
f
t
x
x
f
t
z
s
y
y
f
s
x
x
f
s
z




+




=






+




=


 
REGRA DA CADEIA
- Diagrama em Árvore -
 
s
y
y
f




=


t
z
 
z
x y
s t s t
x
z


s
x


t
x


y
z


s
y


t
y


=


s
z
+




t
x
x
f
 +




s
x
x
f
t
y
y
f




Exemplo6
Se 𝑢 = 𝑥4𝑦 + 𝑦²𝑧³, onde 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑟𝑠²𝑒
− 𝑡
e 𝑧 = 𝑟²𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝑡, determine 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
SOLUÇÃO: Com o auxílio do diagrama em 
árvore, obtemoss
z
z
u
s
y
y
u
s
u
x
u
s
u




+




+




=


 
u
x y z
r s t r s t r s t
Exemplo6
Se 𝑢 = 𝑥4𝑦 + 𝑦²𝑧³, onde 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑟𝑠²𝑒
− 𝑡
e 𝑧 = 𝑟²𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝑡, determine 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
SOLUÇÃO: Com o auxílio do diagrama em 
árvore, obtemos
s
z
z
u
s
y
y
u
s
u
x
u
s
u




+




+




=


 
)²²)(²3(...
...)2³)(2())(³4( 4
sentrzy
rseyzxreyx tt
+
+++= −
u
x y z
r s t r s t r s t
Exercício 
1.º Use a regra da cadeia para determinar δz/ δt
 t y t, xy, cossen x z d)
 t tg w, t cos y sen t, xw),y²(x²ln z )
e y ,e x , y²x² z )
t-1 y , t 2 x xy²,x²y z )
2t-2t
34
===
===++=
==+=
=+=+=

c
b
a
Exercícios de recapitulação
1.º Determine as derivadas parciais indicadas
a) f(x,y)= xy; fx e fy
b) f(x,y)=3xy4+x³y² ; fxxy.
c) u=xaybzc; uxyz’
d) u=xyez; uxyz e uxxz e uzzx
2.º Verifique que a função z=ln(ex+ey) é uma solução
das equações diferenciais
0
1
2
2
2
2
2
2
=







−


+


=


+


yx
z
y
z
x
z
y
z
x
z
• James Stewart. Cálculo 1, 6ª Ed., 
Editora Cengage Learning, 2013.
• Todas as figuras e exemplos se 
encontram no livro do James Stewart.
Referência 
Bibliográfica